四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知函数,则为( )
A.9B.8C.-8D.-9
二、选择题
2．一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有( )
A.3种B.504种C.24种D.12种
三、选择题
3．已知在处的导数为2,则( )
A.2B.6C.D.
四、选择题
4．已知函数,则的最大值为( )
A.B.0C.D.
五、选择题
5．函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
六、选择题
6．若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
七、选择题
7．若,,,则( )
A.B.C.D.
八、选择题
8．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时,给出了“牛顿数列”,它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数,若数列满足,则称数列为牛顿数列,若函数,且,则的值是( )
A.8B.2C.-4D.-6
九、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A.B.
C.D.
一十、多项选择题
10．函数的导函数的图像如图所示,则( )
A.-3是函数的极值点B.-1是函数的极小值点
C.在区间上单调递增D.-2是函数的极大值点
一十一、多项选择题
11．已知函数,则( )
A.当时,函数存在极值点
B.若函数在点处的切线方程为直线,则
C.点是曲线的对称中心
D.当时,函数有三个零点
一十二、多项选择题
12．已知（其中为自然对数的底数）,则下列结论正确的是( )
A.为函数的导函数,则方程有3个不等的实数解
B.,
C.若对任意,不等式恒成立,则实数a的最大值为-1
D.若,则的最大值为
一十三、填空题
13．有3位高三学生参加4所重点院校的自主招生考试,每人参加且只能参加一所学校的考试,则不同的考试方法种数为__________________.
一十四、填空题
14．函数的单调递减区间为______________.
一十五、填空题
15．已知函数的部分图像如图所示,若,不等式的解集为________________.
一十六、填空题
16．已知函数,对任意且,恒有成立,则实数a的取值范围是_________________.
一十七、解答题
17．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程;
（2）求在区间上的最值.
一十八、解答题
18．已知函数 在时取得极值.
（1）求实数a;
（2）若,求的单调区间和极值.
一十九、解答题
19．设的极小值为-8,其导函数的图像经过点,.
（1）求的解析式;
（2）若对都有恒成立,求实数m的取值范围.
二十、解答题
20．已知函数
（1）讨论函数的单调性;
（2）证明：当时,
二十一、解答题
21．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆,年销售量为辆,本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为,则出厂价相应提高的比例为,年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量.
（1）若年销售量增加的比例为,写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式;
（2）若年销售量关于x的函数为,则当x为何值时,本年度年利润最大？最大年利润是多少？
二十二、解答题
22．已知函数,其中.
（1）求当时,函数在区间上的最小值;
(2)若函数有两个不同的零点,.
①求实数a的取值范围;
②证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：,
故选：B.
2．答案：C
解析：从书架上取一本书，由分类加法计数原理可知，不同的取法共有种.
故选：C.
3．答案：A
解析：,.
故选：A.
4．答案：C
解析：,令,得,
当,,为减函数,
当,,增函数,
又,则.
故选：C.
5．答案：C
解析：
由函数的定义域为R,
且,所以函数为偶函数,
当时,,则,
当时,;当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
故选：C.
6．答案：D
解析：依题意知，有两个不相等的零点，故，解得且.
7．答案：C
解析：因为,
构造函数,,则,
令,解得;当时,令,解得;
可得在上单调递减,在上单调递增;
且,所以,即.
故选：C.
8．答案：D
解析：因为,则,
则,故,
所以数列是以首项,公差为-1的等数列,可得.
故选：D.
9．答案：BC
解析：,故A错误;
,故B正确;
,故C正确;
,故D错误.
故选：BC.
10．答案：AC
解析：由图像可得,当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
故是函数的极值点,-2 、-1不是函数的极值点,
故选：AC.
11．答案：BC
解析：由,可得,
对A,当时,,在上单调递增,
故函数不存在极值点,故A错误;
对B,由切线方程知,解得,故B正确;
对C,因为,所以函数关于成中心对称,故C正确;
对D,当时,,当或时,,当时,,
所以函数在和上单调递增,在上单调递减,
极大值为,极小值为,
故函数一定不会有3个零点,至多1个零点,故D错误.
故选：BC.
12．答案：AC
解析：对于A,若,则或,
而,,
所以当时,,即单调递减,当时,,即单调递增,
所以,而,
所以方程有3个不等的实数解,故A正确;
对于B,若,,由A选项分析可知,即单调递增,
所以,令,,,,所以单调递增,
所以,矛盾,故B选项错误;
对于C,由B选项分析可知在上单调递增,而由复合函数单调性可知在上单调递增,
若对任意,不等式恒成立,则,
即在上恒成立,
令,当时,,令,,
则,,
所以当时,,单调递减,当时,,单调递增,
所以,
因为,在上恒成立,
所以,即,故C正确;
对于D,若,
又在上单调递增,所以,
所以,,
所以,,所以当时,,单调递增,当时,,单调递减,
所以,即的最大值为,故D错误.
故选：AC.
13．答案：64
解析：每位学生可以有4种参加重点院校的自主招生考试,由分步乘法计数原理可得,不同的考试方法种数为种.
故答案为：64.
14．答案：
解析：
15．答案：
解析：由图可知当时,,时,,时,,
当时,,故满足题意;
当时,,故满足题意;
当时,或或,故或满足题意;
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：.
16．答案：
解析：由对任意且,恒有,
可得,整理得,
因为任意,且,
设函数,则函数在为单调递增函数,
因为,可得在为单调递增函数,
可得在上恒成立,所以在上恒成立,
即在上恒成立,所以,
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）最大值为4,最小值为0
解析：（1）对函数求导,,
,,
所求得的切线方程为,
即;
（2）由（1）有,
令,解得：或,
故函数在递增,在递减,
故函数在取最大值,
,,
故函数在的最大值为4,最小值为0.
18．答案：（1）2
（2）答案见解析
解析：（1）因为,所以,
由题意得,
即,解得,经检验符合题意;
（2）由（1）得,,
则,
由得或,得,
即的单调递增区间为,,单调递减区间为,
所以的极大值为,极小值为
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为函数,可得,
且的图像经过,
则-2,为的两个根,可得,
所以
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以在上单调递增,在和单调递减,
可得,所以,所以.
（2）要使得都有恒成立,只需,
又由（1）知在上单调递增,在和单调递减,
且,,所以,
可得,解得,所以所示实数m的取值范围是.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）依题意,,
当时,,
当时,由得,由得,
即当时函数在是减函数;
当时在是减函数,在是减函数;
（2）由（1）知当时,的最小值为,
,
设,
则,
函数在是减函数,在是减函数,
即的最小值为,即,
,即的最小值,
.
21．答案：（1）
（2）当时,本年度的年利润最大,最大年利润为20000万元
解析：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为,出厂价为,年销售量为.
因此本年度的年利润
.
（2）本年度的年利润为
,
则,
令,解得或(舍去).
当时,,当时,,
所以时,有最大值.
所以当时,本年度的年利润最大,最大年利润为20000万元.
22．答案：（1）
（2）①;②证明见解析
解析：（1）当时,,定义域为,
若,则;若,则;
所以的增区间为,减区间为
（2）（i）函数的定义域是,
.
当时,令则或(舍).
当,即时,,在上单调递减,
在上的最小值是,
当,即时,
当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
在上的最小值是,
当,即时,,,在上单调递增,
在上的最小值是.
综上,.
（ii）①有两个不同的零点即有两个不同实根,
得,令,,令,得,
当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减,
时,取得最大值,且,当时,
得的大致图像如图所示：
,所以实数a的取值范围为.
②当时,有两个不同的零点.
两根满足,,
两式相加得：,两式相减得：,
上述两式相除得,不妨设,要证：,
只需证：,即证,
设,令,则,
函数在上单调递增,且.
,即,.