2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（5分）欧拉公式eiθ＝csθ+isinθ由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e，虚数单位i与三角函数csθ，sinθ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z=eiπ2，则z的虚部为（ ）
A．iB．1C．22iD．22
3．（5分）已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圆N：（x+2）2+（y+1）2＝1，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为（ ）
A．y＝0B．4x﹣3y＝0C．x-2y+5=0D．x+2y-5=0
4．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则△PAC的面积为（ ）
A．3B．2C．22D．23
5．（5分）在数列{an}中，a1＝1，且函数f（x）＝x5+an+1sinx﹣（2an+3）x+3的导函数有唯一零点，则a9的值为（ ）
A．1021B．1022C．1023D．1024
6．（5分）△ABC中，sin(π2-B)=cs2A，则AC-BCAB的取值范围是（ ）
A．(-1，12)B．(13，12)C．(12，23)D．(13，23)
7．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，x轴上方两点A，B在椭圆上，AF1与BF2平行，AF2交BF1于P．过P且倾斜角为α（α≠0）的直线从上到下依次交椭圆于S，T．若|PS|＝β|PT|，则“α为定值”是“β为定值”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不必要也不充分条件
8．（5分）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数f（x）＝axex﹣ln（ax）和g(x)=2ln(x-1)x图象上的动点，若对任意a＞0，有|PQ|≥m恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．3B．322C．2D．52
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知向量a→=(1，3)，b→=(2x，2-x)，其中x∈R，下列说法正确的是（ ）
A．若a→⊥b→，则x＝6
B．若a→与b→夹角为锐角，则x＜6
C．若x＝1，则a→在b→方向上投影向量为b→
D．若|a→|=4
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），则下列说法正确的是（ ）
A．若函数f（x）的图象关于点（1，f（1））中心对称，则a＝﹣3
B．当c＝0时，函数f（x）过原点的切线有且仅有两条
C．函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减的充要条件是2a﹣b≥3
D．若实数x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，且满足x1+x2＝x1x2，则a＞0或a＜﹣6
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝2sinx+|sin2x|，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图象关于x=π2对称
C．f（x）在[0，2π]上有四个零点
D．f（x）的值域为[-2，332]
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，y1＞2，E与F关于原点对称，直线AB与直线AE的倾斜角分别是α与β，则（ ）
A．sinα＞tanβB．∠AEF＝∠BEFC．∠AEB＜90°D．α＜2β
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．（5分）(2x-y)5展开式中x2y3的系数为 （用数字作答）
14．（5分）已知某批零件的质量指标ξ（单位：毫米）服从正态分布N（25.40，σ2），且P（ξ≥25.45）＝0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则D（X）＝ ．
15．（5分）已知f（x）为奇函数，当x∈（0，1]，f（x）＝lnx，且f（x）关于直线x＝1对称．设方程f（x）＝x+1的正数解为x1，x2，⋯，xn，⋯，且任意的n∈N，总存在实数M，使得|xn+1﹣xn|＜M成立，则实数M的最小值为 ．
16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，BD＝BC＝2，沿对角线BD将△ABD折起，使平面ADB⊥平面BDC，得到三棱锥A﹣BCD，则三棱锥A﹣BCD外接球表面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足Sn=(an+12)2．
（1）求an；
（2）设bn=1(an+1)(an+1+1)，设数列{bn}的前n项和为Tn，若m-24＜Tn＜m5对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．
18．（12分）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A-B)csB=sin(A-C)csC．
（1）求证：B＝C；
（2）若asinC＝2，求1a2+1b2的最大值．
19．（12分）如图4，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D为A1C1的中点．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）记二面角A1﹣AC﹣B的大小为θ，θ∈[π3，2π3]时，求直线AA1与平面BB1C1C所成角的正弦值的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）＝ex+csx﹣2，f'（x）为f（x）的导数．
（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；
（2）当x≥-π2时，xex+xcsx﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范围．
21．（12分）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2．
（1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；
（2）求四局比赛后，比赛结束的概率；
（3）若Pi（i＝0，1，⋯，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0＝0，P6＝1．证明：{Pi+1﹣Pi}（i＝0，1，2，⋯，5）为等比数列．
22．（12分）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线y＝x垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线y＝﹣x垂直，B为垂足且位于第二象限．四边形OAMB（O为原点）的面积为2，记动点M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）点E(22，0)，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为k1，k2，k3．若(1k1+1k2)⋅k3=-6，求△PQE周长的取值范围．
2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：如图，集合A为函数y＝2x图象的点集，
集合B为函数y＝x2图象的点集，
两函数的图象有三个交点，
所以A∩B的元素个数为3个．
故选：C．
2．（5分）欧拉公式eiθ＝csθ+isinθ由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e，虚数单位i与三角函数csθ，sinθ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z=eiπ2，则z的虚部为（ ）
A．iB．1C．22iD．22
【解答】解：z=eiπ2=eπ4i=csπ4+sinπ4i=22+22i，其虚部为22．
故选：D．
3．（5分）已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圆N：（x+2）2+（y+1）2＝1，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为（ ）
A．y＝0B．4x﹣3y＝0C．x-2y+5=0D．x+2y-5=0
【解答】解：如图，圆心M（2，1），N（﹣2，﹣1），半径r1＝r2＝1，两圆相离，有四条公切线．
两圆心坐标关于原点O对称，则有两条切线过原点O，
设切线l：y＝kx，则圆心到直线的距离|2k-1|1+k2=1，解得k＝0或k=43，
另两条切线与直线MN平行且相距为1，lMN：y=12x，
设切线l：y=12x+b，则|b|1+14=1，
解得b=±52（或通过斜率排除）．所以D项不正确．
故选：D．
4．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则△PAC的面积为（ ）
A．3B．2C．22D．23
【解答】解：如图所示，∵AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，
∴△PAB是等腰三角形，
由余弦定理可得AB2=AP2+BP2-2AP⋅BP⋅cs120°=12⇒AB=23=2OA，PO=PA2-OA2=1，
由圆锥的特征易知PA＝PC、OA＝OC，PO⊥⊙O，
取AC中点D，连接PD、OD，
显然有OD⊥AC，PD⊥AC，即二面角P﹣AC﹣O为∠PDO＝45°，
∴PO=OD=1，PD=2，则AC=2AD=2PA2-PD2=22，
∴S△PAC=12AC⋅PD=2．
故选：B．
5．（5分）在数列{an}中，a1＝1，且函数f（x）＝x5+an+1sinx﹣（2an+3）x+3的导函数有唯一零点，则a9的值为（ ）
A．1021B．1022C．1023D．1024
【解答】解：f′（x）＝5x4+an+1csx﹣（2an+3），
易知函数f′（x）为偶函数，
又f′（x）有唯一零点，
则必有f′（0）＝an+1﹣（2an+3）＝0，
即an+1＝2an+3，
则有an+1+3＝2（an+3），
所以数列{an+3}是以2为公比的等比数列，
又a1＝1，
则an+3=4×2n-1，
所以a9=4×28-3=1021．
故选：A．
6．（5分）△ABC中，sin(π2-B)=cs2A，则AC-BCAB的取值范围是（ ）
A．(-1，12)B．(13，12)C．(12，23)D．(13，23)
【解答】解：由题意，sin(π2-B)=csB=cs2A，
在△ABC中，A，B∈（0，π），故2A＝B或2A+B＝2π，
当2A+B＝2π时，A+B2=π，故A+B＞π，不合要求，舍去，
所以2A＝B，C＝π﹣A﹣B＝π﹣A﹣2A＝π﹣3A，
因为A，B∈（0，π），所以2A∈（0，π），即A∈(0，π2)，
因为C＝π﹣3A∈（0，π），所以A∈(0，π3)，
由正弦定理得ACsinB=ABsinC=BCsinA，
故AC-BCAB=sinB-sinAsinC=sin2A-sinAsin(π-3A)=2sinAcsA-sinAsin(2A+A)=2sinAcsA-sinAsin2AcsA+cs2AsinA，
因为A∈（0，π），所以sinA≠0，
故AC-BCAB=2csA-12cs2A+cs2A=2csA-14cs2A-1=2csA-1(2csA-1)(2csA+1)，
因为A∈(0，π3)，所以2csA﹣1＞0，
故AC-BCAB=12csA+1，
因为A∈(0，π3)，所以csA∈(12，1)，2csA∈（1，2），2csA+1∈（2，3），
故AC-BCAB=12csA+1∈(13，12)．
故选：B．
7．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，x轴上方两点A，B在椭圆上，AF1与BF2平行，AF2交BF1于P．过P且倾斜角为α（α≠0）的直线从上到下依次交椭圆于S，T．若|PS|＝β|PT|，则“α为定值”是“β为定值”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不必要也不充分条件
【解答】解：不妨设M（x，y）为椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上的动点，c为椭圆的半焦距，
此时F1（﹣c，0），
所以|MF1|=(x+c)2+y2=(x+c)2+b2(1-x2a2)
=(x+c)2+b2(1-x2a2)=c2x2a2+2cx+a2=|a+cax|，
不妨设直线l：x=-a2c，
则点M到直线l的距离为d=|x+a2c|，
所以|MF1|d=ca=e，
设直线MF1的倾斜角为γ，过M作l的垂线，垂足为S，
此时|MF1||MF1|csγ+a2c-c=e，
所以|MF1|=e×b2c1-ecsγ，
不妨设p=b2c，
此时|MF1|=ep1-ecsγ，
同理的|MF2|=ep1+ecsγ，
设AF1的倾斜角为θ，
可得|MF1|=ep1-ecsθ，|MF2|=ep1+ecsθ，
因为AF1∥BF2，
所以|BF2||AF1|=|F2P||AP|，
此时|BF2||AF1|+|BF2|=|F2P||AP|+|F2P|=|F2P||AF2|=|F2P|2a-|AF1|，
则|F2P|=|BF2|(2a-|AF1|)|AF1|+|BF2|，
同理，|F1P|=|AF1|(2a-|BF2|)|AF1|+|BF2|，
所以|F2P|+|F1P|=2a-2|BF2|×|AF1||AF1|+|BF2|=2a-ep，
则P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，长半轴长为a-ep2=a2+c22a，短半轴长为(a2+c2)24a2-c2=a2-c22a，
则P的轨迹方程为x2(a2+c22a)2+y2(a2-c22a)2=1，其中y＞0，
令α=π2，|PS|2|PT|2=(yS-yP)2(yS+yP)2=(ySyP-1)2(ySyP+1)2，
因为a2≠a4+2a2c2+c44a2，
所以|PS|2|PT|2不是定值，
即即β不是定值，
故“当α取定值，β是定值”不符合条件，
又直线ST的参数方程为x=x0+tcsαy=y0+tsinα，
设S（x0+t1csα，y0+t1sinα），T（x0+t2csα，y0+t2sinα），
因为(x0+tcsα)2a2+(y0+tsinα)2b2=1，
整理得(cs2αa2+sin2αb2)t2+2(x0csαa2+y0sinαb2)t+x02a2+y02b2-1=0，
由韦达定理得t1+t2=-2(x0csαa2+y0sinαb2)(cs2αa2+sin2αb2)t1t2=x02a2+y02b2-1(cs2αa2+sin2αb2)，
因为|PS|＝β|PT|，
此时(1-β)t2=-2(x0csαa2+y0sinαb2)(cs2αa2+sin2αb2)-βt22=x02a2+y02b2-1(cs2αa2+sin2αb2)，
整理得(1-β)2-4β=(x0csαa2+y0sinαb2)2(cs2αa2+sin2αb2)(x02a2+y02b2-1)，
若β为定值，则(1-β)2-4β为定值，
因为(1-β)2-4β(cs2αa2+sin2αb2)=(x0csαa2+y0sinαb2)2x02a2+y02b2-1，
所以当P（x0，y0）变化时，(x0csαa2+y0sinαb2)2x02a2+y02b2-1始终为定值，
又(x0csαa2+y0sinαb2)2(x02a2+y02b2-1)=x02cs2αa4+2x0y0csαsinαa2b2+y02sin2αb2x02a2+y02b2-1
=x02[cs2αa4-b2sin2α(a2+c2)2]+2x0y0csαsinαa2b2+b2sin2α4a2x02[1a2-b2(a2+c2)2]+b24a2-1
则cs2αa4-b2sin2α(a2+c2)21a2-b2(a2+c2)2=b2sin2α4a2b24a2-1且csαsinαa2b2=0，但α≠0，α∈（0，π），
解得α=π2，
所以(1-β)2-4β=(y0b2)21b2(x02a2+y02b2-1)=y02b2x02a2+y02-1=y02b2×(a2+c2)24a2(1-y02b24a2)a2+y02-1
=y02b2×(a2+c2)24a2a2-1+[1-(a2+c2)2a2]y02，
但此时(1-β)2-4β随y02的变化而变化，不是定值，
则“当β取定值，α是定值”是错误的．
故选：D．
8．（5分）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数f（x）＝axex﹣ln（ax）和g(x)=2ln(x-1)x图象上的动点，若对任意a＞0，有|PQ|≥m恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．3B．322C．2D．52
【解答】解：因为点P，Q分别是函数f（x）＝axex﹣ln（ax）和g(x)=2ln(x-1)x图象上的动点，
不妨设P（k，akek﹣ln（ak）），（a，k＞0），Q（t，2ln(t-1)t)，（t＞1），
可得|PQ|2＝（t﹣k）2+[（akek﹣ln（ak））-2ln(t-1)t]²
≥[t-2ln(t-1)t+akek-ln(ak)-k]22，
不妨设h（t）＝t-2ln(t-1)t，函数定义域为（1，+∞），
可得h'(t)=1-2[tt-1-ln(t-1)]t2=t2-2tt-1+2ln(t-1)t2，
不妨设u（t）＝t²-2tt-1+2ln（t﹣1），函数定义域为（1，+∞），
可得u'(t)=2t--2(t-1)2+2t-1=2t(t2-2t+2)(t-1)2＞0，
所以函数u（t）在定义域上单调递增，
因为u（2）＝0，
所以函数h（t）在t＝2时取得极小值即最小值，
此时h（2）＝2，
不妨设v（k）＝akek﹣ln（ak）﹣k，函数定义域为（0，+∞），
可得v'(k)=a(k+1)ek-1k-1=(k+1)(aek-1k)，
易知函数y=aek-1k在区间（0，+∞）上单调递增，
所以存在 k0＞0，
使得aek0-1k0=0，
即ek0=1ak0，
解得k0＝﹣ln（ak0），
所以函数v（k）在k＝k0 时取得极小值即最小值，
此时v（k0）＝1+k0﹣k0＝1，
则|PQ|2≥(2+1)22=92，
解得|PQ|≥322，
因为对任意a＞0，都有|PQ|≥m恒成立，
所以m≤322，
即m的最大值为322．
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知向量a→=(1，3)，b→=(2x，2-x)，其中x∈R，下列说法正确的是（ ）
A．若a→⊥b→，则x＝6
B．若a→与b→夹角为锐角，则x＜6
C．若x＝1，则a→在b→方向上投影向量为b→
D．若|a→|=4
【解答】解：a→=(1，3)，b→=(2x，2-x)，
若a→⊥b→，则a→⋅b→=2x+3(2-x)=0，解得x＝6，故A正确；
若a→与b→夹角为锐角，则a→⋅b→=2x+3(2-x)＞0，解得x＜6，
又当x=27，b→=(47，127)，此时a→=74b→，a→与b→夹角为0，
故x的取值范围为（﹣∞，27）∪(27，+∞)，故B错误；
若x＝1，则b→=(2，1)，
因为a→在b→方向上投影为a→⋅b→|b→|=2+35=5，与b→同向的单位向量为b→|b→|=(255，55)，
所以a→在b→方向上投影向量为5b→|b→|=(2，1)=b→，C正确；
∵a→=(1，3)，
∴|a→|=12+32=10，故D错误．
故选：AC．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），则下列说法正确的是（ ）
A．若函数f（x）的图象关于点（1，f（1））中心对称，则a＝﹣3
B．当c＝0时，函数f（x）过原点的切线有且仅有两条
C．函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减的充要条件是2a﹣b≥3
D．若实数x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，且满足x1+x2＝x1x2，则a＞0或a＜﹣6
【解答】解：A．函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，f′（x）＝3x2+2ax+b，f″（x）＝6x+2a，
令f″（x）＝6x+2a＝0，解得x=-a3，
∵函数f（x）的图象关于点（1，f（1））中心对称，∴-a3=1，解得a＝﹣3，因此A正确．
B．c＝0时，原点（0，0）在函数f（x）＝x3+ax2+bx的图象上，因此过原点有一条切线；
若切点不是原点时，设切点为P（x0，f（x0））（x0≠0），
则切线方程为y﹣（x03+ax02+bx0）＝（3x02+2ax0+b）（x﹣x0），
把（0，0）代入可得：x0=-a2，若a＝0，则函数f（x）过原点的切线有且仅有一条；
若a≠0，则函数f（x）过原点的切线有两条．因此B不正确．
C．函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减⇔f′（x）＝3x2+2ax+b＝3(x+a3)2+b-a23=g（x）≤0（不恒等于0）在[﹣1，1]上恒成立，其对称轴为x=-a3．
分类讨论：-a3≥1g(-1)=3-2a+b≤0或-a3≤-1g(1)=3+2a+b≤0或-1＜-a3＜1g(-1)=3-2a+b≤0g(1)=3+2a+b≤0⇔2a﹣b≥3，因此C正确．
D．f′（x）＝3x2+2ax+b，由实数x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，则Δ＝4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0，
∴x1+x2=-2a3，x1x2=b3，
∵x1+x2＝x1x2，
∴-2a3=b3，化为b＝﹣2a，代入a2﹣3b＞0，可得a2+6a＞0，解得a＞0或a＜﹣6，因此D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝2sinx+|sin2x|，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图象关于x=π2对称
C．f（x）在[0，2π]上有四个零点
D．f（x）的值域为[-2，332]
【解答】解：对于A，函数y＝2sinx的最小正周期为2π，函数y＝|sin2x|的最小正周期为π2，
所以函数f（x）＝2sinx+|sin2x|的最小正周期为2π，选项A正确；
对于B，f（﹣x+π）＝2sin（﹣x+π）+|sin2（﹣x+π）|＝2sinx+|sin（﹣2x）|＝2sinx+|sin2x|＝f（x），
所以f（x）的图象关于直线x=π2对称，选项B正确；
对于C，当0≤x≤π2时，f（x）＝2sinx+sin2x＝2sinx+2sinxcsx＝2sinx（1+csx），易知此时f（x）有唯一零点x＝0；
当π2＜x≤π时，f（x）＝2sinx﹣sin2x＝2sinx﹣2sinxcsx＝2sinx（1﹣csx），易知此时f（x）有唯一零点x＝π；
当π＜x≤3π2时，f（x）＝2sinx+sin2x＝2sinx+2sinxcsx＝2sinx（1+csx），易知此时f（x）无零点；
当3π2＜x≤2π时，f（x）＝2sinx﹣sin2x＝2sinx﹣2sinxcsx＝2sinx（1﹣csx），易知此时f（x）有唯一零点x＝2π，
所以f（x）在[0，2π]上有三个零点，选项C错误；
对于D，当x=3π2时，y＝2sinx取得最小值﹣2，此时y＝|sin2x|恰好取得最小值0，故f（x）的最小值为﹣2；
由选项C的分析可知，当x∈（π，2π]时，f（x）＜0，当x∈[0，π]时，f（x）＞0，而f（x）关于直线x=π2对称，
故可考虑0≤x≤π2时，f（x）＝2sinx+sin2x的取值情况，f′（x）＝2csx+2cs2x＝2（2cs2x﹣1）+2csx＝4cs2x+2csx﹣2，
令f′（x）＝0，解得csx＝﹣1（舍）或csx=12，则x=π3，
易知当0＜x＜π3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当π3＜x＜π2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以此时，f(x)max=f(π3)=2sinπ3+sin2π3=3+32=332，
综上，函数f（x）的值域为[-2，332]．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，y1＞2，E与F关于原点对称，直线AB与直线AE的倾斜角分别是α与β，则（ ）
A．sinα＞tanβB．∠AEF＝∠BEFC．∠AEB＜90°D．α＜2β
【解答】解：作AD⊥x轴于D，作BC⊥x轴于C，
所以D（x1，0），C（x2，0），抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），
因为y1＞2，所以x1＞1，即α＜90°，所以直线l的斜率存在设为k，
可得直线l的方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联立y=k(x-1)y2=4x，
整理得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，所以x1+x2=2k2+4k2，x1x2＝1，y12=4x1，
对于A，sinα=|AD||AF|=y1x1+1，tanβ=|AD||ED|=y1x1+1，所以sinα＝tanβ，故A错误；
对于B，因为kAE=y1x1+1，kBE=y2x2+1，
所以kAE+kBE=y1x1+1+y2x2+1=k(x2-1)(x1+1)+k(x1-1)(x2+1)(x2+1)(x1+1)=k×2x1x2-x1+x2+x1-x2-2(x2+1)(x1+1)=0，
所以直线AE与BE的倾斜角互补，即∠AEF＝∠BEF，故B正确；
对于C，因为x1＞1，所以tanβ=|AD||ED|=y1x1+1=2x1x1+1＜2x12x1=1，即∠AED＜45°，
因为∠AEF＝∠BEF，所以∠AEB＜90°，故C正确；
对于D，因为∠AEB＜90°，所以0°＜2β＜90°，
tanα=|AD||FD|=y1x1-1，tanβ=|AD||ED|=y1x1+1，
所以tan2β=2tanβ1-tan2β=2y1x1+11-(y1x1+1)2=2y1(x1+1)(x1-1)2，
所以tanα﹣tan2β=y1x1+1-2y1(x1+1)(x1-1)2=y1x1-y1-2y1x1-2y1(x1-1)2=-y1x1-3y1(x1-1)2＜0，
所以tanα＜tan2β，即α＜2β，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．（5分）(2x-y)5展开式中x2y3的系数为 ﹣20 （用数字作答）
【解答】解：(2x-y)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5-r⋅(-y)r=C5r(2)5-r⋅(-1)r⋅x5-ryr，
取r＝3得到T4=C53(2)2⋅(-1)3⋅x2y3=-20x2y3．
故答案为：﹣20．
14．（5分）已知某批零件的质量指标ξ（单位：毫米）服从正态分布N（25.40，σ2），且P（ξ≥25.45）＝0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则D（X）＝ 0.48 ．
【解答】解：由正态分布的对称性可知，P（25.35＜ξ＜25.45）＝1﹣2P（ξ≥25.45）＝1﹣0.2＝0.8，
故1件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的概率P＝0.2，
则X～B（3，0.2），
故D（X）＝3×0.2×（1﹣0.2）＝0.48．
故答案为：0.48．
15．（5分）已知f（x）为奇函数，当x∈（0，1]，f（x）＝lnx，且f（x）关于直线x＝1对称．设方程f（x）＝x+1的正数解为x1，x2，⋯，xn，⋯，且任意的n∈N，总存在实数M，使得|xn+1﹣xn|＜M成立，则实数M的最小值为 2 ．
【解答】解：因为f（x）为奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x），且f（0）＝0，
又f（x）关于直线x＝1对称，所以f（1+x）＝f（1﹣x），
所以f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
则f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），
所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，
作出函数y＝f（x）和y＝x+1的图像如图所示：
由f（x）＝x+1的正数解依次为x1，x2，⋯，xn，⋯，
则limn→∞(xn+1-xn)的几何意义为函数f（x）两条渐近线之间的距离为2，
所以limn→∞(xn+1-xn)=2．
所以得任意的n∈N，|xn+1﹣xn|＜2，
已知任意的n∈N，总存在实数M，使得|xn+1﹣xn|＜M成立，
可得M≥2，即M的最小值为2．
故答案为：2．
16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，BD＝BC＝2，沿对角线BD将△ABD折起，使平面ADB⊥平面BDC，得到三棱锥A﹣BCD，则三棱锥A﹣BCD外接球表面积的最小值为 (25+2)π ．
【解答】解：在平面四边形中，设∠CBD＝θ（0＜θ＜π2），∠ABD=π2-θ，
在Rt△ADB中，可得∠BAD＝θ，AD=2tanθ．
在△BCD中，CD＝2BCsinθ2=4sinθ2．
设△BCD外接圆圆心为M，外接圆半径为r，
由正弦定理可得2r=CDsinθ=4sinθ22sinθ2csθ2=2csθ2，即r=1csθ2．
设三棱锥A﹣BCD外接球球心为O，则OM⊥平面BCD．
又∵平面ADB⊥平面BDC，平面ADB∩平面BDC＝BD，∠ADB＝90°，
∴AD⊥平面BDC，则AD∥OM，得四边形OMDA为直角梯形．
设外接球的半径为R，在平面四边形OMDA中，过O作OE⊥AD于E，
在△AOD中，AO＝DO＝R，E为AD的中点，OM＝DE=12AD=1tanθ，
由DO2＝DE2+OE2，得R2＝DE2+r2=1tan2θ+1cs2θ2，
∴R2=cs2θsin2θ+21+csθ=cs2θ+2-2csθ1-cs2θ=-1+3-2csθ1-cs2θ．
令3﹣2csθ＝t，1＜t＜3，则csθ=3-t2，
∴R2=-1+4t-t2-5+6t=-1+4-(t+5t)+6，
∵t+5t≥25，当且仅当t=5t，即t=5时（满足1＜t＜3）等号成立．
∴R2=-1+4-(t+5t)+6≥5+12．
∴外接球表面积的最小值为4πR2=4π×5+12=(25+2)π．
故答案为：(25+2)π．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足Sn=(an+12)2．
（1）求an；
（2）设bn=1(an+1)(an+1+1)，设数列{bn}的前n项和为Tn，若m-24＜Tn＜m5对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）当n＝1时，a1=S1=(a1+12)2，∴a1＝1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an+12)2-(an-1+12)2=an2-an-12+2(an-an-1)4，
即an2-an-12-2(an+an-1)=0，∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，
由已知，数列{an}各项均为正数得an﹣an﹣1＝2，
∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列，∴an＝2n﹣1；
（2）由（1）知，an＝2n﹣1，
则bn=1(an+1)(an+1+1)=12n(2n+2)=14(1n-1n+1)，
∴Tn=14(1-12+12-13+...+1n-1n+1)=14(1-1n+1)=n4(n+1)，
∴Tn+1-Tn=n+14(n+2)-n4(n+1)=14(n+1)(n+2)＞0，
∴{Tn}单调递增，∴Tn≥T1=18，
∵Tn=n4(n+1)＜14，∴18≤Tn＜14，
要使m-24＜Tn＜m5恒成立，只需14≤m5m-24＜18，解得54≤m＜52．
所以实数m的取值范围是[54，52)．
18．（12分）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A-B)csB=sin(A-C)csC．
（1）求证：B＝C；
（2）若asinC＝2，求1a2+1b2的最大值．
【解答】解：（1）证明：由于sin(A-B)csB=sin(A-C)csC，所以sinAcsB-csAsinBcsB=sinAcsC-csAsinCcsC，
整理的csA（sinBcsC﹣csBsinC）＝0，即csAsin（B﹣C）＝0，
因为A为锐角，所以csA＞0，
故sin（B﹣C）＝0，由B，C为锐角可得B＝C；
（2）由（1）得b＝c，
因为asinC＝2，且由正弦定理得asinC＝csinA＝bsinA＝asinB＝2，
所以a=2sinB，b=2sinA，
则1a2+1b2=14(sin2A+sin2B)=14[sin2B+sin2(B+C)]=14[sin2B+sin22B]=14(1-cs2B2+sin22B)=-14cs22B-18cs2B+38(*)，
因为0＜B＜π20＜π-2B＜π2，所以π4＜B＜π2，则π2＜2B＜π，所以﹣1＜cs2B＜0，
根据二次函数的性质可知，当cs2B=-14时，（*）取得最大值2564．
19．（12分）如图4，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D为A1C1的中点．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）记二面角A1﹣AC﹣B的大小为θ，θ∈[π3，2π3]时，求直线AA1与平面BB1C1C所成角的正弦值的取值范围．
【解答】（1）证明：如图，作AC的中点M，连接DM，BM，
在等腰梯形ACC1A1中，D，M为A1C1，AC的中点，
∴AC⊥DM，
在正△ABC中，M为AC的中点，
∴AC⊥BM，
∵AC⊥DM，AC⊥BM，DM∩BM＝M，DM，BM⊂平面BDM，
∴AC⊥平面BDM，
又BD⊂平面BDM，∴AC⊥BD．
（2）解：∵AC⊥平面BDM，
在平面BDM内作Mz⊥BM，以M为坐标原点，以MA→，MB→，Mz→，分别为x，y，z，轴正向，如图建立空间直角坐标系，
∵DM⊥AC，BM⊥AC，∴∠DMB为二面角A1﹣AC﹣B的平面角，即∠DMB＝θ，A（1，0，0），B(0，3，0)，C（﹣1，0，0），D(0，32csθ，32sinθ)，C1(-12，32csθ，32sinθ)，A1(12，32csθ，32sinθ)，
设平面BB1C1C的法向量为n→=(x，y，z)，CB→=(1，3，0)，CC1→=(12，32csθ，32sinθ)，
则有，n→⋅CB→=0n→⋅CC1→=0，即x+3y=012x+32ycsθ+32zsinθ=0，可得令y=3，x＝﹣3，z=3(1-csθ)sinθ，
即n→=（﹣3，3，3(1-csθ)sinθ），
又AA1→=(-12，32csθ，32sinθ)，
∴sinα=|cs＜AA1→，n→＞|=34+1-2csθ+cs2θsin2θ=33+21+csθ，
∵θ∈[π3，2π3]，∴csθ∈[-12，12]，
∴sinα∈[217，31313]．
20．（12分）已知函数f（x）＝ex+csx﹣2，f'（x）为f（x）的导数．
（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；
（2）当x≥-π2时，xex+xcsx﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）f'（x）＝ex﹣sinx，令g（x）＝ex﹣sinx，x≥0，则g'（x）＝ex﹣csx．
当x∈[0，π）时，g'（x）为增函数，g'（x）≥g'（0）＝0；
当x∈[π，+∞）时，g'（x）≥eπ﹣1＞0．
故x≥0时，g'（x）≥0，g（x）为增函数，
故g（x）min＝g（0）＝1，即f'（x）的最小值为1．
（2）令h（x）＝ex+csx﹣2﹣ax，h'（x）＝ex﹣sinx﹣a，则x≥-π2时，x•h（x）≥0恒成立．
当a≤1时，若x≥0，则由（1）可知，h'（x）≥1﹣a≥0，
所以h（x）为增函数，故h（x）≥h（0）＝0恒成立，即x•h（x）≥0恒成立；
若x∈[-π2，0]，则h''（x）＝ex﹣csx，
h'''（x）＝ex+sinx在[-π2，0]上为增函数，
又h'''（0）＝1，h″'(-π2)=e-π2-1＜0，
故存在唯一x0∈(-π2，0)，使得h'''（x0）＝0．
当x∈(-π2，x0)时，h'''（x）＜0，h''（x）为减函数；
x∈（x0，0）时，h'''（x）≥0，h''（x）为增函数．
又h″(-π2)=e-π2＞0，h''（0）＝0，
故存在唯一x1∈(-π2，0)使得h''（x1）＝0．
故x∈(-π2，x1)时，h''（x1）＞0，h'（x）为增函数；
x∈（x1，0）时，h''（x1）＜0，h'（x）为减函数．
又h'(-π2)=eπ2+1-a＞0，h'（0）＝1﹣a≥0，
所以x∈[-π2，0]时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，
故h（x）≤h（0）＝0，即x•h（x）≥0恒成立；
当a＞1时，由（1）可知h'（x）＝ex﹣sinx﹣a在[0，+∞）上为增函数，
且h'（0）＝1﹣a＜0，h'（1+a）≥e1+a﹣1﹣a＞0，
故存在唯一x2∈（0，+∞），使得h'（x2）＝0．
则当x∈（0，x2）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，
所以h（x）＜h（0）＝0，此时x•h（x）＜0，与x•h（x）≥0恒成立矛盾．
综上所述，a≤1．
21．（12分）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2．
（1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；
（2）求四局比赛后，比赛结束的概率；
（3）若Pi（i＝0，1，⋯，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0＝0，P6＝1．证明：{Pi+1﹣Pi}（i＝0，1，2，⋯，5）为等比数列．
【解答】解：（1）X的所有可能取值为2，3，4，
P（X＝2）＝0.2，P（X＝3）＝0.5，P（X＝4）＝0.3，
则X的分布列为：
E（X）＝2×0.2+3×0.5+4×0.3＝3.1．
（2）当四局比赛后，比赛结束且甲胜时，第四局比赛甲胜，前三局比赛甲2胜1和，
其概率为：C32⋅0．32⋅0.5⋅0.3=0.0405．
当四局比赛后，比赛结束且乙胜时，第四局比赛乙胜，前三局比赛乙2胜1和，
其概率为：C32⋅0．22⋅0.5⋅0.2=0.012，
所以四局比赛后，比赛结束的概率为0.0405+0.012＝0.0525．
（3）因为Pi（i＝0，1，2，3，4，5，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，P0＝0，
在甲所得筹码为1枚时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为0.3P2，
在甲所得筹码为1枚时，下局平局且最终甲获胜的概率为0.5P1，
在甲所得筹码为1枚时，下局乙胜且最终甲获胜的概率为0.2P0，
根据全概率公式得P1＝0.3P2+0.5P1+0.2P0，
所以P1＝0.3P2+0.5P1+0.2P0，变形得0.3（P2﹣P1）＝0.2（P1﹣P0），因为P1﹣P0＞0，
所以P2-P1P1-P0=23，同理可得P3-P2P2-P1=P4-P3P3-P2=P5-P4P4-P3=P6-P5P5-P4=23，
所以{Pi+1﹣Pi}（i＝0，1，2，⋯，5）为等比数列．
22．（12分）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线y＝x垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线y＝﹣x垂直，B为垂足且位于第二象限．四边形OAMB（O为原点）的面积为2，记动点M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）点E(22，0)，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为k1，k2，k3．若(1k1+1k2)⋅k3=-6，求△PQE周长的取值范围．
【解答】解：（1）因为直线x﹣y＝0、x+y＝0相互垂直，
所以四边形OAMB为矩形，
设M（x，y），且x-y＜0x+y＜0，可得x＜0，
则点M到直线x﹣y＝0、x+y＝0的距离分别为2|x-y|2、2|x+y|2，
可得2|x-y|2×2|x+y|2=2，
整理得x2﹣y2＝4（x＜0），
所以C的方程为x2﹣y2＝4（x＜0）．
（2）设直线PQ：y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立方程y=kx+mx2-y2=4，消去y得（1﹣k2）x2﹣2kmx﹣（m2+4）＝0，
由题意可得：1-k2≠0Δ=4k2m2+4(1-k2)(m2+4)=4(m2-4k2+4)＞0x1+x2=2km1-k2＜0x1x2=-m2+41-k2＞0，①
因为(1k1+1k2)⋅k3=-6，
则(x1-22y1+x2-22y2)⋅k=(x1-22kx1+m+x2-22kx2+m)⋅k=-6，
整理得8k2x1x2+(7km-22k2)(x1+x2)+6m2-42km=0，
即-8k2(m2+4)1-k2+2km(7km-22k2)1-k2+6m2-42km=0，
整理得3m2-22km-16k2=0，
解得m=-423k或m=22k，
若m=-423k，
则直线PQ：y=kx-423k=k(x-423)，过定点F(423，0)，
此时①式为1-k2≠0Δ=169(9-k2)＞0x1+x2=-82k23(1-k2)＜0x1x2=-m2+41-k2＞0，无解，不符合题意；
当m=22k时，则直线PQ：y=kx+22k=k(x+22)，过定点F(-22，0)，
此时①式为1-k2≠0Δ=16(k2+1)＞0x1+x2=42k21-k2＜0x1x2=-8k2+41-k2＞0，
解得k2＞1，即k＞1或k＜﹣1，
则|PQ|=1+k2(42k21-k2)2+4(8k2+4)1-k2=4(k2+1)k2-1=4(1+2k2-1)，
因为k2＞1，
则k2﹣1＞0，
可得1k2-1＞0，
所以|PQ|=4(1+2k2-1)＞4，
又因为E，F为双曲线x2﹣y2＝4的左、右焦点，
则|PE|﹣|PF|＝4，|QE|﹣|QF|＝4，
即|PE|＝|PF|+4，|QE|＝|QF|+4，
可得△PQE周长为|PE|+|QE|+|PQ|＝|PF|+4+|QF|+4+|PQ|＝2|PQ|+8＞16，
所以△PQE周长的取值范围（16，+∞）．
X
2
3
4
P
0.2
0.5
0.3