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2023-2024学年福建省福州二中高二（下）期末数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年福建省福州二中高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x−2x+2≤0}，B={x|x2−3x<0}，则A∪B=( )
A. {x|x≤2或x≥3}B. {x|−2C. {x|02.已知A(1,2)，B(2,4)，C(m,6)三点共线，则m的值为( )
A. −5B. 5C. −3D. 3
3.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
4.若椭圆x2a2+y23=1(a>0)的离心率为 22，则该椭圆的焦距为( )
A. 3B. 6C. 2 6或 3D. 2 3或 6
5.已知圆x2+y2−6x=0，过点D(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)按[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为( )
A. a的值为0.015B. 估计这组数据的众数为80
C. 估计这组数据的第60百分位数为87D. 估计成绩低于80分的有350人
7.设a=1e，b=ln33，c=e−2+ln2，设a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a
8.已知函数f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=x3+2x，则曲线y=f(x)在x=−1处的切线方程为( )
A. y=−5x−2B. y=−5x−8C. y=5x+2D. y=5x+8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A. ab≤14B. lg2a+lg2b≤−2
C. a2+b2≥1D. 2a+2b≥2 2
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. f(x)=2sin(2x+π4)
B. f(x)在[−π4,π4]上单调递增
C. f(x)的图象向右平移π4个单位长度后得到的函数是奇函数
D. f(x)在[−π,π]上的零点有4个
11.设函数f(x)=2x3−3ax2+1，则( )
A. 当a>1时，f(x)有三个零点
B. 当a<0时，x=0是f(x)的极大值点
C. 存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D. 存在a，使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足iz=2+i，则z的虚部为______．
13.已知函数f(x)=(3a−1)x,x<1x2−2ax+a,x≥1是增函数，则实数a的取值范围为______．
14.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=2，BC=1，AA1=2，点D在棱AC上，点E在棱BB1上，给出下列三个结论：
①四棱锥E−ACC1A1的体积为定值
②三棱锥E−ABD的体积的最大值为23
③A1D+DB的最小值为 2+ 5
请写出所有正确结论的序号______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=ccsA．
(1)试判断△ABC的形状；
(2)若c=1，求△ABC周长的最大值．
16.(本小题15分)
在各项均不相等的等差数列{an}中，a1=1，且a1，a2，a5等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=2n+1−2．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)求数列{1anan+1}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直．
(1)求a；
(2)求f(x)的单调区间和极值．
18.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，AD=2 2，M为BC的中点．
(1)求证：AM⊥平面PBD；
(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；
(3)求D到平面APM的距离．
19.(本小题17分)
已知抛物线E：y2=2px(p>0)经过点P(1,2)．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设直线y=kx+m与E的交点为A，B，直线PA与PB倾斜角互补．
(i)求k的值；
(ii)若m<3，求△PAB面积的最大值．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.D
5.B
6.C
7.A
8.A
9.ABD
10.AD
11.AD
12.−2
13.(13,12]
14.①②
15.解：(1)由b=ccsA，利用余弦定理得b=cb2+c2−a22bc，即a2+b2=c2，
所以C=π2，
所以△ABC是直角三角形；
(2)由(1)知△ABC是直角三角形，且c=1，
可得a=sinA，b=csA，
所以△ABC周长为1+sinA+csA=1+ 2sin(A+π4)≤1+ 2，
所以当A=π4时，即△ABC为等腰直角三角形，周长有最大值为1+ 2．
16.解：(1)设数列{an}的公差为d，则a2=a1+d，a5=a1+4d，
∵a1，a2，a5成等比数列，∴a22=a1a5，即(a1+d)2=a1(a1+4d)，
整理得d2=2a1d，解得d=0(舍去)或d=2a1=2，
∴an=a1+(n−1)d=2n−1，
当n≥2时，bn=Sn−Sn−1=2n+1−2−(2n−2)=2n+1−2n=2×2n−2n=2n，
当n=1时，b1=2满足上式，
∴数列{bn}的通项公式为bn=2n．
(2)1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
则数列{1anan+1}的前n项和Tn=12(11−13+13+⋯+12n−1−12n+1)
=12(1−12n+1)=n2n+1．
17.解：(1)f′(x)=1x+2x+a，则f′(2)=12+2×2+a=92+a，
由题意可得(92+a)×(−23)=−1，解得a=−3；
(2)由a=−3，故f(x)=lnx+x2−3x+2，
则f′(x)=1x+2x−3=2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x，x>0，
故当00，当121时，f′(x)>0，
故f(x)的单调递增区间为(0,12)、(1,+∞)，f(x)的单调递减区间为(12,1)，
故f(x)有极大值f(12)=ln12+(12)2−3×12+2=34−ln2，
有极小值f(1)=ln1+12−3×1+2=0．
18.解：(1)证明：∵PD=DC=2，AD=2 2，M为BC的中点，
∴ADAB=ABAM= 2，又四棱锥P−ABCD的底面是矩形，
∴∠DAB=∠MBA=π2，
∴Rt△DAB∽Rt△ABM，∴∠DBA=∠AMB，
又∠MBD+∠DBA=π2，∴∠MBD+∠ANB=π2⇒AM⊥DB，
∵PD⊥底面ABCD，AM⊂底面ABCD，
∴PD⊥AM，又DB∩PB=B，且DB，PB⊂平面PBD，
∴AM⊥平面PBD；
(2)∵PD⊥平面ABCD，又AD，DC⊂平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥DC，又四棱锥P−ABCD的底面是矩形，
∴AD⊥DC，∴建立如下图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得：
D(0,0,0),P(0,0,2),A(2 2,0,0),M( 2,2,0)，
∴PA=(2 2,0,−2)，MA=( 2,−2,0)，DP=(0,0,2)，
∵PD⊥平面ABCD，∴平面ABCD的法向量为DP=(0,0,2)，
设平面APM的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅PA=2 2x−2z=0n⋅MA= 2x−2y=0，取n=( 2,1,2)，
∴平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为：
|cs|=|DP⋅n||DP||n|=42 7=2 77；
(3)由(2)可知平面APM的法向量为n=( 2,1,2)，|cs|=2 77，
∴D到平面APM的距离为|DP||cs|=2×2 77=4 77．
19.解：(1)由题意可知，4=2p，所以p=2，
所以抛物线E的方程为y2=4x；
(2)(i)设A(x1,y1)B(x2,y2)，如图，
联立方程y2=4xy=kx+m，消去y得：k2x2+(2km−4)x+m2=0，则Δ=(2km−4)2−4k2m2=16−16km>0，即km<1，
所以x1+x2=4−2kmk2，x1x2=m2k2，
因为直线PA与PB倾斜角互补，
所以kPA+kPB=y2−2x2−1+y1−2x1−1=kx2+m−2x2−1+kx1+m−2x1−1=0，
即2k+(k+m−2)(1x2−1+1x1−1)=2k+(k+m−2)x1+x2−2(x2−1)(x1−1)=0，
所以2k+(k+m−2)4−2km−2k2(k+m−2)(k+m+2)=0，
即2k+4−2km−2k2k+m+2=0，解得：k=−1；
(ii)由(i)x1+x2=4+2m，x1x2=m2，
则|AB|= 1+1 (x1+x2)2−4x1x2−4 2 1+m，
因为Δ=(2m+4)2−4m2>0，所以m>−1，即−1又点P到直线AB的距离为|3−m| 2，
所以S=12×4 2⋅ 1+m⋅|3−m| 2=2 (3−m)2(m+1)，
因为(3−m)2(m+1)=12(3−m)(3−m)(2m+2)≤12(3−m+3−m+2m−23)3=3227，
所以S≤8 69，当且仅当3−m=2m+2，即m=13时，等号成立，
所以△PAB面积最大值为8 69．
1.已知集合A={x|x−2x+2≤0}，B={x|x2−3x<0}，则A∪B=( )
A. {x|x≤2或x≥3}B. {x|−2
A. −5B. 5C. −3D. 3
3.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
4.若椭圆x2a2+y23=1(a>0)的离心率为 22，则该椭圆的焦距为( )
A. 3B. 6C. 2 6或 3D. 2 3或 6
5.已知圆x2+y2−6x=0，过点D(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)按[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为( )
A. a的值为0.015B. 估计这组数据的众数为80
C. 估计这组数据的第60百分位数为87D. 估计成绩低于80分的有350人
7.设a=1e，b=ln33，c=e−2+ln2，设a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a
8.已知函数f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=x3+2x，则曲线y=f(x)在x=−1处的切线方程为( )
A. y=−5x−2B. y=−5x−8C. y=5x+2D. y=5x+8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A. ab≤14B. lg2a+lg2b≤−2
C. a2+b2≥1D. 2a+2b≥2 2
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. f(x)=2sin(2x+π4)
B. f(x)在[−π4,π4]上单调递增
C. f(x)的图象向右平移π4个单位长度后得到的函数是奇函数
D. f(x)在[−π,π]上的零点有4个
11.设函数f(x)=2x3−3ax2+1，则( )
A. 当a>1时，f(x)有三个零点
B. 当a<0时，x=0是f(x)的极大值点
C. 存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D. 存在a，使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足iz=2+i，则z的虚部为______．
13.已知函数f(x)=(3a−1)x,x<1x2−2ax+a,x≥1是增函数，则实数a的取值范围为______．
14.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=2，BC=1，AA1=2，点D在棱AC上，点E在棱BB1上，给出下列三个结论：
①四棱锥E−ACC1A1的体积为定值
②三棱锥E−ABD的体积的最大值为23
③A1D+DB的最小值为 2+ 5
请写出所有正确结论的序号______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=ccsA．
(1)试判断△ABC的形状；
(2)若c=1，求△ABC周长的最大值．
16.(本小题15分)
在各项均不相等的等差数列{an}中，a1=1，且a1，a2，a5等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=2n+1−2．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)求数列{1anan+1}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直．
(1)求a；
(2)求f(x)的单调区间和极值．
18.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，AD=2 2，M为BC的中点．
(1)求证：AM⊥平面PBD；
(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；
(3)求D到平面APM的距离．
19.(本小题17分)
已知抛物线E：y2=2px(p>0)经过点P(1,2)．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设直线y=kx+m与E的交点为A，B，直线PA与PB倾斜角互补．
(i)求k的值；
(ii)若m<3，求△PAB面积的最大值．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.D
5.B
6.C
7.A
8.A
9.ABD
10.AD
11.AD
12.−2
13.(13,12]
14.①②
15.解：(1)由b=ccsA，利用余弦定理得b=cb2+c2−a22bc，即a2+b2=c2，
所以C=π2，
所以△ABC是直角三角形；
(2)由(1)知△ABC是直角三角形，且c=1，
可得a=sinA，b=csA，
所以△ABC周长为1+sinA+csA=1+ 2sin(A+π4)≤1+ 2，
所以当A=π4时，即△ABC为等腰直角三角形，周长有最大值为1+ 2．
16.解：(1)设数列{an}的公差为d，则a2=a1+d，a5=a1+4d，
∵a1，a2，a5成等比数列，∴a22=a1a5，即(a1+d)2=a1(a1+4d)，
整理得d2=2a1d，解得d=0(舍去)或d=2a1=2，
∴an=a1+(n−1)d=2n−1，
当n≥2时，bn=Sn−Sn−1=2n+1−2−(2n−2)=2n+1−2n=2×2n−2n=2n，
当n=1时，b1=2满足上式，
∴数列{bn}的通项公式为bn=2n．
(2)1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
则数列{1anan+1}的前n项和Tn=12(11−13+13+⋯+12n−1−12n+1)
=12(1−12n+1)=n2n+1．
17.解：(1)f′(x)=1x+2x+a，则f′(2)=12+2×2+a=92+a，
由题意可得(92+a)×(−23)=−1，解得a=−3；
(2)由a=−3，故f(x)=lnx+x2−3x+2，
则f′(x)=1x+2x−3=2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x，x>0，
故当0
故f(x)的单调递增区间为(0,12)、(1,+∞)，f(x)的单调递减区间为(12,1)，
故f(x)有极大值f(12)=ln12+(12)2−3×12+2=34−ln2，
有极小值f(1)=ln1+12−3×1+2=0．
18.解：(1)证明：∵PD=DC=2，AD=2 2，M为BC的中点，
∴ADAB=ABAM= 2，又四棱锥P−ABCD的底面是矩形，
∴∠DAB=∠MBA=π2，
∴Rt△DAB∽Rt△ABM，∴∠DBA=∠AMB，
又∠MBD+∠DBA=π2，∴∠MBD+∠ANB=π2⇒AM⊥DB，
∵PD⊥底面ABCD，AM⊂底面ABCD，
∴PD⊥AM，又DB∩PB=B，且DB，PB⊂平面PBD，
∴AM⊥平面PBD；
(2)∵PD⊥平面ABCD，又AD，DC⊂平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥DC，又四棱锥P−ABCD的底面是矩形，
∴AD⊥DC，∴建立如下图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得：
D(0,0,0),P(0,0,2),A(2 2,0,0),M( 2,2,0)，
∴PA=(2 2,0,−2)，MA=( 2,−2,0)，DP=(0,0,2)，
∵PD⊥平面ABCD，∴平面ABCD的法向量为DP=(0,0,2)，
设平面APM的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅PA=2 2x−2z=0n⋅MA= 2x−2y=0，取n=( 2,1,2)，
∴平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为：
|cs
(3)由(2)可知平面APM的法向量为n=( 2,1,2)，|cs
∴D到平面APM的距离为|DP||cs
19.解：(1)由题意可知，4=2p，所以p=2，
所以抛物线E的方程为y2=4x；
(2)(i)设A(x1,y1)B(x2,y2)，如图，
联立方程y2=4xy=kx+m，消去y得：k2x2+(2km−4)x+m2=0，则Δ=(2km−4)2−4k2m2=16−16km>0，即km<1，
所以x1+x2=4−2kmk2，x1x2=m2k2，
因为直线PA与PB倾斜角互补，
所以kPA+kPB=y2−2x2−1+y1−2x1−1=kx2+m−2x2−1+kx1+m−2x1−1=0，
即2k+(k+m−2)(1x2−1+1x1−1)=2k+(k+m−2)x1+x2−2(x2−1)(x1−1)=0，
所以2k+(k+m−2)4−2km−2k2(k+m−2)(k+m+2)=0，
即2k+4−2km−2k2k+m+2=0，解得：k=−1；
(ii)由(i)x1+x2=4+2m，x1x2=m2，
则|AB|= 1+1 (x1+x2)2−4x1x2−4 2 1+m，
因为Δ=(2m+4)2−4m2>0，所以m>−1，即−1
所以S=12×4 2⋅ 1+m⋅|3−m| 2=2 (3−m)2(m+1)，
因为(3−m)2(m+1)=12(3−m)(3−m)(2m+2)≤12(3−m+3−m+2m−23)3=3227，
所以S≤8 69，当且仅当3−m=2m+2，即m=13时，等号成立，
所以△PAB面积最大值为8 69．
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