上饶市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷及 参考答案

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15解：（1）定义域为，，-----------------------------------2分
将点代入中，
，∴.
------------------------------------------------------------6分
（2），
，------------------------------------------8分
的单调递增区间为，，单调递减区间为；-----------------------11分
的极大值为，极小值为.-----------------------13分
16 解：（1）x＞1，y＝≥+1＝3，--------------------5分
当且仅当x﹣1＝，即x＝2时，等号成立，则函数的最小值为3；-------------------------------------------------------------------------------------------------------------7分
（2）∵，
∴1﹣3x＞0，∴ ，----------12分
当且仅当3x＝1﹣3x，即时，等号成立，故当 时，y取得最大值．----15分
17解：（Ⅰ）当 n＝1时，，得a1＝1，---------------------------------------2分
当n≥2时，，得 an＝3an﹣1，
∴数列{an}是公比为3的等比数列，
∴．----------------------------------------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，又 ①
∴②
两式相减得：，--------------------------12分
故 ，
∴．---------------------------------------------------------------------------15分
18解：（1）由题意，计算，
，------------------------------------2分
且，，，
所以，---------4分
所以与的相关系数大约为，说明与的线性相关程度很高；-----6分
（2）利用最小二乘估计公式计算
，----------------------------------8分
所以，
所以关于的线性回归方程是，
又，所以关于的回归方程是.------------------------------------10分
令，解得，即预测某辆型号二手车当使用年数为年时售价约万元；----------------------------------------------------------------------------------------12分
（3）当时，，-------------------------------15分
所以，解得，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过年．----------------------------------------------------------------------------------17分
19【解答】解：（1）f（x）定义域为（0，+∞），，--------------------------------------2分
对于方程x2+（2﹣2a）x+1＝0，Δ＝（2﹣2a）2﹣4＝4（a2﹣2a），
当Δ≤0，即0≤a≤2时，x2+（2﹣2a）x+1≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单增， --------------------------------------3分
当Δ＞0，即a＜0或a＞2时，方程x2+（2﹣2a）x+1＝0有两不等根，
，，而x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝1，
所以当a＜0时，x1＜x2＜0，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）上单增；
当a＞2时，0＜x1＜x2，x∈（0，x1）或x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上单增，在（x1，x2）上单减，
综上，当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上单增；
当a＞2时，f（x）在和上单增，
在上单减；-----------------------------------------5分
（2）
＝
＝，-------------------------------------------------8分
所以要证，即证，即证，
也即证（*）成立．
设，函数，由（1）知h（t）在（0，+∞）上单增，且h（1）＝0，
所以t∈（0，1）时，h（t）＜0，所以（*）成立，原不等式得证；-----------------10分
（3）由题可得，-----------------------------11分
因为99×81＝902﹣92＜902，98×82＝902﹣82＜902，…，91×89＝902﹣12＜902，
所以， -----------------------------13分
又由（2）知t∈（1，+∞），，
取，有， -----------------------------15分
即，即，
所以．-----------------------------------------------------------------------17分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
C
B
C
A
D
C
C
BC
ACD
BD
2
＋
0
－
0
＋
极大值
极小值