2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示（6类必考点）

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专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc26002" 【考点1：空间直角坐标系】  PAGEREF _Toc26002 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc4783" 【考点2：空间向量运算的坐标表示】  PAGEREF _Toc4783 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc1504" 【考点3：空间向量垂直的坐标表示】  PAGEREF _Toc1504 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc28116" 【考点4：空间向量平行（共线）的坐标表示】 6 HYPERLINK \l "_Toc731" 【考点5：空间向量长度的坐标表示】  PAGEREF _Toc731 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc5526" 【考点6：空间向量夹角的坐标表示】  PAGEREF _Toc5526 \h 12【考点1：空间直角坐标系】【知识点：空间直角坐标系】1．（河南省驻马店市2023年高二下学期期末数学试题）空间直角坐标系中，点(2,3,3)到坐标平面xOy的距离为（    ）A．2 B．3 C．3 D．4【答案】C【分析】由空间直角坐标系中点的坐标的定义即可求解.【详解】空间直角坐标系中，点(2,3,3)到坐标平面xOy的距离即为竖坐标3.故选：C2．（2022秋·高二课时练习）点P(a,b,c)到坐标z轴的距离是（　　）A．a2+b2 B．c C．|c| D．a+b【答案】A【分析】先求出点P(a,b,c)在z轴上的投影点的坐标，再根据空间两点间的距离公式可求出结果.【详解】点P(a,b,c)在z轴上的投影点的坐标是P′(0,0,c)，所以|PP′|=(a−0)2+(b−0)2+(c−c)2=a2+b2.故选：A.3．（2022秋·高二课时练习）在空间直角坐标系O−xyz中，点P(1,2,3)与Q(−1,−2,−3)两点的位置关系是（　　）A．关于y轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．关于xOz平面对称【答案】C【分析】根据空间点的坐标的概念逐项分析可得答案.【详解】关于y轴对称的两个点的纵坐标相等，故A不正确；关于yOz平面对称的两个点的横坐标相反，纵坐标、竖坐标都相等，故B不正确；关于坐标原点对称的两个点的横坐标、纵坐标、竖坐标都是相反数，故C正确；关于xOz平面对称的两个点的纵坐标相反，横坐标、竖坐标相等，故D不正确.故选：C4．（2022秋·高二课时练习）已知点A(1,2,2),B(1,−3,1)，点C在yOz平面上，且点C到点A,B的距离相等，则点C的坐标可以为（　　 ）A．(0,1,−1) B．(0,−1,−6)C．(0,1,−6) D．(0,1,6)【答案】C【分析】根据空间两点间的距离公式可求出结果.【详解】设点C的坐标为(0,y,z)，则(0−1)2+(y−2)2+(z−2)2=(0−1)2+(y+3)2+(z−1)2,即(y−2)2+(z−2)2=(y+3)2+(z−1)2，即5y+z+1=0.经检验知.只有选项C满足.故选：C5．（2023·高二课时练习）设y为任意实数，相应的所有点P(x,1,−3)的集合图形为 .【答案】过(0,1,−3)且平行于x轴的一条直线.【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标的特点，结合题意，即可求解.【详解】由空间直角坐标系中点的坐标特点可知，由于y轴上坐标与z轴上坐标已确定，所以点P的集合为过(0,1,−3)且平行于x轴的一条直线.故答案为：过(0,1,−3)且平行于x轴的一条直线.【考点2：空间向量运算的坐标表示】【知识点：空间向量运算的坐标表示】设，.1．（2023春·安徽合肥·高二合肥市第五中学校考期末）已知a=(1,2,1)，b=(2,−4,1)，则2a+b等于（    ）A．(4,−2,0) B．(4,0,3)C．(−4,0,3) D．(4,0,−3)【答案】B【分析】根据向量坐标运算即可.【详解】2a+b=2(1,2,1)+(2,−4,1)=(4,0,3).故选：B.2．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知向量a=(1,−2,1),a+b=(−1,2,−1),则b的坐标为（    ）A．(2,−4,2) B．(−2,4,−2)C．(−2,0,−2) D．(2,1,−3)【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算求解.【详解】由题可得b=a+b−a=(−2,4,−2)，故选:B.3．（2023·全国·高二专题练习）已知向量a=2,3,−4,b=−4,−3,−2,b=12c−2a,则c=（    ）A．0,3,−6 B．0,6,−20 C．0,6,−6 D．6,6,−6【答案】B【分析】推导出c=4a+2b,利用向量坐标运算法则直接求解.【详解】∵向量a=2,3,−4,b=−4,−3,−2,b=12c−2a,∴c=4a+2b=8,12,−16+−8,−6,−4=0,6,−20.故选:B.4．（2023·浙江丽水·高二统考期末）已知点A(0,1,0)，B(2,3,2)，向量AC=−12AB，则点C的坐标为 ．【答案】−1,0,−1【分析】由向量的坐标运算计算即可.【详解】设Ca,b,c，则AC=a,b−1,c,AB=2,2,2∴−12AB=−1,−1,−1=a,b−1,c，即a=−1,b=0,c=−1，故C−1,0,−1.故答案为：−1,0,−15．（2023·江苏·高二专题练习）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A1,1,0,B−1,0,2，点C满足AC=3AB，则点C的坐标为 ．【答案】(−5,−2,6)【分析】由空间向量的坐标运算求解，【详解】设C(x,y,z)，则AB=(−2,−1,2)，AC=(x−1,y−1,z)=3AB=(−6,−3,6)，故x−1=−6y−1=−3z=6，得x=−5y=−2z=6，故答案为：(−5 ,−2,6).【考点3：空间向量垂直的坐标表示】【知识点：空间向量垂直的坐标表示】设，.1．（2023·高二课时练习）设直线l1,l2的方向向量分别为a=1,2,−2,b=−2,3,m，若l1⊥l2，则实数m等于（     ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据向量垂直与数量积的等价关系，l1⊥l2⇔a⋅b=0，计算即可.【详解】因为l1⊥l2，则其方向向量a⊥b，a⋅b=1×(−2)+2×3+(−2)m=0，解得m=2.故选:B.2．（2023春·甘肃酒泉·高二统考期末）已知空间向量m=2,1,4，n=(−1,λ,−2)，且m⊥n，则实数λ=（    ）A．-10 B．10 C．14 D．4【答案】B【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为m⊥n,所以m⋅n=0,所以(2,1,4)⋅(−1,λ,−2)=−2+λ−8=0，所以λ=10，故选：B.3．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）在空间直角坐标系中，A1,−1,3，B−2,1,4，O为坐标原点，直线AB上有一点M，且OM⊥AB，则点M的坐标为 ．【答案】47,−57,227【分析】运用空间向量求解.【详解】设Mx,y,z，AM=x−1,y+1,z−3，AB=−3,2,1，AM=λAB，则x−1=−3λy+1=2λz−3=λ，M1−3λ,2λ−1,λ+3，又OM⋅AB=0，即−3×1−3λ+22λ−1+λ+3=0，解得λ=17，故M点的坐标为47,−57,227；故答案为：47,−57,227.4．（2023春·高二单元测试）已知空间三点A(−2,0,2),B(−1,1,2)，C(−3 ,0,4)，设a=AB,b=AC.若m(a+b)+n(a−b)与2a−b垂直，求m,n满足的关系式.【答案】m=6n(m≠0)【分析】根据空间向量垂直的坐标表示可求出结果.【详解】a=AB=(1,1,0),b=AC=(−1,0,2)，a+b=(0,1,2)，a−b=(2,1,−2)，2a−b=(3,2,−2)，m(a+b)+n(a−b) =m(0,1,2)+n(2,1,−2)=(2n,m+n,2m−2n)，所以(2n,m+n,2m−2n)⋅(3,2,−2)=0，所以6n+2(m+n)−2(2m−2n)=0，即m=6n(m≠0).5．（20223·高二课时练习）设向量a=(3,5,−4)，b=(2,1,8)，计算2a+3b，3a−2b，a⋅b，并确定λ，μ满足什么关系时，λa+μb与z轴垂直．【答案】2a+3b=(12,13,16)；3a−2b=(5,13,−28)；a⋅b=−21；λ=2μ.【分析】利用空间向量的坐标运算公式计算即可求得2a+3b，3a−2b，a⋅b；根据向量垂直的坐标表示列方程可求得λ，μ的关系.【详解】解：∵a=(3,5,−4)，b=(2,1,8)，∴2a+3b=(6,10,−8)+(6,3,24)=(12,13,16)，3a−2b=(9,15,−12)−(4,2,16)=(5,13,−28)，a⋅b=3×2+5×1+(−4)×8=−21，z轴的一个单位方向向量为(0,0,1)，λa+μb=(3λ,5λ,−4λ)+(2μ,μ,8μ)=(3λ+2μ,5λ+μ,−4λ+8μ)，又λa+μb与z轴垂直，∴0⋅(3λ+2μ)+0⋅(5λ+μ)+(−4λ+8μ)=0，即λ=2μ，∴λ=2μ时，λa+μb与z轴垂直．【考点4：空间向量平行（共线）的坐标表示】【知识点：空间向量平行（共线）的坐标表示】设，.1．（2023·江苏·高二专题练习）已知m，n是实数，若点A(2,−5,−1)，B(−1,−4,−2),     C(m+3,−3,n)在同一直线上，则m+n的值为（    ）A．−10 B．−7 C．−3 D．10【答案】A【分析】根据三点共线列方程，化简求得m,n，进而求得m+n.【详解】AB=−3,1,−1,AC=m+1,2,n+1，依题意，A,B,C三点共线，所以m+1−3=21=n+1−1，解得m=−7,n=−3,m+n=−10.故选：A2．（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考期末）已知a=2,−1,3，b=−4,2,x，且a∥b，则x的值为（    ）A．34 B．55 C．6 D．－6【答案】D【分析】空间中两向量平行，其对应坐标成比例，故可求之.【详解】因为a∥b，所以2−4=−12=3x，解得x=−6.故选：D.3．（2023春·江苏徐州·高二徐州高级中学校考期中）已知A3,−2,1，B4,−5,3，则与向量AB平行的一个向量的坐标为（    ）A．1,3,2 B．−1,−3,2 C．−1,3,−2 D．−1,3,2【答案】C【分析】根据空间向量共线定理判定即可.【详解】AB=1,−3,2=−−1,3,−2,则与向量AB平行的一个向量的坐标为−1,3,−2.故选:C.4．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知空间向量a=1,2,−2，b=3,λ,μ−1，若a//b，则λ+μ=（    ）A．1 B．−1 C．2 D．−2【答案】A【分析】利用空间向量平行的坐标表示即可得解.【详解】因为a//b，a=1,2,−2，b=3,λ,μ−1，所以31=λ2=μ−1−2，解得λ=6,μ=−5，所以λ+μ=1.故选：A.5．（2023·高二课时练习）下列各组向量中不平行的是（　　）A．a=1,2,−2,b=−2,−4,4 B．c=1,0,0,d=−3,0,0 C．e=2,3,0,f=0,0,0 D．g=−2,3,5,ℎ=16,24,40 【答案】D【分析】根据向量共线平行的坐标表示判断求解即可；【详解】a=1,2,−2,b=−2,−4,4，a=−2b,所以两向量平行；c=1,0,0,d=−3,0,0，c=−3d,所以两向量平行；f=0,0,0，零向量与任何向量都平行；g=−2,3,5,ℎ=16,24,40，没有实数λ满足g=λℎ，故两向量不平行；故选：D.6．（2022秋·高二课时练习）已知向量a=−2,−3,1，b=2,0,4，c=−4,−6,2，则下列结论正确的是（　　）A． a⊥c,b⊥c B．a//b,a⊥c C． a//c,a⊥b D．以上都不对【答案】C【分析】利用向量平行和垂直的坐标运算求解.【详解】a⋅b=−2,−3,1⋅2,0,4=−4+4=0，所以a⊥b，a=−2,−3,1，c=−4,−6,2，c=2a，所以a//c，b⋅c=2,0,4⋅−4,−6,2=−8+8=0，所以b⊥c.故选：C.7．（2023·高二课时练习）已知向量a=2,−1,3，b=−4,2,x，若a⊥b，则x= ；若a∥b，则x= .【答案】 103 −6【分析】利用向量的垂直及共线坐标运算公式直接计算即可.【详解】因为a⊥b，所以a⋅b=2×(−4)+(−1)×2+3×x=0，解得x=103；因为a∥b，所以存在实数k使得a=kb，则2=−4k−1=2k3=kx，解得k=−12x=−6.故答案为：103；−6.8．（2023·全国·高三对口高考）已知四点坐标A4,2,3,B6,−1,4,C1,x,11,D−3,4,y，若AB//CD，则y= ；若AB⊥BC，则x= ．【答案】 9 −2【分析】分别求出AB,CD,BC的坐标，利用向量平行与垂直的条件，列式求解即可.【详解】AB=(2,−3,1),CD=(−4,4−x,y−11),BC=(−5,x+1,7)，若AB//CD，则CD=λAB，即(−4,4−x,y−11)=λ(2,−3,1)，得−4=2λ4−x=−3λy−11=λ，解得λ=−2x=−2y=9；若AB⊥BC，则AB⋅BC=0，即2×(−5)−3(x+1)+1×7=0，解得x=−2.故答案为：9；−2.【考点5：空间向量长度的坐标表示】【知识点：空间向量长度的坐标表示】设，.1．（甘肃省临夏回族自治州2023学年高二下学期期末数学试题）在空间直角坐标系中，若a=1,1,−3，b=1,−1,x，且a⊥b，则a+b=（    ）A．5 B．7C．11 D．13【答案】B【分析】由a⊥b，得a⋅b=0求出x，从而可求出a+b的坐标，进而可求出其模【详解】因为a=1,1,−3，b=1,−1,x，且a⊥b，所以a⋅b=1−1−3x=0，得x=0，所以b=1,−1,0，所以a+b=2,0,−3，所以a+b=22+(−3)2=7，故选：B2．（2022秋·高二单元测试）已知向量a=1,1,0,b=−1,0,2，则3a+b=（　　）A．15 B．4 C．5 D．17【答案】D【分析】根据空间向量的线性坐标运算及模长公式求解即可得答案.【详解】因为a=1,1,0,b=−1,0,2，所以3a+b=31,1,0+−1,0,2=2,3,2=22+32+22=17.故选：D.3．（2023·高二课时练习）已知三点A(−4,−1,−9),B(−10,1,−6),C(−2,−4,−3)，则（    ）A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是直角三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．三点构不成三角形【答案】C【分析】先分别求得AB，AC，BC的长，进而得到△ABC是等腰直角三角形.【详解】AB=−62+22+−32=7,AC=22+−32+62=7，BC=82+−52+32=72，则AB=AC，AB2+AC2=49+49=98=BC2所以这三点构成等腰直角三角形.故选：C4．（2023·高二单元测试）已知向量a=(1,1,x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，若c−a=2，则x＝ ；若c−a⊥2b，则x＝ ．【答案】 −1或3 1【分析】利用空间向量线性运算的坐标表示，结合向量模及垂直关系的坐标表示求解作答.【详解】因为c=(1,1,1)，a=(1,1,x)，则c−a=(0,0,1−x)，因此|c−a|=(1−x)2=2，所以x=−1或x=3；由(c−a)⊥(2b)，得(c−a)⋅(2b)=2(c−a)⋅b=2(1−x)=0，所以x=1.故答案为：−1或3；15．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知a=1,1,2，b=2，a−b=2，则a⋅b= .【答案】2【分析】根据a−b2=a2−2a⋅b+b2即可求解.【详解】因为a=1,1,2，所以a=1+1+2=2,因为a−b=2，所以a−b2=a2−2a⋅b+b2=4,即4−2a⋅b+4=4，解得a⋅b=2.故答案为:2.6．（2023·高二课时练习）已知向量a=(−3,2,5),b=(1,−3,0),c=(7,−2,1)，则：①a+b+c= ；②(a+b)⋅c= ；③|a−b+c|2= ．【答案】 (5,−3,6) −7 54【分析】根据给定条件直接利用空间向量坐标运算可求解①；求出a+b的坐标，再利用空间向量数量积计算可求解②；再利用空间向量模的坐标表示计算可求解③.【详解】①因向量a=(−3,2,5),b=(1,−3,0),c=(7,−2,1)，所以a+b+c=(5,−3,6).②因向量a=(−3,2,5),b=(1,−3,0),c=(7,−2,1)，则a+b=(−2,−1,5)，所以(a+b)⋅c=−2×7+(−1)×(−2)+5×1=−7.③a−b+c=(3,3,6)，所以a−b+c2=32+32+62=54.故答案为：(5,−3,6)；−7；54.7．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）设空间向量a=2,−1,y，b=x,2,−4，若a//b，则a+b＝ ．【答案】3【分析】根据空间向量共线得x=−4,y=2，再利用空间向量的坐标运算和向量模的定义即可得到答案.【详解】∵a//b，则显然x≠0，∴2x=−12=y−4，解得∴x=−4,y=2，则a=2,−1,2,b=−4,2,−4，a+b=−2,1,−2=−22+12+−22=3，故答案为：3.8．（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知a、b是空间互相垂直的单位向量，且c=8，c⋅a=c⋅b=26，则c−ma−nb的最小值是 .【答案】4【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解．【详解】∵ a,b是空间相互垂直的单位向量，∴设a=(1,0,0)，b=(0,1,0)，设c=(x,y,z)，又c⋅a=c⋅b=26，∴x=y=26，又|c|=x2+y2+z2=24+24+z2=8，∴z2=16，∴ c=(26,26,z)，其中z2=16，∴ c−ma−nb=(26−m,26−n,z)，∴ |c−ma−nb|=(26−m)2+(26−n)2+z2 =(26−m)2+(26−n)2+16≥4，当且仅当m=n=26时取得等号，∴ |c−ma−nb|的最小值是4．故答案为：4．【考点6：空间向量夹角的坐标表示】【知识点：空间向量夹角的坐标表示】设，.1．（2023·高二课时练习）已知a+b=2,2,23，a−b=0,2,0，则cosa,b等于（    ）A．13 B．16C．63 D．66【答案】C【分析】先求出向量a,b的坐标，然后利用数量积夹角坐标公式直接计算即可.【详解】因为a+b=2,2,23，a−b=0,2,0，所以a=1,2,3，b=1,0,3，所以cosa,b=a⋅b|a|⋅|b|=1+0+36×2=63.故选：C2．（2022秋·高二单元测试）已知向量a=1,2,3,b=−2,−4,−6，c=14，若a+b⋅c=7，则a与c的夹角为（　　）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】先计算出向量a+b与c的夹角为α=60°，再根据a+b=−a求出答案.【详解】设向量a+b与c的夹角为α，因为a+b=−1,−2,−3，所以a+b=1+4+9=14，cosα=a+b⋅ca+b⋅c=714×14=12，因为0°≤α≤180°，所以α=60°.因为a+b=−a，即a+b与a的方向相反，所以a与c的夹角为120°.故选：C3．（2023·全国·高一专题练习）若向量a=1,λ,1,b=2,−1,−2，且a与b夹角的余弦值为26，则λ等于（    ）A．−2 B．2 C．−2或2 D．2【答案】A【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】因为a=1,λ,1,b=2,−1,−2， 所以a⋅b=2−λ−2=−λ，a=2+λ2,b=4+1+4=3，又a与b夹角的余弦值为26，a⋅b=abcosa,b，所以−λ=2+λ2×3×26，解得λ2=2，注意到−λ>0，即λ<0，所以λ=−2.故选：A.4．（多选）（2023秋·高一单元测试）若向量a=−1,1,−2与b=1,x,2的夹角为锐角，则实数x的值可能为（    ）.A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【分析】依题意可得a⋅b>0且a与b不同向，根据数量积的坐标表示得到不等式，求解即可.【详解】因为a=−1,1,−2与b=1,x,2的夹角为锐角，所以a⋅b=(−1)×1+1×x+(−2)×2=x−5>0，解得x>5，当a与b共线时，1−1=x1=2−2，解得x=−1，所以实数x的取值范围是x>5，经检验，选项C、D符合题意.故选：CD5．（多选）（2022秋·高二单元测试）已知a=3,−2,−3,b=−1,x−1,1，且a与b夹角为钝角，则x的取值可以是（　　）A．-2 B．1 C．53 D．2【答案】BD【分析】因为a与b夹角为钝角,可得 a⋅b<0且a与b不反向共线，计算即可判断选项.【详解】因为a=3,−2,−3,b=−1,x−1,1，所以a⋅b=3×−1+−2×x−1+−3×1=−2x−4.因为a与b夹角θ为钝角，所以a⋅b=abcosθ=−2x−4<0,x>−2，且a与b不反向共线，又因为a与b共线时，有−2=−3x−1,x=53,此时a与b反向，所以x>−2且x≠53.对照选项可得B，D正确.故选: BD.6．（多选）（2022秋·高二单元测试）已知空间向量a=(−2,−1,1)，b=(3,4,5)，则下列结论正确的是（　　）A．(2a+b)//a B．5|a|=3|b|C．a⊥(5a+6b)） D．a与b夹角的余弦值为−36【答案】BCD【分析】对于A，结合向量平行的性质，即可求解，对于B，结合向量模公式，即可求解，对于C，结合向量垂直的性质，即可求解，对于D，结合向量的夹角公式，即可求解．【详解】因为2a+b=(−1,2,7),a=(−2,−1,1)，且−1−2≠2−1，故A不正确；因为|a|=4+1+1=6，|b|=32+42+52=52，则5|a|=3|b|，故B正确；因为5a+6b=(8,19,35)，a→⋅(5a→+6b→)=(−2)×8−1×19+1×35=0，a→⊥5a→+6b→，故C正确；由于a=(−2,−1,1)，b=(3,4,5)，所以cos=a⋅b|a||b|=−56×52=−36，所以D正确.故选:BCD.7．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量a=1,0,1，b=1,2,0.(1)求a与a−b的夹角余弦值；(2)若2a+b⊥a−tb，求t的值.【答案】(1)1010(2)t=57【分析】（1）利用向量坐标夹角公式计算可得答案；（2）利用向量垂直的坐标运算可得答案.【详解】（1）因为a=1,0,1，b=1,2,0，所以a−b=0,−2,1，a=2，a−b=5，所以cosa,a−b=a⋅a−baa−b=12×5=1010；（2）2a+b=21,0,1+1,2,0=3,2,2，a−tb=1,0,1−t1,2,0=1−t,−2t,1因为2a+b⊥a−tb，所以2a+b⋅a−tb=31−t−4t+2=0，解得t=57.8．（2023·江苏·高二专题练习）已知：a=x,4,1,b=−2,y,−1,c=3,−2,z，a//b，b⊥c，求：(1)a，b，c；(2)a+c与b+c所成角的余弦值.【答案】(1)a=2,4,1,b=−2,−4,−1，c=3,−2,2(2)−219【分析】（1）由空间向量平行与垂直坐标公式列出方程组，解之即可；（2）利用空间向量的夹角坐标公式即可得解.【详解】（1）因为a//b，a=x,4,1,b=−2,y,−1，当y=0时，显然不满足a//b，所以x−2=4y=1−1，解得x=2,y=−4，故a=2,4,1,b=−2,−4,−1，又因为b⊥c，c=3,−2,z，所以b⋅c=0，即−2×3+−4×−2+−1×z=0，解得z=2，故c=3,−2,2；（2）由（1）可得a+c=5,2,3，b+c=1,−6,1，设向量a+c与b+c所成的角为θ，则cosθ=a+c⋅b+ca+c⋅b+c =5×1+2×−6+3×152+22+32×12+−62+12=−219.向量表示坐标表示数量积a1b1＋a2b2＋a3b3向量表示坐标表示垂直＝0(≠0，≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0向量表示坐标表示共线，，向量表示坐标表示模向量表示坐标表示夹角