2023-2024学年江西省南昌一中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省南昌一中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，不是二次根式的是( )
A. 45B. −3C. a2+3D. 23
2.下列二次根式中，能与 3合并的是( )
A. 32B. 12C. 24D. 8
3.以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图所示，正方形A的面积为( )
A. 6
B. 36
C. 64
D. 8
4.△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件：
①∠A=∠B−∠C；②a2=(b+c)(b−c)；③a：b：c=3：4：5．
其中能判断△ABC是直角三角形的条件个数有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
5.▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A. BE=DFB. AE=CF
C. AF/​/CED. ∠BAE=∠DCF
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F.已知AB=4，△AOE的面积为5，则DE的长为( )
A. 2B. 5C. 6D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.要使式子 x−2024有意义，则x的取值范围是______．
8.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为______．
9.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈=10尺)，如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为(x+6)尺，根据题意得方程：______．
10.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.如果AC=8，BD=14，AB=x，那么x的取值范围是______．
11.如图，一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.已知∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD= ______cm．
12.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，连接AC，若点P在图中任意线段上，当AP=CP，则BP的长为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
计算：
(1) 27− 12+ 3；
(2)如图，在▱BFDE中，A、C分别在DE、BF的延长线上，且AE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
14.(本小题6分)
已知，m= 5+1，n= 5−1.求值：
(1)m2+n2；
(2)nm+mn．
15.(本小题6分)
如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题．
(1)求△ABC的周长；
(2)判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．
16.(本小题6分)
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米.一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米.如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米.求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．
17.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，点E在AD上，请仅用无刻度直尺按要求作图(保留作图痕迹，不写作法)
(1)在图1中，过点E作直线EF将▱ABCD分成两个全等的图形；
(2)在图2中，DE=DC，请你作出∠BAD的平分线AM．
18.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．
(1)求证：△ABC≌△EAD；
(2)若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．
19.(本小题8分)
正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F．
(1)说明OE=OF的道理；
(2)在(1)中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由．
20.(本小题8分)
请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题．
【数学模型】
如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则点P即为所求.此时，PA+PB的值最小，且PA+PB=A′P+PB=A′B．
【模型应用】
(1)如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为AC=300米，BD=900米，且CD=900米.在l上确定一点P，则PA+PB的最短路径长为______米；
(2)如图③，在正方形ABCD中，AB=9，点E在边CD上，且DE=2CE，点P是对角线AC上一个动点，求PE+PD的最小值；
(3)如图④，在平面直角坐标系中，点A(−2,4)，B(4,2).请在x轴上确定一点P，使PA+PB的值最小，并求出PA+PB的最小值．
21.(本小题9分)
【阅读理解】
爱思考的小名在解决问题：已知a=12+ 3，求2a2−8a+1的值.他是这样分析与解答的：
∵a=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3，a−2=− 3．
∴(a−2)2=3，即a2−4a+4=3．
∴a2−4a=−1．
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：1 2+1= ______；
(2)计算：1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+…+1 2024+ 2023= ______；
(3)若a=1 5−2，求3a2−12a−1的值．
22.(本小题9分)
定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．

(1)如图1，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，若AB=3，BC=6，求BD的长；
(2)如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，且四边形BCEF是准矩形，求证：CF⊥BE；
(3)如图3，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=45°，AB=2，AC=DC，求这个准矩形的面积．
23.(本小题12分)
(1)【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形；
(2)【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB=3，BC=4，求四边形ABFE的周长；
(3)【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB=2 2，BC=4，∠C=45°，求EF的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 45是二次根式，故A正确；
B、被开方数小于零，故B错误；
C、 a2+3是二次根式，故C正确；
D、 23是二次根式，故D正确；
故选：B．
根据二次根式的定义，可得答案．
本题考查了二次根式的定义，注意二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】B
【解析】解：(A)原式= 62，故A与 3不能合并；
(B)原式=2 3，故B与 3能合并；
(C)原式=2 6，故C与 3不能合并；
(D)原式=2 2，故D与 3不能合并；
故选：B．
先将各二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式即可判断．
本题考查同类二次根式，解题的关键是将各根式化为最简二次根式，本题属于基础题型．
3.【答案】A
【解析】解：如图，∵∠CBD=90°，CD2=14，BC2=8，
∴BD2=CD2−BC2=6，
∴正方形A的面积为6，
故选：A．
根据正方形可以计算斜边和一条直角边，则另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来．
本题考查了勾股定理的运用，考查了正方形面积的计算，本题中解直角△BCD是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：①∵∠A=∠B−∠C，
∴∠A+∠C=∠B，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠B=180°，
∴∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴①正确；
②a2=(b+c)(b−c)，
∴a2=b2−c2，
∴a2+c2=b2，
∴△BAC是直角三角形，∴②正确；
③∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3k，b=4k，c=5k，
∵a2+b2=25k2，c2=25k2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，∴③正确；
故选：D．
根据三角形的内角和定理和已知求出最大角∠B的度数，即可判断①；根据已知得出a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可判断②；设a=3k，b=4k，c=5k求出a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可判断③．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，难度适中．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解答】
解：如图，连接AC与BD相交于O，
在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，
A.若BE=DF，则OB−BE=OD−DF，即OE=OF，所以四边形AECF是平行四边形，故本选项不符合题意；B.若AE=CF，则无法证明四边形AECF是平行四边形，故本选项符合题意；
C.AF/​/CE，则∠FAO=∠ECO，
又∵AO=OC，
∴在△AOF和△COE中，
∠FAO=∠ECOAO=OC∠AOF=∠COE
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，故本选项不符合题意；
D.在▱ABCD中，AB=CD，AB/​/CD，
∴∠CDF=∠ABE，
∵∠BAE=∠DCF，
∴在△ABE和△CDF中，
∠BAE=∠DCFAB=CD∠ABE=∠CDF
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴BE=DF，然后同A可得四边形AECF是平行四边形，故本选项不符合题意．
6.【答案】D
【解析】解：如图，连接CE，
由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，
∴BF=DE，S△AOE=S△DOE=5，
∴S△ACE=2S△COE=10．
∴12AE⋅CD=10，
∵CD=4，
∴EE=5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：DE= 52−42=3．
故选：D．
连接BE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得BE=DE，S△BOE=S△DOE=5，由三角形的面积则可求得DE的长，得出BE的长，然后由勾股定理求得答案．
本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
7.【答案】x≥2024
【解析】解：由题意可得x−2024≥0，
解得：x≥2024，
故答案为：x≥2024．
根据二次根式有意义的条件即可求得答案．
本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8.【答案】−1+ 10
【解析】解：AC= AB2+BC2= 32+12= 10，
则AM=AC= 10，
∵A点表示−1，
∴M点表示的数为：−1+ 10．
故答案是：−1+ 10．
首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示−1，可得M点表示的数．
此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
9.【答案】x2+6x−32=0
【解析】解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为(x+6)尺，根据题意得方程：
x2+(x+6)2=100，
整理得：x2+6x−32=0．
故答案为：x2+6x−32=0．
直接利用勾股定理进而得出等式方程即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
10.【答案】3【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AC=8，BD=14，
∴AO=4，BO=7，
∵AB=x，
∴7−4解得：3故答案为：3根据平行四边形的性质可得AO=4，BO=7，再根据三角形的三边关系可得7−4此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
11.【答案】3
【解析】解：由图可得，
∠ACB=90°，AB=7−1=6(cm)，点D为线段AB的中点，
∴CD=12AB=3cm，
故答案为：3．
根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．
本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12.【答案】2 5或 41或3
【解析】解：在矩形ABCD中，∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，AD=BC，CD=AB，
∵AB=4，BC=8，
根据勾股定理，得AC= 42+82=4 5，
当AP=CP时，分情况讨论：
①点P在AC的中点，如图所示：
BP=12AC=2 5；
②点P在AD边上，如图所示：
设AP=CP=x，
则PD=8−x，
在Rt△PCD中，根据勾股定理，得(8−x)2+42=x2，
解得x=5，
∴AP=5，
在Rt△BAP中，根据勾股定理，得BP= 42+52= 41；
③当点P在BC边上，如图所示：
设AP=CP=x，
则BP=8−x，
在Rt△ABP中，根据勾股定理，得(8−x)2+42=x2，
解得x=5，
∴BP=8−5=3，
综上所述，BP的长为2 5或 41或3，
故答案为：2 5或 41或3．
根据矩形的性质可得，∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，AD=BC，CD=AB，当AP=CP时，分情况讨论：①点P在AC的中点，②点P在AD边上，③当点P在BC边上，分别求解即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．
13.【答案】(1)解： 27− 12+ 3
=3 3−2 3+ 3
=(3−2+1) 3
=2 3；
(2)证明：∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DE/​/BF，DE=BF，
∵AE=CF，
∴AE+DE=CF+BF，
即AD=BC，
∵AD/​/BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】(1)先化简二次根式，再合并即可；
(2)由平行四边形的性质得DE/​/BF，DE=BF，再证明AD=BC，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质以及二次根式的运算，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
14.【答案】解：(1)∵m= 5+1，n= 5−1，
∴m2+n2=( 5+1)2+( 5−1)2
=5+2 5+1+5−2 5+1
=12；
(2)∵m= 5+1，n= 5−1，
∴mn=( 5+1)×( 5−1)=5−1=4，
∴nm+mn
=n2+m2mn
=124
=3．
【解析】(1)先代入，再根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算，最后根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
(2)先根据二次根式的乘法法则求出mn的值，再通分，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的混合运算和二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
15.【答案】解：(1)AB= 32+22= 13，AC=8，BC= 62+32=3 5，
∴△ABC的周长= 13+8+3 5；
(2)△ABC为直角三角形，
理由：∵小方格边长为1，
∴AB2=22+32=13，AC2=12+82=65，BC2=62+42=52，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形．
【解析】点拨
(1)运用割补法，正方形的面积减去三个小三角形的面积，即可求出△ABC的面积；
(2)根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此题要运用勾股定理的逆定理：若三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
16.【答案】解：设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为(2.2−x)米，
由题意可知，AC=2.4米，DE=2米，AB=DB，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理得：AB2=BC2+AC2，DB2=BE2+DE2，
∴BC2+AC2=BE2+DE2，
即(2.2−x)2+2.42=x2+4，
解得：x=1.5，
答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5米．
【解析】设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为(2.2−x)米，在Rt△ABC和Rt△DBE中，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图1，直线EF即为所求；
(2)如图2，射线AM即为所求．

【解析】(1)作▱ABCD的对角线AC、BD，交于点O，作直线EO交BC于点F，直线EF即为所求；
(2)作▱ABCD的对角线AC、BD，交于点O，连接EO并延长，交BC于点M，射线AM即为所求．
本题主要考查作图−基本作图，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B．
∴∠B=∠DAE．
∵在△ABC和△EAD中，AB=AE∠B=∠DAEAD=BC，
∴△ABC≌△EAD．
(2)解：∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE；
又∵∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB=∠B．
∴△ABE为等边三角形．
∴∠BAE=60°．
∵∠EAC=25°，
∴∠BAC=85°．
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED=∠BAC=85°．

【解析】从题中可知：
(1)△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B=∠DAE即可证明．
(2)根据全等三角形的性质，利用平行四边形的性质求解即可．
主要考查了平行四边形的基本性质和全等三角形的判定及性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
19.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，
∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，
∴∠OBE+∠BEO=90°，
∵AG⊥EB，
∴∠AGE=90°，
∴∠GAE+∠AEG=90°，
∴∠OBE=∠OAF，
在△AOF和△BOE中，
∠AOF=∠BOE=90°AO=BO∠OAF=∠OBE，
∴△AOF≌△BOE(ASA)，
∴OE=OF；
(2)解：OE=OF仍然成立．
理由如下：
在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，
∴∠FAO+∠F=90°，
∵AG⊥EB，
∴∠AGE=90°，
∴∠GAE+∠E=90°，
∴∠E=∠F，
在△AOF和△BOE中，
∠AOF=∠BOE=90∠F=∠EAO=BO，
∴△AOF≌△BOE(AAS)，
∴OE=OF．
所以结论仍然成立．
【解析】(1)根据正方形的性质利用ASA判定△AOF≌△BOE，根据全等三角形的对应边相等得到OE=OF；
(2)类比(1)的方法证得同理得出结论成立．
此题考查正方形的性质及全等三角形的判定与性质，关键是得到△AOF≌△BOE．
20.【答案】1500
【解析】解：(1)延长AC至A′，连接BA′交CD于点P，
则点P即为所求的“将军饮马”的位置，
作A′E⊥BD交BD的延长线于点E，
则四边形CA′ED为矩形，
∴DE=A′C=AC=300米，A′E=CD=900米，
∴BE=BD+DE=1200米，
由勾股定理得，A′B= A′E2+BE2= 9002+12002=1500(米)，
则PA+PB=A′B=1500米，
故答案为：1500；
(2)如图3，连接BE，设BE与AC交于点P′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于AC对称，
∴P′D=P′B，
∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．
∵四边形ABCD是正方形，AB=9，DE=2CE，
∴BC=CD=9，CE=13CD=3，
在直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=3，
∴BE= 92+32=3 10．
∴PD+PE最小值为3 10；
(3)作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，则点P即为所求．此时，PA+PB的值最小，
∵点B(4,2)．
∴B′(4,−2)，
设直线AB′的解析式为y=kx+b，
∵点A(−2,4)，点B′(4,−2)．
∴4=−2k+b−2=4k+b，
解得：k=−1b=2，
∴直线AB′的解析式为y=−x+2，
当y=0时，−x+2=0，
解得：x=2，
∴点P的坐标为(2,0)；
②∵点A(−2,4)，点B(4,2)，点B′(4,−2)，点P的坐标(2,0)．
∴PA+PB的最小值= 42+42+ 22+22=4 2+2 2=6 2．
(1)根据轴对称的性质确定“将军饮马”的位置点P，作A′E⊥BD交BD的延长线于点E，根据矩形的性质分别求出DE、A′E，根据勾股定理求出A′B，得到PA+PB，即可求解；
(2)由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果；
(3)作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，则点P即为所求．此时，PA+PB的值最小，可得出B′(4,−2)，利用待定系数法求出AB′的解析式，即可得点P的坐标；根据勾股定理即可求得PA+PB的最小值；
本题是四边形综合题，考查的是轴对称−最短路径问题、正方形的性质、勾股定理，掌握轴对称−最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．
21.【答案】 2−1 2024−1
【解析】解：(1)1 2+1= 2−1( 2+1)( 2−1)= 2−1．
故答案为： 2−1；
(2)原式= 2−1( 2+1)( 2−1)+ 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)+ 4− 3( 4+ 3)( 4− 3)++ 2024− 2023( 2024+ 2023)( 2024− 2023)
= 2−1+ 3− 2+ 4− 3++ 2024− 2023
= 2024−1；
故答案为： 2024−1；
(3)∵a=1 5−2= 5+2( 5−2)( 5+2)= 5+2，
∴a−2= 5．
∴(a−2)2=5，即a2−4a+4=5．
∴a2−4a=1．
∴3a2−12a−1=3(a2−4a)−1=3×1−1=2．
(1)分母有理化即可；
(2)先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
(3)先分母有理化求出a= 5+2，再求出a−2= 5，两边平方后求出a2−4a=1，再求出代数式的值即可．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键
22.【答案】(1)解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=6，
∴AC= AB2+BC2= 32+62=3 5，
∵四边形ABCD是准矩形，
∴BD=AC=3 5．
故答案为：3 5；
(2)证明：∵四边形BCEF是准矩形，
∴BE=CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
∴∠EBF+∠EBC=90°，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
BE=CFAB=BC，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，
∴∠EBF=∠BCF，
∴∠EBC+∠BCF=90°，
∴BE⊥CF；
(3)解：作DF⊥BC，垂足为F，

在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴AB=BC=2，
∴AC=DC= AB2+BC2=2 2，
∵准矩形ABCD中，AC=BD，AC=DC，
∴BD=CD，
∴BF=CF=12BC=1，
∴DF= CD2−CF2= 8−1= 7，
∴S准矩形ABCD=S△DCF+S梯形ABFD
=12FC×DF+12(AB+DF)×BF，
=12×1× 7+12(2+ 7)×1，
= 7+1．
【解析】(1)利用勾股定理求出AC，再根据准矩形的定义求出即可；
(2)根据准矩形的性质得到BE=CF，再证明Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，利用全等三角形的性质进一步推出∠EBC+∠BCF=90°，即可证明；
(3)作DF⊥BC，根据梯形的面积公式，三角形面积公式即可得出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了新定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，梯形面积公式，三角形面积公式，正确运用准矩形的定义是解本题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE//CF，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOE=∠COF=90°，AO=OC，
∴△EAO≌△FCO(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
(2)解：过点F作FH⊥AD于H，
由折叠可知：AF=CF，∠AFE=∠EFC，
在Rt△ABF中，AF2=BF2+AB2，即(4−BF)2=BF2+9，
∴BF=78，
∴AF=CF=258，
∵AD/​/BC，
∴∠AEF=∠EFC=∠AFE，
∴AE=AF=258，
∵∠B=∠BAD=∠AHF=90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴AB=FH=3，AH=BF=78，
∴EH=94，
∴EF= EH2+FH2= 9+8116=154，
∴四边形ABFE的周长=AB+BF+AE+EF=3+78+258+154=434；
(3)解：过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=45°，
∴∠ABC=135°，
∴∠ABN=45°，
∵AN⊥BC，
∴∠ABN=∠BAN=45°，
∴AN=BN= 22AB=2，
由折叠的性质可知：AF=CF，∠AFE=∠EFC，
∵AD/​/BC，
∴∠AEF=∠EFC=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AF2=AN2+NF2，
∴AF2=4+(6−AF)2，
∴AF=103，
∴AE=AF=103，
∵AN//MF，AD//BC，
∴四边形ANFM是平行四边形，
∵AN⊥BC，
∴四边形ANFM是矩形，
∴AN=MF=2，
在Rt△AMF中，AM= AF2−MF2= 1009−4=83，
∴ME=AE−AM=23，
在Rt△MFE中，EF= MF2+ME2= 49+4=2 103．
【解析】(1)通过证明△EAO≌△FCO(ASA)，得到OE=OF，可证四边形AFCE为平行四边形，再由EF⊥AC，可证平行四边形AFCE为菱形；
(2)过点F作FH⊥AD于H，先判断四边形ABFH是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长；
(3)过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，先证明四边形ANFM是平行四边形，再证明四边形ANFM是矩形，在Rt△AMF中，求出ME=AE−AM=23，Rt△MFE中，求出EF即可．
本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键．