[数学][三模]四川省攀枝花市2024届高考试卷(理)(解析版)

这是一份[数学][三模]四川省攀枝花市2024届高考试卷(理)(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】由题意，集合，，
因为，可得，解得.
故选：D.
2. 某地区共8000人参加数学联考，考试成绩ξ近似服从正态分布N(100,)，若P（100≤ξ≤110）＝0.35（90分以下）的学生人数为（ ）
A 1000B. 1200C. 1400D. 2800
【答案】B
【解析】考试成绩ξ近似服从正态分布N(100,)，若P(100≤ξ≤110)＝0.35，
则P(90≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤110)＝0.35，
故P(ξ＜90)＝P(ξ≤100)﹣P(90≤ξ≤100)＝0.5﹣0.35＝0.15，
某地区共8000人参加数学联考，
则估计成绩不及格(90分以下)的学生人数为8000×0.15＝1200．
故选：B．
3. 已知复数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，且，
整理得，解得或，
即等价于或，
且是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
4. 函数的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】的定义域为，
，
所以为奇函数，故A错误；
当，且趋近时，,,
所以，故C错误，
当时，，故B错误.
故选：D.
5. 若正项等比数列满足，则数列的前4项的和的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设正项等比数列的公比为，
因为，所以，
解得，所以，
所以，所以，
所以，
所以数列的前4项的和的值为.
故选：A.
6. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是一个正方体截去两个半圆柱，
其表面积为.
故选：C
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上位于第二象限内的一点，点在轴上运动，若的最小值为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】作出双曲线的示意图，如图所示：
连接，因为，
当且仅当在同一直线上时取等号，
又的最小值为，
所以，所以，
又因为双曲线的左、右焦点分别为，
所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
8. 数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（ ）
A. B. C. 49D. 149
【答案】B
【解析】因为，
当时，，
即，
可得，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则，
当时，
所以，当时也成立，
所以，
可得数列的前项之和为．
故选：B．
9. 某公园有如图所示A至F共6个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列（ ）
A. 24B. 36C. 72D. 81
【答案】C
【解析】第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有3个位置可选，
另一个男生有两种排法，
由于两名男生可以互换，故男生的排法有种，
第二步：排女生，若男生选AF，CD，两个女生排在,
由于女生可以互换，故女生的排法有种，
根据分步计数原理，共有种．故选：C．
10. 将函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到的图象与y＝ksinxcsx（k＞0）的图象关于，则m+k的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
由题意可得函数为，
即的图象与的图象关于，
设为上的任意一点，
则该点关于对称的点在上，
所以，
由题意可得，两函数图象上的最高点也关于，
所以，则，
又，
所以，
解得，
因为m＞0，所以m的最小值为，
所以．
故选：A．
11. 在一个圆锥中，为圆锥的顶点， 为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径， 是底面圆的内接正三角形，
①平面；
②平面；
③圆锥的侧面积为；
④三棱锥的内切球表面积为．
其中正确的结论个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】由是底面圆的内接正三角形，，
设圆锥的底面半径为r，则可得，即，解得.

因为，故高，
所以圆锥的侧面积，故③正确；
假设平面，由于平面，平面平面，故，
则，而因为为底面圆的直径，
又，且（矛盾），
故、不可能平行，所以与平面不平行；故①错误；
因为为线段的中点，故，
则，，，
故，，又，平面，
所以平面，故②正确；
又，
，
，
设三棱锥的内切球的半径为，
则，
即，解得，，
所以三棱锥的内切球的表面积，故④正确．
综上有②③④正确.
故选：C．
12. 设a＝0.98+sin0.01，b＝e﹣0.01，，则（ ）
A. b＞a＞cB. c＞b＞aC. b＞c＞aD. c＞a＞b
【答案】B
【解析】令，则，
当时，，所以在上单调递增，
所以，所以，
所以
令，求导得，所以当时，，
所以在上单调递减，所以，
所以，可得，所以，
，
所以．
故选：B．
二、填空题
13. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为 ．
【答案】6
【解析】作出实数x，y满足约束条件对应平面区域如图所示：
由，得，
平移直线，由图象可知当直线经过点A时，
直线的截距最大，此时z最大.
由，得，
此时z的最大值为，
故答案为：6.
14. 若的展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为 __．（以数字作答）
【答案】32
【解析】根据的展开式的通项公式为，
当r＝3时，，解得；
故所有项的二项式系数之和为．故答案为：32．
15. 已知平面向量，若，则______．
【答案】
【解析】因为平面向量，若，
所以，所以，
所以
.
故答案：.
16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】延长交于点，因为，所以，
所以点在轴上，因为，所以为等腰直角三角形，
所以，过点作交于点，
所以，所以，因为点在上，
所以，即，
则，
即，即，
所以，因为，所以，
所以.
故答案为：.

三、解答题
17. 请在①，②，
③三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，所对的边分别是，已知_____．
（1）求角；
（2）若，点在边上，为的平分线，求边长的值．
解：（1）选①，因为，
则由余弦定理可得，
整理可得，由余弦定理可得，
可得，因为，所以；
选②，，
所以，
整理可得：，
因为，
所以，因为，可得；
选③，，可得，
可得，
因为，所以，可得；
（2）在中，，
可得，记为①，
又，记为②，
由①②可得，
解得或（舍去），
所以边长．
18. 为弘扬中华民族优秀传统文化，某校举行“阅读经典名著，传承优秀文化”闯关活动．参赛者需要回答三个问题，其中前2个问题回答正确各得5分，回答不正确得0分；第三个问题回答正确得10分，回答不正确得-5分，得分不少于15分即为过关．如果甲同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为
（1）求甲同学过关的概率；
（2）求甲同学回答这三个问题的总得分X的分布列及数学期望．
解：（1）甲同学过关有两种情况，分别为事件A：前两个问题一对一错，事件B：三个问题均答对，
其概率分别为，
所以甲同学过关的概率为；
（2）由题意可知，X的所有可能取值为，
则，，
，，，
，
所以X的分布列为：
所以．
19. 如图，直三棱柱中，，点在线段上，且，．
（1）证明：点为的重心；
（2）若，求二面角的余弦值．
（1）证明：如图，延长交于点，连接，
因为，，，平面
所以平面，
因为平面，所以，
因为直三棱柱中，平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，所以为的中点，
因为∥，所以，
所以点为的重心；
（2）解：取中点，连接，
因为，所以，
因为直三棱柱中，平面，平面，
所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
取中点，连接，，则‖，,
因为，所以，
因为，平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以∽，
所以，
因为，所以，得，
所以，
所以，
因为，所以，
在中，，
即二面角的余弦值为．
20. 已知抛物线上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作x轴的垂线交直线AO（O是坐标原点）于D，过A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，直线与交于点G．求
解：（1）不妨设，
因为抛物线C上一点Q到焦点F的距离为4，点Q到y轴的距离为，
所以，
整理得，解得或（舍去），
则抛物线C的方程为；
（2）由题意知直线的斜率必存在，，
不妨设直线AB的方程为，，
联立，消去y并整理得，，
由韦达定理得，
易知直线OA的方程为，
因为轴，所以，即，
所以，
因为DF⊥AE，所以，
则直线AE的方程为，
因为，所以，
此时，
因为，
所以，
由题意知，则，
所以．
故的取值范围为．
21. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）设函数的导函数为，若（），证明：
．
（1）解：由函数，可得其定义域为，且，
当时，，函数在上单调递增，无极值；
当时，令，可得；令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.
（2）证明：由（1）知，，
可得，且，
所以，所以，
因，所以，可得，
则，
因为，所以，记得，
所以，
设，可得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，当时，，
所以，所以，即.
（二）选考题
22. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为轴，建立极坐标系，曲线是经过极点且圆心在极轴上，半径为1的圆；曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线交点（异于点）的极径；
（2）曲线的参数方程为（为参数），若曲线和曲线交于除点以外的两点，求的面积．
解：（1）曲线的直角坐标方程为，即．
将代入并化简得的极坐标方程为．
由消去，
并整理得，故或（舍去）．
所求异于极点的交点的极径为．
（2）由消去参数得曲线的普通方程为．
曲线的极坐标方程为和．
由和得曲线与曲线两交点的极坐标为，故．
所以．
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若的解集包含，求的取值范围．
解：（1）当时，不等式可化为
①当时，不等式为，解得，故；
②当时，不等式为，解得，故；
③当时，不等式为，解得，故；
综上，原不等式的解集为.
（2）因为的解集包含
不等式可化为，解得，
所以，解得．X
﹣5
0
5
10
15
20
P