江西省抚州市黎川县黎川一中片区八校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)

这是一份江西省抚州市黎川县黎川一中片区八校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 近年来，中国自主品牌的发展取得了举世瞩目的成就．在以下国家核电、中国高铁、中国航天、中国华能这四个企业标志中，（ ）是中心对称图形．
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：A.是中心对称图形，该选项符合题意；
B. 不是中心对称图形，该选项不符合题意；
C. 不是中心对称图形，该选项不符合题意；
D. 不是中心对称图形，该选项不符合题意．
故选：A．
2. 如图，，，以下能作为与全等的依据是（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：∵，
∴在和中，
，
∴，
故选：C．
3. 在下列不等式组中，无解的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：A.的解集为，不合题意；
B. 的解集为，不符合题意；
C. 的解集为，不合题意；
D. 无解，符合题意；
故选：D．
4. 如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE ⊥DE ，则△BDC通过下列变换能与△ACE重合的是（ ）
A. 绕点C逆时针旋转90度B. 沿AB的垂直平分线翻折
C. 绕AB的中点M顺时针旋转90度D. 沿DE方向平移
答案：C
解析：
详解：解：∵△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE ⊥DE ，
∴AB=AC，∠ADC=∠CEA=∠BCA=90°，
∵∠DCB+∠BCA+∠ECA=180°，
∴∠DBC+∠DCB=∠ECA+∠DCB=90°，
∴∠DBC=∠ECA，
∴，
∴BD=CE， CD=AE，
A、绕点C旋转后，CD与AE不重合，即△BDC与△ACE不重合，故选项A不符合题意；
B、△BDC与△ACE不关于A B的中垂线对称，则沿A B的中垂线翻折后BD与AE不重合，故选项B不符合题意；
C、因为△ABC是等腰直角三角形，所以CM⊥AB，所以绕中点M逆时针旋转90度，则△ACE与△BDC重合，故选项C符合题意；
D、先沿DE方向平移△BDC，使点E与点D重合后，BD与AE不重合，故选项D不符合题意；
故选：C．
5. 如图，直线与 (且 k ，b 为常数）的交点坐标为，则关 于 x 的不等式的解集为（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：由图象可知：的解集为；
故选B
6. 如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，且点E在△ABC内部，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE，②CE⊥DE，③BD=AF，④，其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：D
解析：
详解：解：∵AD为ABC的高线，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵RtABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，
∴∠CBE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CBE，
在DAE和CBE中，
∴ADE≌BCE（SAS）；
故①正确；
②∵ADE≌BCE，
∴∠EDA=∠ECB，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠ECB=90°，
∴∠DEC=90°，
∴CE⊥DE；
故②正确；
③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，
∴∠BDE=∠AFE，
∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，
∴∠BED=∠AEF，
在AEF和BED中，
∴AEF≌BED（AAS），
∴BD=AF；
故③正确；
④∵AD=BC，BD=AF，
∴CD=DF，
∵AD⊥BC，
∴FDC是等腰直角三角形，
∵DE⊥CE，
∴EF=CE，
∴S△AEF=S△ACE，
∵AEF≌BED，
∴S△AEF=S△BED，
∴S△BDE=S△ACE．
故④正确；
综上①②③④都正确，
故选D．
二、填空题（每题3分，共18分）
7. 点与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为________．
答案：
解析：
详解：解；∵点与点B关于原点中心对称，
∴点B的坐标为，
故答案为：．
8. 用反证法证明“”时，首先应假设__________．
答案：##
解析：
详解：解：∵与相反的全部结果就为
∴用反证法证明“”时，首先应假设
故答案为：
9. 如图，等腰三角形ABC中，，，于D，则等于_________．
答案：
解析：
详解：解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10. 一组学生在校门口拍一张合影，已知冲一张底片需要0.6元，洗一张照片需要0.4元，每人都得到一张照片，每人平均分摊的钱不超过0.5元，那么参加合影的同学至少有______ 人．
答案：6
解析：
详解：
详解：
设参加合影的同学有x人，根据题意可得：
0.6+0.4x≤0.5x，
解得：x≥6，
∴参加合影的同学至少有6人．
故答案为6．
11. 如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为__________．
答案：8
解析：
详解：解：如图，连接，
∵和都是边长为4的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点P与点C重合时，点A与点关于对称，的值最小，正好等于的长，
∴的最小值为，
故答案为：8．
12. 在中，，，，过点的直线把分割成两个三角形且交线段AC于点P，使其中只有一个是等腰三角形，则_____________________．
答案：3或3.6或1
解析：
详解：解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
如图①所示，AB=AP=3；
如图②所示，AB=BP=3，且P在AC上时，
作△ABC的高BD，则BD==2.4，
∴AD=DP==1.8，
∴AP=2AD=3.6；
如图③所示，CB=CP=4，
∴AP=AC-CP=5-4=1；
综上所述：AP的值为3或3.6或1，
故答案为：3或3.6或1．
三、解答题（共84分）
13. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
答案：－1≤x＜2
解析：
详解：解不等式①，得：x＜2
解不等式②，得：x≥－1
∴原不等式组的解集是：－1≤x＜2
在数轴上表示为：
14. 如图所示，在中，的平分线交于点垂直平分，

（1）求的度数；
（2）当时，求的长度．
答案：（1）
（2）
解析：
小问1详解：
解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴；
小问2详解：
解：由（1）得，
在中，，，
∴，
∴，
∴在中，，则．
15. 如图所示，点的坐标为，把点绕坐标原点逆时针旋转后得到点．
（1）求点的坐标；
（2）若把点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的点落在第四象限，求的取值范围．
答案：（1）
（2）
解析：
小问1详解：
解：过点作轴于，过点作轴于，如图所示：
∴，
∴，
由旋转的性质得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴点的坐标为，
小问2详解：
解：∵点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到点，
∴点的坐标为，
∵点在第四象限，
∴，解得，
的取值范围为．
16. 如图在网格中，三角形的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作的平分线，交于点．
（2）在图2中，作的平分线，交于点．
答案：（1）作图见解析
（2）作图见解析
解析：
小问1详解：
解：如图所示：
即为所求；
小问2详解：
解：如图所示：
即为所求．
17. 关于的两个不等式：①与②．
（1）若两个不等式的解集相同，求的值．
（2）若不等式①的解都是②的解，求的取值范围．
答案：（1）；
（2）．
解析：
小问1详解：
解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
∵两个不等式的解集相同，
∴，
解得．
小问2详解：
∵不等式①的解都是②的解，
∴，
∴，
∴，
解得．
18. 如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长．
答案：（1）证明见解析
（2）
解析：
小问1详解：
证明：于点，于点，
，
为的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
小问2详解：
解：由（1）知，是等边三角形，
，
，
，
，
连接，如图所示：
则，
，
，
，，
，
，
．
19. 随着“双减”政策的逐步落实，某校为了加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品商店一次性购买若干个篮球和排球，两种球的售价分别为篮球每个160元，排球每个120元．
（1）若学校从该商店一次性购买篮球和排球共 60个，总费用不超过8640元，那么学校最多可以购买多少个篮球？
（2）若该商店到厂家批发购进篮球和排球共100个，按售价全部售出，厂家批发价分别为篮球每个130元，排球每个100元，要使商店的利润不低于2580元，且购进排球数量不少于篮球数量的，商店有哪几种进货方案？
答案：（1）36个 （2）商店有三种进货方案：①购进篮球58个，排球42个；②购进篮球59个，排球41个；③购进篮球60个，排球40个
解析：
小问1详解：
解：设学校购买篮球个，排球个，
依题意得：，
解得，
答：学校最多可购买篮球36个．
小问2详解：
解：设商店到厂家购进篮球个，则排球是个，
依题意得：，
解得：，
因为为整数，
所以，59，60，
所以商店有三种进货方案：①购进篮球58个，排球42个；②购进篮球59个，排球41个；③购进篮球60个，排球40个．
20. 阅读：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位，用实数加法表示为3(2)1．若坐标平面上点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}{c，d}{ac，bd}．解决问题：
（1）计算：，
（2）动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C．再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B．请你在图1中画出四边形OABC；
（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P(2,3)，再从码头P航行到码头Q(5,5)，最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．

答案：（1）；（2）图见解析；（3）．
解析：
详解：（1）原式，
；
（2）点O的坐标为，
，即，
，即，
，即，
先描点，再顺次连接点即可得到四边形OABC，如图1所示：

（3）由题意得：从点O出发，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位即到达点P，
则点O到点P的“平移量”为，
同理可得：点P到点Q的“平移量”为，即，
点Q到点O的“平移量”为，
因此有．
21. 已知一次函数．
（1）若关于的方程的解为负数，求的取值范围；
（2）若关于的不等式组的解集为，求a，b的值．
（3）在（2）的条件下，若等腰三角形的两边分别为a和，直接写出该三角形的面积．
答案：（1）
（2）a的值为5，b的值为6
（3）或
解析：
小问1详解：
解：关于x的方程的解为负数，即的解为负数，
解得 ，
∴，
解得；
小问2详解：
∵关于x的不等式组的解集为，
即的解集为，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴，
∴，
解得，
∴a的值为5，b的值为6；
小问3详解：
∵，
当腰为时，底边长为，如图所示，作底边上的高，
∴，
∴，
∴，
当腰为6，底边长为时，
∴，
∴
∴，
综上所述，该三角形的面积为或．
22. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD
（1）求证：△ABD≌△BCE；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线．
（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．
答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）△DBC是等腰三角形，见解析.
解析：
详解：解：（1）如图证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CBE中，
，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
（2）证明：∵E是AB中点，
∴EB＝EA，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD，
∵AD∥BC，
∴∠7＝∠ACB＝45°，
∵∠6＝45°，
∴∠6＝∠7，
又∵AD＝AE，
∴AM⊥DE，且EM＝DM，
即AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，
∴CD＝BD．
∴△DBC是等腰三角形．
23. 某研究性学习小组在学习第三章第4节《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，，，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？
探究一：
（1）如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，，则“等补四边形”的面积为______
探究二：
（2）如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，，求“等补四边形”的面积．
探究三：
（3）由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么如图6，已知“等补四边形”，连接，若，，，试求出“等补四边形”的面积（用含，的代数式表示）．
答案：（1）；（2）；（3）
解析：
详解：（1）等补四边形”面积为，
故答案为：．
（2）如图，过点作交于点，
根据题意可得：，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴“等补四边形”的面积为：．
（3）如图，将绕点顺时针旋转得到，
作于点，
∴，，，，
在等补四边形中，，
∴，
∴点，，在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴“等补四边形”的面积等于的面积：．