2024届四川省攀枝花市高考数学三模（理科）试卷

这是一份2024届四川省攀枝花市高考数学三模（理科）试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|2x﹣a＜0}，且A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
2．（5分）某地区共8000人参加数学联考，考试成绩ξ近似服从正态分布N（100，σ2），若P（100≤ξ≤110）＝0.35（90分以下）的学生人数为（ ）
A．1000B．1200C．1400D．2800
3．（5分）已知复数z＝（a+1）﹣ai（a∈R），则|z|＝1是a＝0的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）若正项等比数列{an}满足anan+1＝22n（n∈N*），则数列{an}的前4项的和S4的值是（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图（ ）
A．48+8πB．48+16πC．64+8πD．64+16π
7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），P为双曲线上位于第二象限内的一点，点Q在y轴上运动2|﹣|PF1|的最小值为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．y＝±2xC．D．
8．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣1，nan＝Sn+n（n﹣1）（n∈N*），设，则数列{bn}的前51项之和为（ ）
A．﹣149B．﹣49C．49D．149
9．（5分）某公园有如图所示A至F共6个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列（ ）
A．24B．36C．72D．81
10．（5分）将函数y＝sin2x﹣cs2x的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到的图象与y＝ksinxcsx（k＞0）的图象关于，则m+k的最小值是（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，AE为底面圆的直径，△ABC是底面圆的内接正三角形，
①BE∥平面PAC；
②PA⊥平面PBC；
③圆锥的侧面积为；
④三棱锥P﹣ABC的内切球表面积为．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．（5分）设a＝0.98+sin0.01，b＝e﹣0.01，，则（ ）
A．b＞a＞cB．c＞b＞aC．b＞c＞aD．c＞a＞b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为 ．
14．（5分）若（1﹣2x）n（n∈N*）的展开式中x3的系数为﹣80，则展开式中所有项的二项式系数之和为 ．（以数字作答）
15．（5分）已知平面向量，若，则＝ ．
16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点M，N在C上，且，则椭圆C的离心率为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（12分）请在①2a﹣b＝2ccsB，②，③三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，B，C所对的边分别是a，b，c，已知_____．
（1）求角C；
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，求边长a的值．
18．（12分）为弘扬中华民族优秀传统文化，某校举行“阅读经典名著，传承优秀文化”闯关活动．参赛者需要回答三个问题，回答不正确得0分；第三个问题回答正确得10分，总分不少于15分即为过关．如果甲同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为
（1）求甲同学过关的概率；
（2）求甲同学回答这三个问题的总得分X的分布列及数学期望．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，点M在线段A1C上，且A1C⊥AM，A1C⊥AB1．
（1）证明：点M为△AA1C1的重心；
（2）若CA＝AB＝6，求二面角C﹣AM﹣B的余弦值．
20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作x轴的垂线交直线AO（O是坐标原点），过A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，直线BD与AE交于点G．求
21．（12分）已知函数（a∈R）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（x1）＝f′（x2）（x1≠x2），证明：．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，建立极坐标系，曲线C1是经过极点且圆心C1在极轴上，半径为1的圆；曲线C2是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为ρ＝1﹣sinθ（θ∈[0，2π]）．
（1）求曲线C1的极坐标方程，并求曲线C1和曲线C2交点（异于O点）的极径；
（2）曲线C3的参数方程为（为参数），若曲线C3和曲线C2交于除O点以外的M，N两点，求△C1MN的面积．
【选修4-5：不等式选讲】（10分）
23．已知函数f（x）＝|x+a|+|2x﹣1|（a∈R）．
（1）当a＝1时，解不等式f（x）≥3；
（2）若f（x）≤2x的解集包含，求a的取值范围．
2024年四川省攀枝花市高考数学三模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|2x﹣a＜0}，且A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
【分析】求解不等式化简A与B，结合A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}，则，可得a值．
【解答】解：∵A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|2x﹣a＜0}＝{x|x＜}，
若A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}，则，即a＝2．
故选：D．
【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．
2．（5分）某地区共8000人参加数学联考，考试成绩ξ近似服从正态分布N（100，σ2），若P（100≤ξ≤110）＝0.35（90分以下）的学生人数为（ ）
A．1000B．1200C．1400D．2800
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解：考试成绩ξ近似服从正态分布N（100，σ2），若P（100≤ξ≤110）＝0.35，
则P（90≤ξ≤100）＝P（100≤ξ≤110）＝4.35，
故P（ξ＜90）＝P（ξ≤100）﹣P（90≤ξ≤100）＝0.5﹣7.35＝0.15，
某地区共8000人参加数学联考，
则估计成绩不及格（90分以下）的学生人数为8000×0.15＝1200．
故选：B．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，是基础题．
3．（5分）已知复数z＝（a+1）﹣ai（a∈R），则|z|＝1是a＝0的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据复数的模得到关于a的方程，求出a的值，再根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：∵z＝（a+1）﹣ai（a∈R），|z|＝1，
∴（4+a）2+a2＝5，解得a＝0或a＝﹣1．
故|z|＝4是a＝0的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的模，充分必要条件以及集合的包含关系，是基础题．
4．（5分）函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，由函数的奇偶性排除A，由函数的符号排除B、C，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，
则f（﹣x）＝﹣（x+）csx＝﹣f（x），排除A，
在区间（7，）上，f（x）＞0，
在区间（，）上，f（x）＜3、C，
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性、函数值符号的分析，属于基础题．
5．（5分）若正项等比数列{an}满足anan+1＝22n（n∈N*），则数列{an}的前4项的和S4的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，求出公比q和首项a1，求等比数列前4项和即可．
【解答】解：正项等比数列{an}中，anan+1＝24n（n∈N*），
所以a1a2＝6，a2a3＝16，a4a4＝64；
即q＝4，q3＝16，解得q＝2，a8＝；
所以数列{an}的前4项的和S3＝＝＝15．
故选：A．
【点评】本题考查了等比数列的定义与性质应用问题，是基础题．
6．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图（ ）
A．48+8πB．48+16πC．64+8πD．64+16π
【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，左右两边挖去直径为2的半圆柱，由此求出该几何体的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，
所以该几何体的表面积为S＝2×52+π•4•8+（42﹣π•62）×2＝64+7π．
故选：C．
【点评】本题考查了根据几何体的三视图求几何体表面积问题，是基础题．
7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），P为双曲线上位于第二象限内的一点，点Q在y轴上运动2|﹣|PF1|的最小值为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．y＝±2xC．D．
【分析】结合图形，利用三角形的性质得出|PQ|+|QF2|﹣|PF1|取得最小值时P，Q，F2三点共线求解．
【解答】解：如图所示：
连接PF2，因为|PQ|+|QF2|﹣|PF6|≥|PF2|﹣|PF1|＝8a，
当且仅当P，Q，F2三点共线时等号成立，
所以|PQ|+|QF2|﹣|PF4|的最小值为2a，
所以2a＝，解得a＝，
又c＝2，∴b＝＝，
∴y＝±x＝±x．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查数形结合以及分析问题解决问题的能力，是中档题．
8．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣1，nan＝Sn+n（n﹣1）（n∈N*），设，则数列{bn}的前51项之和为（ ）
A．﹣149B．﹣49C．49D．149
【分析】由an与Sn的关系，结合等差数列的通项公式求得an＝2n﹣3，再由数列的并项求和，计算可得所求和．
【解答】解：当n≥2时，nan＝n（Sn﹣Sn﹣1）＝Sn+n（n﹣3），
即（n﹣1）Sn﹣nSn﹣1＝n（n﹣3），
可得﹣＝3，
即有＝﹣1+n﹣1＝n﹣4，
可得Sn＝n（n﹣2），
an＝＝2n﹣3，
则an＝（﹣8）n（2n﹣3），
可得数列{bn}的前51项之和为（5+1）+（﹣3+3）+...+（﹣95+97）﹣99＝2×25﹣99＝﹣49．
故选：B．
【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
9．（5分）某公园有如图所示A至F共6个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列（ ）
A．24B．36C．72D．81
【分析】根据题意，先排男生再排女生，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有3个位置可选，由于两名男生可以互换，
故男生的排法有3×4×2＝12种，
第二步：排女生，若男生选AF，CD，由于女生可以互换，
故女生的排法有2×7＝6种，
根据分步计数原理，共有12×6＝72种．
故选：C．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了分步计数原理的应用，属于基础题．
10．（5分）将函数y＝sin2x﹣cs2x的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到的图象与y＝ksinxcsx（k＞0）的图象关于，则m+k的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由半角公式可得函数y的解析式，再由题意可得，可得k，m的表达式，进而可得m的最小值，求出m+k的最小值．
【解答】解：因为y＝sin2x﹣cs2x＝﹣cs6x，
由题意可得函数为y＝﹣cs（2x﹣2m），
即y＝﹣cs（6x﹣2m）的图象与y＝ksinxcsx＝（k＞0）的图象关于，
设P（x，y）为y＝﹣cs（2x﹣5m）上的任意一点，
则该点关于（，0）对称的点Q（sin2x上，
所以，
由题意可得，两函数图象上的最高点也关于，
所以＝1，
又cs（3x﹣2m）＝﹣sin（）＝sin（2x﹣），
所以2m＝﹣+2k'π，
解得m＝﹣+k'π，
因为m＞2，所以m的最小值为，
所以（m+k）min＝2+．
故选：A．
【点评】本题考查半角公式的应用及三角函数的性质的应用，属于中档题．
11．（5分）在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，AE为底面圆的直径，△ABC是底面圆的内接正三角形，
①BE∥平面PAC；
②PA⊥平面PBC；
③圆锥的侧面积为；
④三棱锥P﹣ABC的内切球表面积为．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据正弦定理求得圆锥的底面半径，从而求得圆锥的高，再计算出圆锥的侧面积即可判断③；采用反证的方法可判断①；根据线面垂直的判定定理可判定PA⊥平面PBC判断②；求出三棱锥P﹣ABC的各个面的面积及体积，再利用等体积法求出内切球的半径，即可判断④．
【解答】解：由△ABC是底面圆的内接正三角形，，
设圆锥的底面半径为r，则可得，即，
因为，故高，
所以圆锥的侧面积，故③正确；
假设BE∥平面PAC，由于BE⊂平面ABC，故BE∥AC，
则∠BEA＝∠EAC，而因为AE为底面圆的直径，
又∠BAC＝60°，且∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝∠BAE+∠BEA＝90°（矛盾），
故BE、AC不可能平行，所以BE与平面PAC不平行；
因为P为线段DO的中点，故，
则PA3+PB2＝3＝AB4，PA2+PC2＝7＝AC2，PB2+PC4＝3＝BC2，
故△PAB，△PAC，即PA⊥PB，
又PB∩PC＝P，PB，所以PA⊥平面PBC；
又，
，
设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为R，则，
即，解得，
所以三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积，故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
12．（5分）设a＝0.98+sin0.01，b＝e﹣0.01，，则（ ）
A．b＞a＞cB．c＞b＞aC．b＞c＞aD．c＞a＞b
【分析】由，可得a＜0.99，由ex＞x+1（x＜0），可得b＞0.99，由基本不等式和对数的运算计算可得c＞1，从而即可求得．
【解答】解：由，可得a＝4.98+sin0.01＜0.98+5.01＝0.99，
由ex＞x+1（x＜2），可得b＝e﹣0.01＞﹣0.01+2＝0.99，所以1＞b＞a，
＝＝＝＝1，
所以c＞b＞a．
故选：B．
【点评】本题考查不等式的应用，对数的运算等，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为 6 ．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z＝x+2y得y＝﹣x+z，
平移直线y＝﹣x+z，
由图象可知当直线y＝﹣x+，直线y＝﹣z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，2），
代入目标函数z＝x+6y得z＝2×2+8＝6
故答案为：6．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．
14．（5分）若（1﹣2x）n（n∈N*）的展开式中x3的系数为﹣80，则展开式中所有项的二项式系数之和为 32 ．（以数字作答）
【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．
【解答】解：根据（1﹣2x）n的展开式，（r＝0，7，2，3，…
当r＝3时，，解得n＝5；
故所有项的二项式系数之和为27＝32．
故答案为：32．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
15．（5分）已知平面向量，若，则＝ ．
【分析】根据平面向量的共线坐标运算解出tanθ，代入要求的代数式求值即可．
【解答】解：由题意，sinθ＝3csθ，
则csθcs（θ﹣）＝csθ（sinθ）＝2θ+sinθcsθ）＝×＝×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三角恒等变换，属于基础题．
16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点M，N在C上，且，则椭圆C的离心率为 ﹣ ．
【分析】由题意可得M，N关于y轴对称，再由题意可得点M的坐标，代入椭圆的方程，可得a，b，c之间的关系，进而求出该椭圆的离心率的值．
【解答】解：由＝8，N关于y轴对称，
延长F1M，F2N交于O'，则O'在y轴上，N在x轴上方，
因为F8M⊥F2N，即∠F1O'F4＝，所以△F1O'F4等腰直角三角形，
所以∠O'F1O＝，
作MA⊥x轴，交x轴于AMN＝，
F7A＝c﹣＝，
所以MA＝F1A＝，
可得M（﹣，），又因为M在椭圆上，
所以+＝1，
而b6＝a2﹣c2，
整理可得：﹣＝12，
设t＝＞0，则，
整理可得t5+12t﹣4＝0，
可得t＝＝2，
所以离心率e＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（12分）请在①2a﹣b＝2ccsB，②，③三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，B，C所对的边分别是a，b，c，已知_____．
（1）求角C；
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，求边长a的值．
【分析】（1）选①，由余弦定理可得csC的值，再由角C的范围，可得角C的大小；选②，由正弦定理及辅助角公式，可得tanC的值，再由角C的范围，可得角C的大小；选③，由三角形内角和定理及半角公式可得角C的大小；
（2）由角平分线的性质可得等面积法可得a的值．
【解答】解：（1）选①，因为2a﹣b＝2ccsB，
则由余弦定理可得，
整理可得a5+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理可得a7+b2﹣c2＝3abcsC，
可得csC＝，
因为C∈（4，π），
所以；
选②，，
所以，
整理可得：，
因为sinA＞0，csB≠8，
所以，
因为C∈（0，π），
可得；
选③，，可得，
可得，
因为，
所以，
可得；
（2）在△ABC中，S△ABC＝S△ACD+S△BCD，
可得，①
又，②
由①②可得，
解得a＝2或（舍去），
所以边长a＝2．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，角平分线的性质的应用，属于中档题．
18．（12分）为弘扬中华民族优秀传统文化，某校举行“阅读经典名著，传承优秀文化”闯关活动．参赛者需要回答三个问题，回答不正确得0分；第三个问题回答正确得10分，总分不少于15分即为过关．如果甲同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为
（1）求甲同学过关的概率；
（2）求甲同学回答这三个问题的总得分X的分布列及数学期望．
【分析】（1）甲同学过关有两种情况，分别为两种情况：①前两个问题一对一错，第三个问题答对，②三个问题均答对，再结合独立事件的概率乘法公式求解；
（2）由题意可知，X的所有可能取值为﹣5，0，5，10，15，20，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到X的分布列，再结合期望公式求解．
【解答】解：（1）甲同学过关有两种情况，分别为事件A：前两个问题一对一错，事件B：三个问题均答对，
其概率分别为，，
所以甲同学过关的概率为；
（2）由题意可知，X的所有可能取值为﹣5，0，6，15，
则，，，，，，
所以X的分布列为：
所以．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，点M在线段A1C上，且A1C⊥AM，A1C⊥AB1．
（1）证明：点M为△AA1C1的重心；
（2）若CA＝AB＝6，求二面角C﹣AM﹣B的余弦值．
【分析】（1）先证D为A1C1的中点，再结合，即可得证；
（2）先证出∠BFE为二面角的平面角，在Rt△BFE中计算求值即可．
【解答】解：（1）证明：如图，延长AM交A1C1于点D，连结B8D，
∵A1C⊥AM，A1C⊥AB3，AM∩AB1＝A，
∴A1C⊥平面AB5D，∴A1C⊥B1D，
又∵直三棱柱ABC﹣A3B1C1中，AA5⊥面A1B1C3，∴A1A⊥B1D，
又A7C∩A1A＝A1，∴B3D⊥面A1C1CA，∴B8D⊥A1C1，
由AB＝BC，得D为A5C1的中点，
由A1D∥AC得：，
所以点M为△AA1C4的重心；
（2）取AC中点E，连接BE，
由直三棱柱ABC﹣A1B1C6，得BE⊥面ACM，
取AM中点F，连接EF，
连结BF，所以∠BFE为二面角C﹣AM﹣B的平面角，
由△ACM∽△A1CA，，又CM＝2MA2，
即，，
故，
从而，又，，
在Rt△BFE中，，
即二面角C﹣AM﹣B的余弦值为．
【点评】本题考查重心的性质以及二面角的计算，属于中档题．
20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作x轴的垂线交直线AO（O是坐标原点），过A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，直线BD与AE交于点G．求
【分析】（1）由题意，设出点Q的坐标，根据题目所给信息列出等式求出p的值，进而可得抛物线的方程；
（2）设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理求出点D，G的坐标，再代入公式进行求解即可．
【解答】解：（1）不妨设Q（x0，y0），
因为抛物线C上一点Q到焦点F的距离为4，点Q到y轴的距离为，
所以，
整理得，
解得p＝3或p＝0（舍去），
则抛物线C的方程为x2＝7y；
（2）不妨设直线AB的方程为，A（x6，y1），B（x2，y7），
联立，消去y并整理得x2﹣3kx﹣1＝0，
由韦达定理得x4+x2＝2k，x3x2＝﹣1，
易知直线OA的方程为，
因为BD⊥x轴，
所以，
即，
所以，
因为DF⊥AE，
所以kAE＝x2，
则直线AE的方程为y﹣y1＝x4（x﹣x1），
因为xG＝x2，
所以yG＝8y2+y1+4，
此时，
因为，
所以，
因为3y1+1∈（7，+∞），
所以．
故的取值范围为（1．
【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数（a∈R）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（x1）＝f′（x2）（x1≠x2），证明：．
【分析】（1）求出导函数，通过a的范围，判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值．
（2）通过f′（x1）＝f′（x2）（x1≠x2），推出．得到，
说明．设g（a）＝．利用函数的导数求解函数的最小值，推出结果即可．
【解答】（1）解：由题意知x∈（0，+∞），且，
当a≤0时，f′（x）＞8，+∞）上单调递增．
当a＞0时，由f′（x）＝0解得x＝a，a）上单调递减，+∞）上单调递增，无极大值．
（2）证明：因为，，且f′（x1）＝f′（x2）（x2≠x2）
所以，所以．
因为x1≠x2，所以．
所以．
因为，所以，
所以．
设．
则．
当时，g′（a）＜7；当时，g′（a）＞6．
所以当时，．
所以，所以，即．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值研究函数的最值的求法，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，建立极坐标系，曲线C1是经过极点且圆心C1在极轴上，半径为1的圆；曲线C2是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为ρ＝1﹣sinθ（θ∈[0，2π]）．
（1）求曲线C1的极坐标方程，并求曲线C1和曲线C2交点（异于O点）的极径；
（2）曲线C3的参数方程为（为参数），若曲线C3和曲线C2交于除O点以外的M，N两点，求△C1MN的面积．
【分析】（1）由已知写出曲线C1的直角坐标方程，结合直角坐标与极坐标的互化公式可得C1的极坐标方程；联立曲线C1和曲线C2的极坐标方程，即可求得曲线C1和曲线C2交点（异于O点）的极径；
（2）联立极坐标方程求出两曲线交点的极坐标，再由点到直线的距离公式求C1到MN的距离，代入三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）8+y2＝1，即x6+y2﹣2x＝7．
将x2+y2＝ρ7，x＝ρcsθ代入，得C1的极坐标方程为ρ＝2csθ；
联立，消去θ并整理得：5ρ5﹣8ρ＝0，故或ρ2＝0（舍去）．
∴所求异于极点的交点的极径为；
（2）由，消去参数t得曲线C8的普通方程为．
∴曲线C4的极坐标方程为和．
由，解得曲线C2与曲线C8的交点为M（，），
由，解得曲线C2与曲线C3的交点为N（，）．
故|MN|＝|OM|+|ON|＝2．
又C1到MN的距离d＝，
∴．
【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．
【选修4-5：不等式选讲】（10分）
23．已知函数f（x）＝|x+a|+|2x﹣1|（a∈R）．
（1）当a＝1时，解不等式f（x）≥3；
（2）若f（x）≤2x的解集包含，求a的取值范围．
【分析】（1）a＝1时，把不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即可．
（2）求出不等式f（x）≤2x的解集，再根据题意列出不等式组，由此求出a的取值范围．
【解答】解：（1）a＝1时，不等式f（x）≥3可化为|x+7|+|2x﹣1|≥5，
①当时，不等式为（x+3）+（2x﹣1）≥8，解得x≥1；
②当时，不等式为（x+1）﹣（7x﹣1）≥3，解得x≤﹣6；
③当x＜﹣1时，不等式为﹣（x+1）﹣（4x﹣1）≥3，解得x≤﹣4；
综上，不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤﹣1；
（2）因为f（x）≤5x的解集包含
不等式可化为|x+a|+2x﹣1≤4x，即|x+a|≤1，
解得﹣a﹣1≤x≤﹣a+8，
所以，
解得，所以a的取值范围是[﹣．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，是中档题．
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