2023-2024学年广东省惠州市实验中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省惠州市实验中学高二上学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两个平面垂直，两个平面的法向量也垂直，求解即可.
【详解】因为，所以，解得.
故选：D
2．若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】变形为，然后根据得答案.
【详解】方程表示一个圆，
即，
，
解得，
故选：B.
3．方程的化简结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由方程的几何意义及椭圆定义得出结果即可.
【详解】方程的几何意义为动点到定点和的距离和为10，并且，
所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为的椭圆，所以， ，
根据 ，所以椭圆方程为.
故选：C.
4．若直线与直线平行，则（ ）
A．2B．C．2或D．或1
【答案】A
【分析】由两直线平行得系数间的关系，解之即可.
【详解】若直线与直线平行，
则，且，
解得.
故选：A.
5．如图，在平行六面体中，若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算得到，然后求即可.
【详解】解：，又因，，
∴，
∴，，，
故选：A.
6．从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先找出基本事件的总数，然后找出满足条件的结伴事件数，利用概率公式求解即可.
【详解】从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，
基本事件总数种情况，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
共6种情况，
故所求概率为：，
故选：B.
7．在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】画出图形，作，则，可得，沿轴将坐标平面折成的二面角，故两异面直线所成的角为，结合已知，即可求得答案.
【详解】如图为折叠后的图形，其中作
则，
沿轴将坐标平面折成的二面角
两异面直线所成的角为．
可得：
故由
得
故选：D.
【点睛】本题考查了立体几何体中求线段长度，解题的关键是作图和掌握空间向量的距离求解公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
8．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线必过定点
C．方程与方程表示同一条直线
D．经过点，且在轴上截距相等的直线方程为
【答案】AB
【分析】A：先求斜率，然后根据求解出倾斜角；B：根据直线过定点列出关于的方程组，求解出结果即可知定点坐标；C：根据分式方程的特点作出判断即可；D：考虑直线的横纵截距是否为，由此分类讨论.
【详解】对于A：直线的斜率，所以倾斜角的正切值，所以，故正确；
对于B：因为直线，令，所以，所以直线过定点，故正确；
对于C：方程中，方程中，故错误；
对于D：当直线的横纵截距均为时，设直线方程，代入，解得，
当直线的横纵截距均不为时，设直线方程，代入，解得，
故所求直线方程为或，故错误；
故选：AB.
10．一副扑克牌去掉大王和小王后，共52张，各4张，从扑克牌中随机取出1张，“取出的牌为10”，“取出的牌为红桃”，“取出的牌为黑桃9”，则（ ）
A．M与N互斥B．M与P互斥
C．M与N相互独立D．N与P对立
【答案】BC
【分析】利用互斥事件、独立事件与对立事件的定义与概率公式逐一判断即可.
【详解】因为“取出的牌为10”，“取出的牌为红桃”，“取出的牌为黑桃9”，
所以与可以同时发生，与不能同时发生，所以与不互斥，与互斥，故错误，正确；
因为，所以，故C正确；
因为与的并事件不是全事件，所以与不对立，故D错误.
故选：BC.
11．若圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则m的值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】ABC
【分析】根据题意可知：圆心到直线的距离等于，结合点到直线的距离公式运算求解.
【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，
若圆上恰有四个点到直线的距离等于1，
则圆心到直线的距离等于，则，
解得，
显然.
故选：ABC.
12．在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得
C．三棱锥的体积为
D．直线与平面所成角的余弦值为
【答案】AC
【分析】A.利用空间向量运算求解判断；B. 利用空间向量运算求解判断；C.利用等体积法求解判断；D.利用线面角的求解判断.
【详解】由题意，画出正三棱柱如图所示，
向量，故A正确；
假设存在点，设，，所以.因为，所以.解得.故B错误；
因为正三棱柱，所以，所以，所以，故C正确；
设中点为，所以，三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即与平面所成的角，.故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．长方体中，，，则异面直线和所成角的余弦值是 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，求出异面直线和所成角的余弦值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
故异面直线和所成角的余弦值为
.
故答案为：
14．已知点，点Q是直线上：的动点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】的最小值即为点到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解.
【详解】的最小值即为点到直线的距离，
故的最小值为.
故答案为：.
15．已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以AB，AC为边的平行四边形的面积是 ．
【答案】
【详解】试题分析:求出向量的坐标，进而可得模长及向量的夹角，由此可计算以AB，AC为边的平行四边形的面积．
解：∵A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），
∴=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2），||=，||=
∴cs∠BAC==，
∴∠BAC=60°
∴S=×sin60°=
故答案为
【解析】向量在几何中的应用．
16．在平面直角坐标系xOy中，点，若直线上有且只有1个点P满足，则实数b的值是 .
【答案】
【分析】先用直接法求得点P的轨迹方程，再根据题意转化为直线与圆相切，利用点到直线的距离建立方程求解即可.
【详解】设，由，得，
整理得，即，即点P的轨迹为圆，圆心为，半径为，

因为直线上有且只有1个点P满足，即直线与圆C相切，
所以，解得.
故答案为：.
四、解答题
17．已知点是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线过与椭圆交于两点，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的焦距定义，结合代入法进行求解即可；
（2）利用椭圆定义进行求解即可.
【详解】（1）因为椭圆的焦距为6，所以，
又因为该椭圆过，所以，
由解得；
（2）由（1）可知，
的周长为：
18．在中，角的对边分别为，满足．
(1)求角；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，求得，即可求解；
（2）根据题意，由余弦定理求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理，可得，
即，
因为，可得，所以，
又因为，所以.
（2）因为，，且
由余弦定理知，即，
解得，所以的面积为．
五、证明题
19．如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解线线垂直，进而由线面垂直的判断求解，
（2）利用法向量的夹角即可求解.
【详解】（1）因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
,
,
因为，
所以，即
因为，
所以，即
又因为，平面，平面
因此平面
（2）因为平面，所以为平面的一个法向量
由（1）知为平面的一个法向量.
显然二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
六、解答题
20．猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.
(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求.
【详解】（1）设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”.
则，，，故，，.
“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.
每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立.
所以.
答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.
（2）设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.
所以.
解得.
七、证明题
21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF平面ABCD，EF//AB， ，AD=2，AB= AF=2EF=l，点P在棱DF上．
（1）若P为DF的中点，求证：BF//平面ACP;
（2）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．
【答案】（1）证明过程详见解析；（2）
【分析】试题分析：（1）连接BD，交AC于点O，连接OP．易知OP为三角形BDF的中位线，所以BF // OP，然后由直线与平面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，设出点P的坐标，并求出平面APF的法向量为，平面APC的法向量为 ，然后利用法向量夹角与平面夹角的关系列出一个等量关系，从而求出点P的坐标进而求出PF的长．
试题解析：（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，
所以OP为三角形BDF中位线，
所以BF // OP，
因为BF平面ACP，OP 平面ACP，
所以BF // 平面ACP．
（2）因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB，
因为 平面ABEF⊥平面ABCD，
且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，
所以AF⊥平面ABCD，
因为四边形ABCD为矩形，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
所以 ， ，，．
因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为．
设P点坐标为，
在平面APC中，， ，
所以 平面APC的法向量为 ，
所以 ，
解得，或 （舍）．此时．
【解析】①证明直线与平面平行；②二面角的大小问题．
【详解】22．已知点，圆．
(1)求圆过点的切线方程；
(2)为圆与轴正半轴的交点，过点作直线与圆交于两点、，设、的斜率分别为、，求证：为定值．
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在的情况下，直接验证即可；当切线的斜率存在时，设切线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可求出的值，综合可得出所求切线的方程；
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：易知圆的圆心为，半径为，因为，则点在圆外，
当切线的斜率不存在时，切线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，
则直线与圆相切，合乎题意；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，
则，解得，此时，切线的方程为，即.
综上所述，求圆过点的切线方程为或.
（2）证明：在圆的方程中，令，可得，则，
由（1）可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
设点、，
联立可得，
，解得，
由韦达定理可得，，
所以，
.
故为定值．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．