福建省厦门第一中学2022届高三高考考前最后一卷数学试题

福建省厦门第一中学2022届高三高考考前最后一卷数学试题

第I卷（选择题）

1．已知集合，，，，则的元素个数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．设命题，，则为（       ）

A．， B．，

C．， D．，

3．已知抛物线的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若，则Q点的纵坐标为（       ）

A．7 B．5 C．3 D．1

4．已知，，，，则，，的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

5．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1000的基础上，将带宽W增大到原来的2倍，信号功率S增大到原来的10倍，噪声功率N减小到原来的，则信息传递速度C大约增加了（       ）（参考数据：）

A．87% B．123% C．156% D．213%

6．已知角的终边落在直线上，则的值为（       ）

A． B． C． D．

7．若从甲､乙2名女志愿者和6名男志愿者中选出正组长1人，副组长1人，普通组员2人到北京冬奥会花样滑冰场馆服务，且要求女志愿者甲不能做正组长，女志愿者乙不能做普通组员，则不同的选法种数为（       ）

A．210 B．390 C．555 D．660

8．如图，已知为双曲线的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，则的离心率为

A． B． C． D．

9．已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，则（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若与在复平面上对应的点关于实轴对称，则

D．若，则

10．某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：），得到如下所示的2×2列联表：

经计算，则可以推断出（       ）

附：

A．该市一天空气中PM2.5浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是0.64

B．若2×2列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化

C．有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关

D．在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关

11．直三棱柱，中，，，点D是线段上的动点(不含端点)，则（       ）

A．平面

B．与不垂直

C．的取值范围为

D．的最小值为

12．已知函数，，若存在，使得对任意，，则（       ）

A．在单调递增

B．，，

C．，使得在上有且仅有1个零点

D．若在单调，则

第II卷（非选择题）

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13．已知等比数列的前项和为，若，，则______．

14．已知为常数）的展开式中各项系数之和为1，则展开式中的系数为___．

15．已知，，均为单位向量，且，则与夹角的余弦值为______．

16．已知是函数（且）的三个零点，则的取值范围是_________．

17．已知数列的前项和，，，．

(1)计算的值，求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

18．如图，四边形是圆柱的轴截面，圆柱的侧面积为，点在圆柱的底面圆周上，且是边长为的等边三角形，点是线段上的动点.

(1)若是的中点，求证：；

(2)若，求与平面所成角的余弦值.

19．已知等腰三角形ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，c(c＋b)＝(a＋b)(a－b)．

(1)求A和b；

(2)若点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF＞BE，在运动过程中始终有，求△EAF面积的最小值．

20．某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和．

（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求的最小值；

（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值．

①已知，生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？

②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．

21．已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，．证明：

（i）的面积等于的面积；

（ii）为定值．

22．已知．

(1)求证：当x>0时，

(2)若不等式，（其中）恒成立时，实数m的取值范围为（-∞，t]，求证：．

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

利用交集的定义即可求解.

【详解】

集合,,，，

∴,

∴的元素个数为．

故选：．

2．A

【解析】

【分析】

根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.

【详解】

根据全称命题与存在性命题的关系，

命题“，”的否定“，”.

故选：A.

3．B

【解析】

【分析】

根据梯形的中位线定理，结合抛物线的定义进行求解即可.

【详解】

过点P，Q分别作准线的垂线，垂足分别为（如图），

设准线与纵轴的交点为，

由梯形中位线定理易知，又准线方程为，故Q点的纵坐标为5.

故选：B.

4．B

【解析】

【分析】

根据题意不妨设，利用对数的运算性质化简x，利用指数函数的单调性求出y的取值范围，利用指数幂的运算求出z，进而得出结果.

【详解】

由，不妨设，

则，

，

，

所以，

故选：B

5．D

【解析】

【分析】

先求得提升前的信息传递速度，然后求得提升后的信息传播速度，由此求得正确答案.

【详解】

提升前的信息传递速度，

提升后的信息传递速度，

所以信息传递速度C大约增加了.

故选：D

6．C

【解析】

【分析】

根据三角函数的定义得到，对齐次式作分子分母同除的处理，即可求解.

【详解】

由角的终边落在直线上可得，，

且，

故选：C

7．C

【解析】

【分析】

分为四种情况即可得出答案，第一种4人均从6名男志愿者中选取，第二种女志愿者甲被选中且乙没有被选中，第三种女志愿者乙被选中且甲没有被选中，第四种女志愿者甲､乙均被选中.

【详解】

若4人均从6名男志愿者中选取，则不同的选法种数为；

若女志愿者甲被选中且乙没有被选中，则不同的选法种数为；

若女志愿者乙被选中且甲没有被选中，则不同的选法种数为；

若女志愿者甲､乙均被选中，则不同的选法种数为.

所以满足题意的不同选法种数为.

故选：C.

8．C

【解析】

【分析】

设，并表示出点的坐标，然后根据将用表示出来，根据点在双曲线上将用表示出来，最后根据得到，据此列出关于的方程，即可求出双曲线的离心率．

【详解】

设，则由，解得．因为，所以，

即，得．又点在双曲线上，所以，

将代入，得．又，所以，

所以，即，化简得，

所以双曲线的离心率，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查双曲线的焦点、渐近线、离心率等性质，直线与双曲线的位置关系，考查分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想，考查的核心素养是直观想象．

9．ABC

【解析】

【分析】

利用向量数量积的运算法则及复数的几何意义即可求解.

【详解】

因为 ，所以，

则，即，则，故选项正确；

因为，所以，

即，则，故选项正确；

设，因为与在复平面上对应的点关于实轴对称，

则，所以，，则，

故选项正确；

若，满足，而，故选项错误；

故选：ABC.

10．ACD

【解析】

【分析】

对于A选项，根据表格，进行数据分析，直接求概率；

对于B，C，D选项，进行独立性检验，计算后对照参数下结论.

【详解】

补充完整列联表如下：

对于A选项，该市一天中，空气中PM2.5浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值为，故A正确；

对于B选项，，故B不正确；

因为7.4844>6.635，根据临界值表可知，在犯错的概率不超过1%的条件下，即有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关，故C，D均正确.

故选：ACD.

11．AD

【解析】

【分析】

由线面平行判定定理判断A，建立空间直角坐标系，用空间向量法研究垂直的判断B，判断以为直径的球与的交点情况，从而判断C，将面，翻折至与共面，此时点C与重合，在平面内求两点间的距离得结论判断D．

【详解】

依题作图，如图1，并将其补成正方体，如图2

A：因为，平面，平面，所以平面，故A正确.

B：如图1，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，

设，则，

当时，，当且时与不垂直，故B错误.

C：判断以为直径的球与的交点情况，

如图3，取中点F，则，，

所以以为直径的球与没有交点.所以，故C错误.

D：将面，翻折至与共面，此时点C与重合，所以的最小值为，且，故D正确.

故选：AD

        图1　　　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　　　图3

12．AD

【解析】

【分析】

先借助辅助角公式得，由分段函数得，再结合正弦函数的单调性、最值及零点依次判断即可.

【详解】

由题意得：，其中，则的最小正周期为，

由存在，使得对任意，，可得，则在单调递增，A正确；

，则，则，，，B错误；

由上知：，的最小正周期为，则在上，，，故不存在，使得在上有且仅有1个零点，C错误；

由，的最小正周期为知，，故在上单增，

在上单减，且在上，故在上单减，则，D正确.

故选：AD.

13．

【解析】

【分析】

利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.

【详解】

由已知条件得

，解得，

∴；

故答案为：.

14．

【解析】

【分析】

令得各项系数和，求得参数，然后由二项展开式通项公式结合多项式乘法法则求得含的项，从而得其系数．

【详解】

令，则展开式的各项系数和为，解得，

所以的展开式的通项公式为，

令，则，令，解得，

所以展开式中含的项为，所以的系数为，

故答案为：．

15．

【解析】

【分析】

利用向量的数量积计算向量夹角的余弦值.

【详解】

解：由题意得：

，即

，，均为单位向量

，即

故答案为：

16．

【解析】

【分析】

由题可判断1是的零点，且另两个零点关于对称，则所求可化为求出的值域，利用导数即可求解.

【详解】

显然，设，

则

，

所以1是的零点，且另两个零点关于对称，

所以，

则，

令，

则，所以在单调递减，

所以，即的取值范围是.

故答案为：.

17．(1)，

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据，作差得到，再根据等差数列通项公式计算可得；

（2）由（1）可得，利用并项求和法计算可得；

(1)

解：当时，，解得，

由题知①，②，

由②①得，因为，所以，

于是：数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列，

即，

偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列，

即

所以的通项公式；

(2)

解：由（1）可得，

.

18．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）先证明出BP⊥AG，DP⊥AG，利用线面垂直的判定定理证明出AG⊥面BPD,即可证明AG⊥BD；

（2）在底面内过O作，连结OQ.以O为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.用向量法求解.

(1)

设圆柱的底面半径为，高为.

因为三角形是边长为的等边三角形，所以.

因为圆柱的侧面积为，所以，解得：.

在底面圆中，，，所以.

因为圆柱的母线底面，所以，.

因为，

所以，又，所以面.

因为面，

所以.在三角形中，，是的中点，所以.

又，所以面.

因为面，所以.

(2)

在底面内过作，连接.以为原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系.

则，，，，，，.

所以，，.

因为，，

.

设为平面的法向量，

则，即，令得.

设与平面所成角为，则.

∵，∴与平面所成角的余弦值为.

19．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理结论，结合，可求得；利用余弦定理结合即可求得A,从而求得b.

（2）利用（1）中的结论，分别在三角形和三角形中利用正弦定理，结合三角形面积公式，即可解出答案.

(1)

由正弦定理得：即： (R为三角形ABC的外接圆半径)，

故 ，

由 得： ，

则 ，因为 ，故 ；

由等腰三角形ABC可得 ，故 ；

(2)

由（1）知： ，

由点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF>BE，在运动过程中始终有 ，

知点在点的左边,如图：

设 ，不变，可知,

在中，由正弦定理可得，

，

在中，由正弦定理可得，

，

故

，，

，

三角形的面积的最小值为，此时．

20．（1）0.95；（2）①生产线挽回的平均损失较多；②分布列见解析，16200元.

【解析】

（1）根据独立事件同时发生以及对立事件的概率，求出产品至少有一件合格的概率，根据已知建立的不等量关系，即可求解；

（2）①根据（1）的结论求出生产线不合格品率，进而求出两条生产线的不合格品数，即可求出结论；

②的可能取值为6，8，10，根据频数分布图，求出可能值的频率，得到的分布列，根据期望公式求解即可.

【详解】

（1）设从，生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件，从，生产线上抽检到合格品分别为事件，，由题知，，互为独立事件，所以，，

，

令，解得，故的最小值．

（2）由（1）可知，，生产线生产的产品为合格品率分别为0.95和0.9，

不合格品率分别为0.05和0.1．

①由题知，生产线上随机抽检1000件产品，

估计不合格品（件），

可挽回损失为（元），

生产线上随机抽检1000件产品，

估计不合格品（件），

可挽回损失为（元）．

由此，估计生产线挽回的平均损失较多．

②由题知，的所有可能取值为6，8，10，

用样本的频率分布估计总体分布，则

，，

，

所以的分布列为

所以（元）．

故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为（元）．

【点睛】

本题考查独立事件同时发生的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查创新与应用和运算求解的能力，属于中档题．

21．(1)

(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据，，由，直线的斜率为求解；

（2）设直线的方程为，得到，，与椭圆方程联立，根据，，利用韦达定理求解.

(1)

解：、是椭圆的两个顶点，

且，直线的斜率为，

由，，得，

又，解得，，

椭圆的方程为；

(2)

设直线的方程为，则，，

联立方程消去，整理得．

， 得

设，，，．

，．

所以，

则有

的面积等于的面积；

，

，

，

 ，

 .

22．(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）令，再证明即得证；

（2）令，即证，证明，令，即得证.

(1)

证明：令，

所以，，

∵，∴，∴，在上递增，

∴，故在上递增，

∴，即.

(2)

证明：据题意，对于任意的，不等式恒成立时，等价于

对于，

令，又实数m的取值范围为，故t是实数m的最大值．

要证，即证．

令，则，，

所以在上单调递增，又，，

故，使得，即

所以，有，单调递减；，，单调递增．

所以，，，

，所以存在，使得，

即，且满足，，单调递减；

，，单调递增；

所以

令，则，故单调递减，

又，所以，

则只需证明

由（1）知：当时，

∴，故.