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2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第14课时 二次函数的图象与性质（课件）
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这是一份2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第14课时 二次函数的图象与性质（课件），共48页。PPT课件主要包含了二次函数图象与性质，考点精讲，二次函数的概念，二次函数的图象与性质，x＝h，正半轴，二次函数解析式的确定，二次函数图象的平移，x＝－1，－14等内容，欢迎下载使用。
【对接教材】北师：九下第二章P29～P45； 人教：九上第二十二章P28～P42.
1. 根据二次函数解析式判断函数性质
2. 根据二次函数解析式判断函数图象
1. 解析式的三种形式
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
2. 确定二次函数解析式的步骤
一、二次函数图象与性质
例1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的几组对应值如下表：
根据表格中的信息，解答下列问题：(1)观察表格可得抛物线与x轴的交点坐标为___________________；与y轴的交点坐标为________；抛物线的对称轴为直线____________；顶点坐标为____________；
(－3，0)、(1，0)
(2)根据描点法画出该函数的大致图象；
(3)抛物线的开口向________；(4)抛物线的表达式为_____________________，化为顶点式为_____________________；(5)抛物线上的点A( ， )关于抛物线对称轴对称的点B的坐标为_______________；
y＝－(x＋1)2＋4
(6)若点C为抛物线上一点，且到对称轴的距离为1，则点C的坐标为__________________________；(7)若B(－5，y1)，C(－2，y2)，D(4，y3)三点在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为_________________；(8)当－1≤x≤3时，y的最小值为________，y的最大值为________．
(－2，3)或(0，3)
二、二次函数解析式的确定形式一 解析式未给出
例2 (1)已知抛物线以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)，求抛物线的解析式；
解：(1) ∵抛物线以A(－1，4)为顶点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋4，将点B(2，－5)代入，得－5＝a(2＋1)2＋4，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3
(2)若抛物线经过(2，0)、(－1，0)、(1，－4)三点，求抛物线的解析式；
(2)∵抛物线经过点(2，0)，(－1，0)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－2)(x＋1)，将点(1，－4)代入，得－4＝a(1－2)(1＋1)，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2(x－2)(x＋1)＝2x2－2x－4；
(3)若抛物线过原点，且经过点(－1，－4)、(2，2)，求抛物线的解析式.
例3 已知抛物线y＝ax2＋bx＋1.(1)当抛物线经过(1，－2)和(3，－2)两点时，求抛物线的解析式；
(2)当抛物线的顶点坐标为(2，－1)时，求抛物线的解析式；
(3)当抛物线的对称轴为直线x＝－1，且经过点(2，0)时，求抛物线的解析式；
(4)若抛物线经过A(2，3)，B(4，5)，C(4，3)三点中的两点，求抛物线的解析式．
(4)由题意可知，抛物线经过点(0，1)，∵过点(0，1)和A(2，3)的直线解析式为y＝x＋1，且点B(4，5)也在该直线上，∴抛物线经过A(2，3)，B(4，5)两点中的一点．∵B(4，5)，C(4，3)两点的横坐标相同，∴抛物线经过B(4，5)，C(4，3)两点中的一点，∴抛物线经过A(2，3)，C(4，3)两点．
将A(2，3)，C(4，3)两点代入， 得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x＋1.
形式三 二次函数图象的平移确定解析式
例4 已知抛物线y＝－x2＋4x－3.(1)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，求平移后的抛物线的解析式；
解：(1)由题意可知，平移后的抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋4(x＋1)－3＋2，即y＝－x2＋2x＋2；
(2)将抛物线沿x轴平移，若平移后的抛物线过点(0，1)，求平移后的抛物线的解析式．
(2)抛物线y＝－x2＋4x－3可化为y＝－(x－2)2＋1，设抛物线沿x轴平移h个单位长度，则平移后的解析式为y＝－(x－2＋h)2＋1，∵平移后的抛物线过点(0，1)，∴－(－2＋h)2＋1＝1，解得h＝2，∴平移后的抛物线的解析式为y＝－x2＋1.
例5 已知抛物线y＝x2＋2mx＋2m2－m.(1)若抛物线过点P(－2，t)、Q(4，t)，则m的值为___________；(2)若x＜3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为________；(3)若抛物线经过第一、二、三象限，则m的取值范围为___________；
(4)若点B(2，yB)，C(5，yC)在抛物线上，且yB＞yC，求m的取值范围；
(5)当1≤x≤3时，函数y的最小值等于6，求m的值；
③当－m≥3，即m≤－3，当x＝3时，y有最小值6，∴9＋6m＋2m2－m＝6，即2m2＋5m＋3＝0，解得m＝－ (不合题意，舍去)或m＝－1(不合题意，舍去)． 综上所述，m的值为 或－2；
(6)该抛物线的顶点随m的变化而移动，当顶点移到最低处时，求该抛物线的顶点坐标；
(7)当m＝2时，平移该抛物线，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移方法及平移后的抛物线的解析式．
(7)当m＝2时，该抛物线解析式为y＝x2＋4x＋6＝(x＋2)2＋2，将该抛物线向右平移2个单位，向下平移2个单位，可使其顶点恰好落在原点，平移后的抛物线的解析式为y＝x2.
1. (2021呼和浩特3题3分)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( )
2. (2023包头10题3分)已知二次函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)的图象经过第一象限的点(1，－b)，则一次函数y＝bx－ac的图象不经过( )A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限
3. (2023赤峰12题3分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：以下结论正确的是( )A. 抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下B. 当x<3时，y随x增大而增大C. 方程ax2＋bx＋c＝0的根为0和2D. 当y>0时，x的取值范围是0
二次函数图象的平移(包头2022.19，呼和浩特2022.7)
6. (2022呼和浩特7题3分)关于二次函数y＝ x2－6x＋a＋27，下列说法错误的是( )A. 若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点(4，5)，则a＝－5B. 当x＝12时，y有最小值a－9C. x＝2对应的函数值比最小值大7D. 当a<0时，图象与x轴有两个不同的交点
7. (2022包头19题3分)在平面直角坐标系中，已知A(－1，m)和B(5，m)是抛物线y＝x2＋bx＋1上的两点，将抛物线y＝x2＋bx＋1的图象向上平移n(n是正整数)个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为________．
8. (2023山西)抛物线的函数表达式为y＝3(x－2)2＋1, 若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为( )A. y＝3(x＋1)2＋3 B. y＝3(x－5)2＋3C. y＝3(x－5)2－1 D. y＝3(x＋1)2－1
9．(2023丽水)如图，已知抛物线L：y＝x2＋bx＋c经过点A(0，－5)，B(5，0)．(1)求b，c的值；
(2)连接AB，交抛物线L的对称轴于点M.①求点M的坐标；
∴抛物线L的对称轴是直线x＝2，当x＝2时，y＝x－5＝－3.∴点M的坐标是(2，－3)；
②将抛物线L向左平移m(m＞0)个单位得到抛物线L1，过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N，P是抛物线L1上一点，横坐标为－1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE＋MN＝10，求m的值．
②由(1)得抛物线L的解析式为y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，∴设抛物线L1的解析式是y＝(x－2＋m)2－9.∵MN∥y轴，∴点N的坐标是(2，m2－9)．∵点P的横坐标为－1，
∴点P的坐标是(－1，m2－6m)．设PE交抛物线L1于另一点Q，∵抛物线L1的对称轴是直线x＝2－m，PE∥x轴，∴根据抛物线的对称性可知，点Q的坐标是(5－2m，m2－6m)，此时，分三种情况讨论．
(ⅰ)如解图，当点N在点M及下方，即0
解得m1＝ (舍去)，m2＝ (舍去)；
【对接教材】北师：九下第二章P29～P45； 人教：九上第二十二章P28～P42.
1. 根据二次函数解析式判断函数性质
2. 根据二次函数解析式判断函数图象
1. 解析式的三种形式
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
2. 确定二次函数解析式的步骤
一、二次函数图象与性质
例1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的几组对应值如下表：
根据表格中的信息，解答下列问题：(1)观察表格可得抛物线与x轴的交点坐标为___________________；与y轴的交点坐标为________；抛物线的对称轴为直线____________；顶点坐标为____________；
(－3，0)、(1，0)
(2)根据描点法画出该函数的大致图象；
(3)抛物线的开口向________；(4)抛物线的表达式为_____________________，化为顶点式为_____________________；(5)抛物线上的点A( ， )关于抛物线对称轴对称的点B的坐标为_______________；
y＝－(x＋1)2＋4
(6)若点C为抛物线上一点，且到对称轴的距离为1，则点C的坐标为__________________________；(7)若B(－5，y1)，C(－2，y2)，D(4，y3)三点在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为_________________；(8)当－1≤x≤3时，y的最小值为________，y的最大值为________．
(－2，3)或(0，3)
二、二次函数解析式的确定形式一 解析式未给出
例2 (1)已知抛物线以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)，求抛物线的解析式；
解：(1) ∵抛物线以A(－1，4)为顶点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋4，将点B(2，－5)代入，得－5＝a(2＋1)2＋4，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3
(2)若抛物线经过(2，0)、(－1，0)、(1，－4)三点，求抛物线的解析式；
(2)∵抛物线经过点(2，0)，(－1，0)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－2)(x＋1)，将点(1，－4)代入，得－4＝a(1－2)(1＋1)，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2(x－2)(x＋1)＝2x2－2x－4；
(3)若抛物线过原点，且经过点(－1，－4)、(2，2)，求抛物线的解析式.
例3 已知抛物线y＝ax2＋bx＋1.(1)当抛物线经过(1，－2)和(3，－2)两点时，求抛物线的解析式；
(2)当抛物线的顶点坐标为(2，－1)时，求抛物线的解析式；
(3)当抛物线的对称轴为直线x＝－1，且经过点(2，0)时，求抛物线的解析式；
(4)若抛物线经过A(2，3)，B(4，5)，C(4，3)三点中的两点，求抛物线的解析式．
(4)由题意可知，抛物线经过点(0，1)，∵过点(0，1)和A(2，3)的直线解析式为y＝x＋1，且点B(4，5)也在该直线上，∴抛物线经过A(2，3)，B(4，5)两点中的一点．∵B(4，5)，C(4，3)两点的横坐标相同，∴抛物线经过B(4，5)，C(4，3)两点中的一点，∴抛物线经过A(2，3)，C(4，3)两点．
将A(2，3)，C(4，3)两点代入， 得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x＋1.
形式三 二次函数图象的平移确定解析式
例4 已知抛物线y＝－x2＋4x－3.(1)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，求平移后的抛物线的解析式；
解：(1)由题意可知，平移后的抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋4(x＋1)－3＋2，即y＝－x2＋2x＋2；
(2)将抛物线沿x轴平移，若平移后的抛物线过点(0，1)，求平移后的抛物线的解析式．
(2)抛物线y＝－x2＋4x－3可化为y＝－(x－2)2＋1，设抛物线沿x轴平移h个单位长度，则平移后的解析式为y＝－(x－2＋h)2＋1，∵平移后的抛物线过点(0，1)，∴－(－2＋h)2＋1＝1，解得h＝2，∴平移后的抛物线的解析式为y＝－x2＋1.
例5 已知抛物线y＝x2＋2mx＋2m2－m.(1)若抛物线过点P(－2，t)、Q(4，t)，则m的值为___________；(2)若x＜3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为________；(3)若抛物线经过第一、二、三象限，则m的取值范围为___________；
(4)若点B(2，yB)，C(5，yC)在抛物线上，且yB＞yC，求m的取值范围；
(5)当1≤x≤3时，函数y的最小值等于6，求m的值；
③当－m≥3，即m≤－3，当x＝3时，y有最小值6，∴9＋6m＋2m2－m＝6，即2m2＋5m＋3＝0，解得m＝－ (不合题意，舍去)或m＝－1(不合题意，舍去)． 综上所述，m的值为 或－2；
(6)该抛物线的顶点随m的变化而移动，当顶点移到最低处时，求该抛物线的顶点坐标；
(7)当m＝2时，平移该抛物线，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移方法及平移后的抛物线的解析式．
(7)当m＝2时，该抛物线解析式为y＝x2＋4x＋6＝(x＋2)2＋2，将该抛物线向右平移2个单位，向下平移2个单位，可使其顶点恰好落在原点，平移后的抛物线的解析式为y＝x2.
1. (2021呼和浩特3题3分)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( )
2. (2023包头10题3分)已知二次函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)的图象经过第一象限的点(1，－b)，则一次函数y＝bx－ac的图象不经过( )A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限
3. (2023赤峰12题3分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：以下结论正确的是( )A. 抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下B. 当x<3时，y随x增大而增大C. 方程ax2＋bx＋c＝0的根为0和2D. 当y>0时，x的取值范围是0
二次函数图象的平移(包头2022.19，呼和浩特2022.7)
6. (2022呼和浩特7题3分)关于二次函数y＝ x2－6x＋a＋27，下列说法错误的是( )A. 若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点(4，5)，则a＝－5B. 当x＝12时，y有最小值a－9C. x＝2对应的函数值比最小值大7D. 当a<0时，图象与x轴有两个不同的交点
7. (2022包头19题3分)在平面直角坐标系中，已知A(－1，m)和B(5，m)是抛物线y＝x2＋bx＋1上的两点，将抛物线y＝x2＋bx＋1的图象向上平移n(n是正整数)个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为________．
8. (2023山西)抛物线的函数表达式为y＝3(x－2)2＋1, 若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为( )A. y＝3(x＋1)2＋3 B. y＝3(x－5)2＋3C. y＝3(x－5)2－1 D. y＝3(x＋1)2－1
9．(2023丽水)如图，已知抛物线L：y＝x2＋bx＋c经过点A(0，－5)，B(5，0)．(1)求b，c的值；
(2)连接AB，交抛物线L的对称轴于点M.①求点M的坐标；
∴抛物线L的对称轴是直线x＝2，当x＝2时，y＝x－5＝－3.∴点M的坐标是(2，－3)；
②将抛物线L向左平移m(m＞0)个单位得到抛物线L1，过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N，P是抛物线L1上一点，横坐标为－1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE＋MN＝10，求m的值．
②由(1)得抛物线L的解析式为y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，∴设抛物线L1的解析式是y＝(x－2＋m)2－9.∵MN∥y轴，∴点N的坐标是(2，m2－9)．∵点P的横坐标为－1，
∴点P的坐标是(－1，m2－6m)．设PE交抛物线L1于另一点Q，∵抛物线L1的对称轴是直线x＝2－m，PE∥x轴，∴根据抛物线的对称性可知，点Q的坐标是(5－2m，m2－6m)，此时，分三种情况讨论．
(ⅰ)如解图，当点N在点M及下方，即0
解得m1＝ (舍去)，m2＝ (舍去)；
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