2024淄博实验中学高二下学期6月月考试题数学含解析

这是一份2024淄博实验中学高二下学期6月月考试题数学含解析，共9页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝5a2+6a1，则公比q为（ ）
A.1或5 B.5 C.1或-5 D.5或-1
2.已知随机变量X~N(3，2),且P(2＜x＜4)＝m,P(1＜x＜5)＝n,则P(2＜x＜5)的值为（ ）

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2+2a4+a10＝68，则S9＝（ ）
A.272 B.270 C.157 D.153
4.（1+1x）（1-x）6展开式中x2的系数为（ ）
A.-5 B.5 C.15 D.35
5.若函数f(x)＝2ax-lnx在[1,3]上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A.[16，12] B.（-,16]∪[12,+） C.（16，12） D.（-，16）∪（12，+）
6.小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ）
A.314 B.13 C.23 D.27
7.曲线y＝lnx与曲线y＝x2+2ax有公切线，则实数a的取值范围是（ ）
A.（-，−12] B.[−12，+） D.[12，+）
8.已知，b＝19，c＝ln1.1，则（ ）
A.c＜a＜b B.a＜b＜c C.c＜b＜a D.a＜c＜b
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法中正确的是（ ）
A.线性回归分析中可以用决定系数R2来刻画回归的效果，若R2的值越大，则模型的拟合效果越好
B.已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E(x)＝20，D(x)＝10，则n＝40
C.已知y关于x的回归直线方程为y＝0.3-0.7x，则样本点（2，-3）的残差为-1.9
D.已知随机事件A，B满足P（B）＝35，P（AB）＝25，则P（|B）＝23
10.（ ）.
A.若f(x)在R上单调递增，则a≤-1
B.若a＝1，则过点（0，3）能作两条直线与曲线y＝f(x)相切
C.若f(x)有两个极值点x1，x2，且x2＞x1，则a的取值范围为（-1，0）
D.若0＜a＜2，且f(x)＞a-1的解集为（m，n）（n＞m），则n-m≥2
11.已知Tn是正项数列{an}的前n项积，且an+Tn＝an,将数列{Tn}的第1项，第3项，第7项,…,第2n-1项抽出来，按原顺序组成一个新数列{bn},令cn＝Tnbn,数列{cn}的前n项和为Sn，且不等式Sn＞(-1)n·x对Vn∈N*恒成立，则（ ）
A.数列{Tn}是等比数列 B.an＝n+1n
C.Sn＝n· D.实数n的取值范围是（-4，16）
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，如果4人中必须既有男生又有女生，有________种选法.
13.已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an+1+an＝3×，则a7＝.
14.对任意x∈(1，+)，函数f(x)＝axlna-aln(x-1)≥0（a＞1）恒成立，则a的取值范围
为_________.
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知数列{an}是等差数列，其前n和为Sn，a2＝2，S9＝45，数列{bn}满足a1b1+a2b2+…anbn＝(n-1)·2n+1
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式;
（2）若对数列{an}，{bn}，在ak与ak+1之间插入bk个2（k∈N*），组成一个新数列{dn}，求数列{dn}的前83项的和T83.
16.（15分）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.
编号
1
2
3
4
5
学习时间x
30
40
50
60
70
数学成绩y
65
78
85
99
108
（1）求数学成绩y与学习时间x的相关系数（精确到0.001）;
（2）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考
（3）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表（表二）.依据表中数据及小概率值α＝0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.
没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末不在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
n（ad-bc）2
（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
17.（15分）已知函数f(x)＝xlnx-x-a,g(x)＝x2+lnx-ax.
（1）讨论g(x)的单调性;
（2）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围;
（3）若f(x)+2x≤g(x)对任意的x≥1恒成立，求实数a的取值范围.
18.（17分）2024年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由4道减少到3道，分值变为一题6分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得6分，有错选或全不选的得0分.若正确答案是“两项”的，则选对1个得3分;若正确答案是“三项”的，则选对1个得2分，选对2个得4分.某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为P，正确答案是三个选项的概率为1-p（其中0＜p＜1）.
（1）在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若P＝13，求学生甲该题得2分的概率;
（2）针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案:
Ⅰ:随机选一个选项: Ⅱ:随机选两个选项: Ⅲ:随机选三个选项.
① 若p＝12，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望;
② 以本题得分的数学期望为决策依据，P的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
19.（17分）如图所示数阵，第m（m≥1）行共有m+1个数，第m行的第1个数为C（__1），第2个数为Cln，第n（n≥3）个数为C（m+n-2）2-（m-2）2.规定:Cnn＝1.
（1）计算前4行的最后两个数，试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论:
（2）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列{an}，设数列{an}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得对任意正整数n，kSn≤4n-1恒成立？如存在，请求出k的最大值;如不存在，请说明理由.
2024年 淄博实验中学 高二年级 第二学期第三次月考参考答案
1-8: DADA CBBA 9-11:ABC AC BCD 12.120 13.127 14
7.[详解]两个函数求导分别为y′＝1/x，y＝2x+2a;
设y＝lnx，y＝x2+2ax图象上的切点分别为（x1，lnx1），（x2，x22+2ax2），则过这两点处的切线方程分别为y＝xx+lx1-1，y＝（2x2+2a）x-x2，则1x}＝2x2+2a，lnx1-1＝-x22，所以2a＝e（y^2-1）-2x2，设f(x)＝e（x^2-1）-2x，f′(x)＝2（xex2-1），f′（1）＝0，
令g(x)＝f′(x)＝2（xe（x-1）-1），所以g′(x)＝2（2x2+1）e（x-1）＞0，所以g(x)在R上单调递增，且f′（1）＝0，则f(x)在（-0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以2a≥f（1）＝-1，a≥−12.故选:B.
8.[详解]令f(x)＝ex−11−x，x∈（0，1），则f(x)＝ex−1（x−1）2＝ex−1（x−1）2＝（ex−1）2−1（x−1）2−1，令(x)＝ex（x-1）2-1，则′(x)＝ex（x-1）（x+1），
当x∈（0，1）时，ρ′(x)＜0，所以(x)在（0，1）上单调递减，
所以ρ(x)＜θ（0）＝0，即f′(x)＜0，所以f(x)在（0，1）上单调递减，所以f（0.1）＜f（0），即e（0.1）−11−0.1＜0，所以e（0^1-1）−1＜19，即a＜b;令g(x)＝ex-ln（x+1）-1，x∈（0，1），则g′(x)＝ex−1x+1，
令ω(x)＝ex−1x+1，则（x(x)）＝ex+1（x+1）2＞0，所以(x)在（0，1）上单调递增，所以ω(x)＞ω（0）＝0，即g′(x)＞0，所以g(x)在（0，1）上单调递增，
所以g（0.1）＞g（0）＝0，即e（x+1）-ln1.1-1＞0，所以e01-1＞ln1.1，即a＞c.所以c＜a＜b.故选:A.
10.[详解]对于A，对f(x)求导得:f′(x)＝−xex−1−a，因为函数f(x)在R上单调递增，所以f′(x)＝−xex−1−a≥0恒成立，
即-a≥xex−1恒成立，记g(x)＝xex−1，则-a≥g(x)…，
因为g′(x)＝1−xex−1，当x＜1时，g′(x)＞0，即函数g(x)在（-0，1）上单调递增，当x＞1时，g′(x)＜0，函数g(x)在（1，+）上单调递减，
因此，函数g(x)在x＝1处取得最大值g（1）＝1，所以-a≥1，即a≤-1，故选项A正确:对于B，a＝1时，f(x)＝x2−1ex−1−x−1，f′(x)＝−xex−1−1，设f(x)图象上一点（t，f（1），则f（t）＝t2−1e2−t−1，
故过点（，f（t））的切线方程为y-（（t2（+1）/（+2-1-1））＝（-（e（t^2-1）））（x-t），
将（0，3）代入上式得3-（e（t+1e+1-1）＝（-（e（t+1））-1）（0-1），整理得4（-1+1）-t2-1-1＝0，构造函数h（t）＝4e（^-1）-t2-t-1，则h′（t）＝4e（1-1）-2t-1，构造函数m（t）＝4e（^-1）-2t-1，则m′（t）＝4e（t-1）-2，
令m′（t）＝4e（t-1）-2＞0得t＞l+ln12，令mn（t）＝4e（t-1）-2＜0得{＜1+ln12，
所以函数m（t）＝4e（-1）-2t-1在（-c，1+ln12）上单调递减，在（1+ln12，+）上单调递增，
所以m（1）＞m（1+ln12）＝2ln2-1＞0，所以n′（t）＞0，所以函数h（）（）＝4（e^2-1）-t2-1-1单调递增，又h（-1）＝4e-2-1＜0，h（0）＝4e-1-1＞0，
即方程4e（-1）-t2-t-1＝0在区间（-1，0）仅有一解，从而在R上也仅有一解，所以过点（0，3）只能作一条直线与曲线y＝f(x)相切，B选项错误;对于 C，因为函数f(x)有两个极值点x1，x2，
所以f′(x)＝−xex−1-a有两个零点x1，x2，即方程−a＝xex−1有两个解为x1，x2，记g(x)＝xex−1，因为g′(x)＝1−xexx，
当x＜1时，g′(x)＞0，即函数g(x)在（-，）上单调递增，当x＞1时，g′(x)＜0，函数g(x)在（1，+）上单调递减，因此，函数g(x)在x＝1处取得最大值g（1）＝1，
方程−a＝xexx有两个解为x1，x2等价于y＝-a与y＝xex−1图像有两个不同公共点，所以0＜-a＜1，所以-1＜a＜0，C选项正确:
对于D，由f(x)＞a-1，得x2+1（（xx+1）），等价于（x+1）（e（x^2-a）＞0，即（x+1）（e-aex）＞0，当x＞-1时，aex＜e，x＜1-lna，又0＜a＜2，故lna＜ln2≈0.69，所以-1＜x＜1-lna，当x＜-1时，aex＞e，x＞1-lna无解，
故f(x)＞a-1的解集为（-1，l-lna），此时n-m＝（1-lna）-（-1）＝2-lna，
当1＜a＜2时，0＜lna＜ln2≈0.69，n-m＝2-lna＜2，从而D错误.故选:AC.
11.[详解]因为an+Tn＝anTn，所以1nn+1an＝1，当n≥2时，由T是数列{anyn的前n项积，得an＝\dfrac{x_n_1}{n_n}，即1an＝π1x1，
所以1nn+x−1x1＝1，所以Fn-T（n+1）＝1，所以数列{π3是公差为1的等差数列，故A错误;当n＝1时，a1+T1＝a1T1，即2T1＝T12，又T1＞0，所以T1＝2，所以Tn＝2+n-1＝n+1，当n≥2时，an＝\dfrac{π_n}{n_n_1}＝n+1n，又a1＝T1＝2，满足上式，所以an＝n+1n，故B正确;
由题意知bn＝T2＝2n-1+1＝2n，所以cn＝Tnbn＝（n+1）·2n，
则Sn＝2×2+3×22+…+（n+1）·2n，2Sn＝2×22+3×23+…+（n+1）·2^n+1/两式相减，得-Sn＝2×21+22+23+…+2n-（n+1）·2n+1
＝4+221−2n）1−2n-（n+1）2n1＝-n·2（n+1），所以Sn＝n·2（n+1），故C正确;
由Sn＝n·2（n+1），得Sn单调递增，当n为奇数时，由Sn＞（-1）n.n对Vn∈N*恒成立，得Sn＞-l1恒成立，即S1＞-l2，所以x＞-4:
当n为偶数时，由Sn＞（-1）n·xn＝N*恒成立，得Sn＞l（n）lnSn＞lnSn＞ln所以l＜16，所以实数k的取值范围是（-4，16），故D正确.故选:BCD.
14.[详解]由题意得a（x-1））na≥ln（x-1），因为x∈（1，+），所以（x-1）a（x-1）|na≥（x-1）|n（x-1），即a（x-1）|na（x-1）≥（x-1）|n（x-1），令F（t）＝t|nt，t＞0，则F（a（x-1））≥F（x-1）恒成立，因为F′（t）＝1+lnt，令F′（t）＞0得，↑＞e+，F（t）＝lnt单调递增，令F′（t）＜0得，0＜t＜e1，F（t）＝llnt单调递减，
且当0＜t≤1时，F（t）≤0恒成立，当{＞1时，F（t）＞0恒成立，因为a＞1，x＞1，所以a（x-1）＞1恒成立，故F（a（x-1））＞0，
当x-l∈（0，1）时，F（x-1）≤0，此时满足F（a（x-1））＞F（x-1）恒成立，当x-1＞1，即x＞2时，由于F（t）＝tlnt在r∈（e-1，+）上单调递增，由F（（a-1）≥F（x-1）得a（x-1）≥x-1＝＞lna≥1n（x−1）x−1，令u＝x-1＞1，g（u）＝1nnn，
则g′（v）＝1−lnyn2，当u∈（1，e）时，g′（u）＞0，g（u）＝lnun单调递增，当u∈（e，+）时，g′（v）＜0，g（u）＝lnun单调递减，
故g（u）＝lnǔn在u＝e处取得极大值，也是最大值，g（e）＝lnee＝1e，故lna≥1e，即l2e1a，所以，a的取值范围是[ee+x0）.
15.[详解]（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，
a1b1+a2b2+…+anbn＝（n-1）·2n+1①
当n≥2时，a1b1+a2b2+…+an1bn1＝（n-2）·2（n-1）+1② ，
① -② 可得，bn＝2n-1（n≥2），当n＝1时，a1b1＝1，b1＝1适合bn＝2n1，所以bn＝2（n-1）（n∈N*）
（2）因为an＝n，所以在数列{dn}中，从项a1开始到项ak为止，共有项数为k+20+21+…+2（k+2）＝k+2（k+1）-1当k＝7时，7+26-1＝70＜83;当k＝8时，8+27-1＝135＞83，所以数列{dn}前83项是项a7之后还有13项为2，
所求和为T83＝（1+2+…+7）+2×（20+21+…+25+13）＝180.
16.[详解]（1）x(x)＝30+40+50+60+705＝50，4505＝87，r＝22800−550×87100−11500＝10701074≈0.996;
（2）由（1）知r＝0.996接近1，故y与x之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归直线方程模型进行拟合，
（3），--25-88-7-100-35-33.5，
故y＝1.07x+33.5，当x＝100时，y＝140.5，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分;
（3）零假设为H0:学生周末在校自主学习与成绩进步无关.
根据数据，计算得到:
x2＝（220×55×530−350）2165×55000＝1109≈12.22因为12.22＞10.828，
所以依据α＝0.001的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关.
17.[详解]（1）记事件A为“正确答案选两个选项”，事件B为“学生甲得2分”.
P（B）＝P（A）P（B|A）+P（A）P′（B）A1＝13×0+23×C3C4＝12，即学生甲该题得2分的概率为12，示
（2）① 记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则X可以取0，2，3， P（X＝0）＝12×c1c1+12×cc1＝38，P（X＝2）＝12×0+12×C3C3＝38，P（X＝3）＝12×C2C4+12×0＝14，
所以X的分布列为
则数学期望E(x)＝0×38+2×38+3×14＝32.
② 记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则P（X＝0）＝p×2c4+（1-p）×1ca＝1+p4，P（x＝2）＝p×0+（1-p）×C1C4＝34（1-p）， P（X＝3）＝p×C2C4+（1-p）×0＝12P，所以E(x)＝0×1+p4+2×34（1-p）+3×12P＝32;记Y为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，
则P（（x＝0）＝p×Cc2−1c−1+（1-p）×C2C2＝13p+12，P（x＝4）＝p×0+（1-p）×C2−C′CC＝12（1-p）， P（（x2＝6）＝p1c2+（1-p）×0＝16P，所以E（Y）＝0×（13P+12）+4×12（1-p））+61/6p＝2-p2记Z为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，
则P（Z＝0）＝p×1+（1-p）×CC−1C−1＝14p+34，P（Z＝6）＝p×0+（1-p）×1C＝14（1-p），所以E（Z）＝0×（14P+34）+6×14（1-p）＝32（1-p）.2−p＜32
要使唯独选择方案1最好，则{32（1-p）＜32，解得:12＜p＜1，故P的取值范围为（12，）.0＜p＜1
18.[详解]（1）g′(x)＝2x+1x−a＝2x2−+1x，x＞0，当a≤0时，g′(x)＞0，所以g(x)在（0，+）上单调递增.当a＞0时，令g′(x)＝0，则2x2-ax+1＝0.
若△＝a2-8≤0，即0＜a≤22时，g′(x)＞0恒成立，所以g(x)在（0，+）上单调递增.若△＝a2-8＞0，即a＞22时，方程2x2-ax+1＝0的根为x＝a±4−84，当g′(x)＞0时，0＜x＜a−(a2−8a−或x＞a+(a2−84，
当g′(x)＜0时，a−4−84＜x＜a+a−84，g(x)在a−42−84，a+4−84）上单调递减.
综上所述，当a≤22时，g(x)在（0+c）上单调递增:当a＞22时，g(x)在（0，a−4−84）和（a+(a2−84+x）上单调递增，在（a−a2−84−8，a+4−84）上单调递减.
（2）令f(x)＝xlnx-x-a＝0,则a＝xlnx-x.令h(x)＝xlnx-x,则h′(x)＝lnx.
所以当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上单调递减.
当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，+）上单调递增.
又当0＜x＜1时，h(x)＝x（lnx-1）＜0，且h（1）＝-1:当x＞1时，h（e）＝0，所以当0＜x＜e时，h(x)先减后增，且在x＝1处有最小值-1，
此时直线y＝a与h(x)＝xlnx-x有两个交点，所以实数a的取值范围为（-1，0）.
（3）因为g(x)-f(x)-2x≥0.即x2-x+lnx-xlnx+a-ax≥0，即x（x-1）-mx（x-1）≥a（x-1），对x∈[1，+）恒成立.当x＝1时，上式显然成立;当x＞1时，上式转化为a≤x-lnx，
令(x)＝x-lnx，x∈（1+c），∴q′(x)＝1−1x＝x−1x＞0，所以函数q(x)在x∈（1+00）上单调递增， ∴β(x)＞4（1）＝1，∴a≤1，
综上所述，实数a的取值范围为（，1）
19.[详解]（1）第1行最后两数C00＝C1＝1，第2行的最后两数C22＝C33＝2，第3行的最后两数C42-C42＝C55-C1s5＝5，第4行的最后两数C66-C06＝C1_-C72＝14
第m（m≥3）行的第m个数为C（m-2）−m−3m−2，第m+1个数为C（m-1）2-C（m-1），猜测:C（m−1））m−2−C（m−2）m−22＝C（m-1）-1−C（m−1）m−1，