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2024黑龙江省实验中学高二上学期12月月考试题数学含解析
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这是一份2024黑龙江省实验中学高二上学期12月月考试题数学含解析，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：高二数学备课组
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1．设，则是直线与直线平行的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ）
A．15B．30C．35D．42
3．居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（ ）
A．0.99B．0.9C．0.5D．0.1
4．过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于对称时，线段的长为（ ）
A．4B．C．D．2
5．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于第一象限的点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于，两点，为线段的中点.下列说法正确的个数（ ）
①直线与垂直
②若点的坐标为，则直线方程为
③若直线方程为，则点的坐标为
④若直线方程为，则
A．4B．3C．2D．1
8．设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
9．下列结论错误的是（ ）
A. 过点，的直线的倾斜角为30°
B. 若直线与直线垂直，则
C. 直线与直线之间的距离为
D. 已知，，点在轴上，的最小值是5
10．已知圆与圆，现给出如下结论，其中正确的是（ ）
A. 圆O与圆C有四条公切线
B. 过圆心C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或
C. 过圆心C且与圆O相切的直线方程为
D. P、Q分别为圆C上的动点，则的最大值为，最小值为
11．2020年东京奥运会于北京时间2021年7月23日到8月8日在东京奥林匹克体育场举行．某公司为推销某种运动饮料，拟在奥运会期间进行广告宣传，经市场调查，广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）的数据如下表所示：
根据表中的数据可得y关于x的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．相应于点的残差为0.16
C．当广告支出费用为7万元时，销售量约为15.32万件 D. 回归直线经过点（6,13.4）
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，点，则（ ）
A．的最小值为9 B．四边形的周长为8
C．直线，的斜率之积为 D．若点为椭圆上的一个动点，则的最小值为
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．若的展开式中的系数为9，则a的值为________.
14．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 .
15．已知椭圆的两个焦点分别为，椭圆上一点满足，且，则椭圆的离心率为 .
16．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆
交于A, B两点，、分别交轴于P,Q两点，的周长为4. 过作外角平分线的垂线与直线交于点，则 .
广告支出费用x
2
3
4
5
6
销售量y
4
5
7
10.6
13.4
四、解答题（共6小题，第17题10分，其余小题每题12分，共70分）
17．已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于2.
(1)求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程.
18．抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中3双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；
(2)取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望.
19．在高三一轮复习中，大单元复习教学法日渐受到老师们的喜爱，为了检验这种复习方法的效果，在A，B两所学校的高三年级用数学科目进行了对比测试．已知A校采用大单元复习教学法，B校采用传统的复习教学法．在经历两个月的实践后举行了考试，现从A，B两校高三年级的学生中各随机抽取100名学生，统计他们的数学成绩（满分150分）在各个分数段对应的人数如下表所示：
(1)若把数学成绩不低于110分的评定为数学成绩优秀，低于110分的评定为数学成绩不优秀，完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否推断复习教学法与评定结果有关；
(2)在A校抽取的100名学生中按分层抽样的方法从成绩在和内的学生中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行访谈，记抽取的3人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与数学期望．
附：，其中．
20．某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，
21．已知椭圆的长轴长为6，离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，且，求实数的值．
22．已知椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若（为原点），求直线的方程；
(3)过原点作直线的垂线，垂足为P，若 ，求的值.
高二上学期12月月考数学答案
一、单选题
二、多选题
三、填空题
13．1 14． 15． 16．
解答题
17．(1)点点轨迹方程为，其轨迹为以原点为圆心，2 为半径的圆
(2)或
【分析】（1）根据题意直接列方程化简求解即可，
（2）分直线斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，结弦长，圆心距和半径的关系可求得结果．
【详解】（1）由题意可知，，整理，得，
故点点轨迹方程为，其轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆．
（2）由题意可知
①当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，满足弦长为．
②当直线的斜率存在时，不妨设为，
则直线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，因为直线被所截得的线段的长为，
所以，所以，解得，
所以直线方程为．
综上，满足条件的直线的方程为或．
18．(1)
(2)分布列见解析，期望为1.606
【分析】（1）根据全概率公式、条件概率公式求得正确答案.
（2）通过求概率求得分布列，并求得数学期望.
【详解】（1）设第1次取出的是一次性筷子为事件A，第2次取出的是非一次性筷子为事件B，
则，
，
所以在第2次取出的是非一次性筷子的前提下，
第1次取出的是一次性筷子的概率；
（2）记取出的一次性筷子的双数为X，则，
则，
，
，
则，
则X的分布列为
数学期望.
19．(1)列联表见解析，有关
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）由题意可得列联表，计算的值，与临界值表比较，即得结论；
（2）根据分层抽样确定和内抽取人数，确定X的取值，结合超几何分布的概率计算求得每个值相应的概率，即可得分布列，根据期望公式求得数学期望.
【详解】（1）由题意完成列联表如下：
零假设为：复习教学法与评定结果无关．
则，
∴根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为复习教学法与评定结果有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）按分层抽样的方法从成绩在和内的学生中随机抽取10人，
则成绩在内的人数为3，成绩在内的人数为7，
故X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
故X的分布列为
则．
20．(1)
(2)（i）需停止生产并检查设备；（ii），
【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的计算公式，即可求得，继而结合方差的计算公式求得；
（2）（i）根据，，确定，，判断抽查的零件关键指标有无在之外的情况，即可得结论；（ii）求出抽测一个零件关键指标在之外的概率，确定，根据二项分布的概率公式以及期望公式，即可求得答案.
【详解】（1）由频率分布直方图，得．
．
（2）（i）由（1）可知，，
所以，，
显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备．
（ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为，
所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为，
故，所以，
X的数学期望．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率公式进行求解即可；
（2）根据椭圆弦长公式进行求解即可.
【详解】（1）因为椭圆的长轴长为6，
所以有，
又因为椭圆的离心率，
所以有，
所以该椭圆的标准方程为；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，得，
因为直线与椭圆相交于，两点，
所以有，
设，
则有，
，
即，
所以实数的值为
22．(1)；
(2)或者；
(3)
【分析】（1）先直接求出，再根据离心率求出即可；
（2）先设出过右焦点的直线，然后联立得到韦达定理，再把转化为进而代入韦达定理即可；
（3）先求出，再由韦达定理求出弦长，最后代入求解即可.
【详解】（1）因为椭圆焦点在轴上且经过点，所以，
又因为，所以，又，
解得，
所以椭圆方程为；
（2）如图所示，
由（1）知，所以直线，设，
联立，可得，
易得，所以，
所以，
而，
解得，所以直线方程为或者；
（3）如图所示，
过作交于点，所以为点到直线的距离，
即，所以，
又
，
所以，
所以.
【点睛】关键点睛：熟练应用韦达定理和弦长公式是解析几何的基本功，需要多加训练和熟悉.
A校
6
14
50
30
B校
14
26
38
22
数学成绩不优秀
数学成绩优秀
总计
A校
B校
总计
0.10
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83
1
2
3
4
5
6
7
8
B
B
C
C
C
D
C
B
9
10
11
12
ABC
AD
ABC
BCD
X
0
1
2
3
P
0.064
0.366
0.47
0.1
数学成绩不优秀
数学成绩优秀
总计
A校
20
80
100
B校
40
60
100
总计
60
140
200
X
0
1
2
3
P
考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：高二数学备课组
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1．设，则是直线与直线平行的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ）
A．15B．30C．35D．42
3．居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（ ）
A．0.99B．0.9C．0.5D．0.1
4．过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于对称时，线段的长为（ ）
A．4B．C．D．2
5．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于第一象限的点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于，两点，为线段的中点.下列说法正确的个数（ ）
①直线与垂直
②若点的坐标为，则直线方程为
③若直线方程为，则点的坐标为
④若直线方程为，则
A．4B．3C．2D．1
8．设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
9．下列结论错误的是（ ）
A. 过点，的直线的倾斜角为30°
B. 若直线与直线垂直，则
C. 直线与直线之间的距离为
D. 已知，，点在轴上，的最小值是5
10．已知圆与圆，现给出如下结论，其中正确的是（ ）
A. 圆O与圆C有四条公切线
B. 过圆心C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或
C. 过圆心C且与圆O相切的直线方程为
D. P、Q分别为圆C上的动点，则的最大值为，最小值为
11．2020年东京奥运会于北京时间2021年7月23日到8月8日在东京奥林匹克体育场举行．某公司为推销某种运动饮料，拟在奥运会期间进行广告宣传，经市场调查，广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）的数据如下表所示：
根据表中的数据可得y关于x的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．相应于点的残差为0.16
C．当广告支出费用为7万元时，销售量约为15.32万件 D. 回归直线经过点（6,13.4）
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，点，则（ ）
A．的最小值为9 B．四边形的周长为8
C．直线，的斜率之积为 D．若点为椭圆上的一个动点，则的最小值为
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．若的展开式中的系数为9，则a的值为________.
14．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 .
15．已知椭圆的两个焦点分别为，椭圆上一点满足，且，则椭圆的离心率为 .
16．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆
交于A, B两点，、分别交轴于P,Q两点，的周长为4. 过作外角平分线的垂线与直线交于点，则 .
广告支出费用x
2
3
4
5
6
销售量y
4
5
7
10.6
13.4
四、解答题（共6小题，第17题10分，其余小题每题12分，共70分）
17．已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于2.
(1)求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程.
18．抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中3双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；
(2)取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望.
19．在高三一轮复习中，大单元复习教学法日渐受到老师们的喜爱，为了检验这种复习方法的效果，在A，B两所学校的高三年级用数学科目进行了对比测试．已知A校采用大单元复习教学法，B校采用传统的复习教学法．在经历两个月的实践后举行了考试，现从A，B两校高三年级的学生中各随机抽取100名学生，统计他们的数学成绩（满分150分）在各个分数段对应的人数如下表所示：
(1)若把数学成绩不低于110分的评定为数学成绩优秀，低于110分的评定为数学成绩不优秀，完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否推断复习教学法与评定结果有关；
(2)在A校抽取的100名学生中按分层抽样的方法从成绩在和内的学生中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行访谈，记抽取的3人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与数学期望．
附：，其中．
20．某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，
21．已知椭圆的长轴长为6，离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，且，求实数的值．
22．已知椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若（为原点），求直线的方程；
(3)过原点作直线的垂线，垂足为P，若 ，求的值.
高二上学期12月月考数学答案
一、单选题
二、多选题
三、填空题
13．1 14． 15． 16．
解答题
17．(1)点点轨迹方程为，其轨迹为以原点为圆心，2 为半径的圆
(2)或
【分析】（1）根据题意直接列方程化简求解即可，
（2）分直线斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，结弦长，圆心距和半径的关系可求得结果．
【详解】（1）由题意可知，，整理，得，
故点点轨迹方程为，其轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆．
（2）由题意可知
①当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，满足弦长为．
②当直线的斜率存在时，不妨设为，
则直线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，因为直线被所截得的线段的长为，
所以，所以，解得，
所以直线方程为．
综上，满足条件的直线的方程为或．
18．(1)
(2)分布列见解析，期望为1.606
【分析】（1）根据全概率公式、条件概率公式求得正确答案.
（2）通过求概率求得分布列，并求得数学期望.
【详解】（1）设第1次取出的是一次性筷子为事件A，第2次取出的是非一次性筷子为事件B，
则，
，
所以在第2次取出的是非一次性筷子的前提下，
第1次取出的是一次性筷子的概率；
（2）记取出的一次性筷子的双数为X，则，
则，
，
，
则，
则X的分布列为
数学期望.
19．(1)列联表见解析，有关
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）由题意可得列联表，计算的值，与临界值表比较，即得结论；
（2）根据分层抽样确定和内抽取人数，确定X的取值，结合超几何分布的概率计算求得每个值相应的概率，即可得分布列，根据期望公式求得数学期望.
【详解】（1）由题意完成列联表如下：
零假设为：复习教学法与评定结果无关．
则，
∴根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为复习教学法与评定结果有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）按分层抽样的方法从成绩在和内的学生中随机抽取10人，
则成绩在内的人数为3，成绩在内的人数为7，
故X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
故X的分布列为
则．
20．(1)
(2)（i）需停止生产并检查设备；（ii），
【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的计算公式，即可求得，继而结合方差的计算公式求得；
（2）（i）根据，，确定，，判断抽查的零件关键指标有无在之外的情况，即可得结论；（ii）求出抽测一个零件关键指标在之外的概率，确定，根据二项分布的概率公式以及期望公式，即可求得答案.
【详解】（1）由频率分布直方图，得．
．
（2）（i）由（1）可知，，
所以，，
显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备．
（ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为，
所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为，
故，所以，
X的数学期望．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率公式进行求解即可；
（2）根据椭圆弦长公式进行求解即可.
【详解】（1）因为椭圆的长轴长为6，
所以有，
又因为椭圆的离心率，
所以有，
所以该椭圆的标准方程为；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，得，
因为直线与椭圆相交于，两点，
所以有，
设，
则有，
，
即，
所以实数的值为
22．(1)；
(2)或者；
(3)
【分析】（1）先直接求出，再根据离心率求出即可；
（2）先设出过右焦点的直线，然后联立得到韦达定理，再把转化为进而代入韦达定理即可；
（3）先求出，再由韦达定理求出弦长，最后代入求解即可.
【详解】（1）因为椭圆焦点在轴上且经过点，所以，
又因为，所以，又，
解得，
所以椭圆方程为；
（2）如图所示，
由（1）知，所以直线，设，
联立，可得，
易得，所以，
所以，
而，
解得，所以直线方程为或者；
（3）如图所示，
过作交于点，所以为点到直线的距离，
即，所以，
又
，
所以，
所以.
【点睛】关键点睛：熟练应用韦达定理和弦长公式是解析几何的基本功，需要多加训练和熟悉.
A校
6
14
50
30
B校
14
26
38
22
数学成绩不优秀
数学成绩优秀
总计
A校
B校
总计
0.10
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83
1
2
3
4
5
6
7
8
B
B
C
C
C
D
C
B
9
10
11
12
ABC
AD
ABC
BCD
X
0
1
2
3
P
0.064
0.366
0.47
0.1
数学成绩不优秀
数学成绩优秀
总计
A校
20
80
100
B校
40
60
100
总计
60
140
200
X
0
1
2
3
P
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