沪教版七年级数学下册满分冲刺卷专题04相交线平行线(难点)(原卷版+解析)

这是一份沪教版七年级数学下册满分冲刺卷专题04相交线平行线(难点)(原卷版+解析)，共51页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（ ）.
A．同位角B．同旁内角C．内错角D．同位角或内错角
2．一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，，，则为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知直线，被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线，，上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
4．平面内三条直线的交点个数可能有〔 〕
A．1个或3个B．2个或3个
C．1个或2个或3个D．0个或1个或2个或3
5．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（ ）
A．第一次右拐，第二次左拐B．第一次左拐，第二次右拐
C．第一次左拐，第二次左拐D．第一次右拐，第二次右拐
6．如图，已知AB∥CD，，．则与之间满足的数量关系是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，，，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，则与的数量关系是( )
A．B．
C．D．
10．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠E＋∠EAG＋∠HCK＝180°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题
11．如图，已知∠1=72°，∠4=110°，∠3=70°，则∠2=____________．
12．如图，，与相交于点，且，，若，则______．
13．如图所示，l1∥l2∥l3，l1、l2间的距离为3, l2、l3间的距离为6,等边△ABC三个顶点均在l1、l2、l3上，则△ABC的边长为________
14．如图，，一副三角板（其中，，）按如图所示的位置摆放．若，则的度数为__________（用含的代数式表示）．
15．如图，直线相交于点O．已知把分成两个角，且，将射线绕点O逆时针旋转到，若时，的度数是___________．
16．如图，已知，，，则________度．
17．沈阳市政府拟定在中央公园建设大型灯光秀，在某平行湖道两岸所在直线、安装探照灯，若灯P发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯Q发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯P光束转动的速度是10度/秒，灯Q光束转动的速度是4度/秒，在两灯同时开启后的35秒内，开启______秒时，两灯的光束互相垂直．
18．如图，已知直线，点，分别在直线，上，点为，之间一点，且点在的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点……以此类推，若，则的值是______．
三、解答题
19．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，、、都在格点上．
(1)利用网格作图：
①过点画直线的平行线；
②过点画直线的垂线，垂足为点；
(2)线段的长度是点________到直线________的距离；
(3)比较大小：________（填>、<或=），理由：________．
20．如图，已知，，，试判定 与 的位置关系，并说明理由．
解：．
理由：∵（已知）
∴
∵（已知）
∴______ （同位角相等，两直线平行）
∴______（______）
∵（已知）
∴______ （等量代换）
∴DEBF（______）
∴（______）
∴（垂直的定义）
(1)请补全上面说理过程；
(2)若，求出的度数，并说明理由；
(3)直接写出和的关系______．
21．（1）如图（1），当、、满足条件______时，有ABCD，并说明理由．
（2）如图（2），当ABCD时，，，的关系是______．
22．已知，点为平面内的一点，．
(1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系．
解： ．（根据如图填射线的画法）
因为，
所以 （ ）．
所以（两直线平行，内错角相等）；
（请继续完成接下去的说理过程）
(2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是 （直接写出答案）；
(3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是 ， 度．
23．如图，AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，且满足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD．在探究∠EPF与∠EQF之间的数量关系时，我们需要对点P的位置进行分类讨论：
（1）如图1，当P点在EF的右侧时，若∠EPF＝110°，则∠EQF＝ ；猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，请直接写出结果；
（2）如图2，当P点在EF的左侧时，探究∠EPF与∠EQF的数量关系，请说明理由；
（3）若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；…以此类推，则∠EPF与∠EQ2021F满足怎样的数量关系？
24．已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图（2），点E在AB，CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过P点作PH∥EQ交CD于点H，连接PQ，若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度数．
25．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且．
（1）填空：_________；
（2）①若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒，则_________， ________；（用含t的式子表示）
②在①的条件下，若，则________秒．
（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点C，过C作交于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
26．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E、F点，．
（1）将直角如图1位置摆放，如果，则______；
（2）将直角如图2位置摆放，N为AC上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由．
（3）将直角如图3位置摆放，若，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究，与的数量关系，请直接写出结论．
27．已知：直线l分别交AB、CD与E、F两点，且AB∥CD．
（1） 说明：∠1=∠2；
（2） 如图2，点M、N在AB、CD之间，且在直线l左侧，若∠EMN+∠FNM=260°，
①求：∠AEM+∠CFN的度数；
②如图3，若EP平分∠AEM，FP平分∠CFN，求∠P的度数；
（3） 如图4，∠2=80°，点G在射线EB上，点H在AB上方的直线l上，点Q是平面内一点，连接QG、QH，若∠AGQ=18°，∠FHQ=24°，直接写出∠GQH的度数．

28．已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．
（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．
29．直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．
(1)如图①，探究∠AME，∠MEN，∠ENC的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度数；
（3）如图③，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，直接写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系(用含m的式子表示)．
30．综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
(1)如图1，，点A，B分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点且，，求度数；
问题迁移
(2)如图2，射线与射线交于点O，直线 ，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动．
①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．
专题04 相交线 平行线（难点）
一、单选题
1．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（ ）.
A．同位角B．同旁内角C．内错角D．同位角或内错角
【答案】D
【分析】根据题意，画出图形，不难看出，同位角和内错角的角平分线互相平行．
【解析】如图所示：
，
可得角平分线互相平行的是同位角和内错角．
故选D．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，结合了角平分线的性质，画出图形，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
2．一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，，，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用三角板的特点结合根据平行线的性质，计算得，，利用邻补角互补可求得，在中可得到
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
在中，，，
∴，
故选：C
【点睛】本题考查了根据平行线的性质求角的度数、利用邻补角互补求角度及直角三角板的特点，熟练掌握平行线的性质和利用邻补角互补求角度是解决问题的关键
3．如图，已知直线，被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线，，上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算求解即可．
【解析】解：（1）如图1，由，可得，
∵，
∴．
（2）如图2，过作平行线，则由，
可得，，
∴．
当平分，平分时，
∴，即，
又∵，
∴；
（3）如图3，由，可得，
同理可得：，
∴．
（4）如图4，过E作，由，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（5）（6）当点E在的下方时，同理可得，或．
综上所述，的度数可能为，，，，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．
4．平面内三条直线的交点个数可能有〔 〕
A．1个或3个B．2个或3个
C．1个或2个或3个D．0个或1个或2个或3
【答案】D
【分析】根据三直线互相平行，可得交点个数；两直线平行与第三条指向相交，可得交点个数；三条直线相交于一点；三条直线两两相交，可得交点个数．
【解析】解：①三直线互相平行，交点个数为0；
②两直线平行与第三条指向相交，交点个数为2个；
③三条直线相交于一点，交点个数为1个；
④三条直线两两相交，交点个数为3个；
故选D．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段，注意要分类讨论，有4种可能，不要漏掉．
5．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（ ）
A．第一次右拐，第二次左拐B．第一次左拐，第二次右拐
C．第一次左拐，第二次左拐D．第一次右拐，第二次右拐
【答案】B
【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意可得两次拐弯的方向不相同，但角度相等．
【解析】解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是，
由两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进得：，
由此可知，两次拐弯的方向不相同，但角度相等，
观察四个选项可知，只有选项B符合，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
6．如图，已知AB∥CD，，．则与之间满足的数量关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作NE∥AB，MF∥AB，根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，建立与 的等式即可得到答案．
【解析】如下图所示，作NE∥AB,MF∥AB,
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MF∥EN
得，，,;
∴,
∵，，
∴，
∴，
∴,
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补．
7．如图，，，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先过点C作，过点D作，由，即可得，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得答案．
【解析】解：过点C作，过点D作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
由①②得：．
即
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解题的关键．
8．如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．
【解析】解：如图，过点H作，过点F作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵， ， ，
∴， ，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．
9．如图，则与的数量关系是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先设角，利用平行线的性质表示出待求角，再利用整体思想即可求解．
【解析】设
则
∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质，注意整体思想的运用．
10．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠E＋∠EAG＋∠HCK＝180°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，根据平行线的性质和三角形外角的性质得到∠E+∠EAG+∠HCK=180°；故③正确；根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论．
【解析】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，
∵EF∥CH，
∴∠EPQ=∠CQP，
∵∠EPQ=∠E+∠EAG，
∴∠CQG=∠E+∠EAG，
∵AD∥BC，
∴∠HCK+∠CQG=180°，
∴∠E+∠EAG+∠HCK=180°；故③正确；
∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，
∵∠FGA=∠DGH，
∴90°-2∠FGA=16°，
∴∠FGA=∠DGH=37°，
设∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题
11．如图，已知∠1=72°，∠4=110°，∠3=70°，则∠2=____________．
【答案】72°##72度
【分析】先根据平行线的判定定理得到ab，然后再利用平行线的性质即可解答．
【解析】解：∵∠4＝110°，∠3＝70°，
∴∠3+∠4＝180°，
∴ab，
∴∠2＝∠1＝72°．
故答案为：72°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握同旁内角互补两直线平行、两直线平行内错角相等是解答本题的关键．
12．如图，，与相交于点，且，，若，则______．
【答案】3
【分析】过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，，依此即可求解．
【解析】解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
13．如图所示，l1∥l2∥l3，l1、l2间的距离为3, l2、l3间的距离为6,等边△ABC三个顶点均在l1、l2、l3上，则△ABC的边长为________
【答案】
【分析】过A，C作AE，CF垂直于l2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交l2于点G，由此可得结论．
【解析】如图，过A，C作AE，CF垂直于l2，点E，F是垂足，
将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交l2于点G．
由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=6．
在Rt△BDG中，∠BGD=30°．
在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=3，AG=6，DG=12．
∴BD=
在Rt△ABD中，
故答案为：.
【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
14．如图，，一副三角板（其中，，）按如图所示的位置摆放．若，则的度数为__________（用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】根据得到，再根据即可得到答案．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等．
15．如图，直线相交于点O．已知把分成两个角，且，将射线绕点O逆时针旋转到，若时，的度数是___________．
【答案】90°或210°
【分析】OF在运动过程中由两个位置可以使∠AOF=120°，分别作出对应的图像，根据∠AOC的度数以及∠AOE与∠COE间的比例求出两角的值，进而可求出角α的度数．
【解析】解：①当OF运动到如图所示的位置时，
∵∠BOD=75°，
∴∠AOC=∠BOD=75°，
∵ ，
∴，
当时，
∴α=∠AOF-∠AOE=120°-30°=90°，
②如图所示，当OF运动到如图所示的位置时，
∵∠BOD=75°，
∴∠AOC=∠BOD=75°，
∵ ，
∴，
当时，
∴α=360°-（∠AOF＋∠AOE）=360°-150°=210°，
故答案为：90°或210°．
【点睛】本题考查对顶角，根据比例求出角的度数，以及角的和与差，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
16．如图，已知，，，则________度．
【答案】120
【分析】过E作一条直线，根据题意，得；根据平行线同旁内角互补的性质，推导得，再根据平行线内错角相等的性质计算，即可得到答案．
【解析】解：过E作一条直线，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴
又∵，
∴．
故答案为：120．
【点睛】本题考查了平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解．
17．沈阳市政府拟定在中央公园建设大型灯光秀，在某平行湖道两岸所在直线、安装探照灯，若灯P发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯Q发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯P光束转动的速度是10度/秒，灯Q光束转动的速度是4度/秒，在两灯同时开启后的35秒内，开启______秒时，两灯的光束互相垂直．
【答案】或或
【分析】设开启秒后，两灯的光束互相垂直，分，时，灯光返回，第一次与垂直和时，灯光返回，第二次与垂直，三种情况讨论求解即可．
【解析】解：灯P照射一次，需要秒，灯Q照射一次，需要秒，设开启秒后，两灯的光束互相垂直；
①当时，两灯光垂直于点，过作，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
解得：；
②当时，灯光返回，第一次与垂直，过作，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
解得：；
③当时，灯光返回，第二次与垂直，过作，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
解得：；
综上：开启秒或秒或秒时，两灯的光束互相垂直．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质的应用．通过添加辅助线，构造平行线，利用平行线的性质，进行求解，是解题的关键．注意分类讨论．
18．如图，已知直线，点，分别在直线，上，点为，之间一点，且点在的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点……以此类推，若，则的值是______．
【答案】4
【分析】作EF//AB则AB//CD//EF，根据平行线的性质得出∠MEN=∠BME+∠DME=128°，同理∠ME1N=(∠BME+∠DME) =64°，∠ME2N=(∠BME1+∠DME1) =32°，可归纳规律∠MEnN=(∠BMEn-1+∠DMEn-1) =，依此建立方程=8°求解即可解答．
【解析】解：如图：作EF//AB
∵AB//CD
∴AB//CD//EF
∴∠FEM=∠BME, ∠FEN=∠DNE,
∴∠MEN=∠BME+∠DME=∠FEM +∠FEN =∠MEN= 128°
同理：ME1N=(∠BME+∠DME) =64°，
∠ME2N=(∠BME1+∠DME1) =32°
…
∠MEnN=(∠BMEn-1+∠DMEn-1) =
由题意得：=8°，解得n=4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了平行线的性质、探索图形规律、角平分线的定义等知识点，正确的识别图形、归纳图形规律是解答本题的关键．
三、解答题
19．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，、、都在格点上．
(1)利用网格作图：
①过点画直线的平行线；
②过点画直线的垂线，垂足为点；
(2)线段的长度是点________到直线________的距离；
(3)比较大小：________（填>、<或=），理由：________．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
(3)，垂线段最短
【分析】（1）①在A的右侧取格点D，满足，再画直线即可，②如图，取格点，再画直线交于即可．
（2）根据点到直线的距离的定义判断即可．
（3）根据垂线段最短，解决问题即可．
【解析】（1）解：①如图，直线即为所求作．
②如图，直线即为所求作．
（2）线段的长度是点C到直线的距离，
（3）．
理由：垂线段最短．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．如图，已知，，，试判定 与 的位置关系，并说明理由．
解：．
理由：∵（已知）
∴
∵（已知）
∴______ （同位角相等，两直线平行）
∴______（______）
∵（已知）
∴______ （等量代换）
∴DEBF（______）
∴（______）
∴（垂直的定义）
(1)请补全上面说理过程；
(2)若，求出的度数，并说明理由；
(3)直接写出和的关系______．
【答案】(1) ； ；两直线平行，内错角相等；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质和判定即可求出答案；
（2）利用平行线的性质即可求解；
（3）在平行线的性质基础上，利用角的和差关系即可求解．
（1）
解：根据题意，利用平行线的性质和判断得，
∵（已知）
∴
∵（已知）
∴FGBC（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴DEBF（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∴（垂直的定义）
故答案是： ； ；两直线平行，内错角相等；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
（2）
解：有（1）的结论得，
∵DEBF， ， ，
∴ ，
∵
∴，
∴ ．
故答案是：．
（3）
解：∵DEBF ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查利用平行线的性质和判定来确定线与角的关系，理解和掌握平行线的判定方法，以及平行线的性质是解题的关键．
21．（1）如图（1），当、、满足条件______时，有ABCD，并说明理由．
（2）如图（2），当ABCD时，，，的关系是______．
【答案】（1）∠AEC=∠A+∠C；理由见解析；（2）∠1+∠2-∠AEC=180°．
【分析】（1）如图，过点E作EFAB，根据平行线的判定和性质证明即可；
（2）如图，过点E作EFAB，根据平行线的判定和性质证明即可．
【解析】解：（1）当∠A、∠C、∠AEC满足条件∠AEC=∠A+∠C时，有ABCD．
理由如下：
过点E作EFAB，如图：
∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC=∠A+∠C，∠AEC=∠1+∠2，
∴∠2=∠C，
∴EFCD（内错角相等，两直线平行），
∵EFAB，
∴ABCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；
故答案为：∠AEC=∠A+∠C；
（2）当ABCD时，∠1，∠2，∠AEC的关系是∠1+∠2-∠AEC=180°，
理由如下：
过点E作EFAB，如图：
∴∠3+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ABCD（已知），
∴EFCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠FEC=∠2（两直线平行，内错角相等），
即∠AEC+∠3=∠2，
∴∠3=∠2-∠AEC，
∴∠2-∠AEC+∠1=180°（等量代换），
即∠1+∠2-∠AEC=180°．
故答案为：∠1+∠2-∠AEC=180°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质．能够正确的作辅助线并熟记平行线的判定和性质是解题的关键．
22．已知，点为平面内的一点，．
(1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系．
解： ．（根据如图填射线的画法）
因为，
所以 （ ）．
所以（两直线平行，内错角相等）；
（请继续完成接下去的说理过程）
(2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是 （直接写出答案）；
(3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是 ， 度．
【答案】(1)过点作；；；；如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行；见解析
(2)
(3)，45
【分析】（1）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据角的和差、等量代换即可得出结论；
（2）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据、角的和差即可得出结论；
（3）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再结合（2）的结论可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据即可得出答案
(1)
解：如图①，过点作，
，
（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．
．
，
．
．
，
．
．
(2)
解：如图②，过点作，
．
，
．
．
，
．
．
．
故答案为：．
(3)
解：如图③，过点作，
，
，
．
，
，
．
．
，
由（2）已得：，
；
平分，
．
平分，
．
，
故答案为：，45．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
23．如图，AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，且满足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD．在探究∠EPF与∠EQF之间的数量关系时，我们需要对点P的位置进行分类讨论：
（1）如图1，当P点在EF的右侧时，若∠EPF＝110°，则∠EQF＝ ；猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，请直接写出结果；
（2）如图2，当P点在EF的左侧时，探究∠EPF与∠EQF的数量关系，请说明理由；
（3）若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；…以此类推，则∠EPF与∠EQ2021F满足怎样的数量关系？
【答案】（1）55°；∠EPF＝2∠EQF；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°，理由见解析；（3）∠EPF+22022•∠EQ2021F＝360°或∠EPF＝22022∠EQ2021F
【分析】（1）过P作PM//AB，过Q作QN//AB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可解决问题；
（2）如图2，过P作PM//AB，过Q作QN//AB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可2∠EQF+∠EPF＝360°；
（3）分两种情况讨论，根据（1）中的解题方法得∠Q1＝ （∠BEP+∠DFP），∠Q2＝（∠BEP+∠DFP），∠（α+β）…由此得出规律∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP），再由（2）的结论2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝∠EQF，便可计算出∠EPF+2n+1•∠EQnF的结果，从而得出结论．
【解析】解：（1）过P作PM//AB，过Q作QN//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，
∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF＝110°，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝×110°＝55°；
猜想：∠EPF与∠EQF的数量关系为∠EPF＝2∠EQF．理由如下：
∵AB//CD，
∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，
∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴2（∠BEQ+∠DFQ）＝∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
即∠EPF＝2∠EQF；
故答案为：55°；
（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由如下：
如图2，过P作PM//AB，过Q作QN//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，
∴∠BEP+∠MPE＝180°，∠DFP+∠MPF＝180°，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP+∠MPE+∠MPF＝360°，即∠BEP+∠DFP+∠EPF＝360°，∠EQF∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，即∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，
∴2∠EQF+∠EPF＝360°；
（3）当点P在EF的左侧，
根据（1）的方法可得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，
∠Q2＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，
…
则∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP）＝（）n∠EQF，
∵2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，
∴∠EPF+2n+1•∠EQnF＝360°．
当点P在EF的右侧，同理可求∠EPF＝2n+1∠EQnF．
综上，∠EPF+22022•∠EQ2021F＝360°或∠EPF＝22022∠EQ2021F．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
24．已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图（2），点E在AB，CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过P点作PH∥EQ交CD于点H，连接PQ，若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°
【分析】（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH∥AB．理由平行线的性质即可证明；
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，想办法构建方程即可解决问题；
【解析】（1）如图1中，
∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD．
（2）结论：如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
理由：作EH∥AB．
∵AB∥CD，EH∥AB，
∴EH∥CD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4，
∴∠PEQ＝∠1+∠4，
同法可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD，
∵∠BPE＝2∠BPF，∠EQD＝2∠FQD，∠1+∠BPE＝180°，∠4+∠EQD＝180°，
∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE＝2×180°，
即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°，
∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，
∵EQ∥PH，
∴∠EQC＝∠PHQ＝x，
∴x+10y＝180°，
∵AB∥CD，
∴∠BPH＝∠PHQ＝x，
∵PF平分∠BPE，
∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH，
∴∠FPH＝y+z﹣x，
∵PQ平分∠EPH，
∴Z＝y+y+z﹣x，
∴x＝2y，
∴12y＝180°，
∴y＝15°，
∴x＝30°，
∴∠PHQ＝30°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识．（2）中能正确作出辅助线是解题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键．
25．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且．
（1）填空：_________；
（2）①若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒，则_________， ________；（用含t的式子表示）
②在①的条件下，若，则________秒．
（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点C，过C作交于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【答案】（1）60°；（2）①，；②30；（3）不变，
【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）①根据题意可得；
②设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，当0＜t＜90时，根据2t=1•（30+t），可得 t值；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC=2t-120°，∠BCD=120°-∠BCD=t-60°，即可得出∠BAC：∠BCD=2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【解析】解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，
∴∠BAN=180°×=60°，
故答案为：60°；
（2）①由题意可得：，，
故答案为：，；
②设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
当0＜t＜90时，如图，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD=∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM=∠BDA，
∴∠CAM=∠PBD，
∴2t=1•（30+t），
解得 t=30；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN=180°-2t，
∴∠BAC=60°-（180°-2t）=2t-120°，
又∵∠ABC=120°-t，
∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-t，而∠ACD=120°，
∴∠BCD=120°-∠BCA=120°-（180°-t）=t-60°，
∴∠BAC：∠BCD=2：1，
即∠BAC=2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
26．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E、F点，．
（1）将直角如图1位置摆放，如果，则______；
（2）将直角如图2位置摆放，N为AC上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由．
（3）将直角如图3位置摆放，若，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究，与的数量关系，请直接写出结论．
【答案】（1）136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由见解析；（3）当点P在GF上时，∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；当点P在线段GF的延长线上时，140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
【分析】（1）如图1，作CP∥a，则CP∥a∥b，根据平行线的性质可得∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可求得答案；
（2）如图2，作CP∥a，则CP∥a∥b，根据平行线的性质可得∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，然后结合已知条件可得∠BCP＝∠NEF，然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可得到结论；
（3）分两种情况，如图3，当点P在GF上时，过点P作PN∥OG，则NP∥OG∥EF，根据平行线的性质可推出∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，进一步可得结论；如图4，当点P在线段GF的延长线上时，同上面方法利用平行线的性质解答即可．
【解析】解：（1）如图1，作CP∥a，
∵，
∴CP∥a∥b，
∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，
∵∠AOG＝46°，
∴∠CEF＝136°，
故答案为136°；
（2）∠AOG+∠NEF＝90°．
理由如下：如图2，作CP∥a，
则CP∥a∥b，
∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，
而∠NEF+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+∠NEF＝90°；
（3）如图3，当点P在GF上时，过点P作PN∥OG，
∴NP∥OG∥EF，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，
∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；
如图4，当点P在线段GF的延长线上时，过点P作PN∥OG，
∴NP∥OG∥EF，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，
∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行公理的推论等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、灵活应用平行线的判定和性质是解题的关键．
27．已知：直线l分别交AB、CD与E、F两点，且AB∥CD．
（1） 说明：∠1=∠2；
（2） 如图2，点M、N在AB、CD之间，且在直线l左侧，若∠EMN+∠FNM=260°，
①求：∠AEM+∠CFN的度数；
②如图3，若EP平分∠AEM，FP平分∠CFN，求∠P的度数；
（3） 如图4，∠2=80°，点G在射线EB上，点H在AB上方的直线l上，点Q是平面内一点，连接QG、QH，若∠AGQ=18°，∠FHQ=24°，直接写出∠GQH的度数．

【答案】（1）理由见解析；（2）①80°，②40°；（3）38°、74°、86°、122°．
【分析】（1）根据平行线的性质及对顶角的性质即可得证；
（2）①过拐点作AB的平行线，根据平行线的性质推理即可得到答案；
②过点P作AB的平行线，根据平行线的性质及角平分线的定义求得角的度数；
（3）分情况讨论，画出图形，根据三角形的内角和与外角的性质分别求出答案即可．
【解析】（1）
，
；
（2）①分别过点M，N作直线GH，IJ与AB平行，则，如图：
，，，
；
②过点P作AB的平行线，
根据平行线的性质可得：，，
∵EP平分∠AEM，FP平分∠CFN，
∴，
即；
（3）分四种情况进行讨论：
由已知条件可得，
①如图：

②如图：
，
；
③如图：
，
；
④如图：
，
；
综上所述，∠GQH的度数为38°、74°、86°、122°．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质等内容，解题的关键是掌握辅助线的作法以及分类讨论的思想．
28．已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．
（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．
【答案】（1）∠BPC＝65°；（2）∠BPC＝155°；（3）∠BPC＝155°
【分析】（1）如图1，过点P作PE∥MN，根据题意结合平行线的性质和角平分线的性质可以得出：∠BPE=∠DBP=40°，，据此进一步求解即可；
（2）如图2，过点P作PE∥MN，根据平角可得∠DBA=100°，再由角平分线和平行线的性质得∠BPE＝130°，，据此进一步求解即可；
（3）如图3，过点P作PE∥MN，根据角平分线性质得出∠DBP＝∠PBA=40°，由此得出∠BPE=∠DBP=40°，然后根据题意得出，由此再利用平行线性质得出∠CPE度数，据此进一步求解即可.
【解析】（1）如图1，过点P作PE∥MN．
∵PB平分∠DBA，
∴∠DBP=∠PBA=40°，
∵PE∥MN，
∴∠BPE=∠DBP=40°，
同理可证：，
∴∠BPC＝40°+25°＝65°；
（2）如图2，过点P作PE∥MN．
∵∠MBA＝80°．
∴∠DBA＝180°−80°＝100°．
∵BP平分∠DBA．
∴，
∵MN∥PE，
∴∠BPE＝180°−∠DBP＝130°，
∵PC平分∠DCA．
∴，
∵MN∥PE，MN∥GH，
∴PE∥GH，
∴∠EPC=∠PCA=25°，
∴∠BPC＝130°+25°＝155°；
（3）如图3，过点P作PE∥MN．
∵BP平分∠DBA．
∴∠DBP＝∠PBA=40°，
∵PE∥MN，
∴∠BPE=∠DBP=40°，
∵CP平分∠DCA，∠DCA＝180°−∠DCG＝130°，
∴，
∵PE∥MN，MN∥GH，
∴PE∥GH，
∴∠CPE＝180°−∠PCA＝115°，
∴∠BPC＝40°+115°＝155°．
【点睛】本题主要考查了平行线性质与角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关概念，适当添加辅助线是解题关键.
29．直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．
(1)如图①，探究∠AME，∠MEN，∠ENC的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度数；
（3）如图③，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，直接写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系(用含m的式子表示)．
【答案】（1）∠MEN=∠AME+∠ENC，见解析；（2）∠FEQ=15°；（3）∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．
【分析】（1）过点E作l∥AB，利用平行线的性质可得∠1=∠BME，∠2=∠DNE，由∠MEN=∠1+∠2，等量代换可得结论；
（2）利用角平分线的性质可得∠NEF=∠MEN，∠ENP=∠END，由EQ∥NP，可得∠QEN=∠ENP=∠ENC，由（1）的结论可得∠MEN=∠AME+∠ENC，等量代换得出结论；
（3）由已知可得∠EMN=∠BMN，∠GEN=∠GEK，由EH∥MN，可得∠HEM=∠ENM=
∠AMN，因为∠GEH=∠GEM-∠HEM，等量代换得出结论．
【解析】解：(1)过点E作l∥AB，
∵AB∥CD，∴l∥AB∥CD
∴∠1=∠AME，∠2=∠CNE．
∵∠MEN=∠1+∠2，
∴∠MEN=∠AME+∠ENC；
（2）∵EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，
∴∠NEF=∠MEN，∠ENP=∠ENC．
∵EQ∥NP，∴∠QEN=∠ENP=∠ENC．
由（1）可得∠MEN=∠AME+∠ENC，∴∠MEN-∠ENC=∠AME=30°．
∴∠FEQ=∠NEF-∠NEQ=（∠MEN-∠ENC）=×30°=15°；
(3)∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．理由如下：
∵∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，
∴∠EMN=∠AMN，∠GEM=∠GEK．
∵EH∥MN，∴∠HEM=∠EMN=∠AMN．
∵∠GEH=∠GEM-∠HEM=∠GEK-∠AMN，
∴m∠GEH=∠GEK-∠AMN．
∵∠BMN+∠AMN=180°，
∴∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理以及角平分线的定义等知识点，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键．
30．综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
(1)如图1，，点A，B分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点且，，求度数；
问题迁移
(2)如图2，射线与射线交于点O，直线 ，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动．
①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．
【答案】(1)110°
(2)①，理由见解析；②或
【分析】（1）过P作，由，得，，即得，把，，代入即可求出；
（2）①过P作交于E，由，得，，故；
②分两种情况：当P在延长线时，此时；当P在之间时，此时．
【解析】（1）解： 过P作，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴；
（2）解：①，理由如下：
过P作交于E，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴ ；
②当P在延长线时，过P作交的延长线于E，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴，
此时；
当P在之间时，过P作交的延长线于E，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴，
此时．
【点睛】本题考查平行线的性质及其运用，解题的关键是作平行线，构造内错角、同旁内角转化角．