沪教版七年级数学下册满分冲刺卷特训04相交线平行线(题型归纳)(原卷版+解析)

这是一份沪教版七年级数学下册满分冲刺卷特训04相交线平行线(题型归纳)(原卷版+解析)，共88页。试卷主要包含了M型，动态问题，三角板问题，情景探究问题，传统解答证明题等内容，欢迎下载使用。

解答题
一、M型、笔尖型、鸡翅型、骨折型
1．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
2．已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
3．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
4．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且．
（1）将直角如图1位置摆放，如果，则________；
（2）将直角如图2位置摆放，N为上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角如图3位置摆放，若，延长交直线b于点Q，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论．
5．AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．
6．已知，点为平面内一点，于．
（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；
（2）点在两条平行线之间，过点作于点．
①如图2，说明成立的理由；
②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．
7．（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．
8．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；
（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．
（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．
9．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
10．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；
（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．
二、动态问题
11．如图，直线ABCD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．一个含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°，∠PMN=60°．
(1)小安将直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，证明：∠PNB+∠PMD=∠MPN；
(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，点N、M分别在直线AB、CD上，如图②．
①当NOEF，PMEF时，求α的度数；
②小安将三角板PMN保持PMEF并向左平移，请直接写出在平移的过程中∠MON的度数：∠MON=______（用含α的式子表示）．
12．如图，已知射线，，，在上，且满足，平分．
(1)求的度数．
(2)若向右平行移动，其他条件不变，那么的值是否发生变化？若变化，请找出变化规律；若不变，请求出这个比值．
(3)在向右平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由．
13．请作答：
(1)图，图均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，，，与相交于点，有一动点在边上运动，连接，，记，．
①如图，当点在，两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；
②如图，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请判断并说明理由；
(2)当点在，两点之间运动时，若，的角平分线，相交于点，请直接写出与，之间的数量关系．
14．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．
(1)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
(2)将图1中的三角尺绕点O按每秒6°的速度绕点O沿顺时针方向旋转一周，OC也以每秒1°的速度绕点O顺时针方向旋转，当三角尺停止运动时，OC也停止运动．
①在旋转的过程中，问运动几秒时，边MN恰好与射线OC平行；
②将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系（直接写出结果）．
15．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若β＝56°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
16．如图已知直线AB射线CD，∠CEB＝100°，P是射线EB上一动点，过点P作PQEC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．
(1)若点P，F，G都在点E的右侧．
①求∠PCG的度数：
②若∠EGC－∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．
(2)在点P的运动过程中，当时，直接写出∠CPQ的度数．
17．阅读情境：
如图①，，，，求的度数．
小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为______，请写出解题过程；
问题迁移：
(2)如图②，，点P在射线OM上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由．
18．如图1，AB∥CD，∠PAB＝125°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PM∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；
(2)如图2，AB∥CD，点P在直线a上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系
19．如图，已知和互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点C处（注：，）．
(1)如图1，使三角板的短直角边与射线重合，若，则_________．
(2)如图2，将图1中的三角板绕点C顺时针旋转，试判断此时与的位置关系，并说明理由．
(3)如图3，将图1中的三角板绕点C顺时针旋转，使得，此时和满足什么关系？请说明理由．
(4)将图1中的三角板绕点C以每秒5的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，恰好与直线重合，求t的值（用含的式子表示）．
20．如图①，已知直线//，且和，分别交于，两点，和，分别交于，两点，点在线段上，，，．
(1)若，，则______．
(2)试找出，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)应用（2）中的结论解答下面的问题：如图②，点在的北偏东的方向上，在的北偏西的方向上，求的度数．
(4)如果点在直线上且在线段外侧运动（点和，两点不重合），其他条件不变，试探究，，之间的关系．
21．综合与实践
问题情境：
在数学实践课上，给出两个大小形状完全相同的含有，的直角三角板如图1放置，在直线上，且三角板和三角板均可以点P为顶点运动．
操作探究：
(1)如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转一定角度，平分平分，求；
(2)如图3，在图1基础上，若三角板开始绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角板绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当转到与重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；
拓广探究：
(3)如图4，作三角板关于直线的对称图形．三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，当时，请直接写出旋转角的度数．
三、三角板问题
22．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
(1)填空：∠1＝ °，∠2＝ °；
(2)现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，
①请直接写出∠2＝ °（结果用含n的代数式表示）；
②若∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的倍，求n的值．
(3)若把三角板绕B点顺时针旋转n°．当0＜n＜180时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线平行？如果存在，请直接写出所有n的值；如果不存在，请说明理由．
23．如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．
(1)观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是________；∠BCE与∠ACD的数量关系是________；
(2)类比探究，若按住三角板不动，顺时针绕直角顶点转动三角形，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由；
(3)拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．
24．如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起，交叉摆放．
(1)如图1，若∠CBD=35°，则∠ABE=______；
(2)如图1，若∠CBD：∠ABE=2：7，求∠CBD的度数；
(3)如图2，若∠CBD=α，射线BM，射线BN分别是∠ABE和∠CBE的平分线，试判断当∠CBD的度数改变时，∠MBN的度数是否随之改变．若改变，请说明理由；若不改变，求它的度数；
(4)如图1，若保持三角板ABC不动，绕直角顶点B顺时针转动三角板DBE，当∠CBD的度数为______时，BE∥AC．
25．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
（1）填空：1＝_____°，2＝ _____°；
（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，
①请直接写出2＝_____°（结果用含n的代数式表示）
②若1与2恰好有一个角是另一个角的倍，求n的值
（3）若把三角板绕B点顺时针旋转n°．当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．
26．将两块三角板按如图置，其中三角板边，，，．
（1）下列结论：正确的是_______．
①如果，则有；
②；
③如果，则平分．
（2）如果，判断与是否相等，请说明理由．
（3）将三角板绕点顺时针转动，直到边与重合即停止，转动的过程中当两块三角板恰有两边平行时，请直接写出所有可能的度数．
27．知直线，一块直角三角板的顶点A在直线a上，B，C两点在平面上移动，其中，．请解答下列问题：
（1）如图1，若点C在直线b上，点B在直线b的下方，，求的度数：
（2）如图2，若三角板的位置绕着点A进行转动，使得点C在直线a，b之间，点B在直线b的下方．
①请说明和的数量关系；
②若图中两个角的度数和之间满足关系式，求x，y的值．
28．已知，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，．
（1）若三角板如图1摆放时，则______，______．
（2）现固定的位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于点G，作和的角平分线交于点H，求的度数；
（3）现固定，将绕点A顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的度数．
四、情景探究问题
29．综合与探究【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
（1）如图1，EF∥MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；
【问题迁移】
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动．
①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．
30．问题情境
（1）如图1，已知，求的度数．佩佩同学的思路：过点作，进而，由平行线的性质来求，求得 ；
问题迁移
（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合与相交于点，有一动点在边上运动，连接，记．
①如图2，当点在两点之间运动时，请直接写出与之间的数量关系；
②如图3，当点在两点之间运动时，与之间有何数量关系？请判断并说明理由．
31．[阅读•领会]
如图①，为了判断两直线的位置关系．我们添加了直线c为“辅助线”．
在部分代数问题中，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．
【实践•体悟】
（1）计算，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．
（2）若关于x、y的方程组的解是的解是，则关于x、y的方程组的解为 ．
【创造•突破】
（3）已知直线ABCD．如图2，请写出∠ABE、∠E、∠CDE的数量关系，并添加适当的辅助线说明理由．
（4）已知直线ABCD．如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，若∠F＝m°，则∠E= ．（用含m的代数式表示）
32．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC＋∠B＋∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程
解：过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝
又∵∠EAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°
解题反思：
从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B＋∠BCD＋∠D的度数．（提示：过点C作CF∥AB）
深化拓展：
（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．
33．已知，如图①，∠BAD=50°，点C为射线AD上一点（不与A重合），连接BC．
（1）[问题提出]如图②，AB∥CE，∠BCD=73 °，则：∠B= ．
（2）[类比探究]在图①中，探究∠BAD、∠B和∠BCD之间有怎样的数量关系？并用平行线的性质说明理由．
（3）[拓展延伸]如图③，在射线BC上取一点O，过O点作直线MN使MN∥AD，BE平分∠ABC交AD于E点，OF平分∠BON交AD于F点，交AD于G点，当C点沿着射线AD方向运动时，∠FOG的度数是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值．
五、传统解答证明题
34．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E、F点，．
（1）将直角如图1位置摆放，如果，则______；
（2）将直角如图2位置摆放，N为AC上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由．
（3）将直角如图3位置摆放，若，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究，与的数量关系，请直接写出结论．
35．如图1，已知，，点在上，点，在上，点在，之间，连接，，，．
(1)求证：；
(2)如图2，平分交于，，平分，，
①若，时，求的度数；
②如图3，平分，，交于点，若，求的值．
36．已知，，、分别为直线、上的点，为平面内任意一点，连接、．
(1)如图（1），请直接写出、与之间的数量关系．
(2)如图（2），过点作、交直线上的点、，点在上，过作，求证：．
(3)如图（3），在（2）的条件下，若，，求的度数．
特训04 相交线 平行线（题型归纳）
目录：一、M型、笔尖型、鸡翅型、骨折型；二、动态问题；三、三角板问题；四、情景探究类；五、传统解答证明题。
解答题
一、M型、笔尖型、鸡翅型、骨折型
1．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）如图1，分别过点，作，，根据平行线的性质得到，，，代入数据即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到，，由，，得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
（3）如图2，过点作，设，则，根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，于是得到结论．
【解析】（1）解：如图1，分别过点，作，，
，
，，
又，，
，
，
又，
，
，，
；
故答案为：；
（2）解：如图1，分别过点，作，，
，
，，
又，，
，
，
又，
，
，，
，
；
（3）解：如图2，过点作，
由（2）知，，
设，则，
平分，平分，
，，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
2．已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
【答案】（1）见解析；（2）55°；（3）
【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数；
②如图3，过点作，当点在点的右侧时，，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数．
【解析】解：（1）如图1，过点作，
则有，
，
，
，
；
（2）①如图2，过点作，
有．
，
．
．
．
即，
平分，平分，
，，
．
答：的度数为；
②如图3，过点作，
有．
，
，
．
．
．
即，
平分，平分，
，，
．
答：的度数为．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
3．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解．
【解析】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝×60°＝30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．
4．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且．
（1）将直角如图1位置摆放，如果，则________；
（2）将直角如图2位置摆放，N为上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角如图3位置摆放，若，延长交直线b于点Q，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论．
【答案】（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析
【分析】（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．
（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．
（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．
【解析】解：（1）如图，作CP//a，
∵a//b，CP//a，
∴CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，
∴∠BCP=180°-∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，
∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．
（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：
如图，作CP//a，则CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，
∵∠NEF+∠CEF=180°，
∴∠BCP=∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+∠NEF=90°．
（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，
∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,
∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，
∴∠GOP=135°-∠POQ，
∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．
如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，
∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，
∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．
【点睛】本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．
5．AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．
【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明详见解析；（3）55°．
【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC＝∠A−∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后进一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG−∠GEH即可得出答案．
【解析】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下：
如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ＝180°，
又∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，
即∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：
如图2所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，
∴∠APC＝∠A−∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，
∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，
∴∠PCD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝110°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，
∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG＝∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH＝∠BEG，
∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH
＝∠FEG−∠BEG
＝∠BEF
＝55°．
【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
6．已知，点为平面内一点，于．
（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；
（2）点在两条平行线之间，过点作于点．
①如图2，说明成立的理由；
②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．
【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°
【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【解析】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB=90°，
∴∠A+∠C=90°；
（2）①如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG=90°，
∴∠ABD+∠ABG=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥DM，

∴∠C=∠CBG，
∠ABD=∠C；
②如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）知∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，
则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，
∠GBF=∠AFB=β，
∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：
2α+β+3α+3α+β=180°，
∵AB⊥BC，
∴β+β+2α=90°，
∴α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
7．（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．
【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由见解析
【分析】（1）过点P作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；
（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，则可求得∠BPD=∠B+∠D．
（3）由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、∠D的关系．
【解析】解：（1）如图（1）过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE=180°，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠EPD+∠D=180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，
∴∠B+∠BPD+∠D=360°．
（2）∠BPD=∠B+∠D．
理由：如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．
（3）如图（3），∠BPD=∠D-∠B．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠D，
∵∠1=∠B+∠BPD，
∴∠D=∠B+∠BPD，
即∠BPD=∠D-∠B；
如图（4），∠BPD=∠B-∠D．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠B，
∵∠1=∠D+∠BPD，
∴∠B=∠D+∠BPD，
即∠BPD=∠B-∠D．
【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握平行线的性质，注意辅助线的作法．
8．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；
（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．
（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．
【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．
【分析】（1）过E作EMAB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；
（2）过E作EMAB，过F作FNAB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；
（3）过P作PLAB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．
【解析】解：（1）过E作EMAB，
∵ABCD，
∴CDEMAB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCE＝2∠DCF，
∵∠DCF＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∴∠CEM＝60°，
又∵∠CEB＝20°，
∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，
∴∠ABE＝40°；
（2）过E作EMAB，过F作FNAB，
∵∠EBF＝2∠ABF，
∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，
∵CF平分∠DCE，
∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，
∵ABCD，
∴EMABCD，
∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，
∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，
同理∠CFB＝y﹣x，
∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，
∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，
∴x＝10°，
∴∠ABE＝3x＝30°；
（3）过P作PLAB，
∵GM平分∠DGP，
∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，
∵PQ平分∠BPG，
∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，
∵PQGN，
∴∠PGN＝∠GPQ＝x，
∵ABCD，
∴PLABCD，
∴∠GPL＝∠DGP＝2y，
∠BPL＝∠ABP＝30°，
∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，
∴30°＝2y﹣2x，
∴y﹣x＝15°，
∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，
∴∠MGN＝15°．
【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．
9．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．
【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
（3）先证明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的结论即可求解．
【解析】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，
过点P作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
如图，作PQ∥AB，
∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，
∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
(3)设PD交AN于O，如图，
∵AP⊥PD，
∴∠APO=90°，
由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，
∴∠POA=∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，
∴∠NOD=∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN=∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，
由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，
∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)
=180°-(180°+∠APD)
=180°-(180°+90°)
=45°，
即∠AND=45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
10．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；
（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．
【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；
（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；
（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．
【解析】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，
∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，∵CD∥AB，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∵∠ECM+∠ECN＝180°，
∵∠ECN＝∠CAB
∴∠ECM＝∠ACD，
即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠MCA＝∠DCE；
（3）∵AF∥CG，
∴∠GCA+∠FAC＝180°，
∵∠CAB＝60°
即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，
∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，
由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，
∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，
∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，
又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，
∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，
∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，
∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA
＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF
＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF
＝120°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．
二、动态问题
11．如图，直线ABCD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．一个含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°，∠PMN=60°．
(1)小安将直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，证明：∠PNB+∠PMD=∠MPN；
(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，点N、M分别在直线AB、CD上，如图②．
①当NOEF，PMEF时，求α的度数；
②小安将三角板PMN保持PMEF并向左平移，请直接写出在平移的过程中∠MON的度数：∠MON=______（用含α的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①60°；②或
【分析】（1）过P点作PQAB，根据平行线的性质可得∠PNB=∠NPQ，∠PMD=∠QPM，进而可求解；
（2）①由平行线的性质可得∠ONM=∠PMN=60°，结合角平分线的定义可得∠ANO=∠ONM=60°，再利用平行线的性质可求解；②可分两种情况：点N在G的右侧时，点N在G的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
（1）
证明：过P点作PQAB，
∴∠PNB=∠NPQ，
∵ABCD，
∴PQCD，
∴∠PMD=∠QPM，
∴∠PNB+∠PMD=∠NPQ+∠QPM=∠MPN；
（2）
解：①∵NOEF，PMEF，
∴NOPM，
∴∠ONM=∠NMP，
∵∠PMN=60°，
∴∠ONM=∠PMN=60°，
∵NO平分∠MNO，
∴∠ANO=∠ONM=60°，
∵ABCD，
∴∠NOM=∠ANO=60°，
∴α=∠NOM=60°；
②点N在G的右侧时，如图②，
∵PMEF，∠EHD=α，
∴∠PMD=α，
∴∠NMD=60°+α，
∵ABCD，
∴∠ANM=∠NMD=60°+α，
∵NO平分∠ANM，
∴∠ANO=∠ANM=30°+α，
∵ABCD，
∴∠MON=∠ANO=30°+α；
点N在G的左侧时，如图，
∵PMEF，∠EHD=α，
∴∠PMD=α，
∴∠NMD=60°+α，
∵ABCD，
∴∠BNM+∠NMO=180°，∠BNO=∠MON，
∵NO平分∠MNG，
∴∠BNO= [180°-（60°+α）]=60°-α，
∴∠MON=60°-α，
综上所述，∠MON的度数为30°+α或60°-α．
故答案为：30°+α或60°- α．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，画出图形，分类讨论是解题的关键．
12．如图，已知射线，，，在上，且满足，平分．
(1)求的度数．
(2)若向右平行移动，其他条件不变，那么的值是否发生变化？若变化，请找出变化规律；若不变，请求出这个比值．
(3)在向右平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)30°
(2)不变化，
(3)存在，45°
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB=∠AOC，计算即可得解；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠OFC=2∠OBC，从而得解；
（3）设∠BOA=x°，表示出∠OBA，再根据∠OEC=∠OBA，列出方程求解．
【解析】（1）∵CB∥OA，
∴∠COA=180°－∠C=60°，∠FBO=∠BOA，
∵，
∴，
∴，
∵OE平分∠COF，
∴，
∴；
（2）∵CB∥OA，
∴∠OFC=∠FOA=∠FOB+∠BOA=∠OBC+∠OBC=2∠OBC，
∴=1：2=；
（3）存在，∠BOA=45°，理由如下：
设∠BOA=x°，则∠FBO=∠FOB=x°，
∵CB∥OA，
∴∠CBA=180°－∠OAB=60°，∠OEC=∠EOA=∠EOB+∠BOA=(30＋x)°，
∴∠OBA=∠CBA－∠FBO=(60－x)°
∵∠OEC=∠OBA，
∴，
解得x=15，
∴∠OBA=(60-15)°=45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的和差运算，涉及方程思想，灵活运用这些性质是解题的关键．
13．请作答：
(1)图，图均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，，，与相交于点，有一动点在边上运动，连接，，记，．
①如图，当点在，两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；
②如图，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请判断并说明理由；
(2)当点在，两点之间运动时，若，的角平分线，相交于点，请直接写出与，之间的数量关系．
【答案】(1)①；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①过点作，先根据平行线的性质可得，再根据即可得；
②过点作，先根据平行线的性质可得，，再根据即可得；
（2）先根据角平分线的定义可得，过点作，再根据平行线的性质可得，，然后根据即可得．
（1）
解：①，理由如下：
如图，过点作，如图所示：
，
，
，
，
；
②，理由如下：
如图，过点作，
，
，
，
，
．
（2）
解：，理由如下：
，分别平分，，
，，
如图，过点作，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，过拐点作平行线，利用平行线的判定与性质是解题关键．
14．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．
(1)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
(2)将图1中的三角尺绕点O按每秒6°的速度绕点O沿顺时针方向旋转一周，OC也以每秒1°的速度绕点O顺时针方向旋转，当三角尺停止运动时，OC也停止运动．
①在旋转的过程中，问运动几秒时，边MN恰好与射线OC平行；
②将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系（直接写出结果）．
【答案】(1)∠CON＝150°
(2)①18s或54s
②5∠AOM=6∠NOC
【分析】（1）根据邻补角的定义求出∠BOC=120°，再根据角平分线的定义求出∠COM，然后根据∠CON=∠COM+90°解答；
（2）①根据∠COM=30°或∠CON=30°时是可以满足MNOC，即（90°+60°-60°）÷（6°-1°）=18s或（180°+60°+30°）÷（6°-1°）=54s．
②设运动的时间为t，则∠AOM=180°-6t=6（30°-t），∠NOC=60°+t-（90°-180°+6t）=5（30°-t），即可得出结论．
【解析】（1）解：∵∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
又∵OM平分∠BOC，
∴∠COM＝∠BOC＝60°，
∴∠CON＝∠COM+90°＝150°；
（2）解：①∵∠OMN＝30°，
∴∠COM=30°或∠CON=30°时是可以满足MNOC，
即（90°+60°-60°）÷（6°-1°）=18s，
（180°+60°+30°）÷（6°-1°）=54s，
故答案为：18s或54s．
②设运动的时间为t，则
∠AOM=180°-6t=6（30°-t），
∠NOC=60°+t-（90°-180°+6t）=5（30°-t），
故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：5∠AOM=6∠NOC．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键，难点在于（2）要分情况讨论．
15．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若β＝56°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】(1)AB∥CD，理由见详解；
(2)①；②当点G在点F的右侧时，；当点G在点F的左侧时， ；理由见详解
【分析】（1）依据角平分线，可得∠AEF=∠FME，根据∠FEM=∠FME，可得∠AEF=∠FEM，进而得出AB∥CD；
（2）①依据平行线的性质可得∠AEG=124°，再根据EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠MEH=∠AEG=62°，再根据HN⊥ME，即可得到Rt△EHN中，∠EHN=90°-62°=28°；
②分两种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时，．当点G在点F的左侧时， ．
【解析】（1）解：∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM=∠MEF，
又∵∠FEM=∠FME，
∴∠AEM=∠EMF，
∴AB∥CD；
（2）解：①如图2，
∵AB∥CD，β=56°，
∴∠AEG=124°，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，
∴∠MEH=∠AEG=62°，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-62°=28°，
即α=28°；
②分两种情况讨论：
如图2，当点G在点F的右侧时，α=β．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG=180°-β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，
∴∠MEH=∠AEG=（180°β），
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-∠MEH=90°（180°β）=β，
即α=β；
如图3，当点G在点F的左侧时，α=90°β．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠EGF=β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，
∴∠MEH=∠MEF-∠HEF
=（∠AEF-∠FEG）
=∠AEG
=β，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-∠MEH，
即α=90°β．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．
16．如图已知直线AB射线CD，∠CEB＝100°，P是射线EB上一动点，过点P作PQEC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．
(1)若点P，F，G都在点E的右侧．
①求∠PCG的度数：
②若∠EGC－∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．
(2)在点P的运动过程中，当时，直接写出∠CPQ的度数．
【答案】(1)①40°；②60°
(2)60°或15°
【分析】（1）①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；
②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=20°，再根据PQCE，即可得出∠CPQ=∠ECP=60°；
（2）设∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，则∠GCF=3x°-2x°=x°，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．
（1）
解：①∵ABCD，
∴∠CEB+∠ECQ=180°，
∵∠CEB=100°，
∴∠ECQ=80°，
∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，
∴∠PCF =∠QCF，∠ECG=∠FCG =∠FCE，
∴∠PCG=∠PCF+∠FCG=∠QCF+∠FCE=∠ECQ=40°；
②∵ABCD，
∴∠QCG=∠EGC，
∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°，
∴∠EGC+∠ECG=80°，
又∵∠EGC-∠ECG=40°，
∴∠EGC=60°，∠ECG=20°，
∴∠ECG=∠GCF=20°，∠PCF=∠PCQ=×（80°−40°）=20°，
∵PQCE，∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ-∠PCQ=80°-20°=60°；
（2）
解：设∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，
①当点G、F在点E的右侧时，
∵ABCD，
∴∠QCG=∠EGC=3x°，∠QCF=∠EFC=2x°，
则∠GCF=∠QCG-∠QCF=3x°-2x°=x°，
∴∠PCF=∠PCQ=∠FCQ=∠EFC=x°，
则∠ECG=∠GCF=∠PCF=∠PCD=x°，
∵∠ECD=80，
∴4x=80°，解得x=20，
∴∠CPQ=∠ECP=3x°=60°；
②当点G、F在点E的左侧时，反向延长CD到H，
∵∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，
∴∠GCH=∠EGC=3x°，∠FCH=∠EFC=2x°，
∴∠ECG=∠GCF=∠GCH-∠FCH=x°，
∴∠ECH=∠GCH+∠GCE=4x°，
∴4x+80=180，
解得x=25，
∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=25°×2+80°=130°，
∴∠PCQ=∠FCQ=65°，
∴∠CPQ=∠ECP=80°-65°=15°．
故∠CPQ的度数为60°或15°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
17．阅读情境：
如图①，，，，求的度数．
小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为______，请写出解题过程；
问题迁移：
(2)如图②，，点P在射线OM上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由．
【答案】(1)110°，过程见解析
(2)∠APC=α+β，理由见解析
【分析】（1）过P作，通过平行线性质求∠APC即可；
（2）过P作交AC于E，推出，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
（1）
解：过点P作，
∵，
∴，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为：110．
（2）
∠APC=α+β，理由是：
如图2，过P作交AC于E，
∵，
∴，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
18．如图1，AB∥CD，∠PAB＝125°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PM∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；
(2)如图2，AB∥CD，点P在直线a上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系
【答案】(1)120
(2)∠APC=∠α+∠β
(3)当P在BD延长线时，∠APC=∠α-∠β；当P在DB延长线时，∠APC=∠β-∠α
【分析】（1）过P作PM∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC的度数；
（2）过P作PE∥AE交AC于E，推出AB∥PE∥CD，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形，分两种情况：①点P在BD的延长线上，②点P在DB的延长线上，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【解析】（1）解：如图1，过P作PM∥AB，
∴∠APM+∠PAB=180°，
∴∠APM=180°-125°=55°，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠CPM+∠PCD=180°，
∴∠CPM=180°-115°=65°，
∴∠APC=55°+65°=120°；
故答案为：120；
（2）如图2，∠APC=∠α+∠β，理由如下：
过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）如图3，当P在BD延长线时，∠APC=∠α-∠β；理由：
过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE-∠CPE=∠α-∠β；
如图4，当P在DB延长线时，∠APC=∠β-∠α；理由：
过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
19．如图，已知和互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点C处（注：，）．
(1)如图1，使三角板的短直角边与射线重合，若，则_________．
(2)如图2，将图1中的三角板绕点C顺时针旋转，试判断此时与的位置关系，并说明理由．
(3)如图3，将图1中的三角板绕点C顺时针旋转，使得，此时和满足什么关系？请说明理由．
(4)将图1中的三角板绕点C以每秒5的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，恰好与直线重合，求t的值（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)，理由见详解
(3)
(4)或
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由旋转的性质可得，然后问题可求解；
（3）由选项的性质可得，然后可得，则有，进而分类讨论求解即可；
（4）由题意可分当射线CA与射线CF互为反向延长线和当射线CA与射线CF重合时，然后进行分类讨论求解即可．
(1)
解：由三角板的短直角边与射线重合，且，可得：
；
故答案为；
(2)
解：，理由如下：
由旋转的性质可得：，
∴；
(3)
解：，理由如下：
由旋转可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
若，则，即；
若，则，即；
∵，
∴不符合题意；
∴和满足的关系是；
(4)
解：将图1中的三角板绕点C以每秒5的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，恰好与直线重合，
∴当射线CA与射线CF互为反向延长线，如图，
则，
∴此时AC旋转了，
∴；
当射线CA与射线CF重合时，如图所示：
则AC旋转了，
∴；
综上所述：AC恰好与直线CF重合时，t的值为或．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、角的和差关系、平行线的判定及一元一次方程的应用，熟练掌握旋转的性质、角的和差关系、平行线的判定及一元一次方程的应用是解题的关键．
20．如图①，已知直线//，且和，分别交于，两点，和，分别交于，两点，点在线段上，，，．
(1)若，，则______．
(2)试找出，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)应用（2）中的结论解答下面的问题：如图②，点在的北偏东的方向上，在的北偏西的方向上，求的度数．
(4)如果点在直线上且在线段外侧运动（点和，两点不重合），其他条件不变，试探究，，之间的关系．
【答案】(1)∠3=55°
(2)
(3)
(4)点在的延长线上时，；点在的延长线上时，
【分析】（1）过点作，由平行线的性质可得，，即可得，代入计算可求解的度数；
（2）过点作，由平行线的性质可得，，即可求解；
（3）根据（2）的结论，再代入即可求解；
（4）分两种情况：①当点在点 的上方时，②当点在点的下方时，利用平行线的性质可求解．
（1）
解：过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）
解：由（1）知．理由如下：
过点P作，∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）
解：由（2）可知；
（4）
解：当点在的延长线上时，如图①所示，
过作，交于，
则．∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故当点在的延长线上时，；
当点在的延长线上时，如图②所示，
过作，交于，
则，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故当点在的延长线上时，．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，方向角，掌握平行线的性质是解题的关键．
21．综合与实践
问题情境：
在数学实践课上，给出两个大小形状完全相同的含有，的直角三角板如图1放置，在直线上，且三角板和三角板均可以点P为顶点运动．
操作探究：
(1)如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转一定角度，平分平分，求；
(2)如图3，在图1基础上，若三角板开始绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角板绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当转到与重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；
拓广探究：
(3)如图4，作三角板关于直线的对称图形．三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，当时，请直接写出旋转角的度数．
【答案】(1)30°
(2)15秒或秒
(3)30°或210°．
【分析】（1）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解；
（2）分三种情况讨论，建立与时间t有关的方程求解即可；
（3）分两种情况，结合平行线的判定与性质讨论求解即可．
【解析】（1）∵平分∠
∴设∠
则∠∠
∴
∴
∴∠
（2）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角，
∵当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动，
∴秒，
分三种情况讨论：
①当PD平分∠BPC时，根据题意可列方程，
解得，，符合题意；
②当PC平分∠BPD时，根据题意可列方程,
解得，，符合题意；
③当PB平分∠CPD时，根据题意可列方程,
解得，，不符合题意舍去，
所以，旋转时间为15秒或秒时，三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角；
（3）①如图①，
∵与关于PB对称，
∴
若，则
∴
∴
∴旋转角度数为：；
②如图②，
若，则
∴
∴旋转角度数为：；
综上，当时，旋转角的度数为30°或210°．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义及角的和与差，图形的旋转.掌握图形旋转的特征，找出等量关系列出方程式是解答本题的关键
三、三角板问题
22．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
(1)填空：∠1＝ °，∠2＝ °；
(2)现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，
①请直接写出∠2＝ °（结果用含n的代数式表示）；
②若∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的倍，求n的值．
(3)若把三角板绕B点顺时针旋转n°．当0＜n＜180时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线平行？如果存在，请直接写出所有n的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)120，90
(2)①②或
(3)
【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答即可；
（2）①根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG，然后根据周角等于360°计算即可得到∠2；②根据邻补角的定义求出∠ABE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠ABE，再利用∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的倍，分两种情况列方程，计算可求解；
（3）结合图形，分AB、BC、AC三条边与直尺平行讨论求解．
（1）
解：∠1＝180°﹣60°＝120°，
∠2＝90°；
故答案为：120，90．
（2）
解：①如图2，∵DG//EF，
∴∠BCG＝180°﹣∠CBF＝180°﹣n°，
∵∠ACB+∠BCG+∠2＝360°，
∴∠2＝360°﹣∠ACB﹣∠BCG
＝360°﹣90°﹣（180°﹣n°）
＝（90+n）°；
故答案为：（90+n）．
②∵∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝180°﹣60°﹣n°＝120°﹣n°，
∵DG//EF
∴∠1＝∠ABE＝120°﹣n°，
当∠1＝∠2时，120﹣n＝（90+n），
解得n＝；
当∠1＝∠2时，（120﹣n）＝90+n，
解得n＝；
综上所述，n值为或．
（3）
解：当n＝60°时，AB//DE；
当n＝90°时，BC//DE；
当n＝150°时，AC//DG；
综上所述，当n＝60°，90°，150° 时，会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线平行．
【点睛】本题主要考查了领补角、直角的性质，平行线的性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解答本题的关键．
23．如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．
(1)观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是________；∠BCE与∠ACD的数量关系是________；
(2)类比探究，若按住三角板不动，顺时针绕直角顶点转动三角形，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由；
(3)拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．
【答案】(1)，
(2)当或时，CE//AB
(3)，或AC//DE
【分析】（1）由三角板的特点可知，即可求出．再根据，，即可求出；
（2）分类讨论结合平行线的性质即可求解；
（3）由（1），即可求出，再分类讨论结合平行线的判定和性质即可得出DE与AC的位置关系．
（1）
∵，
∴，即．
∵，，
∴．
故答案为：，；
（2）
分类讨论：①如图1所示，
∵CE//AB，
∴，
∴；
②如图2所示，
∵CE//AB，
∴，
∴．
综上可知当或时，CE//AB；
（3）
根据（1）可知，
∴，
∴．
分类讨论：①如图3所示，

∵，
∴，
∴BC//DE．
∵，即，
∴；
②如图4所示，
∵，
∴，
∴AC//DE．
【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
24．如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起，交叉摆放．
(1)如图1，若∠CBD=35°，则∠ABE=______；
(2)如图1，若∠CBD：∠ABE=2：7，求∠CBD的度数；
(3)如图2，若∠CBD=α，射线BM，射线BN分别是∠ABE和∠CBE的平分线，试判断当∠CBD的度数改变时，∠MBN的度数是否随之改变．若改变，请说明理由；若不改变，求它的度数；
(4)如图1，若保持三角板ABC不动，绕直角顶点B顺时针转动三角板DBE，当∠CBD的度数为______时，BE∥AC．
【答案】(1)145
(2)∠CBD=40°
(3)不变，
(4)60°或120°
【分析】（1）根据 进行计算即可．
（2）由比例关系设∠CBD=2x，∠ABE=7x，再利用计算即可．
（3）用（1）的方法可得 ，根据角平分线的性质求解即可．
（4）旋转过程中 有两种情况，画出图分别进行求解即可．
（1）
解：∠ABE＝∠ABC＋∠DBE−∠CBD＝90°＋90°−35°＝145°；
故答案为：145．
（2）
∵∠CBD∶∠ABE=2∶7，
设∠CBD=2x，则∠ABE=7x，
∵∠ABC+∠DBE=90°＋90°=180°，
∴∠ABC+∠CBE+∠CBD=180°，
∴∠ABE+∠CBD=180°，
∴7x+2x=180°，
∴x=20°，
∴∠CBD=2x=40°；
（3）
不变，理由如下：
∵
∴∠ABE＝∠ABC＋∠DBE−∠CBD＝90°＋90°−α＝180°-α；
∵BM平分，
∴，
∵BN平分，
∴，
∴；
（4）
有如下两种情况：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
或者 ．
【点睛】本题考查了特殊三角形的性质，余角定义和性质，角平分线性质，平行线性质；灵活运用角的和差关系进行计算是关键．
25．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
（1）填空：1＝_____°，2＝ _____°；
（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，
①请直接写出2＝_____°（结果用含n的代数式表示）
②若1与2恰好有一个角是另一个角的倍，求n的值
（3）若把三角板绕B点顺时针旋转n°．当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）120°，90°；（2）①90°＋n°；②n的值为或；（3）当n＝30°时，AB⊥DG（EF）；当n＝90°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；当n＝120°时，AB⊥DE（GF）；当n＝180°时，AC⊥DG （EF），BC⊥DE（GF）；当n＝210°时，AB⊥DG （EF）；当n＝270°时，BC⊥DG （EF），AC⊥DE（GF）；当n＝300°时，AB⊥DE （GF）．
【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）①根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG，然后根据周角等于360°计算即可得到∠2；②根据邻补角的定义求出∠ABE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠ABE，再分∠1=∠2和∠2=∠1分别求解即可；
（3）结合图形，分AB、BC、AC三条边与直尺垂直讨论求解．
【解析】解：（1）∠1＝180°−60°＝120°，
∠2＝90°；
故答案为：120，90；
（2）①如图2，∵DG∥EF，
∴∠BCG＝180°−∠CBF＝180°−n°，
∵∠ACB＋∠BCG＋∠2＝360°，
∴∠2＝360°−∠ACB−∠BCG＝360°−90°−（180°−n°）＝90°＋n°；
故答案为：90°＋n°；
②∵∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝180°−60°−n°＝120°−n°，
∵DG∥EF，
∴∠1＝∠ABE＝120°−n°，
若∠1=∠2，则120°−n°=（90°＋n°），解得n=；
若∠2=∠1，则90°＋n°=（120°−n°），解得n=；
所以n的值为或；
（3）当n＝30°时，AB⊥DG（EF）；
当n＝90°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；
当n＝120°时，AB⊥DE（GF）；
当n＝180°时，AC⊥DG （EF），BC⊥DE（GF）；
当n＝210°时，AB⊥DG （EF）；
当n＝270°时，BC⊥DG （EF），AC⊥DE（GF）；
当n＝300°时，AB⊥DE （GF）．
【点睛】本题考查了角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．
26．将两块三角板按如图置，其中三角板边，，，．
（1）下列结论：正确的是_______．
①如果，则有；
②；
③如果，则平分．
（2）如果，判断与是否相等，请说明理由．
（3）将三角板绕点顺时针转动，直到边与重合即停止，转动的过程中当两块三角板恰有两边平行时，请直接写出所有可能的度数．
【答案】（1）②③；（2）相等，理由见解析；（3）30°或45°或75°或120°或135°
【分析】（1）根据平行线的判定和性质分别判定即可；
（2）利用角的和差，结合∠CAB=∠DAE=90°进行判断；
（3）依据这两块三角尺各有一条边互相平行，分五种情况讨论，即可得到∠EAB角度所有可能的值．
【解析】解：（1）①∵∠BFD=60°，∠B=45°，
∴∠BAD+∠D=∠BFD+∠B=105°，
∴∠BAD=105°-30°=75°，
∴∠BAD≠∠B，
∴BC和AD不平行，故①错误；
②∵∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAE+∠CAD=∠BAE+∠CAE+∠DAE=180°，故②正确；
③若BC∥AD，
则∠BAD=∠B=45°，
∴∠BAE=45°，
即AB平分∠EAD，故③正确；
故答案为：②③；
（2）相等，理由是：
∵∠CAD=150°，
∴∠BAE=180°-150°=30°，
∴∠BAD=60°，
∵∠BAD+∠D=∠BFD+∠B，
∴∠BFD=60°+30°-45°=45°=∠C；
（3）若AC∥DE，
则∠CAE=∠E=60°，
∴∠EAB=90°-60°=30°；
若BC∥AD，
则∠B=∠BAD=45°，
∴∠EAB=45°；
若BC∥DE，
则∠E=∠AFB=60°，
∴∠EAB=180°-60°-45°=75°；
若AB∥DE，
则∠D=∠DAB=30°，
∴∠EAB=30°+90°=120°；
若AE∥BC，
则∠C=∠CAE=45°，
∴∠EAB=45°+90°=135°；
综上：∠EAB的度数可能为30°或45°或75°或120°或135°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，分情况画出图形，学会用分类讨论的思想思考问题．
27．知直线，一块直角三角板的顶点A在直线a上，B，C两点在平面上移动，其中，．请解答下列问题：
（1）如图1，若点C在直线b上，点B在直线b的下方，，求的度数：
（2）如图2，若三角板的位置绕着点A进行转动，使得点C在直线a，b之间，点B在直线b的下方．
①请说明和的数量关系；
②若图中两个角的度数和之间满足关系式，求x，y的值．
【答案】（1）50°；（2）①∠α+∠β=90°；②x=130，y=70
【分析】（1）利用平行线的性质得到∠ACD，从而得出结果；
（2）①过点C作CD∥a，利用内错角的性质得到∠α=∠ACD，∠β=∠BCD，相加可得结果；②利用∠α+∠β=90°进行等量代换，得到x-y=60，再根据得到方程组，解之即可．
【解析】解：（1）∵∠2=40°，∠ACB=90°，
∴∠ACD=50°，
∵a∥b，
∴∠1=∠ACD=50°；
（2）①如图，过点C作CD∥a，
∵a∥b，
∴CD∥b，
∴∠α=∠ACD，∠β=∠BCD，
∴∠α+∠β=∠ACD+∠BCD=90°；
②∵∠α=180°-x°-30°，∠β=y°，∠α+∠β=90°，
∴180°-x°-30°+y°=90°，
∴x-y=60，①
∵，
∴x+y=200，②
①+②得：2x=260，解得：x=130，
②-①得：2y=140，解得：y=70．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平方差公式，二元一次方程组，解题的关键是添加辅助线得到∠α+∠β=90°，再进行等量代换得到x和y的关系．
28．已知，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，．
（1）若三角板如图1摆放时，则______，______．
（2）现固定的位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于点G，作和的角平分线交于点H，求的度数；
（3）现固定，将绕点A顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的度数．
【答案】（1）15°；150°；（2）67.5°；（3）30°或90°或120°
【分析】（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（3）分当BC∥DE时，当BC∥EF时，当BC∥DF时，三种情况进行解答即可．
【解析】解：（1）作EI∥PQ，如图，
∵PQ∥MN，
则PQ∥EI∥MN，
∴∠α=∠DEI，∠IEA=∠BAC，
∴∠DEA=∠α+∠BAC，
∴α= DEA -∠BAC=60°-45°=15°，
∵E、C、A三点共线，
∴∠β=180°-∠DFE=180°-30°=150°；
故答案为：15°；150°；
（2）∵PQ∥MN，
∴∠GEF=∠CAB=45°，
∴∠FGQ=45°+30°=75°，
∵GH，FH分别平分∠FGQ和∠GFA，
∴∠FGH=37.5°，∠GFH=75°，
∴∠FHG=180°-37.5°-75°=67.5°；
（3）当BC∥DE时，如图1，
∵∠D=∠C=90，
∴AC∥DF，
∴∠CAE=∠DFE=30°，
∴∠BAM+∠BAC=∠MAE+∠CAE，
∠BAM=∠MAE+∠CAE-∠BAC=45°+30°-45°=30°；
当BC∥EF时，如图2，
此时∠BAE=∠ABC=45°，
∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°；
当BC∥DF时，如图3，
此时，AC∥DE，∠CAN=∠DEG=15°，
∴∠BAM=∠MAN-∠CAN-∠BAC=180°-15°-45°=120°．
综上所述，∠BAM的度数为30°或90°或120°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．
四、情景探究问题
29．综合与探究【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
（1）如图1，EF∥MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；
【问题迁移】
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动．
①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．
【答案】（1）∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；（2）①，见解析；②或
【分析】（1）作PC∥EF，如图1，由PC∥EF，EF∥MN得到PC∥MN，根据平行线的性质得∠PAF＋∠APC＝180°，∠PBN＋∠CPB＝180°，即有∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；
（2）①过P作PE∥AD交ON于E，根据平行线的性质，可得到，，于是；
②分两种情况：当P在OB之间时；当P在OA的延长线上时，仿照①的方法即可解答．
【解析】解：（1）∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°，理由如下：
作PC∥EF，如图1，
∵PC∥EF，EF∥MN，
∴PC∥MN，
∴∠PAF＋∠APC＝180°，∠PBN＋∠CPB＝180°，
∴∠PAF＋∠APC+∠PBN＋∠CPB＝360°,
∴∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；
（2）①，
理由如下：如答图，过P作PE∥AD交ON于E，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴，，
∴
②当P在OB之间时，，理由如下：
如备用图1，过P作PE∥AD交ON于E，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴，，
∴；
当P在OA的延长线上时，，理由如下：
如备用图2，过P作PE∥AD交ON于E，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴，，
∴；
综上所述，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系是或.
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．难点是分类讨论作平行辅助线．
30．问题情境
（1）如图1，已知，求的度数．佩佩同学的思路：过点作，进而，由平行线的性质来求，求得 ；
问题迁移
（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合与相交于点，有一动点在边上运动，连接，记．
①如图2，当点在两点之间运动时，请直接写出与之间的数量关系；
②如图3，当点在两点之间运动时，与之间有何数量关系？请判断并说明理由．
【答案】（1）80；（2）①；②
【分析】（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，由平行线的性质可得∠BPC的度数；
（2）①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②过P作PQ∥DF，依据平行线的性质可得∠β=∠QPA，∠α=∠QPE，即可得到∠APE=∠APQ-∠EPQ=∠β-∠α．
【解析】解：（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，
由平行线的性质可得∠B+∠BPG=180°，∠C+∠CPG=180°，
又∵∠PBA=125°，∠PCD=155°，
∴∠BPC=360°-125°-155°=80°，
故答案为：80；
（2）①如图2，
过点P作FD的平行线PQ，
则DF∥PQ∥AC，
∴∠α=∠EPQ，∠β=∠APQ，
∴∠APE=∠EPQ+∠APQ=∠α+∠β，
∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE=∠α+∠β；
②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE=∠β-∠α；理由：
过P作PQ∥DF，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β=∠QPA，∠α=∠QPE，
∴∠APE=∠APQ-∠EPQ=∠β-∠α．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论．
31．[阅读•领会]
如图①，为了判断两直线的位置关系．我们添加了直线c为“辅助线”．
在部分代数问题中，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．
【实践•体悟】
（1）计算，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．
（2）若关于x、y的方程组的解是的解是，则关于x、y的方程组的解为 ．
【创造•突破】
（3）已知直线ABCD．如图2，请写出∠ABE、∠E、∠CDE的数量关系，并添加适当的辅助线说明理由．
（4）已知直线ABCD．如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，若∠F＝m°，则∠E= ．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）∠ABE=∠CDE+∠E，理由见解析；（4）4m°
【分析】（1）设，将式子进行变形，即可求解；
（2）把代入方程组得到不含x，y的方程组，通过与方程组比较便可得到答案；
（3）延长AB，交DE于F，利用平行线的性质和三角形的外角性质可得出结论；
（4）延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠E=∠ABE-∠AGE=∠ABE-∠CDE；依据∠CHB是△DFH的外角，即可得到∠F=∠CHB-∠FDH=∠ABE-∠CDE=（∠ABE-∠CDE），进而得出∠E =4∠F，从而求解．
【解析】解：（1）设，
∴原式=
=
=；
（2）把代入方程组得：，
与方程组比较得：，
∴方程组的解为：；
（3）延长AB，交DE于F，
∵AB∥CD，
∴∠BFE=∠CDE，
∵∠ABE=∠BFE+∠E，
∴∠ABE=∠CDE+∠E；
（4）如图，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，
∴∠CDG=∠AGE，
∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E=∠ABE-∠AGE=∠ABE-∠CDE，①
∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，
∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F=∠CHB-∠FDH=∠ABE-∠CDE=（∠ABE-∠CDE），②
由①代入②，可得∠E=4∠F=4m°．
【点睛】本题考查了整式的混合运算、方程组的求解、平行线的性质，三角形外角的性质等知识点，理解“辅助线”和“辅助元”并运用辅助元素是解决本题的关键．
32．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC＋∠B＋∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程
解：过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝
又∵∠EAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°
解题反思：
从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B＋∠BCD＋∠D的度数．（提示：过点C作CF∥AB）
深化拓展：
（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．
【答案】（1）∠DAC；（2）360°；（3）65°
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．
【解析】解：（1）过点A作ED∥BC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DCA，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°．
故答案为：∠DAC；
（2）过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D=∠FCD，
∵CF∥AB，
∴∠B=∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，
∴∠B+∠BCD+∠D=360°；
（3）如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，
∴∠ABE=∠ABC=30°，∠CDE=∠ADC=35°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．
33．已知，如图①，∠BAD=50°，点C为射线AD上一点（不与A重合），连接BC．
（1）[问题提出]如图②，AB∥CE，∠BCD=73 °，则：∠B= ．
（2）[类比探究]在图①中，探究∠BAD、∠B和∠BCD之间有怎样的数量关系？并用平行线的性质说明理由．
（3）[拓展延伸]如图③，在射线BC上取一点O，过O点作直线MN使MN∥AD，BE平分∠ABC交AD于E点，OF平分∠BON交AD于F点，交AD于G点，当C点沿着射线AD方向运动时，∠FOG的度数是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值．
【答案】（1）；（2），见解析；（3）不变，
【分析】（1）根据平行线的性质求出，再求出的度数，利用内错角相等可求出角的度数；
（2）过点作∥，类似（1）利用平行线的性质，得出三个角的关系；
（3）运用（2）的结论和平行线的性质、角平分线的性质，可求出的度数，可得结论．
【解析】（1）因为∥，
所以，
因为∠BCD=73 °，
所以，
故答案为：
（2），
如图②，过点作∥，
则，．
因为，
所以，
（3）不变，
设，
因为平分，
所以．
由（2）的结论可知，且，
则：．
因为∥，
所以，
因为平分，
所以．
因为∥，
所以，
所以．
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的性质证明角相等，通过等量代换等方法得出角之间的关系．
五、传统解答证明题
34．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E、F点，．
（1）将直角如图1位置摆放，如果，则______；
（2）将直角如图2位置摆放，N为AC上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由．
（3）将直角如图3位置摆放，若，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究，与的数量关系，请直接写出结论．
【答案】（1）136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由见解析；（3）当点P在GF上时，∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；当点P在线段GF的延长线上时，140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
【分析】（1）如图1，作CP∥a，则CP∥a∥b，根据平行线的性质可得∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可求得答案；
（2）如图2，作CP∥a，则CP∥a∥b，根据平行线的性质可得∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，然后结合已知条件可得∠BCP＝∠NEF，然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可得到结论；
（3）分两种情况，如图3，当点P在GF上时，过点P作PN∥OG，则NP∥OG∥EF，根据平行线的性质可推出∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，进一步可得结论；如图4，当点P在线段GF的延长线上时，同上面方法利用平行线的性质解答即可．
【解析】解：（1）如图1，作CP∥a，
∵，
∴CP∥a∥b，
∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，
∵∠AOG＝46°，
∴∠CEF＝136°，
故答案为136°；
（2）∠AOG+∠NEF＝90°．
理由如下：如图2，作CP∥a，
则CP∥a∥b，
∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，
而∠NEF+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+∠NEF＝90°；
（3）如图3，当点P在GF上时，过点P作PN∥OG，
∴NP∥OG∥EF，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，
∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；
如图4，当点P在线段GF的延长线上时，过点P作PN∥OG，
∴NP∥OG∥EF，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，
∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行公理的推论等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、灵活应用平行线的判定和性质是解题的关键．
35．如图1，已知，，点在上，点，在上，点在，之间，连接，，，．
(1)求证：；
(2)如图2，平分交于，，平分，，
①若，时，求的度数；
②如图3，平分，，交于点，若，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)①；②．
【分析】（1）根据平行线的性质得出，结合题意即可得出，从而证明；
（2）①如图，过点H作，即得出．由，可设，则．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程，解出x，从而可求出答案；
②如图，过点M作．由题意可设，则．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程组，解出，最后作比求值即可．
【解析】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）①解：如图，过点H作．
∴．
由题意可知：，
故可设，则．
∵，
∴，，．
∵平分，平分，
∴，，
∴，．
由（1）可知，
∴，
∴，
解得：．
∴，．
∵，
∴，
∴；
②解：如图，过点M作．
由题意可设，则．
∵，平分
∴，．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
由（1）可知，
∴，
∴．
即，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题的关键．
36．已知，，、分别为直线、上的点，为平面内任意一点，连接、．
(1)如图（1），请直接写出、与之间的数量关系．
(2)如图（2），过点作、交直线上的点、，点在上，过作，求证：．
(3)如图（3），在（2）的条件下，若，，求的度数．
【答案】(1);
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）如图，过E作，根据平行公理得，根据平行线的性质得
，，对角进行加减运算即可求；
（2）根据垂直和周角的概念可得，根据平行线的性质得
，根据邻补角得，然后等量代换即可求得结果；
（3）结合已知求得由（1）可知，，结合已知和邻
补角得，由（2）的结论得求出
，最后根据三角形内角和求出依据，利
用平行线的性质即可求解．
【解析】（1）如图，过E作，
，
，
，
，
，
即；
（2）证明：、，
，
，
，
，
，
，
；
（3），
由（1）可知，，
，
，，
，
由（2）可知，
，
解得：，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质的综合应用，垂直和邻补角的概念；解题的关键是依据平行线的性质找到角之间的数量关系．