苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【2.4线段、角的轴对称性】(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【2.4线段、角的轴对称性】(原卷版+解析)，共48页。试卷主要包含了4 线段、角的轴对称性，，，则AB的长为等内容，欢迎下载使用。

2.4 线段、角的轴对称性
必刷知识点
知识点01：线段的轴对称性
1.线段是 ，线段的 是它的对称轴.
2. 线段垂直平分线的性质定理：
3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： ．
知识要点：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了 的方法，那就是遇见线段的 ，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造 创造条件.
三角形三边 交于一点，该点到 相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
知识点02：角的轴对称性
1.角的轴对称性
（1）角是轴对称图形， 是它的对称轴.
（2）角平分线上的点到 .
（3） 在角的平分线上.
知识点01：角平分线的性质
1．（2021八上·长沙期末）如图，△ABC中， ，∠CAB的角平分线AD交BC于D， 于E， ，且 ，则BC的长是（ ）
A．6cmB．4cmC．10cmD．以上都不对
2．（2021八上·凉山期末）已知：在 中， ， 平分 交BC于D，若 ，且 ，则点D到AB边的距离为（ ）
A．18B．12C．14D．16
3．（2021八上·如皋月考）如图，AD是的角平分线，于，已知的面积为28.，，则AB的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．（2021八上·句容期末）如图，已知 中， 平分 ，且 ，则点D到 边的距离为 .
5．（2021八上·镇江月考）如图，在中，，AD平分交于点D，，点D到AB的距离为，则BD的长为 .
6．（2021八上·沭阳月考）如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点 E.若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为 cm2
7．（2021八上·海安期末）如图， 是 的角平分线， ，则点 到 的距离为 .
8．（2021八上·姜堰月考）已知，如图AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，CF⊥AD于F点，且BC=DC.求证：BE=DF.
9．（2020八上·赣州期末）如图， 是 的平分线，点 是线段 上的一点， ， ．
求证： ．
10．（2020八上·合江月考）如图，在 中， 是高， 是角平分线， ， 交于点F， ＝ 0°， ＝70°，求 的度数
11．（2019八上·淮安期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AD于点E，EF⊥ AB，垂足为F. 求证：EF＝ED.
12．如图，在 中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数．
⑴若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BPC= ；
⑵若∠ABC+∠ACB=120°，则∠BPC= ；
⑶若∠A=60°，则∠BPC= ；
⑷若∠A=100°，则∠BPC= ．
⑸从以上的计算中，你能发现已知∠A，求∠BPC的公式是：∠BPC= ．
知识点02：线段垂直平分线的性质
13．（2021八上·宜宾期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．有两条边和一个角对应相等的两个三角形一定全等
D．到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上
14．（2021八上·玉林期末）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，则AC的长度为（ ）
A．6B．7C．8D．9
15．（2021八上·长丰期末）如图，在ABC中，∠C=90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交BC于点D，连接AD．若BD=2，则AD的长为（ ）
A．B．C．1D．2
16．（2021八上·南京期末）如图，点P在锐角 的内部，连接 ， ，点P关于 、 所在直线的对称点分别是 、 ，则 、 两点之间的距离可能是（ ）
A．8B．7C．6D．5
17．（2021八上·德阳月考）如图，等腰△ABC中，AB=AC=7，BC=6，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△BDC的周长是 ．
18．（2021八上·如皋期中）如图，在 中，直线 垂直平分 ，垂足为 ，交 于点 ，若 的周长为 ， ，则 的长为 .
19．（2021八上·岳阳期末）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 为半径画弧，两弧相交于点 、 ，作直线 ，交 于点 ， 的周长为15， ，则 的周长为 .
20．（2021八上·长沙期末）如图，在 中， ， ，DE垂直平分AC，交BC于点E， ，则 .
21．（2021八上·永定期末）在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 .
22．（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，AC=10，BC=12，则EP+BP的最小值是 .
23．（2021八上·灌阳期末）如图，在△ABC中，已知其周长为26㎝.
（1）在△ABC中，用直尺和圆规作边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E（不写作法，但须保留作图痕迹）.
（2）连接EB，若AD为4㎝，求△BCE的周长.
24．（2021八上·韶关期末）如图，在中，．
（1）作AC的垂直平分线ED，交BC于点E，交AC于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当，时，求的周长．
25．（2021八上·金昌期末）如图所示，校园里有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌，学校准备在这里（内部）安装一盏路灯，要求灯柱离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置.（不写过程，保留作图痕迹）
26．（2021八上·松江期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长．
知识点03：作图—角的平分线
27．（2021八上·诸暨期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（ ）
A．①B．②C．①②D．无
28．（2020八上·上虞月考）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（ ）
A．56°B．68°C．28°D．34°
29．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ）
A．21B．80C．40D．45
30．（2017八上·罗山期中）如图，∠ADC= °．
31．（2021八上·哈巴河期末）如图，在 中， ， ，以 为圆心，任意长为半径画弧分别交 、 于点 和 ，再分别以 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连结 并延长交 于点 ，则下列说法① 是 的平分线；② ；③点 在 的中垂线上；正确的个数是 个.
32．（2020八上·于都期末）下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE；
②分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；
③作射线OC．
所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
33．（2020八上·河南期中）如图，在长方形 中， 由尺规作图的痕迹，可知 的度数为 .
34．（2021八上·莲湖期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，请用尺规作图的方法，在AC上确定一点D，使△BCD为直角三角形（不要求写作法，保留作图痕迹）.
35．（2019八上·秀洲月考）尺规作图：如图，在直线MN上求作一点P，使点P到 ∠AOB两边的距离相等（不要求写出作法，但要保留作图痕迹，写出结论）
36．（2021八上·河西期中）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，要写明结论）
知识点04：作图—线段的垂直平分线
37．（2021八上·江津期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，点F，作直线EF交BC于点D，连接AD，若AB＝3，BC＝5，则△ABD的周长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
38．（2021八上·南关期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC．用直尺和圆规在边AC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
39．（2021八上·淳安期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
40．（2021八上·开化期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧交于M，N两点，连结MN分别交 AB，AC于点E，D，若 AD=8，则AB的长为 .
41．（2020八上·荣县月考）在△中，按以下步骤作图：
①.分别以为圆心，大于的长为半径画弧相交于两点；②.作直线交于点.连接；若，则的度数为 .
42．（2021八上·南京期末）如图，已知线段 ，用两种不同的方法作一点 ，使得 .
要求：（1）尺规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.
43．（2021八上·乌兰察布期末）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）
44．（2021八上·铁岭期末）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1．
（1）请画出关于轴对称的轴对称图形；并写出点，，三点的坐标；
（2）在轴、轴上找到与点、距离相等的点，．
（要求：尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）．
45．（2021八上·德州期中）如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）求作△AEB，使△AEB是以AB为底的等腰三角形，且使点E在边BC上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若∠CAE：∠EAB＝4：1，求∠AEB的度数；
（3）在（2）的条件下，求证：BE＝2AC．
46．（2020八上·扎兰屯期末）（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于D，作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于E，BC于F，垂足为O，连结DF．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．
47．（2019八上·越秀期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．
（1）作线段AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接AD，若DE=2cm，求BC的长．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础
第2章《轴对称图形》
2.4 线段、角的轴对称性
必刷知识点
知识点01：线段的轴对称性
1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
知识要点：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
知识点02：角的轴对称性
1.角的轴对称性
（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.
（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
知识点01：角平分线的性质
1．（2021八上·长沙期末）如图，△ABC中， ，∠CAB的角平分线AD交BC于D， 于E， ，且 ，则BC的长是（ ）
A．6cmB．4cmC．10cmD．以上都不对
【答案】A
【完整解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠C=90°，
∴CD=DE=2，
又∵ ，
∴BC=BD+CD=4+2=6（cm）；
故答案为：A.
【思路引导】由角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE=2，根据BC=BD+CD即可求解.
2．（2021八上·凉山期末）已知：在 中， ， 平分 交BC于D，若 ，且 ，则点D到AB边的距离为（ ）
A．18B．12C．14D．16
【答案】B
【完整解答】解：∵ ，且 ，
∴DC= ×36=12，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴点D到AB边的距离等于CD=12.
故答案为：B.
【思路引导】根据已知条件可得DC的值，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行解答.
3．（2021八上·如皋月考）如图，AD是的角平分线，于，已知的面积为28.，，则AB的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【完整解答】解：作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=4，
∴
即
解得，AB=8，
故答案为：C.
【思路引导】作DF⊥AC于F，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出DF的长，再利用△ABC的面积=△ABD的面积+△ADC的面积=28，可求出AB的长.
4．（2021八上·句容期末）如图，已知 中， 平分 ，且 ，则点D到 边的距离为 .
【答案】3
【完整解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=3，
故点D到AB边的距离是3.
故答案为：3.
【思路引导】过点D作DE⊥AB，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=CD=3，据此可得点D到AB边的距离.
5．（2021八上·镇江月考）如图，在中，，AD平分交于点D，，点D到AB的距离为，则BD的长为 .
【答案】6
【完整解答】解：过点D作DEAB
AD平分∠BAC，∠ACB=90°，DEAB
故答案为：6.
【思路引导】过点D作DEAB，由角平分线的性质可得DC=DE=4cm，利用BD=BC-CD即可求解.
6．（2021八上·沭阳月考）如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点 E.若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为 cm2
【答案】6
【完整解答】解：作 ，
∵CD是角平分线，DE⊥AC，
∴ ，
又∵BC＝6cm，
∴.
故答案为：6.
【思路引导】作DF⊥BC，由角平分线的性质可得DE=DF=2cm，然后根据三角形的面积公式进行计算.
7．（2021八上·海安期末）如图， 是 的角平分线， ，则点 到 的距离为 .
【答案】4
【完整解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠1=∠2，∠C=∠DEA=90°，
∴DC=DE，
∵BC=10，BD=6，
∴DC=DE=4，
∴则点D到AB的距离为4.
故答案为：4.
【思路引导】直接利用角平分线上的点到角两边的距离相等得出DC=DE，进而得出答案.
8．（2021八上·姜堰月考）已知，如图AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，CF⊥AD于F点，且BC=DC.求证：BE=DF.
【答案】证明： 平分 ， 于E 于F，
， .
在 和 中
，
，
.
【思路引导】由垂直的概念以及角平分线的性质可得∠F=∠CEB=90°，CE=CF，证明△CEB≌△CFD，据此可得结论.
9．（2020八上·赣州期末）如图， 是 的平分线，点 是线段 上的一点， ， ．
求证： ．
【答案】证明：∵ 是 的平分线，
∴ ，
，
∴
【思路引导】先根据角平分线求出 ，再利用AAS证明三角形全等即可作答。
10．（2020八上·合江月考）如图，在 中， 是高， 是角平分线， ， 交于点F， ＝ 0°， ＝70°，求 的度数
【答案】解：∵ 是高线，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∵ 是角平分线，
∴ ＝ ＝ ，
在 中， ＝ ＝ ＝ ．
【思路引导】根据高线的定义可得 ＝ ，然后根据直角三角形两锐角互余求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
11．（2019八上·淮安期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AD于点E，EF⊥ AB，垂足为F. 求证：EF＝ED.
【答案】解：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.
∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF=ED.
【思路引导】根据等腰三角形的三线合一得出 AD⊥BC ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 EF=ED.
12．如图，在 中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数．
⑴若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BPC= ；
⑵若∠ABC+∠ACB=120°，则∠BPC= ；
⑶若∠A=60°，则∠BPC= ；
⑷若∠A=100°，则∠BPC= ．
⑸从以上的计算中，你能发现已知∠A，求∠BPC的公式是：∠BPC= ．
【答案】120°；120°；120°；140°；90°+ ∠A
【完整解答】解：延长BP交AD于点D，
∵BP、CP平分∠ABC和∠ACB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BDC=∠1+∠A，
∠BPC=∠BDC+∠4，
∴∠BPC=∠A+∠1+∠4，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠1+∠4=90°- ∠A．
∴∠BPC=∠A+∠1+∠4=90°+ ∠A；（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠A=180°-50°-70°=60°，
∴∠BPC=120°；
故答案为：120°；（2）若∠ABC+∠ACB=120°，∠A=180°-120°=60°，
∴∠BPC=120°；
故答案为：120°；（3）若∠A=60°，则∠BPC=120°；
故答案为：120°；（4）若∠A=100°，则∠BPC=140°．
故答案为：140°；（5）从以上的计算中，你能发现已知∠A，求∠BPC的公式是：∠BPC=180°-（∠2+∠3）=180°- （∠ABC+ ∠ACB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A．
故答案为：90°+ ∠A．
【思路引导】根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和等于180°进行作答即可。
知识点02：线段垂直平分线的性质
13．（2021八上·宜宾期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．有两条边和一个角对应相等的两个三角形一定全等
D．到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上
【答案】D
【完整解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故原命题错误，不符合题意；
C、有两边和夹角对应相等的两个三角形一定全等，故原命题错误，不符合题意；
D、到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意.
故答案为：D.
【思路引导】根据平行线的性质可判断A；根据等边三角形的判定定理可判断B；根据全等三角形的判定定理可判断C；根据线段垂直平分线的性质可判断D.
14．（2021八上·玉林期末）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，则AC的长度为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【完整解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝6，
∴AF=BF=6，
∵CF＝2，
∴AC=AF＋CF=8.
故答案为：C.
【思路引导】由线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得AF=BF=6，利用AC=AF＋CF即可求解.
15．（2021八上·长丰期末）如图，在ABC中，∠C=90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交BC于点D，连接AD．若BD=2，则AD的长为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【完整解答】解：如图，由画图过程得：直线ED是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD=2，
故答案为：D．
【思路引导】根据垂直平分线的性质可得AD=BD=2。
16．（2021八上·南京期末）如图，点P在锐角 的内部，连接 ， ，点P关于 、 所在直线的对称点分别是 、 ，则 、 两点之间的距离可能是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】D
【完整解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，
∵点P关于直线OA，OB的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1=OP=3，OP=OP2=3， OP1+OP2＞P1P2， 0＜P1P2＜6，
所以A，B，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【思路引导】连接OP1，OP2，P1P2，利用轴对称的性质和垂直平分线的性质，可证得OP1=OP=3，OP=OP2=3，再利用三角形三边关系定理，可求出0＜P1P2＜6，由此可得答案.
17．（2021八上·德阳月考）如图，等腰△ABC中，AB=AC=7，BC=6，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△BDC的周长是 ．
【答案】13
【完整解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB=DA，
∴△BDC的周长=BD+CD+BC=DA+CD+BC=AC+BC=7+6=13.
故答案为：13.
【思路引导】根据线段垂直平分线的性质得出DB=DA，得出△BDC的周长=BD+CD+BC=AC+BC=13，即可得出答案.
18．（2021八上·如皋期中）如图，在 中，直线 垂直平分 ，垂足为 ，交 于点 ，若 的周长为 ， ，则 的长为 .
【答案】7
【完整解答】解：∵直线 垂直平分 ，
，
∵△ABD的周长为 ，
，
，
解得： .
故答案为：7.
【思路引导】由垂直平分线的性质可得BD=CD，根据△ABD的周长结合AB的值就可求出AC.
19．（2021八上·岳阳期末）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 为半径画弧，两弧相交于点 、 ，作直线 ，交 于点 ， 的周长为15， ，则 的周长为 .
【答案】22
【完整解答】解：根据题意可得MN为AB的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
故答案为：22.
【思路引导】根据题意可得MN为AB的垂直平分线，故 ，进而根据三角形周长的计算方法及线段的和差和等量代换即可求解.
20．（2021八上·长沙期末）如图，在 中， ， ，DE垂直平分AC，交BC于点E， ，则 .
【答案】3
【完整解答】解： DE垂直平分AC， CE=2，
AE=CE，
∴∠C=∠EAC=30°，
∴∠BAE=30°，
BC=BE+EC=3
故答案为：3.
【思路引导】由线段垂直平分线的性质得AE=CE，利用含30°角的直角三角形的性质得，根据BC=BE+CE计算即可.
21．（2021八上·永定期末）在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】6
【完整解答】解：如图，先标注字母，
∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝CD，
∴AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD＝S△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABE和△ACE中，
AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴S△ABE＝S△ACE，
在△BDF和△CDF中，
BD＝CD，∠BDF＝∠CDF，DF＝DF，
∴△BDF≌△CDF（SAS），
∴S△BDF＝S△CDF，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵S△ABC＝BC•AD＝×4×6＝12，
∴S阴影＝S△ABC＝6．
故答案为：6.
【思路引导】由AD⊥BC于D点，BD＝CD，得△ABC是等腰三角形，易证△ABE≌△ACE，△BDF≌△CDF，继而可得S阴影＝S△ABC，则可求得答案．
22．（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，AC=10，BC=12，则EP+BP的最小值是 .
【答案】9.6
【完整解答】解：连接PC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵D为BC的中点，
∴AD垂直平分BC，BD=BC=6
∴BP=CP，
∴EP+BP=EP+CP
要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE⊥AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；
∵，
∴10CE=12×8
解之：CE=9.6.
故答案为：9.6.
【思路引导】连接PC，利用已知易证△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，利用垂直平分线的性质可证得BP=PC；由此可得到EP+BP=EP+CP，要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE⊥AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；然后三角形的面积公式可求出CE的长.
23．（2021八上·灌阳期末）如图，在△ABC中，已知其周长为26㎝.
（1）在△ABC中，用直尺和圆规作边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E（不写作法，但须保留作图痕迹）.
（2）连接EB，若AD为4㎝，求△BCE的周长.
【答案】（1）解：如图所示：D，E即为所求；
（2）解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD=4cm，AE=BE，
∴△BCE的周长为：EC+BE+BC=AC+BC=26-AB=26-8=18（cm）.
【思路引导】（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，过两弧交点画直线即得结论；
（2）由线段垂直平分线的性质可得AD=BD=4cm，AE=BE，根据△BCE的周长为EC+BE+BC
=AC+BC=26-AB，据此计算即可.
24．（2021八上·韶关期末）如图，在中，．
（1）作AC的垂直平分线ED，交BC于点E，交AC于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当，时，求的周长．
【答案】（1）解：如图，ED为所作；
（2）解：∵DE垂直平分AC，
∴EA=EC，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=3+5=8．
【思路引导】（1）根据要求作出图象即可；
（2）根据垂直平分线的性质可得EA=EC，再利用三角形的周长公式和等量代换可得答案。
25．（2021八上·金昌期末）如图所示，校园里有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌，学校准备在这里（内部）安装一盏路灯，要求灯柱离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置.（不写过程，保留作图痕迹）
【答案】解：连结CD，作CD的垂直平分线，和∠AOB的平分线，两线交于P，
如图，点P为所作.
【思路引导】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”和线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可知点P应该在线段CD的垂直平分线及∠AOB的角平分线的交点处，进而根据作垂直平分线及角平分线的方法作出图形.
26．（2021八上·松江期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长．
【答案】解：过点A作AF⊥BC于F，
∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，AD=CD=6，
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴DE=，
∴CE＝AE＝=，
∴AC＝2EC＝，
∴AF=，
∵∠B＝45°，AF⊥BC，
∴∠BAF=180°-∠B-∠AFB=180°-45°-90°=45°，
∴∠BAF=∠B，
∴BF=AF=
∴AB＝×．
【思路引导】过点A作AF⊥BC于F，由线段垂直平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质求解AF的长，再利用等腰直角三角形以及勾股定理求解即可。
知识点03：作图—角的平分线
27．（2021八上·诸暨期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（ ）
A．①B．②C．①②D．无
【答案】A
【完整解答】解： ①作一个角的平分线的作法正确；
②作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误.
故答案为：A.
【思路引导】根据作一个角的平分线的作法以及作一条线段的垂直平分线的作法，即可得出答案.
28．（2020八上·上虞月考）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（ ）
A．56°B．68°C．28°D．34°
【答案】A
【完整解答】解：由图可知, ∠α是AC的中垂线和∠DAC的角平分线相交构成的锐角,
∵∠ACB=68°,
∴∠DAC=68°,
∴∠α=90°-68° 2=56°,
故答案为：A.
【思路引导】根据图像,明确∠α是线段AC的中垂线和∠DAC的角平分线相交构成的锐角即可解题.
29．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ）
A．21B．80C．40D．45
【答案】C
【完整解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H.
由作图可知，AP平分∠CAB，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC=DH=5，
∴S△ABD=•AB•DH=×16×5=40.
故答案为：C.
【思路引导】过点D作DH⊥AB于H，利用作图可知AP平分∠CAB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出DH的长，再利用三角形的面积公式进行计算，可求出△ABD的面积.
30．（2017八上·罗山期中）如图，∠ADC= °．
【答案】70
【完整解答】在△ABC中，∠BAC＝180°－∠C－∠B
＝180°－90°－50°
＝40°，
由尺规作图可知AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝ ∠BAC＝20°，
在△ACD 中，∠ADC＝180°－∠C－∠CAD
＝180°－90°－20°
＝70°．
故答案为70．
【思路引导】首先根据三角形的内角和算出∠BAC的度数，由尺规作图可知AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的定义得出∠CAD的度数，最后再根据三角形的内角和即可算出答案。
31．（2021八上·哈巴河期末）如图，在 中， ， ，以 为圆心，任意长为半径画弧分别交 、 于点 和 ，再分别以 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连结 并延长交 于点 ，则下列说法① 是 的平分线；② ；③点 在 的中垂线上；正确的个数是 个.
【答案】3
【完整解答】解：①根据角平分线的作法可得AD是∠BAC的平分线，说法①正确；
②∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴∠ADC=30°+30°=60°，故②正确；
③∵∠DAB=30°，∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上，故③说法正确.
故答案为：3.
【思路引导】根据角平分线的作法可得①正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC=60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确.
32．（2020八上·于都期末）下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE；
②分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；
③作射线OC．
所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
【答案】“SSS”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线
【完整解答】解：由作法得OD=OE，DC=EC，
而OC为公共边，
∴△OCD≌△OCE，
∴∠DOC=∠EOC，
即射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
故答案为“SSS”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线．
【思路引导】根据全等三角形的判定方法和性质进行作答即可。
33．（2020八上·河南期中）如图，在长方形 中， 由尺规作图的痕迹，可知 的度数为 .
【答案】55°
【完整解答】解：根据尺规作图的痕迹，MN垂直平分AC，AE平分∠DAC，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB=70°
∴∠AEN=
∴∠α的度数为55°
故答案为：55°.
【思路引导】根据尺规作图的痕迹可得，MN垂直平分AC，AE平分∠DAC，再由直角三角形两锐角互余及对顶角相等可求解.
34．（2021八上·莲湖期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，请用尺规作图的方法，在AC上确定一点D，使△BCD为直角三角形（不要求写作法，保留作图痕迹）.
【答案】解：如图D点即为所求
【思路引导】因为在△ABC中，AB＝BC，所以△ABC是等腰三角形，要在AC上确定一点D，使△BCD为直角三角形，只能是做∠ABC的角平分线，以点B为圆心，任意长为半径画圆，于AB、BC相交，在已交点分别为圆心，大于两点之间距离的二分之一为半径画弧交于一点，连接交点和点B交AC于点D，即BD⊥AC，△BCD为直角三角形.
35．（2019八上·秀洲月考）尺规作图：如图，在直线MN上求作一点P，使点P到 ∠AOB两边的距离相等（不要求写出作法，但要保留作图痕迹，写出结论）
【答案】解：根据题意，如图，作∠AOB的平分线，∠AOB的平分线与直线MN交于一点，则点P即为所求.
【思路引导】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，故利用尺规作图法直接作出∠AOB的角平分线，该线与MN的交点就是所求的点.
36．（2021八上·河西期中）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，要写明结论）
【答案】如图，连接AB，作∠MON的角平分线OP，作线段AB的垂直平分线交OP于点P，则点P就是修建发射塔的位置．
【思路引导】 连接AB，作∠MON的角平分线OP，作线段AB的垂直平分线交OP于点P，则点P就是修建发射塔的位置。
知识点04：作图—线段的垂直平分线
37．（2021八上·江津期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，点F，作直线EF交BC于点D，连接AD，若AB＝3，BC＝5，则△ABD的周长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【完整解答】解：根据作图过程可知：
EF是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB=5+3=8.
故答案为：D.
【思路引导】根据作图可知EF是AC的垂直平分线，利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得CD=AD，由于△ABD的周长为：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB，据此即得结论.
38．（2021八上·南关期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC．用直尺和圆规在边AC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【完整解答】∵点P到点A、点B的距离相等，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
故答案为：A．
【思路引导】根据垂直平分线的性质逐项判断即可。
39．（2021八上·淳安期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【完整解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.
故答案为：A.
【思路引导】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.
40．（2021八上·开化期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧交于M，N两点，连结MN分别交 AB，AC于点E，D，若 AD=8，则AB的长为 .
【答案】
【完整解答】解：由作图可得：BD=AD=8，
∠BDC=∠A+∠ABD=60°，
∴BC=BDsin∠BDC=4，
∴AB=2BC=.
故答案为：.
【思路引导】由作图可知MN为AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质求出BD长和∠BDC=60°，然后利用三角函数求出BC，再利用含30°角的直角三角形的性质求AB长即可.
41．（2020八上·荣县月考）在△中，按以下步骤作图：
①.分别以为圆心，大于的长为半径画弧相交于两点；②.作直线交于点.连接；若，则的度数为 .
【答案】52°
【完整解答】解：∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝32°，
∵CD＝BC，
∴∠CDB＝∠CBD＝2∠A＝64°，
∴∠C＝52°，
故答案为：52°.
【思路引导】根据尺规作图可知MN垂直平分AB，可得DA=DB，利用等边对等角及三角形外角的性质可得∠DBA＝∠A＝32°，∠CDB＝∠CBD＝2∠A＝64°，根据三角形内角和即可求解.
42．（2021八上·南京期末）如图，已知线段 ，用两种不同的方法作一点 ，使得 .
要求：（1）尺规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.
【答案】解：作法一如下，
说明：作AB的垂直平分线EF，与AB交于N，作NC=NB，可得CN=AN=NB，∠ANC=∠BNC=90°，从而△ANC和△BNC为等腰直角三角形，∠CAN=∠BCN=45°，所以可得∠ACB=90°；
作法二如下，
说明：过点A向右上方作射线AM，过点B作AM的垂线与AM交于C，连接BC，则∠ACB=90°.
【思路引导】作法一：作AB的垂直平分线EF，与AB交于N，再作NC=NB，可得CN=AN=NB，利用等腰直角三角形的性质，可得到∠ACB=90°；作法二：过点A向右上方作射线AM，利用尺规作图过点B作AM的垂线与AM交于C，连接BC，利用垂直的定义可知∠ACB=90°.
43．（2021八上·乌兰察布期末）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）
【答案】（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；
（2）作线段AB的垂直平分线FG；
则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置．
【思路引导】（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；
（2）作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置．
44．（2021八上·铁岭期末）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1．
（1）请画出关于轴对称的轴对称图形；并写出点，，三点的坐标；
（2）在轴、轴上找到与点、距离相等的点，．
（要求：尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）解：图形如下：
点，，．
（2）解：作BC的垂直平分线与轴、轴的交点即为，
【思路引导】（1）根据x轴轴对称变化的性质分别做出ABC的对应点即可；
（2）作线段BC的垂直平分线交x轴于点M，交y轴于点N，点M、N即为所求。
45．（2021八上·德州期中）如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）求作△AEB，使△AEB是以AB为底的等腰三角形，且使点E在边BC上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若∠CAE：∠EAB＝4：1，求∠AEB的度数；
（3）在（2）的条件下，求证：BE＝2AC．
【答案】（1）解：如图作AB的垂直平分线交BC于点E，则△EAB即为所求
（2）解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B．
又∵∠CAE：∠EAB=4：1，
∴∠CAE：∠B=4：1，
∴∠CAB=5∠B．
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
得6∠B=90°，
∴∠B=15°
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠B=150°．
（3）解： ∵∠EAB=∠B=15°
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°
∵∠C＝90°
∴AE=2AC
∵EA=EB，
∴BE＝2AC
【思路引导】（1）作AB的垂直平分线交BC于点E，则△EAB即为所求；
（2）根据DE是AB的垂直平分线，得出∠EAB=∠B．再根据∠CAE：∠EAB=4：1，得出∠CAB=5∠B．在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，得出∠B=15°，即可得出结论；
（3）根据∠EAB=∠B=15°，得出∠AEC=∠EAB+∠B=30°，再根据∠C＝90°，得出AE=2AC，即可得出结论。
46．（2020八上·扎兰屯期末）（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于D，作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于E，BC于F，垂足为O，连结DF．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．
【答案】作图如下：
△BOE≌△BOF
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBF
∵EF⊥BD,
∴∠BOE=∠BOF=90°，
在△BOE和△BOF中，
∴△BOE≌△BOF（ASA）
【思路引导】先根据题意作图，再利用三角形全等的判定定理AAS判定△BOE≌△BOF全等即可.
47．（2019八上·越秀期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．
（1）作线段AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接AD，若DE=2cm，求BC的长．
【答案】（1）解：线段AC的垂直平分线如图所示：
（2）解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠C=∠B=30°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴AD=CD=2DE=2×2=4cm，∠BAD=120°-30°=90°，
∴BD=2AD=8cm，
∴BC=BD+CD=8+4=12（cm）
【思路引导】（1）用尺规作图作线段的垂直平分线；
（2）通过等边对等角说明 ∠C=∠B，DE是AC的垂直平分线说明AD=CD，继而可先后求出AD、BD长，从而求出BC长。