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苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【3.2勾股定理的逆定理】(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【3.2勾股定理的逆定理】(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了2 勾股定理的逆定理，5，b＝2，c＝2，3，0，5﹣4﹣2等内容，欢迎下载使用。
3.2 勾股定理的逆定理
知识点01：勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
知识要点（1）勾股定理的逆定理的作用是 .
（2）勾股定理的逆定理是把 ”，是通过计算来
知识点02：如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定
验证与是否具有 .若，则△ABC是∠C＝90°的 ；若，则△ABC不是直角三角形.
知识要点当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的
知识点03：勾股数
满足不定方程的三个 ，称为 （又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为 时，以为三角形的 ，此三角形必为直角三角形.
知识要点（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（n≥1，是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
考点01:勾股定理的逆定理
1．（2022秋•栖霞市期中）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5B．a＝7，b＝24，c＝15
C．a＝6，b＝8，c＝10D．a＝3，b＝4，c＝5
2．（2022秋•建邺区校级期中）若三角形的三边长为a，b，c，且b2﹣c2＝a2，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
3．（2021秋•榆林期末）以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（ ）
A．1，2，B．6，8，10
C．3，7，8D．0.3，0.4，0.5
4．（2022秋•镇江期中）已知△ABC的三边长分别为3、4、5，则最长边上的中线长为 ．
5．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，已知∠BAC＝90°，BC＝，AB＝1，AD＝CD＝1，则∠BAD＝ ．
6．（2022秋•金湖县期中）在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都是网格线的交点，则△ABC的外角∠ACD等于 °．
7．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在正方形方格中，点A，B，C在格点上，则∠CAB+∠ABC的度数是 ．
8．（2022秋•烟台期中）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，求△BDE的周长．
9．（2022秋•紫金县期中）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
10．（2022秋•邗江区期中）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，请解决下列问题．
（1）若∠C＝90°，，求b；
（2）若a、b、c三边满足|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，试判断△ABC的形状．
11．（2022秋•沈河区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5．
（1）△ACD是 三角形，并证明．
（2）△BCD的面积为 ；BD的长是 ．
12．（2022秋•绥德县期中）如图，网格由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1．四边形ABCD的四个点都在格点上．
（1）求四边形ABCD的面积和周长；
（2）∠BAD是直角吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
13．（2022秋•高州市月考）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，小明以格点为顶点画出了△ABC．
（1）小华看了看说，△ABC是直角三角形，你同意他的观点吗？说明理由；
（2）在△ABC中，求AC边上高的长．
考点02:勾股数
14．（2022秋•沙县期中）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．7，24，25
C．，，D．1，，
15．（2021秋•平昌县期末）有下列各组数：①3，4，5；②62，82，102；③0.5，1.2，1.3；④1，，．其中勾股数有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
16．（2022秋•梁溪区校级期中）下面各组数是三角形的三边的长，则能构成直角三角形的是（ ）
A．2，2，3B．60，80，100C．4，5，6D．5，6，7
17．（2022秋•皇姑区校级月考）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑤组勾股数为 ．
18．（2022秋•盐都区期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝ ．（提示：5＝，13＝，…）
19．（2020秋•阳信县期末）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为 ．
20．（2021秋•靖江市期中）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
21．（2021秋•句容市期中）观察下列各组勾股数有哪些规律：
请解答：
（1）当a＝11时，求b，c的值；
（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
22．（2021春•川汇区期末）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．
（1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组 ， ；
（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数．
23．（2019秋•揭阳期末）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三，股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且
勾为3时，股4＝，弦5＝；勾为5时，股12＝，弦13＝；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24＝ ；弦25＝ ．
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ ；弦＝ ．
（3）继续观察①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且m≥4）的代数式来表示直角三角形的另一条直角边和弦的长．
24．（2020秋•盱眙县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
当勾为3时，股4＝，弦5＝；
当勾为5时，股12＝，弦13＝；
当勾为7时，股24＝，弦25＝．
请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ．
【问题解决】
（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；
（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？
25．（2022秋•江都区期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等．
（1）请你写出另外两组勾股数：6， ， ；7， ， ；
（2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：
（I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数
（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数
①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（I）求出另外两个数；
②请你任选其中一个法则证明它的正确性．
26．（2022秋•灌南县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
请你观察下列三组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
当勾为3时，股4＝×（9﹣1），弦5＝×（9+1）；
当勾为5时，股12＝×（25﹣1），弦13＝×（25+1）；
当勾为7时，股24＝×（49﹣1），弦25＝×（49+1）．
（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ，则据此规律第四组勾股数是 ．
（2）若a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数．求证：以a，b，c为边的△ABC是直角三角形．
3，4，5；
9，40，41；
5，12，13；
……；
7，24，25；
a，b，c．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础
第3章《勾股定理》
3.2 勾股定理的逆定理
知识点01：勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
知识要点（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
知识点02：如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
知识要点当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
知识点03：勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
知识要点（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（n≥1，是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
考点01:勾股定理的逆定理
1．（2022秋•栖霞市期中）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5B．a＝7，b＝24，c＝15
C．a＝6，b＝8，c＝10D．a＝3，b＝4，c＝5
解：A．根据勾股定理逆定理，由1.52+22＝2.52，得以a，b，c为边的三角形是直角三角形，那么A不符合题意．
B．根据勾股定理逆定理，由72+152≠242，得以a，b，c为边的三角形不是直角三角形，那么B符合题意．
C．根据勾股定理逆定理，由62+82＝102，得以a，b，c为边的三角形是直角三角形，那么C不符合题意．
D．根据勾股定理逆定理，由32+42＝52，得以a，b，c为边的三角形是直角三角形，那么D不符合题意．
故选：B．
2．（2022秋•建邺区校级期中）若三角形的三边长为a，b，c，且b2﹣c2＝a2，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
解：∵b2﹣c2＝a2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
3．（2021秋•榆林期末）以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（ ）
A．1，2，B．6，8，10
C．3，7，8D．0.3，0.4，0.5
解：A、12+22＝（）2，故A选项能构成直角三角形；
B、62+82＝102，故B选项能构成直角三角形；
C、32+72≠82，故C选项不能构成直角三角形；
D、0.32+0.42＝0.52，故D选项能构成直角三角形．
故选：C．
4．（2022秋•镇江期中）已知△ABC的三边长分别为3、4、5，则最长边上的中线长为 ．
解：∵△ABC的三边长分别为3、4、5，32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形，
∴最长边上的中线长＝．
故答案为：．
5．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，已知∠BAC＝90°，BC＝，AB＝1，AD＝CD＝1，则∠BAD＝ 45° ．
解：∵∠BAC＝90°，BC＝，AB＝1，
∴AC＝＝，
∵AD＝CD＝1，12+12＝（）2，AD2+CD2＝AC2，
∴∠D＝90°，
∴∠DAC＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45°．
6．（2022秋•金湖县期中）在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都是网格线的交点，则△ABC的外角∠ACD等于 135 °．
解：∵AB2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，
∴AB＝AC，AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝∠A＝45°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝135°．
故答案为：135．
7．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在正方形方格中，点A，B，C在格点上，则∠CAB+∠ABC的度数是 45° ．
解：如图，
∵AD＝DC，且∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∵∠ACD＝∠∠CAB+∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝45°，
故答案为：45°．
8．（2022秋•烟台期中）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，求△BDE的周长．
解：在△ABC中，因为AC＝5，BC＝12，AB＝13，
所以AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
所以AC2+BC2＝AB2，
所以△ABC是直角三角形，且∠C＝90°．
因为AD平分∠CAB，DE⊥AB，
所以ED＝CD，
所以BD+ED＝BD+CD＝BC＝12．
在Rt△ADE和△Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
所以AE＝AC＝5，
所以BE＝AB﹣AE＝13﹣5＝8，
所以△BDE的周长＝BE+BD+ED＝8+12＝20．
9．（2022秋•紫金县期中）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝17，BC＝8，
∴AC＝＝＝5，
∴AC的长为5；
（2）∵AD2+CD2＝42+32＝25，AC2＝52＝25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠D＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积
＝AD•CD+AC•BC
＝×4×3+12×5
＝6+30
＝36，
∴四边形ABCD的面积为36．
10．（2022秋•邗江区期中）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，请解决下列问题．
（1）若∠C＝90°，，求b；
（2）若a、b、c三边满足|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，试判断△ABC的形状．
解：（1）∵∠C＝90°，，
∴b＝＝＝2；
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，
∴a﹣9＝0，b﹣12＝0，c﹣15＝0，
∴a＝9，b＝12，c＝15，
∵a2+b2＝92+122＝225，c2＝152＝225，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
11．（2022秋•沈河区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5．
（1）△ACD是 等腰直角 三角形，并证明．
（2）△BCD的面积为 8 ；BD的长是 ．
解：（1）作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：
则∠M＝90°，
∴∠DCM+∠CDM＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC2＝AB2+BC2＝25，
∴AC＝5，
∵AD＝5，CD＝5，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角；
（2）∵∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCM＝90°，
∴∠ACB＝∠CDM，
∵∠ABC＝∠M＝90°，
在△ABC和△CMD中，
，
∴△ABC≌△CMD（AAS），
∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，
∴△BCD的面积＝，
∵CM＝3，BC＝4，
∴BM＝BC+CM＝7，
∴BD＝，
故答案为：8，．
12．（2022秋•绥德县期中）如图，网格由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1．四边形ABCD的四个点都在格点上．
（1）求四边形ABCD的面积和周长；
（2）∠BAD是直角吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
（1）解：四边形ABCD的面积＝
＝20﹣1﹣2.5﹣4﹣2
＝10.5；
∵CD2＝12+22＝5，AD2＝12+22＝5，BC2＝12+52＝26，AB2＝22+42＝20，
∴，，，，
∴四边形ABCD的周长＝，
∴四边形ABCD的面积为10.5，周长为；
（2）解：连接BD，如图，
由题意得：BD2＝42+32＝25，
∵AD2+AB2＝5+20＝25，
∴BD2＝AD2+AB2，
∴△BAD是直角三角形，
∴∠BAD是直角．
13．（2022秋•高州市月考）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，小明以格点为顶点画出了△ABC．
（1）小华看了看说，△ABC是直角三角形，你同意他的观点吗？说明理由；
（2）在△ABC中，求AC边上高的长．
解：（1）我同意他的观点，
理由：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝2，
∴AB2+BC2＝20＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）由（1）知：△ABC是直角三角形，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，
设AC边上高的长为h，
∴△ABC的面积为：AB•BC＝•AC•h，
∴××＝×2h，
∴h＝，
即AC边上高的长为．
考点02:勾股数
14．（2022秋•沙县期中）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．7，24，25
C．，，D．1，，
解：A、∵0.3，0.4，0.5都不是正整数，∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意；
B、∵72+242＝252，∴8，15，17是勾股数，符合题意；
C、∵，，都不是正整数，∴，，不是勾股数，不符合题意；
D、∵1，，都不是正整数，∴1，，不是勾股数，不符合题意．
故选：B．
15．（2021秋•平昌县期末）有下列各组数：①3，4，5；②62，82，102；③0.5，1.2，1.3；④1，，．其中勾股数有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
解：①32+42＝52，是勾股数；
②（62）2+（82）2≠（102）2，不是勾股数；
③0.5，1.2，1.3不是整数，不是勾股数；
④1，，．不是整数，不是勾股数；
其中勾股数有①，
故选：A．
16．（2022秋•梁溪区校级期中）下面各组数是三角形的三边的长，则能构成直角三角形的是（ ）
A．2，2，3B．60，80，100C．4，5，6D．5，6，7
解：A、22+22≠32，故不能构成直角三角形；
B、602+802＝1002，故能构成直角三角形；
C、42+52≠62，故不能构成直角三角形；
D、52+62≠72，故不能构成直角三角形．
故选：B．
17．（2022秋•皇姑区校级月考）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑤组勾股数为 14，48，50 ．
解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1，
故可得第⑤组勾股数是14，48，50．
故答案为：14，48，50．
18．（2022秋•盐都区期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝ 17 ．（提示：5＝，13＝，…）
解：由题意得：a2+1442＝1452，
a2＝1452﹣1442，
a＝17．
故答案为：17．
19．（2020秋•阳信县期末）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为 79 ．
解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，
∴x＝63，y＝16，
∴x+y＝79，
故答案为：79．
20．（2021秋•靖江市期中）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．请你根据上述的规律写出下一组勾股数： 11、60、61 ；
解：第一组：3，4＝，5＝4+1；
第二组：5，12＝，13＝12+1；
•••，
最后一组为：11，＝60，61．
故答案为：11，60，61．
21．（2021秋•句容市期中）观察下列各组勾股数有哪些规律：
请解答：
（1）当a＝11时，求b，c的值；
（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
解：（1）由a＝11，b+1＝c，c2﹣b2＝a2，
得（b+1）2﹣b2＝（b+1+b）（b+1﹣b）＝121．
解得b＝60，c＝b+1＝6；
（2）是勾股数，
理由如下：2212﹣2202＝（221+220）（221﹣220）＝441，212＝441，
∴2212﹣2202＝212，
∴21，220，221是勾股数．
22．（2021春•川汇区期末）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．
（1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组 6，8，10 ， 5，12，13 ；
（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数．
解：（1）勾股数有6，8，10或5，12，13；
故答案为：6，8，10；5，12，13；
（2）∵x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，
∴x2＝（m2﹣n2）2＝m4+n4﹣2m2n2，y2＝4m2n2，z2＝（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2，
∴x2+y2＝（m4+n4﹣2m2n2）+4m2n2＝m4+n4+2m2n2＝z2，
∴x、y、z是一组勾股数．
23．（2019秋•揭阳期末）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三，股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且
勾为3时，股4＝，弦5＝；勾为5时，股12＝，弦13＝；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24＝ ×（49﹣1） ；弦25＝ ×（49+1） ．
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ ；弦＝ ．
（3）继续观察①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且m≥4）的代数式来表示直角三角形的另一条直角边和弦的长．
解：（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24＝（49﹣1），弦25＝（49+1），
故答案为：（49﹣1），（49+1）；
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1），
故答案为：（n2﹣1），（n2+1）；
（3）根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a＝m（m为偶数且m≥4），则另一条直角边b＝﹣1，弦c＝+1．
24．（2020秋•盱眙县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
当勾为3时，股4＝，弦5＝；
当勾为5时，股12＝，弦13＝；
当勾为7时，股24＝，弦25＝．
请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ （n2﹣1） ，弦＝ （n2+1） ．
【问题解决】
（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；
（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？
解：（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；
故答案为：（n2﹣1），（n2+1）；
（2）∵a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m表示大于1的整数）
∴a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2
＝4m2+m4﹣2m2+1
＝m4+2m2+1
＝（m2+1）2＝（m2+1）2＝c2，
∴a2+b2＝c2
∴a、b、c为勾股数；
（3）∵弦与股的差为1，2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，
∴另外两个数的表达式分别是2a2+2a；2a+1．
25．（2022秋•江都区期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等．
（1）请你写出另外两组勾股数：6， 8 ， 10 ；7， 24 ， 25 ；
（2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：
（I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数
（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数
①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（I）求出另外两个数；
②请你任选其中一个法则证明它的正确性．
解：（1）勾股数分别为6，8，10；7，24，25．
故答案为：8，10；24，25．
（2）①根据法则（I），则或．
∴k＝5或（不是奇数，舍去）．
∴k＝5．
∴＝13．
∴另外两个数为5、13．
②选择法则Ⅰ，证明过程如下：
＝
＝
＝
＝．
∴＝．
选择法则Ⅱ，证明过程如下：
＝
＝
＝
＝．
∴＝．
26．（2022秋•灌南县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
请你观察下列三组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
当勾为3时，股4＝×（9﹣1），弦5＝×（9+1）；
当勾为5时，股12＝×（25﹣1），弦13＝×（25+1）；
当勾为7时，股24＝×（49﹣1），弦25＝×（49+1）．
（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ （n2﹣1） ，弦＝ （n2+1） ，则据此规律第四组勾股数是 （9，40，41） ．
（2）若a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数．求证：以a，b，c为边的△ABC是直角三角形．
解：（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；
当n＝9时，（n2﹣1）＝40，（n2+1）＝41；
∴第四组勾股数是 （9，40，41）；
故答案为：（n2﹣1），（n2+1），（9，40，41）；
（2）证明：∵a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数，
（m2﹣1）2+（2m）2＝m4﹣2m2+1+4m2＝m4+2m2+1＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
∴以a，b，c为边的△ABC是直角三角形
3，4，5；
9，40，41；
5，12，13；
……；
7，24，25；
a，b，c．
3.2 勾股定理的逆定理
知识点01：勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
知识要点（1）勾股定理的逆定理的作用是 .
（2）勾股定理的逆定理是把 ”，是通过计算来
知识点02：如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定
验证与是否具有 .若，则△ABC是∠C＝90°的 ；若，则△ABC不是直角三角形.
知识要点当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的
知识点03：勾股数
满足不定方程的三个 ，称为 （又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为 时，以为三角形的 ，此三角形必为直角三角形.
知识要点（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（n≥1，是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
考点01:勾股定理的逆定理
1．（2022秋•栖霞市期中）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5B．a＝7，b＝24，c＝15
C．a＝6，b＝8，c＝10D．a＝3，b＝4，c＝5
2．（2022秋•建邺区校级期中）若三角形的三边长为a，b，c，且b2﹣c2＝a2，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
3．（2021秋•榆林期末）以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（ ）
A．1，2，B．6，8，10
C．3，7，8D．0.3，0.4，0.5
4．（2022秋•镇江期中）已知△ABC的三边长分别为3、4、5，则最长边上的中线长为 ．
5．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，已知∠BAC＝90°，BC＝，AB＝1，AD＝CD＝1，则∠BAD＝ ．
6．（2022秋•金湖县期中）在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都是网格线的交点，则△ABC的外角∠ACD等于 °．
7．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在正方形方格中，点A，B，C在格点上，则∠CAB+∠ABC的度数是 ．
8．（2022秋•烟台期中）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，求△BDE的周长．
9．（2022秋•紫金县期中）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
10．（2022秋•邗江区期中）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，请解决下列问题．
（1）若∠C＝90°，，求b；
（2）若a、b、c三边满足|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，试判断△ABC的形状．
11．（2022秋•沈河区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5．
（1）△ACD是 三角形，并证明．
（2）△BCD的面积为 ；BD的长是 ．
12．（2022秋•绥德县期中）如图，网格由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1．四边形ABCD的四个点都在格点上．
（1）求四边形ABCD的面积和周长；
（2）∠BAD是直角吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
13．（2022秋•高州市月考）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，小明以格点为顶点画出了△ABC．
（1）小华看了看说，△ABC是直角三角形，你同意他的观点吗？说明理由；
（2）在△ABC中，求AC边上高的长．
考点02:勾股数
14．（2022秋•沙县期中）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．7，24，25
C．，，D．1，，
15．（2021秋•平昌县期末）有下列各组数：①3，4，5；②62，82，102；③0.5，1.2，1.3；④1，，．其中勾股数有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
16．（2022秋•梁溪区校级期中）下面各组数是三角形的三边的长，则能构成直角三角形的是（ ）
A．2，2，3B．60，80，100C．4，5，6D．5，6，7
17．（2022秋•皇姑区校级月考）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑤组勾股数为 ．
18．（2022秋•盐都区期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝ ．（提示：5＝，13＝，…）
19．（2020秋•阳信县期末）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为 ．
20．（2021秋•靖江市期中）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
21．（2021秋•句容市期中）观察下列各组勾股数有哪些规律：
请解答：
（1）当a＝11时，求b，c的值；
（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
22．（2021春•川汇区期末）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．
（1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组 ， ；
（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数．
23．（2019秋•揭阳期末）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三，股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且
勾为3时，股4＝，弦5＝；勾为5时，股12＝，弦13＝；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24＝ ；弦25＝ ．
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ ；弦＝ ．
（3）继续观察①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且m≥4）的代数式来表示直角三角形的另一条直角边和弦的长．
24．（2020秋•盱眙县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
当勾为3时，股4＝，弦5＝；
当勾为5时，股12＝，弦13＝；
当勾为7时，股24＝，弦25＝．
请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ．
【问题解决】
（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；
（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？
25．（2022秋•江都区期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等．
（1）请你写出另外两组勾股数：6， ， ；7， ， ；
（2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：
（I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数
（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数
①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（I）求出另外两个数；
②请你任选其中一个法则证明它的正确性．
26．（2022秋•灌南县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
请你观察下列三组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
当勾为3时，股4＝×（9﹣1），弦5＝×（9+1）；
当勾为5时，股12＝×（25﹣1），弦13＝×（25+1）；
当勾为7时，股24＝×（49﹣1），弦25＝×（49+1）．
（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ，则据此规律第四组勾股数是 ．
（2）若a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数．求证：以a，b，c为边的△ABC是直角三角形．
3，4，5；
9，40，41；
5，12，13；
……；
7，24，25；
a，b，c．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础
第3章《勾股定理》
3.2 勾股定理的逆定理
知识点01：勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
知识要点（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
知识点02：如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
知识要点当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
知识点03：勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
知识要点（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（n≥1，是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
考点01:勾股定理的逆定理
1．（2022秋•栖霞市期中）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5B．a＝7，b＝24，c＝15
C．a＝6，b＝8，c＝10D．a＝3，b＝4，c＝5
解：A．根据勾股定理逆定理，由1.52+22＝2.52，得以a，b，c为边的三角形是直角三角形，那么A不符合题意．
B．根据勾股定理逆定理，由72+152≠242，得以a，b，c为边的三角形不是直角三角形，那么B符合题意．
C．根据勾股定理逆定理，由62+82＝102，得以a，b，c为边的三角形是直角三角形，那么C不符合题意．
D．根据勾股定理逆定理，由32+42＝52，得以a，b，c为边的三角形是直角三角形，那么D不符合题意．
故选：B．
2．（2022秋•建邺区校级期中）若三角形的三边长为a，b，c，且b2﹣c2＝a2，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
解：∵b2﹣c2＝a2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
3．（2021秋•榆林期末）以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（ ）
A．1，2，B．6，8，10
C．3，7，8D．0.3，0.4，0.5
解：A、12+22＝（）2，故A选项能构成直角三角形；
B、62+82＝102，故B选项能构成直角三角形；
C、32+72≠82，故C选项不能构成直角三角形；
D、0.32+0.42＝0.52，故D选项能构成直角三角形．
故选：C．
4．（2022秋•镇江期中）已知△ABC的三边长分别为3、4、5，则最长边上的中线长为 ．
解：∵△ABC的三边长分别为3、4、5，32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形，
∴最长边上的中线长＝．
故答案为：．
5．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，已知∠BAC＝90°，BC＝，AB＝1，AD＝CD＝1，则∠BAD＝ 45° ．
解：∵∠BAC＝90°，BC＝，AB＝1，
∴AC＝＝，
∵AD＝CD＝1，12+12＝（）2，AD2+CD2＝AC2，
∴∠D＝90°，
∴∠DAC＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45°．
6．（2022秋•金湖县期中）在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都是网格线的交点，则△ABC的外角∠ACD等于 135 °．
解：∵AB2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，
∴AB＝AC，AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝∠A＝45°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝135°．
故答案为：135．
7．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在正方形方格中，点A，B，C在格点上，则∠CAB+∠ABC的度数是 45° ．
解：如图，
∵AD＝DC，且∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∵∠ACD＝∠∠CAB+∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝45°，
故答案为：45°．
8．（2022秋•烟台期中）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，求△BDE的周长．
解：在△ABC中，因为AC＝5，BC＝12，AB＝13，
所以AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
所以AC2+BC2＝AB2，
所以△ABC是直角三角形，且∠C＝90°．
因为AD平分∠CAB，DE⊥AB，
所以ED＝CD，
所以BD+ED＝BD+CD＝BC＝12．
在Rt△ADE和△Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
所以AE＝AC＝5，
所以BE＝AB﹣AE＝13﹣5＝8，
所以△BDE的周长＝BE+BD+ED＝8+12＝20．
9．（2022秋•紫金县期中）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝17，BC＝8，
∴AC＝＝＝5，
∴AC的长为5；
（2）∵AD2+CD2＝42+32＝25，AC2＝52＝25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠D＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积
＝AD•CD+AC•BC
＝×4×3+12×5
＝6+30
＝36，
∴四边形ABCD的面积为36．
10．（2022秋•邗江区期中）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，请解决下列问题．
（1）若∠C＝90°，，求b；
（2）若a、b、c三边满足|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，试判断△ABC的形状．
解：（1）∵∠C＝90°，，
∴b＝＝＝2；
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，
∴a﹣9＝0，b﹣12＝0，c﹣15＝0，
∴a＝9，b＝12，c＝15，
∵a2+b2＝92+122＝225，c2＝152＝225，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
11．（2022秋•沈河区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5．
（1）△ACD是 等腰直角 三角形，并证明．
（2）△BCD的面积为 8 ；BD的长是 ．
解：（1）作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：
则∠M＝90°，
∴∠DCM+∠CDM＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC2＝AB2+BC2＝25，
∴AC＝5，
∵AD＝5，CD＝5，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角；
（2）∵∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCM＝90°，
∴∠ACB＝∠CDM，
∵∠ABC＝∠M＝90°，
在△ABC和△CMD中，
，
∴△ABC≌△CMD（AAS），
∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，
∴△BCD的面积＝，
∵CM＝3，BC＝4，
∴BM＝BC+CM＝7，
∴BD＝，
故答案为：8，．
12．（2022秋•绥德县期中）如图，网格由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1．四边形ABCD的四个点都在格点上．
（1）求四边形ABCD的面积和周长；
（2）∠BAD是直角吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
（1）解：四边形ABCD的面积＝
＝20﹣1﹣2.5﹣4﹣2
＝10.5；
∵CD2＝12+22＝5，AD2＝12+22＝5，BC2＝12+52＝26，AB2＝22+42＝20，
∴，，，，
∴四边形ABCD的周长＝，
∴四边形ABCD的面积为10.5，周长为；
（2）解：连接BD，如图，
由题意得：BD2＝42+32＝25，
∵AD2+AB2＝5+20＝25，
∴BD2＝AD2+AB2，
∴△BAD是直角三角形，
∴∠BAD是直角．
13．（2022秋•高州市月考）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，小明以格点为顶点画出了△ABC．
（1）小华看了看说，△ABC是直角三角形，你同意他的观点吗？说明理由；
（2）在△ABC中，求AC边上高的长．
解：（1）我同意他的观点，
理由：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝2，
∴AB2+BC2＝20＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）由（1）知：△ABC是直角三角形，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，
设AC边上高的长为h，
∴△ABC的面积为：AB•BC＝•AC•h，
∴××＝×2h，
∴h＝，
即AC边上高的长为．
考点02:勾股数
14．（2022秋•沙县期中）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．7，24，25
C．，，D．1，，
解：A、∵0.3，0.4，0.5都不是正整数，∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意；
B、∵72+242＝252，∴8，15，17是勾股数，符合题意；
C、∵，，都不是正整数，∴，，不是勾股数，不符合题意；
D、∵1，，都不是正整数，∴1，，不是勾股数，不符合题意．
故选：B．
15．（2021秋•平昌县期末）有下列各组数：①3，4，5；②62，82，102；③0.5，1.2，1.3；④1，，．其中勾股数有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
解：①32+42＝52，是勾股数；
②（62）2+（82）2≠（102）2，不是勾股数；
③0.5，1.2，1.3不是整数，不是勾股数；
④1，，．不是整数，不是勾股数；
其中勾股数有①，
故选：A．
16．（2022秋•梁溪区校级期中）下面各组数是三角形的三边的长，则能构成直角三角形的是（ ）
A．2，2，3B．60，80，100C．4，5，6D．5，6，7
解：A、22+22≠32，故不能构成直角三角形；
B、602+802＝1002，故能构成直角三角形；
C、42+52≠62，故不能构成直角三角形；
D、52+62≠72，故不能构成直角三角形．
故选：B．
17．（2022秋•皇姑区校级月考）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑤组勾股数为 14，48，50 ．
解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1，
故可得第⑤组勾股数是14，48，50．
故答案为：14，48，50．
18．（2022秋•盐都区期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝ 17 ．（提示：5＝，13＝，…）
解：由题意得：a2+1442＝1452，
a2＝1452﹣1442，
a＝17．
故答案为：17．
19．（2020秋•阳信县期末）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为 79 ．
解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，
∴x＝63，y＝16，
∴x+y＝79，
故答案为：79．
20．（2021秋•靖江市期中）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．请你根据上述的规律写出下一组勾股数： 11、60、61 ；
解：第一组：3，4＝，5＝4+1；
第二组：5，12＝，13＝12+1；
•••，
最后一组为：11，＝60，61．
故答案为：11，60，61．
21．（2021秋•句容市期中）观察下列各组勾股数有哪些规律：
请解答：
（1）当a＝11时，求b，c的值；
（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
解：（1）由a＝11，b+1＝c，c2﹣b2＝a2，
得（b+1）2﹣b2＝（b+1+b）（b+1﹣b）＝121．
解得b＝60，c＝b+1＝6；
（2）是勾股数，
理由如下：2212﹣2202＝（221+220）（221﹣220）＝441，212＝441，
∴2212﹣2202＝212，
∴21，220，221是勾股数．
22．（2021春•川汇区期末）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．
（1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组 6，8，10 ， 5，12，13 ；
（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数．
解：（1）勾股数有6，8，10或5，12，13；
故答案为：6，8，10；5，12，13；
（2）∵x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，
∴x2＝（m2﹣n2）2＝m4+n4﹣2m2n2，y2＝4m2n2，z2＝（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2，
∴x2+y2＝（m4+n4﹣2m2n2）+4m2n2＝m4+n4+2m2n2＝z2，
∴x、y、z是一组勾股数．
23．（2019秋•揭阳期末）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三，股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且
勾为3时，股4＝，弦5＝；勾为5时，股12＝，弦13＝；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24＝ ×（49﹣1） ；弦25＝ ×（49+1） ．
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ ；弦＝ ．
（3）继续观察①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且m≥4）的代数式来表示直角三角形的另一条直角边和弦的长．
解：（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24＝（49﹣1），弦25＝（49+1），
故答案为：（49﹣1），（49+1）；
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1），
故答案为：（n2﹣1），（n2+1）；
（3）根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a＝m（m为偶数且m≥4），则另一条直角边b＝﹣1，弦c＝+1．
24．（2020秋•盱眙县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
当勾为3时，股4＝，弦5＝；
当勾为5时，股12＝，弦13＝；
当勾为7时，股24＝，弦25＝．
请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ （n2﹣1） ，弦＝ （n2+1） ．
【问题解决】
（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；
（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？
解：（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；
故答案为：（n2﹣1），（n2+1）；
（2）∵a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m表示大于1的整数）
∴a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2
＝4m2+m4﹣2m2+1
＝m4+2m2+1
＝（m2+1）2＝（m2+1）2＝c2，
∴a2+b2＝c2
∴a、b、c为勾股数；
（3）∵弦与股的差为1，2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，
∴另外两个数的表达式分别是2a2+2a；2a+1．
25．（2022秋•江都区期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等．
（1）请你写出另外两组勾股数：6， 8 ， 10 ；7， 24 ， 25 ；
（2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：
（I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数
（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数
①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（I）求出另外两个数；
②请你任选其中一个法则证明它的正确性．
解：（1）勾股数分别为6，8，10；7，24，25．
故答案为：8，10；24，25．
（2）①根据法则（I），则或．
∴k＝5或（不是奇数，舍去）．
∴k＝5．
∴＝13．
∴另外两个数为5、13．
②选择法则Ⅰ，证明过程如下：
＝
＝
＝
＝．
∴＝．
选择法则Ⅱ，证明过程如下：
＝
＝
＝
＝．
∴＝．
26．（2022秋•灌南县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
请你观察下列三组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
当勾为3时，股4＝×（9﹣1），弦5＝×（9+1）；
当勾为5时，股12＝×（25﹣1），弦13＝×（25+1）；
当勾为7时，股24＝×（49﹣1），弦25＝×（49+1）．
（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ （n2﹣1） ，弦＝ （n2+1） ，则据此规律第四组勾股数是 （9，40，41） ．
（2）若a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数．求证：以a，b，c为边的△ABC是直角三角形．
解：（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；
当n＝9时，（n2﹣1）＝40，（n2+1）＝41；
∴第四组勾股数是 （9，40，41）；
故答案为：（n2﹣1），（n2+1），（9，40，41）；
（2）证明：∵a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数，
（m2﹣1）2+（2m）2＝m4﹣2m2+1+4m2＝m4+2m2+1＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
∴以a，b，c为边的△ABC是直角三角形
3，4，5；
9，40，41；
5，12，13；
……；
7，24，25；
a，b，c．
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