湖南省衡阳市衡阳县第一中学2024届高三下学期高考最后一卷数学试题

这是一份湖南省衡阳市衡阳县第一中学2024届高三下学期高考最后一卷数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知直线与椭圆相切，则的值为，已知函数，若在上单调递增，，若函数的两条相邻对称轴距离为，等内容，欢迎下载使用。
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，
则（ ）
A.B.
C.D．
2．若复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．在等差数列中，公差，为其前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与椭圆相切，则的值为（ ）
A.B.C.D.
6．新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足，
的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，
他的赋分是（ ）
A．B．C．D．或
7．已知函数，若在上单调递增，
则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域为，且满足以下性质：①在内存在零点；
②对于任意，有；③在内不单调，但是它的图像连续不断，则可以是：（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
10．若函数的两条相邻对称轴距离为，
且，则（ ）
A． B．点是函数的对称中心
C．函数在上单调递增 D．直线是函数图象的对称轴
11．在股票市场中，股票的价格是有界的，投资者通常会通过价格的变化来确保自己的风险，这种变化的价格类似于我们数学中的数列，定义如果存在正数，使得对一切正整数，都有，则称为有界数列，数列收敛指数列有极限，我们把极限存在（不含无穷大）的数列称为收敛数列，如数列，显然对一切正整数都有，而的极限为，即数列既有界也收敛。如数列，显然对一切正整数都有，但不存在极限，即数列有界但不收敛。下列数列是有界数列但不收敛的数列有（ ）
A．B．
C.D．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则________.
13．数列的综合求和方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法及倒序相加法。在组合数的计算中有如下性质：，。
应用上述知识，计算________.
14．某冷饮店为了吸引顾客，特推出一款蛋仔冰淇淋，其底座造型如图所示，外部为半球型蛋壳，内有三个特制的球型蛋仔，蛋仔两两相切，且都与蛋壳相切，蛋仔的顶端正好与半球型的蛋壳的上沿处于同一水平面，如果球型蛋仔的半径为，求这个蛋壳型的半球的容积为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在中，内角所对的边分别为，已知向量满足，，且．
（1）求角；
（2）若是锐角三角形，且，求周长的取值范围．
16．（15分）已知正方体的棱长为，，，
为线段上的动点，是点关于所在直线的对称点.
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）当时，求二面角的余弦值的绝对值.
17．（15分）已知双曲线与椭圆共焦点，
点、分别是以椭圆半焦距为半径的圆与双曲线的渐近线在第一、二象限的交点，
若点满足，（为坐标原点），
（1）求双曲线的离心率；
（2）求的面积.
18．（17分）函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）在上单调递增，求的求职范围.
19．（17分）在”五四”来临之际，某学校团委组织以“春风吹，青春启航”为主题的知识竞赛，比赛分初赛和决赛两个阶段，甲、乙两人进入决赛争夺冠军，决赛规则如下：每轮答题获得分，其概率为，获得分，其概率为.最多进行轮答题，某同学累计得分为分时，
比赛结束，该同学获得冠军，另一同学获得亚军。
（1）当进行完轮答题后，甲同学总分为，求的分布列及；
（2）若累计得分为的概率为，（初始得分为分，）
①求的表达式 ().
②求获得亚军的概率.
数学答案
1.【答案】C
【解析】对于集合A，，，或.
∴.
故选：C.
2.【答案】D
【解析】对于.
故选：D.
3.【答案】B
【解析】，.
故选：B.
4.【答案】A
【解析】，，，∴.
故选：A.
5.【答案】C
【解析】代入消元化简整理得，∴.
故选：C.
6.【答案】D
【解析】设，，，
，
∴，.
∴赋分是或.
故选：D.
7.【答案】B
【解析】∵在上单调递增，∴.
∴，.
∵，，
∴，，∴.
故选：B.
8.【答案】B
【解析】A：，指数型复合函数，单调递增，
，，不符合①，故A错；
B：，，。.①符合.
.②符合.
中是周期函数，在内不单调，但是它的图象连续不断.③符合.
故B正确.
C：，，，，①符合.
，②不符合.
的部分是周期函数，在内不单调，但是它的图在连续不断，③符合.
故C错；
D：，，时，①符合；
，②不符合；
在内不单调，它的图象是断开的，③不符合；故D错；
故选：B.
9.【答案】A、B、D
【解析】A：∵，，.
∴，.
当且仅当，即，，取“”，∴A正确；
B：，由（1）知，∴.
∴.∴B正确；
C：.
∴，∴C错误；
D：，
当且仅当，即，取“”，∴D正确.
故选：ABD.
10.【答案】A、B
【解析】∵的两条相邻对称轴距离为.
∴，∴.∴.
∵，，∴，.
∴.∴选项A正确；
选项B：对称中心的横坐标：，.
∴时，对称中心为.B正确；
选项C：当时，，，
∴在上不递增，C错误；
选项D：对称轴：，.
，.
∴不是对称轴.或验证法把代入得，∴D错误；
故选：AB.
11.【答案】A、C
【解析】A：有界但不收敛；
B：有界且收敛；
C：
，
所以有界但不收敛；
D：有界且收敛；
故选：AC.
12.【答案】
【解析】
.
故答案为：.
13.【答案】
【解析】令.
则有
结合可有
结合倒序相加法可有
，
即
故答案为：.
14.【答案】
【解析】取半球的球心为，三个小球的球心分别为，则有，取的重心，则可有，在中易求得，则有，则半球的半径，球的体积
。
故答案为：.
15.【答案】见解析
【解析】（1）∵，∴，.
由正弦定理得.
∵，∴，∵，∴或.
（2）∵，且三角形为锐角三角形，∴.
∴由正弦定理得.
∴，.
∴
.
又∵为锐角三角形，∴，
∴，得，.
∴，，
∴，又∵，∴.
∴的周长的取值范围为.
16.【答案】见解析
【解析】（1）证明：连接.
∵，∴.
∴，，，
∴平面，平面，∴.
又∵，∴.
（2）.，
连接，，显然.
∴.
∴，∴，
∴.
（3）如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则，，，，
设，则，
平面中，，.
设为平面的一个法向量，∴，可令，可得.
设为平面的一个法向量，∴，可令，可得.设所成的角为
∴.
17.【答案】见解析
【解析】（1）椭圆中，，，，
椭圆焦点为，∴双曲线的焦点坐标为.
双曲线的渐近线方程为，
的方程：.
由得，，.
由题意知，、分别为第一、二象限的交点，
∴，，
∴，，
∵，∴，∴.
化简整理得，
又∵代入上式，解之得，.
∴双曲线方程：.
离心率.
（2）由（1）知，，
∴，.
∴.
18.【答案】见解析
【解析】（1）当时，.的定义域为.
∴.
令，则，令，.
当时，，递减；当时，，递增；
∴，∴在上成立，
∴在上单调递增.
（2）∵在上单调递增，∴，恒成立.
，恒成立，
即，恒成立.
令，则.
∵，当时，，递减；
当时，，递增；
∴取得最小值.∴，.
∴实数的取值范围为.
19.【答案】见解析
【解析】（1）设进行完轮答题时，得分的次数为，.
，，，，，
随机变量可能取值为，，，，
，
，.
∴的分布列为：
.
（2）①当时，即累计得分为分，是第一轮抢答得分，，则.
累计得分为分的情况分两种：
（i），即累计得分为分，又一轮抢答得分，其概率为.
（ii），即累计得分为分，又一轮抢答得分，其概率为.
，∴.
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
∴.
②由①得，，，，
各式累加得：
.
而，∴.
∴获得冠军的概率：.
∴获得亚军的概率为：.