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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率课时作业
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率课时作业，共37页。
1．频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
2. 概率与频率的区别与联系
3．随机模拟
我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟．
我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛（Mnte Carl）方法.
【典型例题】
题型一 概率的稳定性
（多选题）例1．(2023·云南玉溪·高二期末）下列说法正确的有（ ）
A．某市大中小型超市分别有20家､40家､140家，现用分层抽样的方法从该市大中小型超市中抽取一个容量为10的样本进行研究，应抽取中型超市2家
B．在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生的概率是0.5
C．一组数据的标准差越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好
D．在抛币试验中，试验次数从1增加到10的过程中，随机事件发生的频率越来越接近其概率
解题技巧（利用概率的稳定性解题的注意事项）
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
（多选题）例2．(2023·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”.发生的频数和频率表如下：
根据以上信息，下面说法正确的有（ ）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越少越好；
C．随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
例3．(2023·湖南·高一课时练习）某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名，2000名，3000名，4000名，5000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制的折线图如下：
(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？
(2)你能估计中学生选取红色的概率是多少吗？
(3)若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量？
例4．(2023·湖南·高一课时练习）某射击运动员脱靶的概率是0.01%，如果他独立重复射击下去，必有一次脱靶发生．（利用频率和概率的关系说明）
题型二 概率的应用
例5．（2023·江西吉安·高一期末）（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
解题技巧 (游戏公平性的标准及判断方法)
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．
例6．（2023·全国·高一课时练习）有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
例7．（2023·全国·高一课时练习）小陈以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校足球队.游戏规则：从（如图）这6个点中任取2个点，记选取的在轴上的点的个数为.若就参加学校合唱团，否则就参加学校足球队.
（1）请写出中任取2个点的样本空间；
（2）求小陈不参加学校合唱团的概率.
题型三 利用随机模拟实验求概率
例8．(2023·重庆市育才中学模拟预测）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
解题技巧（利用随机模拟实验求概率）
用随机模拟来估计概率，一般有如下特点的事件可以用这种方法来估计：(1)对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率．(2)对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难于验证的概率问题，可用随机模拟方法来估计概率．
例9．(2023·湖南·高一课时练习）下表是用计算机模拟的抛掷一枚质地均匀的骰子的试验数据．其中n是试验的次数，表中的百分数是频率．
借助表格说明：当试验的次数逐步增加时，每个点数出现的频率有哪些变化？
例10．（2023·全国·高一课时练习）某射击运动员每次击中目标的概率都是80%．若该运动员连续射击10次，用随机模拟方法估计其恰好有5次击中目标的概率．
【同步练习】
一、单选题
1．(2023·湖南·高一课时练习）一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表：
则样本在[10，50)内的频率为（ ）
A．0.5B．0.24C．0.6D．0.7
2．(2023·河南·高三阶段练习（文））某机构对某银行窗口服务进行了一次调查，得到如下数据：
则估计顾客的等待时间少于15分钟的频率是（ ）
A．0.19B．0.24C．0.38D．0.76
3．(2023·江西鹰潭·高二期末（理））中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（ ）
A．17人B．83人C．102人D．115人
4．(2023·山东潍坊·高二期末）如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·北京丰台·高二期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷硬币10次，事件A必发生5次
B．抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次
C．抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小
6．（2023·全国·高一课时练习）池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A．B．C．7．（2023·全国·高一课时练习）在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率与的关系是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·上海·格致中学高二阶段练习）独立地重复一个随机试验次，设随机事件发生的频率为，随机事件发生的概率为，有如下两个判断：①如果是单元素集，则；②集合不可能只含有两个元素，其中（ ）
A．①正确，②正确B．①错误，②正确
C．①正确，②错误D．①错误，②错误
二、多选题
9．(2023·湖南·高一课时练习）(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
10．（2023·湖北十堰·高二期中）下列说法不合理的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是，意即每掷6次就有一次掷得点数6．
B．抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率．
C．某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为，是指明天本地有的区域下雨．
D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大．
11．（2023·全国·高一课时练习）对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（ ）
A．①B．②C．③D．④
12．（2023·浙江·三门启超中学高二期末）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2023·贵州毕节·高二期中）一个口袋中装有若干个除颜色不同外其他都完全相同的红球和黑球，某同学每次随机取出一个球，观察颜色后放回，连续取了10次，发现取出红球3次，则估计红球在口袋中的占比为______．
14．(2023·浙江宁波·高二期末）在下列三个问题中：
① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面､一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；
② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的；
其中，正确的是___________.（用序号表示）
15．(2023·全国·高一课时练习）天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：
则下个星期恰有2天涨潮的概率为___________.
16．（2023·天津·紫云中学高二期中）有三台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为0.06，第二三台加工的次品率均为0.05，加工出来的零件混放在一起.已知第一，二，三台车床加工的零件数分别占总数的0.25，0.3，0.45，任取一个零件，求它是次品的概率______.
四、解答题
17．(2023·湖南·高一课时练习）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并做如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．
下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)计算并完成表格．
(2)当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近多少？
(3)你获得区域“1”相应奖品的概率大约为多少？
18．(2023·湖南·高一课时练习）有三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是K，K，Q．进行有放回的抽样，每次试验抽出一张纸牌，经过多次试验后结果汇总如下表：
(1)将上述表格补充完整；
(2)观察表格，计算摸到K的频率为多少；
(3)估计摸到K的概率．
19．(2023·广东揭阳·高二期末）为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道约10000人在该活动月每人每日平均阅读时间（分钟）的频率分布直方图如图：
(1)求x的值；
(2)从该街道任选1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率.
20．（2023·全国·高一课时练习）某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，问第三次才打开门的概率是多少？如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？设计一个试验，随机模拟估计上述概率．
21．（2023·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行同卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位，小时）各分为5组，得其频率分布直方图如图所示
(1)估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数是多少；
(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有个初中生的概率；
(3)国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时.若该校初中学生调外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间?
22．(2023·全国·高三专题练习）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
(1)若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式．
(2)花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
（i）假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若花店一天购进枝玫瑰花，以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于元的概率.
频率
概率
区别
频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的
概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小
联系
频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率
序号
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.55
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
点数
1
17.00%
16.50%
16.28%
16.61%
16.72%
16.69%
2
15.00%
15.50%
17.12%
16.62%
16.44%
16.62%
3
18.00%
17.10%
16.78%
16.94%
16.84%
16.69%
4
18.00%
16.00%
16.68%
16.97%
16.76%
16.64%
5
13.00%
16.60%
15.50%
15.94%
16.69%
16.64%
6
19.00%
18.30%
17.64%
16.92%
16.55%
16.72%
分组
频数
2
3
4
5
4
2
等待时间（分钟）
人数
4
8
7
4
2
9533
9522
0018
7472
0018
3879
5869
3281
7890
2692
8280
8425
3990
8460
7980
2436
5987
3882
0753
8935
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
转动转盘的次数m
100
150
200
500
800
1000
落在区域“1”的频数n
13
19
24
62
100
120
落在区域“1”的频率
试验总次数
10
20
50
100
200
300
400
500
1000
…
抽出K的频数
7
13
32
136
198
270
660
…
抽出K的频率
65%
67%
…
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
10.3频率与概率
【知识点梳理】
1．频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
2. 概率与频率的区别与联系
3．随机模拟
我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟．
我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛（Mnte Carl）方法.
【典型例题】
题型一 概率的稳定性
（多选题）例1．(2023·云南玉溪·高二期末）下列说法正确的有（ ）
A．某市大中小型超市分别有20家､40家､140家，现用分层抽样的方法从该市大中小型超市中抽取一个容量为10的样本进行研究，应抽取中型超市2家
B．在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生的概率是0.5
C．一组数据的标准差越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好
D．在抛币试验中，试验次数从1增加到10的过程中，随机事件发生的频率越来越接近其概率
答案：AC
【解析】
分析：
利用分层抽样性质求选项,利用概率的基本性质判断选项，利用标准差的特点判断选项，利用频率和概率的关系判断选项.
【详解】
对于选项,现用分层抽样的方法从该市大中小型超市中抽取一个容量为10的样本进行研究，应抽取中型超市的数量为，则选项正确；
对于选项,随机事件发生的概率为,即事件发生的概率不一定为，则选项不正确；
对于选项,一组数据的标准差越小，方差就越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好，则选项正确；
对于选项,当试验的次数很大时，随机事件的频率接近其概率，试验次数从1增加到10的过程中，试验的次数太少，随机事件发生的频率不会接近其概率，则选项不正确.
故选：.
解题技巧（利用概率的稳定性解题的注意事项）
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
（多选题）例2．(2023·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”.发生的频数和频率表如下：
根据以上信息，下面说法正确的有（ ）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越少越好；
C．随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
答案：AC
【解析】
分析：
根据频率和概率的关系判断
【详解】
A选项，验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性，故正确；
试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好；B错误；
随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近,此固定值就是概率，C正确；
我们要得到某事件发生的概率时，需要进行多次试验才能得到概率的估计值，故D错误.
故选：AC
例3．(2023·湖南·高一课时练习）某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名，2000名，3000名，4000名，5000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制的折线图如下：
(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？
(2)你能估计中学生选取红色的概率是多少吗？
(3)若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量？
答案：(1)红色的频率越来越稳定在
(2)
(3)可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大约为（合理即可）
【解析】
分析：
（1）根据折线图分析即可；
（2）根据频率和概率的关系判断即可；
（3）根据折线图可得中学生选取蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的概率，即可按比例安排生产；
(1)
解：根据折线图可知随着调查次数的增加，红色的频率越来越稳定在；
(2)
解：由图可知，红色的频率基本在附近浮动，所以中学生选取红色的概率是；
(3)
解：由图可知，中学生选取蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的概率分别是、、、、，故可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大约为（合理即可）；
例4．(2023·湖南·高一课时练习）某射击运动员脱靶的概率是0.01%，如果他独立重复射击下去，必有一次脱靶发生．（利用频率和概率的关系说明）
答案：答案见解析
【解析】
分析：
根据频率与概率的关系说明即可；
【详解】
解：频率一般是大概统计数据经验值，频率稳定于概率，概率为准确值，依题意，已知射击运动员脱靶的概率是，这是由多次实验得出的数据，如果设运动员射击次，至少脱靶一次的概率，从函数的角度分析可知当非常大时会趋近于1，也就是说由概率的意义可知，该射击运动员在10000次射击中，可能有1次脱靶，即他独立重复射击下去，必有一次脱靶发生．
题型二 概率的应用
例5．（2023·江西吉安·高一期末）（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
答案：（1）这个游戏公平的；答案见解析；（2）这个游戏不公平；答案见解析．
【解析】
分析：
利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可，若概率相同，则游戏公平，否则不公平
【详解】
（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，所有情况有：{（正正），（正反），（反正），（反反）}．
记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，则，
这个游戏公平的．
（2）拋掷三枚质地均匀的硬币，所以有情况有：{（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）}．
记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，
则，．这个游戏不公平．
解题技巧 (游戏公平性的标准及判断方法)
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．
例6．（2023·全国·高一课时练习）有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
答案：(1) 应选方案B ,猜“不是4的整数倍数”;(2) 应当选择方案A;
(3) 可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”
【解析】
【详解】
试题分析：(1) 方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为，案B中“不是4的整数倍数”的概率为，“是4的整数倍数”的概率为，方案C中“是大于4的数”的概率为，“不是大于4的数”的概率为，乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”. (2) 为了保证游戏的公平性,应当选择方案A. “是奇数”或“是偶数”的概率均为(3) “是大于5的数”或“不是大于5的数”发生的概率是一样的，也可以保证游戏的公平性
试题解析：
(1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.
(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.
(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.
点睛：本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，此外本题还考查了对于事件发生的可能性的计算．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
例7．（2023·全国·高一课时练习）小陈以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校足球队.游戏规则：从（如图）这6个点中任取2个点，记选取的在轴上的点的个数为.若就参加学校合唱团，否则就参加学校足球队.
（1）请写出中任取2个点的样本空间；
（2）求小陈不参加学校合唱团的概率.
答案：（1）样本空间 （2）
【解析】
(1)直接用枚举法表示样本空间即可;
(2)根据就参加学校合唱团,则可先确定时的样本点个数,再根据古典概型概率计算公式求出参加学校合唱团的概率,从而得到不参加学校合唱团的概率.
【详解】
(1)从中任取2个点的样本空间如下:
,
一共有15个样本点;
(2)当时,所取的2个点均不在轴上,
即从中任取2个点,
有,共6个样本点,
所以小陈参加学校合唱团的概率为,
小陈不参加学校合唱团的概率.
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率求法,难度不大.
题型三 利用随机模拟实验求概率
例8．(2023·重庆市育才中学模拟预测）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
答案：A
【解析】
分析：
由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.
【详解】
解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，
故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.
故选：A.
解题技巧（利用随机模拟实验求概率）
用随机模拟来估计概率，一般有如下特点的事件可以用这种方法来估计：(1)对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率．(2)对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难于验证的概率问题，可用随机模拟方法来估计概率．
例9．(2023·湖南·高一课时练习）下表是用计算机模拟的抛掷一枚质地均匀的骰子的试验数据．其中n是试验的次数，表中的百分数是频率．
借助表格说明：当试验的次数逐步增加时，每个点数出现的频率有哪些变化？
答案：见解析
【解析】
分析：
根据表中的数据可得每个点出现的频率稳定在某常数的附近.
【详解】
由表中数据可得每个出现的频率随着试验的次数逐步增加稳定在附近.
例10．（2023·全国·高一课时练习）某射击运动员每次击中目标的概率都是80%．若该运动员连续射击10次，用随机模拟方法估计其恰好有5次击中目标的概率．
答案：答案见解析.
【解析】
分析：
用1, 2,3,4, 5,6, 7, 8表示击中目标,用9, 0表示未击中目标，利用计算机或计算器产生0到9之间的整数随机数，每10个作为一-组,统计组数n，统计这n组数中恰有5个数在1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8中的组数m，根据古典概型可得答案.
【详解】
解：步骤：
(1)用1, 2,3,4, 5,6, 7, 8表示击中目标,用9, 0表示未击中目标，这样可以体现击中的概率为80%；
(2)利用计算机或计算器产生0到9之间的整数随机数，每10个作为一-组,统计组数n；
(3)统计这n组数中恰有5个数在1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8中的组数m；
(4)则连续射击10次恰有5次击中目标的概率的近似值为.
【同步练习】
一、单选题
1．(2023·湖南·高一课时练习）一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表：
则样本在[10，50)内的频率为（ ）
A．0.5B．0.24C．0.6D．0.7
答案：D
【解析】
分析：
根据频数分布表可得正确的选项.
【详解】
因为样本在[10，50)内的频数为2＋3＋4＋5＝14，样本容量为20，
所以在[10，50)内的频率为.
故选：D.
2．(2023·河南·高三阶段练习（文））某机构对某银行窗口服务进行了一次调查，得到如下数据：
则估计顾客的等待时间少于15分钟的频率是（ ）
A．0.19B．0.24C．0.38D．0.76
答案：D
【解析】
分析：
根据表中的数据直接求解
【详解】
由题意可得顾客的等待时间少于15分钟的频率是．
故选：D
3．(2023·江西鹰潭·高二期末（理））中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（ ）
A．17人B．83人C．102人D．115人
答案：C
【解析】
分析：
根据频率计算出正确答案.
【详解】
一句也说不出的学生频率为，
所以估计名学生中，一句也说不出的有人.
故选：C
4．(2023·山东潍坊·高二期末）如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，D必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.
【详解】
记零件或系统能正常工作的概率为，
该系统正常工作的概率为:
,
故选：C.
5．(2023·北京丰台·高二期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷硬币10次，事件A必发生5次
B．抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次
C．抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小
答案：D
【解析】
分析：
根据频率与概率的关系可得答案.
【详解】
不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；
随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；
故选：D
6．（2023·全国·高一课时练习）池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
求出表中数据四天中恰有三天下雨的情况即可得出概率.
【详解】
由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8组，
所以估计四天中恰有三天下雨的概率为.
故选：B.
7．（2023·全国·高一课时练习）在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率与的关系是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
当n很大时，频率是概率的近似值，从而可得答案
【详解】
在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近于，
所以可以用近似的代替，即，
故选：A
8．（2023·上海·格致中学高二阶段练习）独立地重复一个随机试验次，设随机事件发生的频率为，随机事件发生的概率为，有如下两个判断：①如果是单元素集，则；②集合不可能只含有两个元素，其中（ ）
A．①正确，②正确B．①错误，②正确
C．①正确，②错误D．①错误，②错误
答案：B
【解析】
分析：
对于①，举反例可判断①的正误；对于②，利用频率与概率的关系可判断②正误，即可得出结论.
【详解】
对于①，比如定义随机试验：从个红球中任意抽取个球，
定义随机事件三个球中有一个白球，则，且，①错；
对于②，频率会随着试验的变化而变化，是一个变化的值，但随着试验次数的增加，频率会接近于概率，
因此，不可能只含有两个元素，②对.
故选：B.
二、多选题
9．(2023·湖南·高一课时练习）(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
答案：ACD
【解析】
分析：
求出每一个选项的情况下，甲胜和乙胜的概率即可判断得解.
【详解】
解：对于选项A，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；
对于选项B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，所以游戏不公平；
对于选项C，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；
对于选项D，甲胜的概率是，乙胜的概率是，所以游戏是公平的.
故选：ACD
10．（2023·湖北十堰·高二期中）下列说法不合理的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是，意即每掷6次就有一次掷得点数6．
B．抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率．
C．某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为，是指明天本地有的区域下雨．
D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大．
答案：ACD
【解析】
分析：
在A中，意即每掷6次就可能有一次掷得点数6，故A错误；
在B中，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率，故B正确；
在C中，是指明天本地有的可能性会下雨，故C错误；
在D中，可以举例说明D错误．
【详解】
解：在A中，抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是，意即每掷6次就可能有一
次掷得点数6，故A错误；
在B中，抛掷一枚硬币，由概率的定义得：试验200次出现正面的频率不一定比100次得
到的频率更接近概率，故B正确；
在C中，某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为，是指明天本地有的可能性
会下雨，故C错误；
在D中，随机事件，中至少有一个发生的概率不一定比，中恰有一个发生的概率
大，如掷一枚骰子一次，向上的点数是偶数 ，=掷一枚骰子一次，向上的点数是奇数，
则A，B中至少有一个发生的概率的概率是1，A，B中恰有一个发生的概率也是1，故D错误.
故选：ACD．
11．（2023·全国·高一课时练习）对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（ ）
A．①B．②C．③D．④
答案：ACD
【解析】
分析：
根据频率和概率的关系可判断.
【详解】
由频率和概率的意义知，频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小，故①正确；
由频率和概率的关系知，频率是概率的近似值，是通过大量试验得到的，而概率是频率的稳定值，是确定的理论值，故②错误，③④正确.
故选：ACD.
12．（2023·浙江·三门启超中学高二期末）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）A．B．
C．D．
答案：ABC
【解析】
分析：
求出事件A，B的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解.
【详解】
依题意，，，
显然事件A，B互斥，，
事件B，C互斥，则，
于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.
故选：ABC
三、填空题
13．（2023·贵州毕节·高二期中）一个口袋中装有若干个除颜色不同外其他都完全相同的红球和黑球，某同学每次随机取出一个球，观察颜色后放回，连续取了10次，发现取出红球3次，则估计红球在口袋中的占比为______．
答案：##
【解析】
分析：
根据已知条件求出摸出红球的频率，进而估计红球在口袋中的占比.
【详解】
取球10次，取出红球3次，取出红球的频率为，
故估计红球在口袋中的占比为
故答案为：
14．(2023·浙江宁波·高二期末）在下列三个问题中：
① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面､一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；
② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的；
其中，正确的是___________.（用序号表示）
答案：①②
【解析】
分析：
以甲乙获胜概率是否均为来判断游戏是否公平，并以此来判断① 的正确性；以频率和概率的关系来判断② ③的正确性.
【详解】
① 中：甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，
可得4种可能的结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）
则“同时出现正面或反面”的概率为，“一个正面､一个反面”的概率为
即甲乙二人获胜的概率均为，那么这个游戏是公平的.判断正确；
② 中：“掷一枚骰子出现三点”是一个随机事件，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率会稳定于其概率值，故此事件发生的频率接近其概率.判断正确；
③ 中：气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日每天下雨的概率均是，每天都有可能下雨也可能不下雨，故1日—30日中出现下雨的天数是随机的，可能是0天，也可能是1天、2天、3天……，不一定是6天. 判断错误.
故答案为：① ②
15．(2023·全国·高一课时练习）天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：
则下个星期恰有2天涨潮的概率为___________.
答案：.
【解析】
分析：
由题意可知，恰有2天涨潮就是在这组数中，恰有两个是1或2，从这20组数找出恰有两个是1或2的个数，然后利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】
产生20组随机数相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486，5241478，3215687，1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为，
故答案为：
16．（2023·天津·紫云中学高二期中）有三台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为0.06，第二三台加工的次品率均为0.05，加工出来的零件混放在一起.已知第一，二，三台车床加工的零件数分别占总数的0.25，0.3，0.45，任取一个零件，求它是次品的概率______.
答案：
【解析】
分析：
利用三台车床的次品率和零件数占比求得正确结论.
【详解】
依题意，任取一个零件，求它是次品的概率为
.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·湖南·高一课时练习）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并做如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．
下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)计算并完成表格．
(2)当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近多少？
(3)你获得区域“1”相应奖品的概率大约为多少？
答案：(1)答案见解析
(2)0.12
(3)0.12
【解析】
分析：
（1）根据表中的数据直接计算出频率；
（2）根据频率稳定值可得答案；
（3）根据频率与概率的有关系可得答案.
(1)
落在区域“1”的频率如下表：
(2)
由（1）中计算的频率，可判断当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近0.12.
(3)
由（1），（2）及频率与概率的关系可知获得区域“1”相应奖品的概率大约为0.12.
18．(2023·湖南·高一课时练习）有三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是K，K，Q．进行有放回的抽样，每次试验抽出一张纸牌，经过多次试验后结果汇总如下表：
(1)将上述表格补充完整；
(2)观察表格，计算摸到K的频率为多少；
(3)估计摸到K的概率．
答案：(1)见解析
(2)约为66%.
(3)摸到K的概率约为66%，事实上摸到K的概率为.
【解析】
(1)
完善后表格如下表所示：
(2)
由（1）可得计算摸到K的频率约为66%.
(3)
由频率与概率的关系可得摸到K的概率约为66%，事实上摸到K的概率为.
19．(2023·广东揭阳·高二期末）为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道约10000人在该活动月每人每日平均阅读时间（分钟）的频率分布直方图如图：
(1)求x的值；
(2)从该街道任选1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率.
答案：(1)
(2)0.7
【解析】
分析：
（1）利用概率和为1计算可得的值；（2）求频率分布直方图中每人每日平均阅读时间超过60分钟的概率即为这个人阅读时间超过60分钟的概率.
(1)
由
得．
(2)
，
估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率为．
20．（2023·全国·高一课时练习）某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，问第三次才打开门的概率是多少？如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？设计一个试验，随机模拟估计上述概率．
答案：答案见解析.
【解析】
分析：
第三次才打开门的概率是；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是，
用计算器或计算机产生1到5之间的取整数值的随机数，1, 2表示能打开门，3, 4, 5表示打不开门. 可由此随机模拟估计上述概率．
【详解】
解：现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，第三次才打开门的概率是；
如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是，
用计算器或计算机产生1到5之间的取整数值的随机数，1, 2表示能打开门，3, 4, 5表示打不开门.
(1)三个一组(每组数字不重复),统计总组数N及前两个大于2,第三个是1或2的组数N1,则即为不能，打开门即扔掉，第三次才打开门的概率的近似值.
(2)三个一组，统计总组数M及前两个大于2，第三个为1或2的组数M1,则即为试过的钥匙不扔掉，第三次才打开门的概率的近似值.
21．（2023·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行同卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位，小时）各分为5组，得其频率分布直方图如图所示
(1)估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数是多少；
(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有个初中生的概率；
(3)国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时.若该校初中学生调外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间?
答案：(1)人
(2)
(3)该校需要增加初中学生课外阅读时间.
【解析】
分析：
（1）先利用分层抽样确定初中生和高中生的人数，再利用频率分布直方图求解初中生和高中生阅读时间在小时内频率，即可得出结果；
（2）先求出阅读时间不足10个小时的初中生和高中生的人数，再利用列举法求出总的事件个数和满足题意的事件个数，利用古典概率模型求解即可；
（3）利用频率分布直方图求解出平均数，判断即可得出结论.
(1)
由分层抽样知，抽取的初中生有名，
高中生有名，
初中生中，阅读时间在小时内的频率为
，
∴所有的初中生中，阅读时间在小时内的学生约有人；
同理，高中生中，阅读时间在小时内的频率为
，
学生人数约有人，
该校所有学生中，阅读时间在小时内的学生人数约有人.
(2)
记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，
至少抽到2名初中生”为事件A，
初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，
样本人数为人；
高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，
样本人数为人
记这3名初中生为A､B､C，这2名高中生为d､e，
则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共10种，
即：，，，，，，，，，；
而事件A的结果有7种，
它们是：，，，，，，；
∴至少抽到2名初中生的概率为；
(3)
初中生平均每阅读时间(小时)，
(小时)，
因为，该校需要增加初中学生课外阅读时间.
22．(2023·全国·高三专题练习）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
(1)若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式．
(2)花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
（i）假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若花店一天购进枝玫瑰花，以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于元的概率.
答案：(1)；
(2)（i）；（ii）
【解析】
分析：
（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝赔本5元，即可建立分段函数；
（2）根据题意求得天所有的利润，除以即得每日利润；
（3）根据（2）中所求每日利润，结合利润不少于元的要求，将对应频率相加即可.
(1)
当需求量时，每日利润元；
当需求量时，每日利润元；
故每日利润关于的函数为：
(2)
（i）根据题意，天内，
有天的利润为元，有天的利润为元，
有天的利润为元，有天的利润为元，
故这天内，日利润的平均值为：元.
（ii）显然要满足题意，只需每日需求量即可.
故当天的利润不少于元的概率为：.
频率
概率
区别
频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的
概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小
联系
频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率
序号
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.55
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
点数
1
17.00%
16.50%
16.28%
16.61%
16.72%
16.69%
2
15.00%
15.50%
17.12%
16.62%
16.44%
16.62%
3
18.00%
17.10%
16.78%
16.94%
16.84%
16.69%
4
18.00%
16.00%
16.68%
16.97%
16.76%
16.64%
5
13.00%
16.60%
15.50%
15.94%
16.69%
16.64%
6
19.00%
18.30%
17.64%
16.92%
16.55%
16.72%
分组
频数
2
3
4
5
4
2
等待时间（分钟）
人数
4
8
7
4
2
9533
9522
0018
7472
0018
3879
5869
3281
7890
2692
8280
8425
3990
8460
7980
2436
5987
3882
0753
8935
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
转动转盘的次数m
100
150
200
500
800
1000
落在区域“1”的频数n
13
19
24
62
100
120
落在区域“1”的频率
转动转盘的次数m
100
150
200
500
800
1000
落在区域“1”的频数n
13
19
24
62
100
120
落在区域“1”的频率
0.13
0.13
0.12
0.12
0.13
0.12
试验总次数
10
20
50
100
200
300
400
500
1000
…
抽出K的频数
7
13
32
136
198
270
660
…
抽出K的频率
65%
67%
…
试验总次数
10
20
50
100
200
300
400
500
1000
抽出K的频数
7
13
32
65
136
198
270
335
660
抽出K的频率
70%
65%
64%
65%
68%
66%
67.5%
67%
66%
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
1．频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
2. 概率与频率的区别与联系
3．随机模拟
我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟．
我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛（Mnte Carl）方法.
【典型例题】
题型一 概率的稳定性
（多选题）例1．(2023·云南玉溪·高二期末）下列说法正确的有（ ）
A．某市大中小型超市分别有20家､40家､140家，现用分层抽样的方法从该市大中小型超市中抽取一个容量为10的样本进行研究，应抽取中型超市2家
B．在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生的概率是0.5
C．一组数据的标准差越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好
D．在抛币试验中，试验次数从1增加到10的过程中，随机事件发生的频率越来越接近其概率
解题技巧（利用概率的稳定性解题的注意事项）
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
（多选题）例2．(2023·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”.发生的频数和频率表如下：
根据以上信息，下面说法正确的有（ ）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越少越好；
C．随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
例3．(2023·湖南·高一课时练习）某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名，2000名，3000名，4000名，5000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制的折线图如下：
(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？
(2)你能估计中学生选取红色的概率是多少吗？
(3)若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量？
例4．(2023·湖南·高一课时练习）某射击运动员脱靶的概率是0.01%，如果他独立重复射击下去，必有一次脱靶发生．（利用频率和概率的关系说明）
题型二 概率的应用
例5．（2023·江西吉安·高一期末）（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
解题技巧 (游戏公平性的标准及判断方法)
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．
例6．（2023·全国·高一课时练习）有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
例7．（2023·全国·高一课时练习）小陈以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校足球队.游戏规则：从（如图）这6个点中任取2个点，记选取的在轴上的点的个数为.若就参加学校合唱团，否则就参加学校足球队.
（1）请写出中任取2个点的样本空间；
（2）求小陈不参加学校合唱团的概率.
题型三 利用随机模拟实验求概率
例8．(2023·重庆市育才中学模拟预测）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
解题技巧（利用随机模拟实验求概率）
用随机模拟来估计概率，一般有如下特点的事件可以用这种方法来估计：(1)对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率．(2)对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难于验证的概率问题，可用随机模拟方法来估计概率．
例9．(2023·湖南·高一课时练习）下表是用计算机模拟的抛掷一枚质地均匀的骰子的试验数据．其中n是试验的次数，表中的百分数是频率．
借助表格说明：当试验的次数逐步增加时，每个点数出现的频率有哪些变化？
例10．（2023·全国·高一课时练习）某射击运动员每次击中目标的概率都是80%．若该运动员连续射击10次，用随机模拟方法估计其恰好有5次击中目标的概率．
【同步练习】
一、单选题
1．(2023·湖南·高一课时练习）一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表：
则样本在[10，50)内的频率为（ ）
A．0.5B．0.24C．0.6D．0.7
2．(2023·河南·高三阶段练习（文））某机构对某银行窗口服务进行了一次调查，得到如下数据：
则估计顾客的等待时间少于15分钟的频率是（ ）
A．0.19B．0.24C．0.38D．0.76
3．(2023·江西鹰潭·高二期末（理））中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（ ）
A．17人B．83人C．102人D．115人
4．(2023·山东潍坊·高二期末）如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·北京丰台·高二期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷硬币10次，事件A必发生5次
B．抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次
C．抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小
6．（2023·全国·高一课时练习）池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A．B．C．7．（2023·全国·高一课时练习）在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率与的关系是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·上海·格致中学高二阶段练习）独立地重复一个随机试验次，设随机事件发生的频率为，随机事件发生的概率为，有如下两个判断：①如果是单元素集，则；②集合不可能只含有两个元素，其中（ ）
A．①正确，②正确B．①错误，②正确
C．①正确，②错误D．①错误，②错误
二、多选题
9．(2023·湖南·高一课时练习）(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
10．（2023·湖北十堰·高二期中）下列说法不合理的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是，意即每掷6次就有一次掷得点数6．
B．抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率．
C．某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为，是指明天本地有的区域下雨．
D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大．
11．（2023·全国·高一课时练习）对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（ ）
A．①B．②C．③D．④
12．（2023·浙江·三门启超中学高二期末）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2023·贵州毕节·高二期中）一个口袋中装有若干个除颜色不同外其他都完全相同的红球和黑球，某同学每次随机取出一个球，观察颜色后放回，连续取了10次，发现取出红球3次，则估计红球在口袋中的占比为______．
14．(2023·浙江宁波·高二期末）在下列三个问题中：
① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面､一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；
② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的；
其中，正确的是___________.（用序号表示）
15．(2023·全国·高一课时练习）天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：
则下个星期恰有2天涨潮的概率为___________.
16．（2023·天津·紫云中学高二期中）有三台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为0.06，第二三台加工的次品率均为0.05，加工出来的零件混放在一起.已知第一，二，三台车床加工的零件数分别占总数的0.25，0.3，0.45，任取一个零件，求它是次品的概率______.
四、解答题
17．(2023·湖南·高一课时练习）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并做如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．
下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)计算并完成表格．
(2)当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近多少？
(3)你获得区域“1”相应奖品的概率大约为多少？
18．(2023·湖南·高一课时练习）有三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是K，K，Q．进行有放回的抽样，每次试验抽出一张纸牌，经过多次试验后结果汇总如下表：
(1)将上述表格补充完整；
(2)观察表格，计算摸到K的频率为多少；
(3)估计摸到K的概率．
19．(2023·广东揭阳·高二期末）为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道约10000人在该活动月每人每日平均阅读时间（分钟）的频率分布直方图如图：
(1)求x的值；
(2)从该街道任选1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率.
20．（2023·全国·高一课时练习）某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，问第三次才打开门的概率是多少？如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？设计一个试验，随机模拟估计上述概率．
21．（2023·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行同卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位，小时）各分为5组，得其频率分布直方图如图所示
(1)估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数是多少；
(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有个初中生的概率；
(3)国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时.若该校初中学生调外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间?
22．(2023·全国·高三专题练习）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
(1)若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式．
(2)花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
（i）假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若花店一天购进枝玫瑰花，以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于元的概率.
频率
概率
区别
频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的
概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小
联系
频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率
序号
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.55
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
点数
1
17.00%
16.50%
16.28%
16.61%
16.72%
16.69%
2
15.00%
15.50%
17.12%
16.62%
16.44%
16.62%
3
18.00%
17.10%
16.78%
16.94%
16.84%
16.69%
4
18.00%
16.00%
16.68%
16.97%
16.76%
16.64%
5
13.00%
16.60%
15.50%
15.94%
16.69%
16.64%
6
19.00%
18.30%
17.64%
16.92%
16.55%
16.72%
分组
频数
2
3
4
5
4
2
等待时间（分钟）
人数
4
8
7
4
2
9533
9522
0018
7472
0018
3879
5869
3281
7890
2692
8280
8425
3990
8460
7980
2436
5987
3882
0753
8935
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
转动转盘的次数m
100
150
200
500
800
1000
落在区域“1”的频数n
13
19
24
62
100
120
落在区域“1”的频率
试验总次数
10
20
50
100
200
300
400
500
1000
…
抽出K的频数
7
13
32
136
198
270
660
…
抽出K的频率
65%
67%
…
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
10.3频率与概率
【知识点梳理】
1．频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
2. 概率与频率的区别与联系
3．随机模拟
我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟．
我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛（Mnte Carl）方法.
【典型例题】
题型一 概率的稳定性
（多选题）例1．(2023·云南玉溪·高二期末）下列说法正确的有（ ）
A．某市大中小型超市分别有20家､40家､140家，现用分层抽样的方法从该市大中小型超市中抽取一个容量为10的样本进行研究，应抽取中型超市2家
B．在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生的概率是0.5
C．一组数据的标准差越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好
D．在抛币试验中，试验次数从1增加到10的过程中，随机事件发生的频率越来越接近其概率
答案：AC
【解析】
分析：
利用分层抽样性质求选项,利用概率的基本性质判断选项，利用标准差的特点判断选项，利用频率和概率的关系判断选项.
【详解】
对于选项,现用分层抽样的方法从该市大中小型超市中抽取一个容量为10的样本进行研究，应抽取中型超市的数量为，则选项正确；
对于选项,随机事件发生的概率为,即事件发生的概率不一定为，则选项不正确；
对于选项,一组数据的标准差越小，方差就越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好，则选项正确；
对于选项,当试验的次数很大时，随机事件的频率接近其概率，试验次数从1增加到10的过程中，试验的次数太少，随机事件发生的频率不会接近其概率，则选项不正确.
故选：.
解题技巧（利用概率的稳定性解题的注意事项）
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
（多选题）例2．(2023·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”.发生的频数和频率表如下：
根据以上信息，下面说法正确的有（ ）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越少越好；
C．随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
答案：AC
【解析】
分析：
根据频率和概率的关系判断
【详解】
A选项，验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性，故正确；
试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好；B错误；
随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近,此固定值就是概率，C正确；
我们要得到某事件发生的概率时，需要进行多次试验才能得到概率的估计值，故D错误.
故选：AC
例3．(2023·湖南·高一课时练习）某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名，2000名，3000名，4000名，5000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制的折线图如下：
(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？
(2)你能估计中学生选取红色的概率是多少吗？
(3)若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量？
答案：(1)红色的频率越来越稳定在
(2)
(3)可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大约为（合理即可）
【解析】
分析：
（1）根据折线图分析即可；
（2）根据频率和概率的关系判断即可；
（3）根据折线图可得中学生选取蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的概率，即可按比例安排生产；
(1)
解：根据折线图可知随着调查次数的增加，红色的频率越来越稳定在；
(2)
解：由图可知，红色的频率基本在附近浮动，所以中学生选取红色的概率是；
(3)
解：由图可知，中学生选取蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的概率分别是、、、、，故可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大约为（合理即可）；
例4．(2023·湖南·高一课时练习）某射击运动员脱靶的概率是0.01%，如果他独立重复射击下去，必有一次脱靶发生．（利用频率和概率的关系说明）
答案：答案见解析
【解析】
分析：
根据频率与概率的关系说明即可；
【详解】
解：频率一般是大概统计数据经验值，频率稳定于概率，概率为准确值，依题意，已知射击运动员脱靶的概率是，这是由多次实验得出的数据，如果设运动员射击次，至少脱靶一次的概率，从函数的角度分析可知当非常大时会趋近于1，也就是说由概率的意义可知，该射击运动员在10000次射击中，可能有1次脱靶，即他独立重复射击下去，必有一次脱靶发生．
题型二 概率的应用
例5．（2023·江西吉安·高一期末）（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
答案：（1）这个游戏公平的；答案见解析；（2）这个游戏不公平；答案见解析．
【解析】
分析：
利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可，若概率相同，则游戏公平，否则不公平
【详解】
（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，所有情况有：{（正正），（正反），（反正），（反反）}．
记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，则，
这个游戏公平的．
（2）拋掷三枚质地均匀的硬币，所以有情况有：{（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）}．
记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，
则，．这个游戏不公平．
解题技巧 (游戏公平性的标准及判断方法)
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．
例6．（2023·全国·高一课时练习）有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
答案：(1) 应选方案B ,猜“不是4的整数倍数”;(2) 应当选择方案A;
(3) 可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”
【解析】
【详解】
试题分析：(1) 方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为，案B中“不是4的整数倍数”的概率为，“是4的整数倍数”的概率为，方案C中“是大于4的数”的概率为，“不是大于4的数”的概率为，乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”. (2) 为了保证游戏的公平性,应当选择方案A. “是奇数”或“是偶数”的概率均为(3) “是大于5的数”或“不是大于5的数”发生的概率是一样的，也可以保证游戏的公平性
试题解析：
(1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.
(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.
(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.
点睛：本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，此外本题还考查了对于事件发生的可能性的计算．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
例7．（2023·全国·高一课时练习）小陈以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校足球队.游戏规则：从（如图）这6个点中任取2个点，记选取的在轴上的点的个数为.若就参加学校合唱团，否则就参加学校足球队.
（1）请写出中任取2个点的样本空间；
（2）求小陈不参加学校合唱团的概率.
答案：（1）样本空间 （2）
【解析】
(1)直接用枚举法表示样本空间即可;
(2)根据就参加学校合唱团,则可先确定时的样本点个数,再根据古典概型概率计算公式求出参加学校合唱团的概率,从而得到不参加学校合唱团的概率.
【详解】
(1)从中任取2个点的样本空间如下:
,
一共有15个样本点;
(2)当时,所取的2个点均不在轴上,
即从中任取2个点,
有,共6个样本点,
所以小陈参加学校合唱团的概率为,
小陈不参加学校合唱团的概率.
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率求法,难度不大.
题型三 利用随机模拟实验求概率
例8．(2023·重庆市育才中学模拟预测）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
答案：A
【解析】
分析：
由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.
【详解】
解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，
故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.
故选：A.
解题技巧（利用随机模拟实验求概率）
用随机模拟来估计概率，一般有如下特点的事件可以用这种方法来估计：(1)对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率．(2)对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难于验证的概率问题，可用随机模拟方法来估计概率．
例9．(2023·湖南·高一课时练习）下表是用计算机模拟的抛掷一枚质地均匀的骰子的试验数据．其中n是试验的次数，表中的百分数是频率．
借助表格说明：当试验的次数逐步增加时，每个点数出现的频率有哪些变化？
答案：见解析
【解析】
分析：
根据表中的数据可得每个点出现的频率稳定在某常数的附近.
【详解】
由表中数据可得每个出现的频率随着试验的次数逐步增加稳定在附近.
例10．（2023·全国·高一课时练习）某射击运动员每次击中目标的概率都是80%．若该运动员连续射击10次，用随机模拟方法估计其恰好有5次击中目标的概率．
答案：答案见解析.
【解析】
分析：
用1, 2,3,4, 5,6, 7, 8表示击中目标,用9, 0表示未击中目标，利用计算机或计算器产生0到9之间的整数随机数，每10个作为一-组,统计组数n，统计这n组数中恰有5个数在1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8中的组数m，根据古典概型可得答案.
【详解】
解：步骤：
(1)用1, 2,3,4, 5,6, 7, 8表示击中目标,用9, 0表示未击中目标，这样可以体现击中的概率为80%；
(2)利用计算机或计算器产生0到9之间的整数随机数，每10个作为一-组,统计组数n；
(3)统计这n组数中恰有5个数在1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8中的组数m；
(4)则连续射击10次恰有5次击中目标的概率的近似值为.
【同步练习】
一、单选题
1．(2023·湖南·高一课时练习）一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表：
则样本在[10，50)内的频率为（ ）
A．0.5B．0.24C．0.6D．0.7
答案：D
【解析】
分析：
根据频数分布表可得正确的选项.
【详解】
因为样本在[10，50)内的频数为2＋3＋4＋5＝14，样本容量为20，
所以在[10，50)内的频率为.
故选：D.
2．(2023·河南·高三阶段练习（文））某机构对某银行窗口服务进行了一次调查，得到如下数据：
则估计顾客的等待时间少于15分钟的频率是（ ）
A．0.19B．0.24C．0.38D．0.76
答案：D
【解析】
分析：
根据表中的数据直接求解
【详解】
由题意可得顾客的等待时间少于15分钟的频率是．
故选：D
3．(2023·江西鹰潭·高二期末（理））中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（ ）
A．17人B．83人C．102人D．115人
答案：C
【解析】
分析：
根据频率计算出正确答案.
【详解】
一句也说不出的学生频率为，
所以估计名学生中，一句也说不出的有人.
故选：C
4．(2023·山东潍坊·高二期末）如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，D必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.
【详解】
记零件或系统能正常工作的概率为，
该系统正常工作的概率为:
,
故选：C.
5．(2023·北京丰台·高二期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷硬币10次，事件A必发生5次
B．抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次
C．抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小
答案：D
【解析】
分析：
根据频率与概率的关系可得答案.
【详解】
不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；
随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；
故选：D
6．（2023·全国·高一课时练习）池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
求出表中数据四天中恰有三天下雨的情况即可得出概率.
【详解】
由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8组，
所以估计四天中恰有三天下雨的概率为.
故选：B.
7．（2023·全国·高一课时练习）在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率与的关系是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
当n很大时，频率是概率的近似值，从而可得答案
【详解】
在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近于，
所以可以用近似的代替，即，
故选：A
8．（2023·上海·格致中学高二阶段练习）独立地重复一个随机试验次，设随机事件发生的频率为，随机事件发生的概率为，有如下两个判断：①如果是单元素集，则；②集合不可能只含有两个元素，其中（ ）
A．①正确，②正确B．①错误，②正确
C．①正确，②错误D．①错误，②错误
答案：B
【解析】
分析：
对于①，举反例可判断①的正误；对于②，利用频率与概率的关系可判断②正误，即可得出结论.
【详解】
对于①，比如定义随机试验：从个红球中任意抽取个球，
定义随机事件三个球中有一个白球，则，且，①错；
对于②，频率会随着试验的变化而变化，是一个变化的值，但随着试验次数的增加，频率会接近于概率，
因此，不可能只含有两个元素，②对.
故选：B.
二、多选题
9．(2023·湖南·高一课时练习）(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
答案：ACD
【解析】
分析：
求出每一个选项的情况下，甲胜和乙胜的概率即可判断得解.
【详解】
解：对于选项A，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；
对于选项B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，所以游戏不公平；
对于选项C，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；
对于选项D，甲胜的概率是，乙胜的概率是，所以游戏是公平的.
故选：ACD
10．（2023·湖北十堰·高二期中）下列说法不合理的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是，意即每掷6次就有一次掷得点数6．
B．抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率．
C．某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为，是指明天本地有的区域下雨．
D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大．
答案：ACD
【解析】
分析：
在A中，意即每掷6次就可能有一次掷得点数6，故A错误；
在B中，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率，故B正确；
在C中，是指明天本地有的可能性会下雨，故C错误；
在D中，可以举例说明D错误．
【详解】
解：在A中，抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是，意即每掷6次就可能有一
次掷得点数6，故A错误；
在B中，抛掷一枚硬币，由概率的定义得：试验200次出现正面的频率不一定比100次得
到的频率更接近概率，故B正确；
在C中，某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为，是指明天本地有的可能性
会下雨，故C错误；
在D中，随机事件，中至少有一个发生的概率不一定比，中恰有一个发生的概率
大，如掷一枚骰子一次，向上的点数是偶数 ，=掷一枚骰子一次，向上的点数是奇数，
则A，B中至少有一个发生的概率的概率是1，A，B中恰有一个发生的概率也是1，故D错误.
故选：ACD．
11．（2023·全国·高一课时练习）对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（ ）
A．①B．②C．③D．④
答案：ACD
【解析】
分析：
根据频率和概率的关系可判断.
【详解】
由频率和概率的意义知，频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小，故①正确；
由频率和概率的关系知，频率是概率的近似值，是通过大量试验得到的，而概率是频率的稳定值，是确定的理论值，故②错误，③④正确.
故选：ACD.
12．（2023·浙江·三门启超中学高二期末）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）A．B．
C．D．
答案：ABC
【解析】
分析：
求出事件A，B的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解.
【详解】
依题意，，，
显然事件A，B互斥，，
事件B，C互斥，则，
于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.
故选：ABC
三、填空题
13．（2023·贵州毕节·高二期中）一个口袋中装有若干个除颜色不同外其他都完全相同的红球和黑球，某同学每次随机取出一个球，观察颜色后放回，连续取了10次，发现取出红球3次，则估计红球在口袋中的占比为______．
答案：##
【解析】
分析：
根据已知条件求出摸出红球的频率，进而估计红球在口袋中的占比.
【详解】
取球10次，取出红球3次，取出红球的频率为，
故估计红球在口袋中的占比为
故答案为：
14．(2023·浙江宁波·高二期末）在下列三个问题中：
① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面､一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；
② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的；
其中，正确的是___________.（用序号表示）
答案：①②
【解析】
分析：
以甲乙获胜概率是否均为来判断游戏是否公平，并以此来判断① 的正确性；以频率和概率的关系来判断② ③的正确性.
【详解】
① 中：甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，
可得4种可能的结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）
则“同时出现正面或反面”的概率为，“一个正面､一个反面”的概率为
即甲乙二人获胜的概率均为，那么这个游戏是公平的.判断正确；
② 中：“掷一枚骰子出现三点”是一个随机事件，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率会稳定于其概率值，故此事件发生的频率接近其概率.判断正确；
③ 中：气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日每天下雨的概率均是，每天都有可能下雨也可能不下雨，故1日—30日中出现下雨的天数是随机的，可能是0天，也可能是1天、2天、3天……，不一定是6天. 判断错误.
故答案为：① ②
15．(2023·全国·高一课时练习）天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：
则下个星期恰有2天涨潮的概率为___________.
答案：.
【解析】
分析：
由题意可知，恰有2天涨潮就是在这组数中，恰有两个是1或2，从这20组数找出恰有两个是1或2的个数，然后利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】
产生20组随机数相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486，5241478，3215687，1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为，
故答案为：
16．（2023·天津·紫云中学高二期中）有三台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为0.06，第二三台加工的次品率均为0.05，加工出来的零件混放在一起.已知第一，二，三台车床加工的零件数分别占总数的0.25，0.3，0.45，任取一个零件，求它是次品的概率______.
答案：
【解析】
分析：
利用三台车床的次品率和零件数占比求得正确结论.
【详解】
依题意，任取一个零件，求它是次品的概率为
.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·湖南·高一课时练习）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并做如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．
下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)计算并完成表格．
(2)当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近多少？
(3)你获得区域“1”相应奖品的概率大约为多少？
答案：(1)答案见解析
(2)0.12
(3)0.12
【解析】
分析：
（1）根据表中的数据直接计算出频率；
（2）根据频率稳定值可得答案；
（3）根据频率与概率的有关系可得答案.
(1)
落在区域“1”的频率如下表：
(2)
由（1）中计算的频率，可判断当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近0.12.
(3)
由（1），（2）及频率与概率的关系可知获得区域“1”相应奖品的概率大约为0.12.
18．(2023·湖南·高一课时练习）有三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是K，K，Q．进行有放回的抽样，每次试验抽出一张纸牌，经过多次试验后结果汇总如下表：
(1)将上述表格补充完整；
(2)观察表格，计算摸到K的频率为多少；
(3)估计摸到K的概率．
答案：(1)见解析
(2)约为66%.
(3)摸到K的概率约为66%，事实上摸到K的概率为.
【解析】
(1)
完善后表格如下表所示：
(2)
由（1）可得计算摸到K的频率约为66%.
(3)
由频率与概率的关系可得摸到K的概率约为66%，事实上摸到K的概率为.
19．(2023·广东揭阳·高二期末）为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道约10000人在该活动月每人每日平均阅读时间（分钟）的频率分布直方图如图：
(1)求x的值；
(2)从该街道任选1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率.
答案：(1)
(2)0.7
【解析】
分析：
（1）利用概率和为1计算可得的值；（2）求频率分布直方图中每人每日平均阅读时间超过60分钟的概率即为这个人阅读时间超过60分钟的概率.
(1)
由
得．
(2)
，
估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率为．
20．（2023·全国·高一课时练习）某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，问第三次才打开门的概率是多少？如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？设计一个试验，随机模拟估计上述概率．
答案：答案见解析.
【解析】
分析：
第三次才打开门的概率是；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是，
用计算器或计算机产生1到5之间的取整数值的随机数，1, 2表示能打开门，3, 4, 5表示打不开门. 可由此随机模拟估计上述概率．
【详解】
解：现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，第三次才打开门的概率是；
如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是，
用计算器或计算机产生1到5之间的取整数值的随机数，1, 2表示能打开门，3, 4, 5表示打不开门.
(1)三个一组(每组数字不重复),统计总组数N及前两个大于2,第三个是1或2的组数N1,则即为不能，打开门即扔掉，第三次才打开门的概率的近似值.
(2)三个一组，统计总组数M及前两个大于2，第三个为1或2的组数M1,则即为试过的钥匙不扔掉，第三次才打开门的概率的近似值.
21．（2023·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行同卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位，小时）各分为5组，得其频率分布直方图如图所示
(1)估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数是多少；
(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有个初中生的概率；
(3)国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时.若该校初中学生调外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间?
答案：(1)人
(2)
(3)该校需要增加初中学生课外阅读时间.
【解析】
分析：
（1）先利用分层抽样确定初中生和高中生的人数，再利用频率分布直方图求解初中生和高中生阅读时间在小时内频率，即可得出结果；
（2）先求出阅读时间不足10个小时的初中生和高中生的人数，再利用列举法求出总的事件个数和满足题意的事件个数，利用古典概率模型求解即可；
（3）利用频率分布直方图求解出平均数，判断即可得出结论.
(1)
由分层抽样知，抽取的初中生有名，
高中生有名，
初中生中，阅读时间在小时内的频率为
，
∴所有的初中生中，阅读时间在小时内的学生约有人；
同理，高中生中，阅读时间在小时内的频率为
，
学生人数约有人，
该校所有学生中，阅读时间在小时内的学生人数约有人.
(2)
记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，
至少抽到2名初中生”为事件A，
初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，
样本人数为人；
高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，
样本人数为人
记这3名初中生为A､B､C，这2名高中生为d､e，
则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共10种，
即：，，，，，，，，，；
而事件A的结果有7种，
它们是：，，，，，，；
∴至少抽到2名初中生的概率为；
(3)
初中生平均每阅读时间(小时)，
(小时)，
因为，该校需要增加初中学生课外阅读时间.
22．(2023·全国·高三专题练习）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
(1)若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式．
(2)花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
（i）假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若花店一天购进枝玫瑰花，以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于元的概率.
答案：(1)；
(2)（i）；（ii）
【解析】
分析：
（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝赔本5元，即可建立分段函数；
（2）根据题意求得天所有的利润，除以即得每日利润；
（3）根据（2）中所求每日利润，结合利润不少于元的要求，将对应频率相加即可.
(1)
当需求量时，每日利润元；
当需求量时，每日利润元；
故每日利润关于的函数为：
(2)
（i）根据题意，天内，
有天的利润为元，有天的利润为元，
有天的利润为元，有天的利润为元，
故这天内，日利润的平均值为：元.
（ii）显然要满足题意，只需每日需求量即可.
故当天的利润不少于元的概率为：.
频率
概率
区别
频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的
概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小
联系
频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率
序号
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.55
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
点数
1
17.00%
16.50%
16.28%
16.61%
16.72%
16.69%
2
15.00%
15.50%
17.12%
16.62%
16.44%
16.62%
3
18.00%
17.10%
16.78%
16.94%
16.84%
16.69%
4
18.00%
16.00%
16.68%
16.97%
16.76%
16.64%
5
13.00%
16.60%
15.50%
15.94%
16.69%
16.64%
6
19.00%
18.30%
17.64%
16.92%
16.55%
16.72%
分组
频数
2
3
4
5
4
2
等待时间（分钟）
人数
4
8
7
4
2
9533
9522
0018
7472
0018
3879
5869
3281
7890
2692
8280
8425
3990
8460
7980
2436
5987
3882
0753
8935
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
转动转盘的次数m
100
150
200
500
800
1000
落在区域“1”的频数n
13
19
24
62
100
120
落在区域“1”的频率
转动转盘的次数m
100
150
200
500
800
1000
落在区域“1”的频数n
13
19
24
62
100
120
落在区域“1”的频率
0.13
0.13
0.12
0.12
0.13
0.12
试验总次数
10
20
50
100
200
300
400
500
1000
…
抽出K的频数
7
13
32
136
198
270
660
…
抽出K的频率
65%
67%
…
试验总次数
10
20
50
100
200
300
400
500
1000
抽出K的频数
7
13
32
65
136
198
270
335
660
抽出K的频率
70%
65%
64%
65%
68%
66%
67.5%
67%
66%
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
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