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沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试核心考点06概率初步(原卷版+解析)
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这是一份沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试核心考点06概率初步(原卷版+解析)，共56页。
二．可能性的大小（共5小题）
三．概率的意义（共2小题）
四．概率公式（共9小题）
五．几何概率（共1小题）
六．列表法与树状图法（共11小题）
七．游戏公平性（共2小题）
八．利用频率估计概率（共1小题）
九．模拟试验（共1小题）
考点考向
一．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
二．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
三．概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
四．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
五．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
六．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
七．游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率＝．
八．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
九．模拟试验
（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验．
（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可．
考点精讲
一．随机事件（共9小题）
1．（2022春•虹口区校级月考）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．某种彩票的中奖概率为，购买1000张彩票一定能中奖
B．电视打开时正在播放广告
C．任意两个负数的乘积为正数
D．某人手中的玻璃杯不小心掉在水泥地面上会破碎
2．（2022春•上海期中）下列事件，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是1
B．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数
C．打开电视，正在播广告
D．抛掷一枚硬币，掷得的结果不是正面就是反面
3．（2022春•杨浦区校级期中）下列事件是必然事件的是（ ）
A．疫情期间参加聚会会感染新冠病毒
B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
C．打开的电视机正在播放新闻
D．13个同学中至少有两个同学同一个月生日
4．（2022春•徐汇区期末）下列事件中，必然事件是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
B．打开电视，正在播报新闻
C．抛掷两枚正方体骰子点数和等于13
D．任意画一个五边形，其外角和为360°
5．（2022春•奉贤区校级期末）在圆、等腰三角形、平行四边形、正方形中任选两个图形，那么下列事件中为不可能事件的是（ ）
A．这两个图形都是中心对称图形
B．这两个图形都不是中心对称图形
C．这两个图形都是轴对称图形
D．这两个图形都是既为轴对称图形又为中心对称图形
6．（2022春•浦东新区校级期末）在下列事件中，确定事件共有（ ）
①买一张体育彩票，中大奖；
②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；
③在共装有2只红球、3只黄球的袋子里，摸出一只白球；
④初二（3）班共有49名学生，至少有5名学生的生日在同一个月．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2022春•奉贤区校级期末）事件：（1）打雷后会下雨；（2）掷一枚均匀的硬币，反面朝上；（3）过十字路口时正好遇到绿灯；（4）煮熟的鸡蛋能孵出小鸡．以上事件中随机事件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2022春•宝山区校级期中）下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A．锄禾日当午B．大漠孤烟直C．手可摘星辰D．黄河入海流
9．（2022春•长宁区校级期末）下列成语所描述的事件为必然事件的是（ ）
A．水中捞月B．瓮中捉鳖C．守株待兔D．拔苗助长
二．可能性的大小（共5小题）
10．（2020春•嘉定区期末）将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中．下列四个选项，不正确的是（ ）
A．摸到白球比摸到黑球的可能性大
B．摸到白球和黑球的可能性相等
C．摸到红球是确定事件
D．摸到黑球或白球是确定事件
11．（2021春•崇明区期末）将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中，下列四个选项，不正确的是（ ）
A．摸到白球和黑球的可能性相等
B．摸到白球比摸到黑球的可能性大
C．摸到红球是不可能事件
D．摸到黑球或白球是确定事件
12．（2020春•浦东新区期末）下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A．瓜熟蒂落B．旭日东升C．守株待兔D．夕阳西下
13．（2020春•奉贤区期末）“掷一粒骰子，所得点数大于6”这一事件发生的可能性用语言表述为（ ）
A．不可能发生B．必然发生
C．很可能发生D．不太可能发生
14．（2021春•浦东新区期末）口袋里只有10个球，其中有个x红球，y个白球，这些球除了颜色不同之外，其余均相同．从中随意摸出一个球，若摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，则x的可能值为 ．
三．概率的意义（共2小题）
15．（2021春•杨浦区校级期末）下列说法：①“明天的降水概率为80%”是指明天有80%的时间在下雨；②连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次（ ）
A．只有①正确B．只有②正确C．①②都正确D．①②都错误
16．（2022春•杨浦区校级期末）确定事件的概率是 ．
四．概率公式（共9小题）
17．（2022春•奉贤区校级期末）从等边三角形、平行四边形、矩形、圆、等腰梯形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率是 ．
18．（2022春•奉贤区校级期末）从①AB＝BC，②AC＝BD，③AC⊥BD，④∠A＝90°四个关系中，任选1个作为条件，那么选到能够判定平行四边形ABCD是菱形的概率是 ．
19．（2022春•闵行区校级期中）一个不透明的口袋中，装有白球4个，黑球3个，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则摸到黑球的可能性是 ．
20．（2022春•杨浦区校级期末）从1，2，3，4这四个数字中任取一个数，取出的数为素数的概率是 ．
21．（2022春•浦东新区校级期中）有15只型号相同的杯子，其中一等品3只，二等品5只，三等品7只，从中任取1只，是一等品的概率是 ．
22．（2022春•宝山区校级期中）某同学投掷一枚硬币，如果连续4次都是正面朝上，则他第5次抛掷硬币的结果是正面朝上的概率是 ．
23．（2022春•闵行区校级期末）有一个质地均匀的正方体，其六个面上分别写着直角梯形、等腰梯形、矩形、正方形、菱形、平行四边形，投掷这个正方体后，向上的一面的图形是对角线相等的图形的概率是 ．
24．（2022春•普陀区校级期中）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上的点数分别为1到6的整数，那么掷出的点数小于3的概率为 ．
25．（2022春•杨浦区校级期中）从长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三角形的概率等于 ．
五．几何概率（共1小题）
26．（2022春•宝山区校级期中）如图，数轴上两点A，B，在线段AB上任取一点C，则点C到表示1的点的距离不大于2的概率是 ．
六．列表法与树状图法（共11小题）
27．（2022春•浦东新区校级期中）甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（ ）
A．B．C．D．
28．（2022春•闵行区校级月考）将分别写有“绿色闵行”、“垃圾分类”、“要先行”的三张大小质地相同的卡片随机排列，那么恰好排列成“绿色闵行垃圾分类要先行”的概率是 ．
29．（2022春•长宁区校级期末）将分别标有数字1、2、3的3个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中．
（1）若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？
（2）若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之和等于4的概率（用树状图或列表法求解）．
30．（2022春•宝山区校级月考）如图，麻将是中国的国粹之一，玩法最为复杂有趣，是中国古人发明的一种博弈游戏．它开局拿牌要投两枚骰子，将两枚骰子的点数相加之和除以4看余数来决定是在哪家开始拿牌．余数为1则在自家拿牌，余数为2就在下家拿牌，余数为3则在对家拿牌，能被4整除就在上家拿牌，则在自家拿牌的概率为 ．
31．（2022春•青浦区校级期末）掷两枚骰子，两者朝上面点数之和只可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12，共11种可能，那么“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8”的概率是 ．
32．（2022春•浦东新区校级期末）从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互素的概率是 ．
33．（2022春•上海期中）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 ．
34．（2022春•闵行区校级月考）布袋内装有大小、形状相同的3个红球和1个白球，从布袋中一次摸出两个球，那么两个都摸到红球的概率是 ．
35．（2022春•奉贤区校级期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．
（1）任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是 ；
（2）任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是 ；
（3）任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的概率是多少？（请用树形图法说明）
36．（2022春•徐汇区期末）国宝大熊猫作为体育盛会的吉祥物见证了祖国的日益强大．从1990年北京亚运会的“盼盼”，到2008年北京奥运会的“福娃晶晶”，再到北京冬奥会的“冰墩墩”．现在将4张卡片（如图，分别记为A、B、C、D）背面朝上洗匀，这些卡片除图案外其余均相同．
（1）小明从中随机抽取1张，抽到冰墩墩的概率为 ；
（2）小明从中随机抽取2张，抽取规则为：先随机抽取1张不放回，再随机抽取1张．请利用树状图或列表法求出小张抽取的2张卡片都是冰墩墩的概率．
37．（2022春•虹口区校级月考）某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有4个标号分别为1，2，3，4的质地、大小相同的小球，顾客任意摸取一个小球，然后放回，再摸取一个小球，若两次摸出的数字之和为“8”是一等奖，数字之和为“6”是二等奖，数字之和为其它数字则是三等奖，请分别求出顾客抽中一、二、三等奖的概率．
七．游戏公平性（共2小题）
38．（2019春•长宁区期末）甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张．若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽的两张牌面数字的积为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”）
39．（2020春•宝山区期末）暗箱内有三个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字1、2、3，甲、乙两人按照下列规则决定胜负．
（1）从箱中摸出一个小球，如果上面标注的数是2的倍数，则甲获胜，如果上面标注的数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？为什么？
（2）从箱中连续摸出两个小球（摸出后不放回），并将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，组成一个两位数，如果这个两位数是2的倍数，则甲获胜，如果这个两位数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？请用树状图或表格说明理由．
八．利用频率估计概率（共1小题）
40．（2015春•青浦区期末）下列说法错误的是（ ）
A．在一定条件下必出现的现象叫必然事件
B．不可能事件发生的概率为0
C．在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值
D．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖
九．模拟试验（共1小题）
41．（2012春•宝山区期末）学习概率有关知识时，全班同学一起做摸球试验．布袋里装有红球和白球共5个，它们除了颜色不同其他都一样．每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，一共摸了100次，其中63次摸出红球，由此可以估计布袋中红球的个数是 ．
巩固提升
一、单选题
1．（2022春·上海·八年级校考期中）下列事件，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是1
B．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数
C．打开电视，正在播广告
D．抛掷一枚硬币，掷得的结果不是正面就是反面
2．（2022春·上海宝山·八年级校考阶段练习）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．在十进制中
B．从长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形
C．方程在实数范围内有解
D．在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球.
3．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）如果用A表示事件“若a＞b，则ac2＞bc2”，用P（A）表示“事件A发生的概率”，那么下列结论中正确的是（ ）
A．P（A）＝1B．P（A）＝0C．0＜P（A）＜1D．P（A）＞1
4．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．方程在实数范围内有解
B．在十进制中
C．两个非零实数的积为负
D．平面直角坐标系中，直线不经过第二象限
5．（2022春·上海杨浦·八年级校考期中）下列事件是必然事件的是（ ）
A．疫情期间参加聚会会感染新冠病毒
B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
C．打开的电视机正在播放新闻
D．13个同学中至少有两个同学同一个月生日
6．（2022春·八年级单元测试）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6
7．（2022春·上海·八年级期末）下列命题正确的是（ ）．
A．任何事件发生的概率为1
B．随机事件发生的概率可以是任意实数
C．可能性很小的事件在一次实验中有可能发生
D．不可能事件在一次实验中也可能发生
8．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）在圆、等腰三角形、平行四边形、正方形中任选两个图形，那么下列事件中为不可能事件的是（ ）
A．这两个图形都是中心对称图形；
B．这两个图形都不是中心对称图形；
C．这两个图形都是轴对称图形；
D．这两个图形都是既为轴对称图形又为中心对称图形．
二、填空题
9．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）掷两枚骰子，两者朝上面点数之和只可能是、、、、、、、、、和，共种可能，那么“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为”的概率是______．
10．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）从1，2，3，4这四个数字中任取一个数，取出的数为素数的概率是______．
11．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）确定事件的概率是______．
12．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）如图：麻将是中国的国粹之一，玩法最为复杂有趣，是中国古人发明的一种博弈游戏．它开局拿牌要投两枚骰子，将两枚骰子的点数相加之和除以4看余数来决定是在哪家开始拿牌．余数为1则在自家拿牌，余数为2就在下家拿牌，余数为3则在对家拿牌，能被4整除就在上家拿牌，则在自家拿牌的概率为___________．
13．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互素的概率是___．
14．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）从①，②，③，④四个关系中，任选1个作为条件，那么选到能够判定平行四边形是菱形的概率是_______．
三、解答题
15．（2018春·上海·八年级上海市民办扬波中学校考期末）从1，2．．．，100这100个数中任意选取一个数，求：
（1）取到的是3的倍数的数概率P（A）
（2）取到的个位数字与十位数字之和为7的两位数的概率P（B）
16．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字．
(1)任意摸出一个小球，所标的数字不超过的概率是__________；
(2)任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是__________；
(3)任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的概率是多少？（请用树形图法说明）
17．（2022春·上海·八年级专题练习）在一个不透明的布袋里装有红、白、黄三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个，若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.4．
(1)求口袋中红球的个数：
(2)在这个布袋中摸出一个球再放回袋中，搅匀后再摸出一个球，求事件“摸到一红一白两球”的概率．
18．（2022春·上海·八年级专题练习）在一个不透明的袋子中装有（除颜色外）完全相同的红色小球1个，白色小球1个和黄色小球2个．
(1)如果从中先摸出一个小球，记下它的颜色后，将他放回袋子中摇匀，再摸出一个小球，记录下颜色，那么摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是_________；
(2)如果摸出的第一个小球之后不放回袋子中，再摸出第二个小球，这时摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是_________．
19．（2022春·上海·八年级专题练习）有两个不透明的布袋，其中一个布袋中有一个红球和两个白球，另一个布袋中有一个红球和三个白球，它们除了颜色外其他都相同．在两个布袋中分别摸出一个球．
(1)用树形图或列表法展现可能出现的所有结果；
(2)求摸到一个红球和一个白球的概率．
20．（2019春·上海浦东新·八年级统考期末）中国古代有着辉煌的数学成就，A《周髀算经》，B《九章算术》，C《海岛算经》，D《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
(1)小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___；
(2)某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．（用列表法或树状图求解）
核心考点06概率初步
目录
一．随机事件（共9小题）
二．可能性的大小（共5小题）
三．概率的意义（共2小题）
四．概率公式（共9小题）
五．几何概率（共1小题）
六．列表法与树状图法（共11小题）
七．游戏公平性（共2小题）
八．利用频率估计概率（共1小题）
九．模拟试验（共1小题）
考点考向
一．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
二．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
三．概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
四．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
五．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
六．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
七．游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率＝．
八．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
九．模拟试验
（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验．
（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可．
考点精讲
一．随机事件（共9小题）
1．（2022春•虹口区校级月考）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．某种彩票的中奖概率为，购买1000张彩票一定能中奖
B．电视打开时正在播放广告
C．任意两个负数的乘积为正数
D．某人手中的玻璃杯不小心掉在水泥地面上会破碎
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、某种彩票的中奖概率为，购买1000张彩票一定能中奖，是随机事件；
B、电视打开时正在播放广告，是随机事件；
C、任意两个负数的乘积为正数，是必然事件；
D、某人手中的玻璃杯不小心掉在水泥地面上会破碎，是随机事件；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（2022春•上海期中）下列事件，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是1
B．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数
C．打开电视，正在播广告
D．抛掷一枚硬币，掷得的结果不是正面就是反面
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：A、B、C都可能发生，也可能不发生，是随机事件，不符合题意；
D、一定发生，是必然事件，符合题意．
故选：D．
【点评】解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（2022春•杨浦区校级期中）下列事件是必然事件的是（ ）
A．疫情期间参加聚会会感染新冠病毒
B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
C．打开的电视机正在播放新闻
D．13个同学中至少有两个同学同一个月生日
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、疫情期间参加聚会会感染新冠病毒，是随机事件，不符合题意；
B、抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，不符合题意；
C、打开的电视机正在播放新闻，是随机事件，不符合题意；
D、一年有12个月，所以13个同学中至少有两个同学同一个月生日，是必然事件，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（2022春•徐汇区期末）下列事件中，必然事件是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
B．打开电视，正在播报新闻
C．抛掷两枚正方体骰子点数和等于13
D．任意画一个五边形，其外角和为360°
【分析】根据随机事件和必然事件的定义判断即可．
【解答】解：A选项，经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，这是一个随机事件，故该选项不符合题意；
B选项，打开电视，正在播报新闻，这是一个随机事件，故该选项不符合题意；
C选项，抛掷两枚正方体骰子点数和等于13，这是一个不可能事件，故该选项不符合题意；
D选项，任意画一个五边形，其外角和为360°，这是必然事件，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，掌握事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
5．（2022春•奉贤区校级期末）在圆、等腰三角形、平行四边形、正方形中任选两个图形，那么下列事件中为不可能事件的是（ ）
A．这两个图形都是中心对称图形
B．这两个图形都不是中心对称图形
C．这两个图形都是轴对称图形
D．这两个图形都是既为轴对称图形又为中心对称图形
【分析】根据等腰三角形，正方形，平行四边形的性质，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：圆和正方形既为轴对称图形又为中心对称图形，
等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，
平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，
A、这两个图形都是中心对称图形，是随机事件，故A不符合题意；
B、这两个图形都不是中心对称图形，是不可能事件，故B符合题意；
C、这两个图形都是轴对称图形，是随机事件，故C不符合题意；
D、这两个图形都是既为轴对称图形又为中心对称图形，是随机事件，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件，等腰三角形，正方形，平行四边形的性质，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
6．（2022春•浦东新区校级期末）在下列事件中，确定事件共有（ ）
①买一张体育彩票，中大奖；
②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；
③在共装有2只红球、3只黄球的袋子里，摸出一只白球；
④初二（3）班共有49名学生，至少有5名学生的生日在同一个月．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：①买一张体育彩票，中大奖，是随机事件，属于不确定事件；
②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，属于不确定事件；
③在共装有2只红球、3只黄球的袋子里，摸出一只白球，是不可能事件，属于确定事件；
④初二（3）班共有49名学生，至少有5名学生的生日在同一个月，是必然事件，属于确定事件；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．（2022春•奉贤区校级期末）事件：（1）打雷后会下雨；（2）掷一枚均匀的硬币，反面朝上；（3）过十字路口时正好遇到绿灯；（4）煮熟的鸡蛋能孵出小鸡．以上事件中随机事件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据随机事件、不可能事件、必然事件的意义结合具体的问题情境进行分析即可．
【解答】解：（1）打雷后会下雨；（2）掷一枚均匀的硬币，反面朝上；（3）过十字路口时正好遇到绿灯；都属于随机事件；
（4）煮熟的鸡蛋能孵出小鸡是不可能事件；
则随机事件有3个；
故选：C．
【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8．（2022春•宝山区校级期中）下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A．锄禾日当午B．大漠孤烟直C．手可摘星辰D．黄河入海流
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、锄禾日当午是随机事件，故选项错误，不符合题意；
B、大漠孤烟直是随机事件，故选项错误，不符合题意；
C、手可摘星辰是不可能事件，故选项正确，符合题意；
D、黄河入海流是必然事件，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9．（2022春•长宁区校级期末）下列成语所描述的事件为必然事件的是（ ）
A．水中捞月B．瓮中捉鳖C．守株待兔D．拔苗助长
【分析】根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、水中捞月是不可能事件，故本选项错误；
B、翁中捉鳖是必然事件，故本选项正确；
C、守株待兔是随机事件，故本选项错误；
D、拔苗助长是不可能事件，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
二．可能性的大小（共5小题）
10．（2020春•嘉定区期末）将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中．下列四个选项，不正确的是（ ）
A．摸到白球比摸到黑球的可能性大
B．摸到白球和黑球的可能性相等
C．摸到红球是确定事件
D．摸到黑球或白球是确定事件
【分析】根据随机事件发生的可能性（概率）的计算方法及确定性事件的概念逐一判断即可得．
【解答】解：A．由白球的数量比黑球多知摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项正确，不符合题意；
B．摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项错误，符合题意；
C．摸到红球是不可能事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意；
D．摸到黑球或白球是必然事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法和确定性事件的概念．
11．（2021春•崇明区期末）将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中，下列四个选项，不正确的是（ ）
A．摸到白球和黑球的可能性相等
B．摸到白球比摸到黑球的可能性大
C．摸到红球是不可能事件
D．摸到黑球或白球是确定事件
【分析】根据随机事件发生的可能性（概率）的计算方法及确定性事件的概念逐一判断即可得．
【解答】解：A．由白球的数量比黑球多知摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项错误，符合题意；
B．摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项正确，不符合题意；
C．摸到红球是不可能事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意；
D．摸到黑球或白球是必然事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法和确定性事件的概念．
12．（2020春•浦东新区期末）下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A．瓜熟蒂落B．旭日东升C．守株待兔D．夕阳西下
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
【解答】解：A．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
C．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；
D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．
13．（2020春•奉贤区期末）“掷一粒骰子，所得点数大于6”这一事件发生的可能性用语言表述为（ ）
A．不可能发生B．必然发生
C．很可能发生D．不太可能发生
【分析】由骰子只有1、2、3、4、5、6这6个点数可得答案．
【解答】解：因为骰子只有1、2、3、4、5、6这6个点数，
所以“掷一粒骰子，所得点数大于6”这一事件发生的可能性用语言表述为不可能发生，
故选：A．
【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是了解骰子上的点数及确定性事件和不确定性事件的概念．
14．（2021春•浦东新区期末）口袋里只有10个球，其中有个x红球，y个白球，这些球除了颜色不同之外，其余均相同．从中随意摸出一个球，若摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，则x的可能值为 6或7或8或9 ．
【分析】由题意可得x+y＝10，再根据从中随意摸出一个球，若摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，可得x＞y，y＞0，依此得出答案．
【解答】解：口袋里只有10个球，其中有x个红球，y个白球，
从中随意摸出一个球，若摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，
所以x+y＝10，且x＞y，y＞0，
则x的可能取值为x＝6或7或8或9．
故答案为：6或7或8或9．
【点评】此题主要考查了可能性的大小以及概率公式，正确掌握概率公式是解题关键．
三．概率的意义（共2小题）
15．（2021春•杨浦区校级期末）下列说法：①“明天的降水概率为80%”是指明天有80%的时间在下雨；②连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次（ ）
A．只有①正确B．只有②正确C．①②都正确D．①②都错误
【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
【解答】解：①“明天的降水概率为80%”是指是指明天下雨的可能性是80%，不是有80%的时间在下雨，故①错误；
②“连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次”，这是一个随机事件，抛一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先无法预料，故②错误；
①和②都是错误的．
故选：D．
【点评】本题考查概率的相关概念．不确定事件是可能发生也可能不发生的事件．正确理解随机事件、不确定事件的概念是解决本题的关键．
16．（2022春•杨浦区校级期末）确定事件的概率是 0或1 ．
【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件，再根据必然事件和不可能事件的概率解答即可．
【解答】解：确定事件包括必然事件和不可能事件，
必然事件的概率为1，
不可能事件的概率为0，
故答案为0或1．
【点评】本题主要考查了确定事件的定义，确定事件包括必然事件与不可能事件，难度适中．
四．概率公式（共9小题）
17．（2022春•奉贤区校级期末）从等边三角形、平行四边形、矩形、圆、等腰梯形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率是 ．
【分析】根据中心对称图形的定义得出所有的中心对称图形，进而利用概率公式求出即可．
【解答】解：∵等边三角形、平行四边形、矩形、圆、等腰梯形共5图形中，
中心对称图形有：平行四边形、矩形、圆共3，
∴5图形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义以及概率公式的应用，正确把握中心对称图形的定义是解题关键．
18．（2022春•奉贤区校级期末）从①AB＝BC，②AC＝BD，③AC⊥BD，④∠A＝90°四个关系中，任选1个作为条件，那么选到能够判定平行四边形ABCD是菱形的概率是 ．
【分析】选到能够判定平行四边形ABCD是菱形的有①AB＝BC、③AC⊥BD这2种结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：选到能够判定平行四边形ABCD是菱形的有①AB＝BC、③AC⊥BD这2种结果，
∴选到能够判定平行四边形ABCD是菱形的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
19．（2022春•闵行区校级期中）一个不透明的口袋中，装有白球4个，黑球3个，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则摸到黑球的可能性是 ． ．
【分析】先求出所有球的个数与黑球的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：∵共4+3＝7个球在袋中，其中3个黑球，
∴摸到黑球的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，难度适中．
20．（2022春•杨浦区校级期末）从1，2，3，4这四个数字中任取一个数，取出的数为素数的概率是 ．
【分析】用素数的个数除以数据总数即可求得答案．
【解答】解：1，2，3，4这四个数字中素数有2和3共2个，
∴从1，2，3，4这四个数字中任取一个数，取出的数为素数的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（2022春•浦东新区校级期中）有15只型号相同的杯子，其中一等品3只，二等品5只，三等品7只，从中任取1只，是一等品的概率是 ．
【分析】用一等品的杯子总数除以杯子的总数即可求得答案．
【解答】解：∵15只杯子里面有3只一等品，
∴从中任取1只是一等品的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
22．（2022春•宝山区校级期中）某同学投掷一枚硬币，如果连续4次都是正面朝上，则他第5次抛掷硬币的结果是正面朝上的概率是 ．
【分析】投掷一枚硬币，是一个随机事件，可能出现的情况有两种：正面朝上或者正面朝下，而且机会相同．
【解答】解：第5次掷硬币，出现正面朝上的机会和朝下的机会相同，都为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
23．（2022春•闵行区校级期末）有一个质地均匀的正方体，其六个面上分别写着直角梯形、等腰梯形、矩形、正方形、菱形、平行四边形，投掷这个正方体后，向上的一面的图形是对角线相等的图形的概率是 ．
【分析】由这6个图形中对角线相等的有等腰梯形、矩形、正方形这3个，根据概率公式计算可得．
【解答】解：∵在直角梯形、等腰梯形、矩形、正方形、菱形、平行四边形这6个四边形中，对角线相等的有等腰梯形、矩形、正方形这3个，
∴投掷这个正方体后，向上的一面的图形是对角线相等的图形的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握常见特殊四边形的性质及随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
24．（2022春•普陀区校级期中）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上的点数分别为1到6的整数，那么掷出的点数小于3的概率为 ．
【分析】点数小于3的有2种情况，除以总个数6即为向上的一面的点数小于3的概率．
【解答】解：∵共有6种情况，点数小于3的有2种，
∴P（点数小于3）＝．
故答案为
【点评】本题考查的是概率的求法的运用．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
25．（2022春•杨浦区校级期中）从长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三角形的概率等于 ．
【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，本题只要把三边代入，看是否满足即可．把满足的个数除以4即可得出概率．
【解答】解：长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条共有：
2，3，5；2，3，7；2，5，7；3，5，7，
能构成三角形的为：3、5、7，只有1组，因此概率为．
【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
五．几何概率（共1小题）
26．（2022春•宝山区校级期中）如图，数轴上两点A，B，在线段AB上任取一点C，则点C到表示1的点的距离不大于2的概率是 ．
【分析】先求出AB两点间的距离，再根据距离的定义找出符合条件的点即可．
【解答】解：∵AB间距离为6，点C到表示1的点的距离不大于2的点是﹣1到3之间的点，满足条件的点组成的线段的长是4．
∴其概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
六．列表法与树状图法（共11小题）
27．（2022春•浦东新区校级期中）甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】此题需要三步完成，所以采用树状图法比较简单．注意要做到不重不漏．
【解答】解：根据题意，画树状图得：
∴一共有24种跑步顺序，而恰好由甲将接力棒交给乙的有6种，
∴恰好由甲将接力棒交给乙的概率是：＝．
故选：A．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意画树状图是要做到不重不漏．
28．（2022春•闵行区校级月考）将分别写有“绿色闵行”、“垃圾分类”、“要先行”的三张大小质地相同的卡片随机排列，那么恰好排列成“绿色闵行垃圾分类要先行”的概率是 ．
【分析】根据题意画出三张卡片排列的所有等可能结果，再由树状图确定恰好排列成“绿色闵行垃圾分类要先行”的结果数，依据概率公式可得答案．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中恰好排列成“绿色闵行垃圾分类要先行”的只有1种结果，
∴恰好排列成“绿色闵行垃圾分类要先行”的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
29．（2022春•长宁区校级期末）将分别标有数字1、2、3的3个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中．
（1）若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？
（2）若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之和等于4的概率（用树状图或列表法求解）．
【分析】（1）根据概率公式求解；
（2）通过列表展示9种等可能的结果，再找出所摸出的两个球上数字之和等于4的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）P（标号为奇数）＝；
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中所摸出的两个球上数字之和等于4（记为事件A）的有3种，
所以，P（A）＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
30．（2022春•宝山区校级月考）如图，麻将是中国的国粹之一，玩法最为复杂有趣，是中国古人发明的一种博弈游戏．它开局拿牌要投两枚骰子，将两枚骰子的点数相加之和除以4看余数来决定是在哪家开始拿牌．余数为1则在自家拿牌，余数为2就在下家拿牌，余数为3则在对家拿牌，能被4整除就在上家拿牌，则在自家拿牌的概率为 ．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有36种等可能结果，其中点数相加之和除以4余数为1的有8种结果，
所以在自家拿牌的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
31．（2022春•青浦区校级期末）掷两枚骰子，两者朝上面点数之和只可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12，共11种可能，那么“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8”的概率是 ．
【分析】利用列表法把所有等可能的情况都列举出来，找出掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8的情况，利用概率公式计算即可．
【解答】解：根据题意，列表如下所示，
通过列表可得，共有36种等可能的情况，其中掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8的情况共有5种，
∴“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8”的概率为P＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法或画树状图法求概率，解答本题的关键是利用列表法把所有等可能的情况列举出来．
32．（2022春•浦东新区校级期末）从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互素的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
由表知，共有30种等可能结果，其中这2个数互素的有22种结果，
所以这2个数互素的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
33．（2022春•上海期中）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 ．
【分析】画树状图，展示所有4种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：把“做社区志愿者”和“参加社会调查”分别记为A、B，
画树状图如图：
共有4个等可能的结果，符合条件的结果有1个，
∴小杰和小丽两人同时选择“做社区志愿者”的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
34．（2022春•闵行区校级月考）布袋内装有大小、形状相同的3个红球和1个白球，从布袋中一次摸出两个球，那么两个都摸到红球的概率是 ．
【分析】列举出所有情况，看两个球颜色是红色的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：如图：
一共有12种情况，两个球颜色是红色的有6种情况，
∴这两个球颜色是红色的概率是＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
35．（2022春•奉贤区校级期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．
（1）任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是 1 ；
（2）任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是 ；
（3）任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的概率是多少？（请用树形图法说明）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中所标的数字和为偶数的结果有4种，再由概率公式求解即可；
（3）共有16种等可能的结果，其中摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）任意摸出一个小球，共有4种等可能结果，其中所标的数字不超过4的结果有4种，
∴所标的数字不超过4的概率是1，
故答案为：1；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所标的数字和为偶数的结果有4种，
∴所标的数字和为偶数的概率是＝，
故答案为：；
（3）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的结果有8种，
∴摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
36．（2022春•徐汇区期末）国宝大熊猫作为体育盛会的吉祥物见证了祖国的日益强大．从1990年北京亚运会的“盼盼”，到2008年北京奥运会的“福娃晶晶”，再到北京冬奥会的“冰墩墩”．现在将4张卡片（如图，分别记为A、B、C、D）背面朝上洗匀，这些卡片除图案外其余均相同．
（1）小明从中随机抽取1张，抽到冰墩墩的概率为 ；
（2）小明从中随机抽取2张，抽取规则为：先随机抽取1张不放回，再随机抽取1张．请利用树状图或列表法求出小张抽取的2张卡片都是冰墩墩的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小明从中随机抽取1张，抽到冰墩墩的概率为＝；
故答案为：；
（2）盼盼和福娃晶晶分别用A、B表示，2张冰墩墩用C表示，
列表如下：
由表可知，共有12种等可能的结果，其中小张抽取的2张卡片都是冰墩墩的结果有10种，
则小张抽取的2张卡片都是冰墩墩的概率是＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
37．（2022春•虹口区校级月考）某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有4个标号分别为1，2，3，4的质地、大小相同的小球，顾客任意摸取一个小球，然后放回，再摸取一个小球，若两次摸出的数字之和为“8”是一等奖，数字之和为“6”是二等奖，数字之和为其它数字则是三等奖，请分别求出顾客抽中一、二、三等奖的概率．
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：列表得：
∴一共有16种情况，两次摸出的数字之和为“8”的有一种，数字之和为“6”的有3种情况，数字之和为其它数字的有12种情况，
∴抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为，抽中三等奖的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
七．游戏公平性（共2小题）
38．（2019春•长宁区期末）甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张．若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽的两张牌面数字的积为偶数，则乙获胜．这个游戏 不公平 ．（填“公平”或“不公平”）
【分析】根据游戏规则可知：牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随意抽取2张，积有9种情况，其中5种是偶数，4种是奇数．那么甲、乙两人取胜的概率不相等；故这个游戏不公平．
【解答】解：从5、6、7中任意找两个数，积有35、30、42、25、36、49，其中30、35、42都是两次，即共9种情况，其中奇数的有4种，偶数的有5种，显然是不公平的．
故答案为：不公平
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
39．（2020春•宝山区期末）暗箱内有三个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字1、2、3，甲、乙两人按照下列规则决定胜负．
（1）从箱中摸出一个小球，如果上面标注的数是2的倍数，则甲获胜，如果上面标注的数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？为什么？
（2）从箱中连续摸出两个小球（摸出后不放回），并将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，组成一个两位数，如果这个两位数是2的倍数，则甲获胜，如果这个两位数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？请用树状图或表格说明理由．
【分析】（1）直接由概率公式求出甲获胜的概率＝乙获胜的概率，即可得出结论；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中这个两位数是2的倍数的结果有2种，这个两位数是3的倍数的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）规则公平，理由如下：
由题意得：甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
∴甲获胜的概率＝乙获胜的概率，
∴规则公平；
（2）规则公平，理由如下：
共有6种等可能的结果，其中这个两位数是2的倍数的结果有2种，这个两位数是3的倍数的结果有2种，
∴甲获胜的概率＝＝，乙获胜的概率＝＝，
∴甲获胜的概率＝乙获胜的概率，
∴规则公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
八．利用频率估计概率（共1小题）
40．（2015春•青浦区期末）下列说法错误的是（ ）
A．在一定条件下必出现的现象叫必然事件
B．不可能事件发生的概率为0
C．在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值
D．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖
【分析】根据必然事件，随机事件，概率的定义进行判断．
【解答】解：A、在一定条件下必出现的现象叫必然事件，说法正确，故本选项错误；
B、不可能事件发生的概率为0，说法正确，故本选项错误；
C、在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值，说法正确，故本选项错误；
D、某种彩票中是随机事件，买100张该种彩票不一定会中奖，说法错误，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是了解多次重复试验事件发生的频率可以估计概率．
九．模拟试验（共1小题）
41．（2012春•宝山区期末）学习概率有关知识时，全班同学一起做摸球试验．布袋里装有红球和白球共5个，它们除了颜色不同其他都一样．每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，一共摸了100次，其中63次摸出红球，由此可以估计布袋中红球的个数是 3 ．
【分析】根据题意，一共摸了100次，其中63次摸出红球，可以估计出得到红球的概率，进而求出红球个数．
【解答】解：∵小明共摸了100次，其中63次摸到红球，
∴得到红球的概率为：≈0.6，
∵布袋里装有红球和白球共5个，
∴可以估计布袋中红球的个数是：0.6×5＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了模拟实验，利用实验得出摸出红球的概率是解题关键．
巩固提升
一、单选题
1．（2022春·上海·八年级校考期中）下列事件，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是1
B．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数
C．打开电视，正在播广告
D．抛掷一枚硬币，掷得的结果不是正面就是反面
【答案】D
【分析】根据必然事件就是必然发生的事件逐项判断即可．
【详解】A．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是1是随机事件，不符合题意；
B. 掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数是随机事件，不符合题意；
C. 打开电视，正在播广告是随机事件，不符合题意；
D. 抛掷一枚硬币，掷得的结果不是正面就是反面是必然事件，符合题意．
故选D
【点睛】本题考查随机事件．掌握必然事件就是必然发生的事件是解题关键．
2．（2022春·上海宝山·八年级校考阶段练习）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．在十进制中
B．从长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形
C．方程在实数范围内有解
D．在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球.
【答案】B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】A. 在十进制中，是必然事件，不符合题意；
B. 从长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形，是随机事件，符合题意；
C. 方程在实数范围内有解，是不可能事件，不符合题意；
D. 在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件和确定事件，解题关键是明确可能发生也可能不发生的事件是随机事件．
3．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）如果用A表示事件“若a＞b，则ac2＞bc2”，用P（A）表示“事件A发生的概率”，那么下列结论中正确的是（ ）
A．P（A）＝1B．P（A）＝0C．0＜P（A）＜1D．P（A）＞1
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质1知事件A是随机事件，由概率的意义可得答案．
【详解】解：若a＞b，根据不等式的基本性质知ac2≥bc2成立，
∴A是随机事件，
∴0＜P（A）＜1，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查的是概率的意义，必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；如果A为不确定事件，那么0＜P（A）＜1，解题的关键是确定事件A的类型．
4．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．方程在实数范围内有解
B．在十进制中
C．两个非零实数的积为负
D．平面直角坐标系中，直线不经过第二象限
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式，二进制，有理数的乘法，直线的性质判断即可得出答案．
【详解】解：A、针对于方程x2+a=0，Δ=0-4a=-4a，当a≤0时，方程有两个实数根，当a＞0时，方程没有实数根，故此选项不符合题意；
B、在十进制中1+1=10和十进制中的2不能比较大小，故此选项不符合题意；
C、两个非零数相乘，同号得正，异号得负，故此选项不符合题意；
D、针对于直线y=3x-1，k=3＞0，b=-1＜0，∴直线y=3x-1经过第一、三、四象限，不经过二象限，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二进制，有理数的乘法，一次函数的性质．
5．（2022春·上海杨浦·八年级校考期中）下列事件是必然事件的是（ ）
A．疫情期间参加聚会会感染新冠病毒
B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
C．打开的电视机正在播放新闻
D．13个同学中至少有两个同学同一个月生日
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、疫情期间参加聚会会感染新冠病毒，是随机事件，则此项不符合题意；
B、抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，则此项不符合题意；
C、打开的电视机正在播放新闻，是随机事件，则此项不符合题意；
D、因为一年有12个月，所以13个同学中至少有两个同学同一个月生日，是必然事件，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．（2022春·八年级单元测试）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6
【答案】D
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.17左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
【详解】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，不符合题意；
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，不符合题意；
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率是，不符合题意；
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6的概率是，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
7．（2022春·上海·八年级期末）下列命题正确的是（）．
A．任何事件发生的概率为1
B．随机事件发生的概率可以是任意实数
C．可能性很小的事件在一次实验中有可能发生
D．不可能事件在一次实验中也可能发生
【答案】C
【分析】根据随机事件、不可能事件的定义和概率的性质判断各选项即可．
【详解】A中，只有必然事件概率才是1，错误；
B中，随机事件的概率p取值范围为：0＜p＜1，错误；
C中，可能性很小的事件，是有可能发生的，正确；
D中，不可能事件一定不发生，错误
故选：C
【点睛】本题考查事件的可能性，注意，任何事件的概率P一定在0至1之间．
8．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）在圆、等腰三角形、平行四边形、正方形中任选两个图形，那么下列事件中为不可能事件的是（ ）
A．这两个图形都是中心对称图形；
B．这两个图形都不是中心对称图形；
C．这两个图形都是轴对称图形；
D．这两个图形都是既为轴对称图形又为中心对称图形．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形，正方形，平行四边形的性质，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：圆和正方形既为轴对称图形又为中心对称图形，
等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，
平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，
A．这两个图形都是中心对称图形，是随机事件，故不符合题意；
B．这两个图形都不是中心对称图形，是不可能事件，故符合题意；
C．这两个图形都是轴对称图形，是随机事件，故不符合题意；
D．这两个图形都是既为轴对称图形又为中心对称图形，是随机事件，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件，等腰三角形，正方形，平行四边形的性质，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
二、填空题
9．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）掷两枚骰子，两者朝上面点数之和只可能是、、、、、、、、、和，共种可能，那么“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为”的概率是______．
【答案】
【分析】利用列表法把所有等可能的情况都列举出来，找出掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为的情况，利用概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意，列表如下所示，
通过列表可得，共有种等可能的情况，其中掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为的情况共有种，
“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为”的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，解答本题的关键是利用列表法把所有等可能的情况列举出来．
10．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）从1，2，3，4这四个数字中任取一个数，取出的数为素数的概率是______．
【答案】##0.5
【分析】用素数的个数除以数据总数即可求得答案．
【详解】解：1，2，3，4这四个数字中素数有2和3共2个，
∴从1，2，3，4这四个数字中任取一个数，取出的数为素数的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了素数的概念，概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）确定事件的概率是______．
【答案】0或1##1或0
【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件，再根据必然事件和不可能事件的概率解答即可．
【详解】解：确定事件包括必然事件和不可能事件，
必然事件的概率为，
不可能事件的概率为，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了确定事件的定义，确定事件包括必然事件与不可能事件，难度适中．
12．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）如图：麻将是中国的国粹之一，玩法最为复杂有趣，是中国古人发明的一种博弈游戏．它开局拿牌要投两枚骰子，将两枚骰子的点数相加之和除以4看余数来决定是在哪家开始拿牌．余数为1则在自家拿牌，余数为2就在下家拿牌，余数为3则在对家拿牌，能被4整除就在上家拿牌，则在自家拿牌的概率为___________．
【答案】
【分析】根据题意画出树状图，然后得出满足条件的结果，利用概率公式求解即可．
【详解】解：如图所示，画树状图如下：
共有36种等可能结果，其中点数相加之和除以4余1的有8种结果，分别为（1，4），（2，3），（3，2），（3，6），（4，1），（4，5），（5，4），（6，3），
所以在自家拿牌的概率为，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查利用树状图求概率，熟练掌握树状图的画法是解题关键．
13．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互素的概率是___．
【答案】
【分析】利用列表法，求得所有可能的结果数及2个数互素的结果数，则由概率公式即可求得概率．
【详解】列表如下：
所有可能结果数是30种，其中这2个数互素人结果数是22种，则所求的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用树状图或列表法求概率，关键是知道互素的含义，会用树状图或列表法来解决．
14．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）从①，②，③，④四个关系中，任选1个作为条件，那么选到能够判定平行四边形是菱形的概率是_______．
【答案】
【分析】根据一对邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，逐一判定，而后根据概率的计算方法解答．
【详解】解：①∵中，，∴是菱形，故①正确；
②∵，，∴是矩形，故②不正确；
③∵，，∴是菱形，故③正确；
④∵，，∴是矩形，故④不正确；
故选到能够判定是菱形的有①、③，2种结果，
∴选到能够判定是菱形的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形，菱形，概率等，解决问题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，菱形的判定方法，概率的计算方法．
三、解答题
15．（2018春·上海·八年级上海市民办扬波中学校考期末）从1，2．．．，100这100个数中任意选取一个数，求：
（1）取到的是3的倍数的数概率P（A）
（2）取到的个位数字与十位数字之和为7的两位数的概率P（B）
【答案】（1）33%；（2）
【分析】（1）先例举出1，2．．．，100这100个数字中3的倍数，再利用简单概率的概率公式计算即可得到答案。（2）例举出符合条件的两位数，利用简单随机事件的概率公式解题即可．
【详解】（1）因为从1，2．．．，100这100个数字中3的倍数有
个，所以取到的是3的倍数的数概率P（A）33%．
（2）两位数一共90个，其中只有16、25、34、43、52、61，70满足条件，
则P（B）．
【点睛】本题考查的是简单问题中的随机事件的概率的计算，掌握计算公式是解题关键．
16．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字．
(1)任意摸出一个小球，所标的数字不超过的概率是__________；
(2)任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是__________；
(3)任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的概率是多少？（请用树形图法说明）
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）根据概率公式直接计算即可求解；
（2）根据题意，列表法求得概率；
（3）根据题意，利用树状图法求得概率．
【详解】（1）解：∵小球上分别标有数字．
∴任意摸出一个小球，所标的数字不超过的概率是，
故答案为：；
（2）解：列表如下，
任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是，
故答案为：；
（3）解：树形图如图，
由图可知共有16种等可能的结果，其中两个小球所标数字的和为奇数的有8种，
∴摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的概率是：．
【点睛】本题主要考查列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式是解题的关键．
17．（2022春·上海·八年级专题练习）在一个不透明的布袋里装有红、白、黄三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个，若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.4．
(1)求口袋中红球的个数：
(2)在这个布袋中摸出一个球再放回袋中，搅匀后再摸出一个球，求事件“摸到一红一白两球”的概率．
【答案】(1)红球的个数为2个
(2)事件“摸到一红一白两球”的概率为
【分析】（1）求出所有球的个数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有25种等可能的结果，事件“摸到一红一白两球”的结果有8种，再由概率公式求解即可．
(1)
所有球的个数为：2÷0.4＝5（个），
则红球的个数为：5﹣2﹣1＝2（个）；
(2)
画树状图如图：
共有25种等可能的结果，事件“摸到一红一白两球”的结果有8种，
∴事件“摸到一红一白两球”的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．（2022春·上海·八年级专题练习）在一个不透明的袋子中装有（除颜色外）完全相同的红色小球1个，白色小球1个和黄色小球2个．
(1)如果从中先摸出一个小球，记下它的颜色后，将他放回袋子中摇匀，再摸出一个小球，记录下颜色，那么摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是_________；
(2)如果摸出的第一个小球之后不放回袋子中，再摸出第二个小球，这时摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是_________．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)按照放回式概率问题，画树状图计算概率即可．
(2)按照不放回式概率问题，画树状图计算概率即可．
【详解】（1）画树状图如图：
由树形图可得：共有16个等可能的结果，其中恰好是“一红一黄”的结果有4个，
∴恰好是“一红一黄”的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
由树形图可得：共有12种等可能的结果，其中恰好“一红一黄”的结果有4种，
∴恰好是“一红一黄”的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了放回式和不放回式的概率计算，正确画出树状图是解题的关键．
19．（2022春·上海·八年级专题练习）有两个不透明的布袋，其中一个布袋中有一个红球和两个白球，另一个布袋中有一个红球和三个白球，它们除了颜色外其他都相同．在两个布袋中分别摸出一个球．
(1)用树形图或列表法展现可能出现的所有结果；
(2)求摸到一个红球和一个白球的概率．
【答案】(1)见解析
(2)摸到一个红球和一个白球的概率P＝
【分析】(1)第一个布袋有3种等可能性，第2个布袋有四种等可能性，画出树状图即可．
(2)根据（1）的树状图，确定所有的等可能性，确定事件的等可能性，按照概率公式计算即可．
(1)
根据题意，画树状图如下：
．
(2)
共有12种等可能的情况，其中摸到一个红球和一个白球的可能情况有5种，
所以摸到一个红球和一个白球的概率P＝．
【点睛】本题考查了列表法或树状图求概率，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．（2019春·上海浦东新·八年级统考期末）中国古代有着辉煌的数学成就，A《周髀算经》，B《九章算术》，C《海岛算经》，D《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
(1)小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___；
(2)某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．（用列表法或树状图求解）
【答案】(1)
(2)图表见解析，
【分析】（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式解答即可；
（2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
【详解】（1）解：（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为．
故答案为:；
（2）解： 将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．
根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即BD，DB，
∴P（M）=．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
1
2
3
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
3
4
5
6
7
8
3
（4，3）
（5，3）
（6，3）
（7，3）
（8，3）
4
（3，4）
（5，4）
（6，4）
（7，4）
（8，4）
5
（3，5）
（4，5）
（6，5）
（7，5）
（8，5）
6
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（7，6）
（8，6）
7
（3，7）
（4，7）
（5，7）
（6，7）
（8，7）
8
（3，8）
（4，8）
（5，8）
（6，8）
（7，8）
A
B
C
C
A
BA
CA
CA
B
AB
CB
CB
C
AC
BC
CC
C
AC
BC
CC
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
3
4
5
6
7
8
3
34
35
36
37
38
4
34
45
46
47
48
5
35
45
56
57
58
6
36
46
56
67
68
7
37
47
57
67
78
8
38
48
58
68
78
1
2
3
4
1
3
4
5
2
3
5
6
3
4
5
7
4
5
6
7
二．可能性的大小（共5小题）
三．概率的意义（共2小题）
四．概率公式（共9小题）
五．几何概率（共1小题）
六．列表法与树状图法（共11小题）
七．游戏公平性（共2小题）
八．利用频率估计概率（共1小题）
九．模拟试验（共1小题）
考点考向
一．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
二．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
三．概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
四．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
五．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
六．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
七．游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率＝．
八．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
九．模拟试验
（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验．
（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可．
考点精讲
一．随机事件（共9小题）
1．（2022春•虹口区校级月考）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．某种彩票的中奖概率为，购买1000张彩票一定能中奖
B．电视打开时正在播放广告
C．任意两个负数的乘积为正数
D．某人手中的玻璃杯不小心掉在水泥地面上会破碎
2．（2022春•上海期中）下列事件，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是1
B．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数
C．打开电视，正在播广告
D．抛掷一枚硬币，掷得的结果不是正面就是反面
3．（2022春•杨浦区校级期中）下列事件是必然事件的是（ ）
A．疫情期间参加聚会会感染新冠病毒
B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
C．打开的电视机正在播放新闻
D．13个同学中至少有两个同学同一个月生日
4．（2022春•徐汇区期末）下列事件中，必然事件是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
B．打开电视，正在播报新闻
C．抛掷两枚正方体骰子点数和等于13
D．任意画一个五边形，其外角和为360°
5．（2022春•奉贤区校级期末）在圆、等腰三角形、平行四边形、正方形中任选两个图形，那么下列事件中为不可能事件的是（ ）
A．这两个图形都是中心对称图形
B．这两个图形都不是中心对称图形
C．这两个图形都是轴对称图形
D．这两个图形都是既为轴对称图形又为中心对称图形
6．（2022春•浦东新区校级期末）在下列事件中，确定事件共有（ ）
①买一张体育彩票，中大奖；
②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；
③在共装有2只红球、3只黄球的袋子里，摸出一只白球；
④初二（3）班共有49名学生，至少有5名学生的生日在同一个月．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2022春•奉贤区校级期末）事件：（1）打雷后会下雨；（2）掷一枚均匀的硬币，反面朝上；（3）过十字路口时正好遇到绿灯；（4）煮熟的鸡蛋能孵出小鸡．以上事件中随机事件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2022春•宝山区校级期中）下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A．锄禾日当午B．大漠孤烟直C．手可摘星辰D．黄河入海流
9．（2022春•长宁区校级期末）下列成语所描述的事件为必然事件的是（ ）
A．水中捞月B．瓮中捉鳖C．守株待兔D．拔苗助长
二．可能性的大小（共5小题）
10．（2020春•嘉定区期末）将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中．下列四个选项，不正确的是（ ）
A．摸到白球比摸到黑球的可能性大
B．摸到白球和黑球的可能性相等
C．摸到红球是确定事件
D．摸到黑球或白球是确定事件
11．（2021春•崇明区期末）将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中，下列四个选项，不正确的是（ ）
A．摸到白球和黑球的可能性相等
B．摸到白球比摸到黑球的可能性大
C．摸到红球是不可能事件
D．摸到黑球或白球是确定事件
12．（2020春•浦东新区期末）下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A．瓜熟蒂落B．旭日东升C．守株待兔D．夕阳西下
13．（2020春•奉贤区期末）“掷一粒骰子，所得点数大于6”这一事件发生的可能性用语言表述为（ ）
A．不可能发生B．必然发生
C．很可能发生D．不太可能发生
14．（2021春•浦东新区期末）口袋里只有10个球，其中有个x红球，y个白球，这些球除了颜色不同之外，其余均相同．从中随意摸出一个球，若摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，则x的可能值为 ．
三．概率的意义（共2小题）
15．（2021春•杨浦区校级期末）下列说法：①“明天的降水概率为80%”是指明天有80%的时间在下雨；②连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次（ ）
A．只有①正确B．只有②正确C．①②都正确D．①②都错误
16．（2022春•杨浦区校级期末）确定事件的概率是 ．
四．概率公式（共9小题）
17．（2022春•奉贤区校级期末）从等边三角形、平行四边形、矩形、圆、等腰梯形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率是 ．
18．（2022春•奉贤区校级期末）从①AB＝BC，②AC＝BD，③AC⊥BD，④∠A＝90°四个关系中，任选1个作为条件，那么选到能够判定平行四边形ABCD是菱形的概率是 ．
19．（2022春•闵行区校级期中）一个不透明的口袋中，装有白球4个，黑球3个，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则摸到黑球的可能性是 ．
20．（2022春•杨浦区校级期末）从1，2，3，4这四个数字中任取一个数，取出的数为素数的概率是 ．
21．（2022春•浦东新区校级期中）有15只型号相同的杯子，其中一等品3只，二等品5只，三等品7只，从中任取1只，是一等品的概率是 ．
22．（2022春•宝山区校级期中）某同学投掷一枚硬币，如果连续4次都是正面朝上，则他第5次抛掷硬币的结果是正面朝上的概率是 ．
23．（2022春•闵行区校级期末）有一个质地均匀的正方体，其六个面上分别写着直角梯形、等腰梯形、矩形、正方形、菱形、平行四边形，投掷这个正方体后，向上的一面的图形是对角线相等的图形的概率是 ．
24．（2022春•普陀区校级期中）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上的点数分别为1到6的整数，那么掷出的点数小于3的概率为 ．
25．（2022春•杨浦区校级期中）从长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三角形的概率等于 ．
五．几何概率（共1小题）
26．（2022春•宝山区校级期中）如图，数轴上两点A，B，在线段AB上任取一点C，则点C到表示1的点的距离不大于2的概率是 ．
六．列表法与树状图法（共11小题）
27．（2022春•浦东新区校级期中）甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（ ）
A．B．C．D．
28．（2022春•闵行区校级月考）将分别写有“绿色闵行”、“垃圾分类”、“要先行”的三张大小质地相同的卡片随机排列，那么恰好排列成“绿色闵行垃圾分类要先行”的概率是 ．
29．（2022春•长宁区校级期末）将分别标有数字1、2、3的3个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中．
（1）若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？
（2）若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之和等于4的概率（用树状图或列表法求解）．
30．（2022春•宝山区校级月考）如图，麻将是中国的国粹之一，玩法最为复杂有趣，是中国古人发明的一种博弈游戏．它开局拿牌要投两枚骰子，将两枚骰子的点数相加之和除以4看余数来决定是在哪家开始拿牌．余数为1则在自家拿牌，余数为2就在下家拿牌，余数为3则在对家拿牌，能被4整除就在上家拿牌，则在自家拿牌的概率为 ．
31．（2022春•青浦区校级期末）掷两枚骰子，两者朝上面点数之和只可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12，共11种可能，那么“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8”的概率是 ．
32．（2022春•浦东新区校级期末）从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互素的概率是 ．
33．（2022春•上海期中）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 ．
34．（2022春•闵行区校级月考）布袋内装有大小、形状相同的3个红球和1个白球，从布袋中一次摸出两个球，那么两个都摸到红球的概率是 ．
35．（2022春•奉贤区校级期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．
（1）任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是 ；
（2）任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是 ；
（3）任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的概率是多少？（请用树形图法说明）
36．（2022春•徐汇区期末）国宝大熊猫作为体育盛会的吉祥物见证了祖国的日益强大．从1990年北京亚运会的“盼盼”，到2008年北京奥运会的“福娃晶晶”，再到北京冬奥会的“冰墩墩”．现在将4张卡片（如图，分别记为A、B、C、D）背面朝上洗匀，这些卡片除图案外其余均相同．
（1）小明从中随机抽取1张，抽到冰墩墩的概率为 ；
（2）小明从中随机抽取2张，抽取规则为：先随机抽取1张不放回，再随机抽取1张．请利用树状图或列表法求出小张抽取的2张卡片都是冰墩墩的概率．
37．（2022春•虹口区校级月考）某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有4个标号分别为1，2，3，4的质地、大小相同的小球，顾客任意摸取一个小球，然后放回，再摸取一个小球，若两次摸出的数字之和为“8”是一等奖，数字之和为“6”是二等奖，数字之和为其它数字则是三等奖，请分别求出顾客抽中一、二、三等奖的概率．
七．游戏公平性（共2小题）
38．（2019春•长宁区期末）甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张．若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽的两张牌面数字的积为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”）
39．（2020春•宝山区期末）暗箱内有三个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字1、2、3，甲、乙两人按照下列规则决定胜负．
（1）从箱中摸出一个小球，如果上面标注的数是2的倍数，则甲获胜，如果上面标注的数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？为什么？
（2）从箱中连续摸出两个小球（摸出后不放回），并将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，组成一个两位数，如果这个两位数是2的倍数，则甲获胜，如果这个两位数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？请用树状图或表格说明理由．
八．利用频率估计概率（共1小题）
40．（2015春•青浦区期末）下列说法错误的是（ ）
A．在一定条件下必出现的现象叫必然事件
B．不可能事件发生的概率为0
C．在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值
D．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖
九．模拟试验（共1小题）
41．（2012春•宝山区期末）学习概率有关知识时，全班同学一起做摸球试验．布袋里装有红球和白球共5个，它们除了颜色不同其他都一样．每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，一共摸了100次，其中63次摸出红球，由此可以估计布袋中红球的个数是 ．
巩固提升
一、单选题
1．（2022春·上海·八年级校考期中）下列事件，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是1
B．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数
C．打开电视，正在播广告
D．抛掷一枚硬币，掷得的结果不是正面就是反面
2．（2022春·上海宝山·八年级校考阶段练习）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．在十进制中
B．从长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形
C．方程在实数范围内有解
D．在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球.
3．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）如果用A表示事件“若a＞b，则ac2＞bc2”，用P（A）表示“事件A发生的概率”，那么下列结论中正确的是（ ）
A．P（A）＝1B．P（A）＝0C．0＜P（A）＜1D．P（A）＞1
4．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．方程在实数范围内有解
B．在十进制中
C．两个非零实数的积为负
D．平面直角坐标系中，直线不经过第二象限
5．（2022春·上海杨浦·八年级校考期中）下列事件是必然事件的是（ ）
A．疫情期间参加聚会会感染新冠病毒
B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
C．打开的电视机正在播放新闻
D．13个同学中至少有两个同学同一个月生日
6．（2022春·八年级单元测试）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6
7．（2022春·上海·八年级期末）下列命题正确的是（ ）．
A．任何事件发生的概率为1
B．随机事件发生的概率可以是任意实数
C．可能性很小的事件在一次实验中有可能发生
D．不可能事件在一次实验中也可能发生
8．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）在圆、等腰三角形、平行四边形、正方形中任选两个图形，那么下列事件中为不可能事件的是（ ）
A．这两个图形都是中心对称图形；
B．这两个图形都不是中心对称图形；
C．这两个图形都是轴对称图形；
D．这两个图形都是既为轴对称图形又为中心对称图形．
二、填空题
9．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）掷两枚骰子，两者朝上面点数之和只可能是、、、、、、、、、和，共种可能，那么“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为”的概率是______．
10．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）从1，2，3，4这四个数字中任取一个数，取出的数为素数的概率是______．
11．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）确定事件的概率是______．
12．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）如图：麻将是中国的国粹之一，玩法最为复杂有趣，是中国古人发明的一种博弈游戏．它开局拿牌要投两枚骰子，将两枚骰子的点数相加之和除以4看余数来决定是在哪家开始拿牌．余数为1则在自家拿牌，余数为2就在下家拿牌，余数为3则在对家拿牌，能被4整除就在上家拿牌，则在自家拿牌的概率为___________．
13．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互素的概率是___．
14．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）从①，②，③，④四个关系中，任选1个作为条件，那么选到能够判定平行四边形是菱形的概率是_______．
三、解答题
15．（2018春·上海·八年级上海市民办扬波中学校考期末）从1，2．．．，100这100个数中任意选取一个数，求：
（1）取到的是3的倍数的数概率P（A）
（2）取到的个位数字与十位数字之和为7的两位数的概率P（B）
16．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字．
(1)任意摸出一个小球，所标的数字不超过的概率是__________；
(2)任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是__________；
(3)任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的概率是多少？（请用树形图法说明）
17．（2022春·上海·八年级专题练习）在一个不透明的布袋里装有红、白、黄三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个，若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.4．
(1)求口袋中红球的个数：
(2)在这个布袋中摸出一个球再放回袋中，搅匀后再摸出一个球，求事件“摸到一红一白两球”的概率．
18．（2022春·上海·八年级专题练习）在一个不透明的袋子中装有（除颜色外）完全相同的红色小球1个，白色小球1个和黄色小球2个．
(1)如果从中先摸出一个小球，记下它的颜色后，将他放回袋子中摇匀，再摸出一个小球，记录下颜色，那么摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是_________；
(2)如果摸出的第一个小球之后不放回袋子中，再摸出第二个小球，这时摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是_________．
19．（2022春·上海·八年级专题练习）有两个不透明的布袋，其中一个布袋中有一个红球和两个白球，另一个布袋中有一个红球和三个白球，它们除了颜色外其他都相同．在两个布袋中分别摸出一个球．
(1)用树形图或列表法展现可能出现的所有结果；
(2)求摸到一个红球和一个白球的概率．
20．（2019春·上海浦东新·八年级统考期末）中国古代有着辉煌的数学成就，A《周髀算经》，B《九章算术》，C《海岛算经》，D《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
(1)小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___；
(2)某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．（用列表法或树状图求解）
核心考点06概率初步
目录
一．随机事件（共9小题）
二．可能性的大小（共5小题）
三．概率的意义（共2小题）
四．概率公式（共9小题）
五．几何概率（共1小题）
六．列表法与树状图法（共11小题）
七．游戏公平性（共2小题）
八．利用频率估计概率（共1小题）
九．模拟试验（共1小题）
考点考向
一．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
二．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
三．概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
四．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
五．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
六．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
七．游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率＝．
八．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
九．模拟试验
（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验．
（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可．
考点精讲
一．随机事件（共9小题）
1．（2022春•虹口区校级月考）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．某种彩票的中奖概率为，购买1000张彩票一定能中奖
B．电视打开时正在播放广告
C．任意两个负数的乘积为正数
D．某人手中的玻璃杯不小心掉在水泥地面上会破碎
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、某种彩票的中奖概率为，购买1000张彩票一定能中奖，是随机事件；
B、电视打开时正在播放广告，是随机事件；
C、任意两个负数的乘积为正数，是必然事件；
D、某人手中的玻璃杯不小心掉在水泥地面上会破碎，是随机事件；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（2022春•上海期中）下列事件，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是1
B．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数
C．打开电视，正在播广告
D．抛掷一枚硬币，掷得的结果不是正面就是反面
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：A、B、C都可能发生，也可能不发生，是随机事件，不符合题意；
D、一定发生，是必然事件，符合题意．
故选：D．
【点评】解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（2022春•杨浦区校级期中）下列事件是必然事件的是（ ）
A．疫情期间参加聚会会感染新冠病毒
B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
C．打开的电视机正在播放新闻
D．13个同学中至少有两个同学同一个月生日
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、疫情期间参加聚会会感染新冠病毒，是随机事件，不符合题意；
B、抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，不符合题意；
C、打开的电视机正在播放新闻，是随机事件，不符合题意；
D、一年有12个月，所以13个同学中至少有两个同学同一个月生日，是必然事件，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（2022春•徐汇区期末）下列事件中，必然事件是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
B．打开电视，正在播报新闻
C．抛掷两枚正方体骰子点数和等于13
D．任意画一个五边形，其外角和为360°
【分析】根据随机事件和必然事件的定义判断即可．
【解答】解：A选项，经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，这是一个随机事件，故该选项不符合题意；
B选项，打开电视，正在播报新闻，这是一个随机事件，故该选项不符合题意；
C选项，抛掷两枚正方体骰子点数和等于13，这是一个不可能事件，故该选项不符合题意；
D选项，任意画一个五边形，其外角和为360°，这是必然事件，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，掌握事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
5．（2022春•奉贤区校级期末）在圆、等腰三角形、平行四边形、正方形中任选两个图形，那么下列事件中为不可能事件的是（ ）
A．这两个图形都是中心对称图形
B．这两个图形都不是中心对称图形
C．这两个图形都是轴对称图形
D．这两个图形都是既为轴对称图形又为中心对称图形
【分析】根据等腰三角形，正方形，平行四边形的性质，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：圆和正方形既为轴对称图形又为中心对称图形，
等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，
平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，
A、这两个图形都是中心对称图形，是随机事件，故A不符合题意；
B、这两个图形都不是中心对称图形，是不可能事件，故B符合题意；
C、这两个图形都是轴对称图形，是随机事件，故C不符合题意；
D、这两个图形都是既为轴对称图形又为中心对称图形，是随机事件，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件，等腰三角形，正方形，平行四边形的性质，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
6．（2022春•浦东新区校级期末）在下列事件中，确定事件共有（ ）
①买一张体育彩票，中大奖；
②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；
③在共装有2只红球、3只黄球的袋子里，摸出一只白球；
④初二（3）班共有49名学生，至少有5名学生的生日在同一个月．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：①买一张体育彩票，中大奖，是随机事件，属于不确定事件；
②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，属于不确定事件；
③在共装有2只红球、3只黄球的袋子里，摸出一只白球，是不可能事件，属于确定事件；
④初二（3）班共有49名学生，至少有5名学生的生日在同一个月，是必然事件，属于确定事件；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．（2022春•奉贤区校级期末）事件：（1）打雷后会下雨；（2）掷一枚均匀的硬币，反面朝上；（3）过十字路口时正好遇到绿灯；（4）煮熟的鸡蛋能孵出小鸡．以上事件中随机事件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据随机事件、不可能事件、必然事件的意义结合具体的问题情境进行分析即可．
【解答】解：（1）打雷后会下雨；（2）掷一枚均匀的硬币，反面朝上；（3）过十字路口时正好遇到绿灯；都属于随机事件；
（4）煮熟的鸡蛋能孵出小鸡是不可能事件；
则随机事件有3个；
故选：C．
【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8．（2022春•宝山区校级期中）下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A．锄禾日当午B．大漠孤烟直C．手可摘星辰D．黄河入海流
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、锄禾日当午是随机事件，故选项错误，不符合题意；
B、大漠孤烟直是随机事件，故选项错误，不符合题意；
C、手可摘星辰是不可能事件，故选项正确，符合题意；
D、黄河入海流是必然事件，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9．（2022春•长宁区校级期末）下列成语所描述的事件为必然事件的是（ ）
A．水中捞月B．瓮中捉鳖C．守株待兔D．拔苗助长
【分析】根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、水中捞月是不可能事件，故本选项错误；
B、翁中捉鳖是必然事件，故本选项正确；
C、守株待兔是随机事件，故本选项错误；
D、拔苗助长是不可能事件，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
二．可能性的大小（共5小题）
10．（2020春•嘉定区期末）将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中．下列四个选项，不正确的是（ ）
A．摸到白球比摸到黑球的可能性大
B．摸到白球和黑球的可能性相等
C．摸到红球是确定事件
D．摸到黑球或白球是确定事件
【分析】根据随机事件发生的可能性（概率）的计算方法及确定性事件的概念逐一判断即可得．
【解答】解：A．由白球的数量比黑球多知摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项正确，不符合题意；
B．摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项错误，符合题意；
C．摸到红球是不可能事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意；
D．摸到黑球或白球是必然事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法和确定性事件的概念．
11．（2021春•崇明区期末）将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中，下列四个选项，不正确的是（ ）
A．摸到白球和黑球的可能性相等
B．摸到白球比摸到黑球的可能性大
C．摸到红球是不可能事件
D．摸到黑球或白球是确定事件
【分析】根据随机事件发生的可能性（概率）的计算方法及确定性事件的概念逐一判断即可得．
【解答】解：A．由白球的数量比黑球多知摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项错误，符合题意；
B．摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项正确，不符合题意；
C．摸到红球是不可能事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意；
D．摸到黑球或白球是必然事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法和确定性事件的概念．
12．（2020春•浦东新区期末）下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A．瓜熟蒂落B．旭日东升C．守株待兔D．夕阳西下
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
【解答】解：A．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
C．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；
D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．
13．（2020春•奉贤区期末）“掷一粒骰子，所得点数大于6”这一事件发生的可能性用语言表述为（ ）
A．不可能发生B．必然发生
C．很可能发生D．不太可能发生
【分析】由骰子只有1、2、3、4、5、6这6个点数可得答案．
【解答】解：因为骰子只有1、2、3、4、5、6这6个点数，
所以“掷一粒骰子，所得点数大于6”这一事件发生的可能性用语言表述为不可能发生，
故选：A．
【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是了解骰子上的点数及确定性事件和不确定性事件的概念．
14．（2021春•浦东新区期末）口袋里只有10个球，其中有个x红球，y个白球，这些球除了颜色不同之外，其余均相同．从中随意摸出一个球，若摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，则x的可能值为 6或7或8或9 ．
【分析】由题意可得x+y＝10，再根据从中随意摸出一个球，若摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，可得x＞y，y＞0，依此得出答案．
【解答】解：口袋里只有10个球，其中有x个红球，y个白球，
从中随意摸出一个球，若摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，
所以x+y＝10，且x＞y，y＞0，
则x的可能取值为x＝6或7或8或9．
故答案为：6或7或8或9．
【点评】此题主要考查了可能性的大小以及概率公式，正确掌握概率公式是解题关键．
三．概率的意义（共2小题）
15．（2021春•杨浦区校级期末）下列说法：①“明天的降水概率为80%”是指明天有80%的时间在下雨；②连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次（ ）
A．只有①正确B．只有②正确C．①②都正确D．①②都错误
【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
【解答】解：①“明天的降水概率为80%”是指是指明天下雨的可能性是80%，不是有80%的时间在下雨，故①错误；
②“连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次”，这是一个随机事件，抛一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先无法预料，故②错误；
①和②都是错误的．
故选：D．
【点评】本题考查概率的相关概念．不确定事件是可能发生也可能不发生的事件．正确理解随机事件、不确定事件的概念是解决本题的关键．
16．（2022春•杨浦区校级期末）确定事件的概率是 0或1 ．
【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件，再根据必然事件和不可能事件的概率解答即可．
【解答】解：确定事件包括必然事件和不可能事件，
必然事件的概率为1，
不可能事件的概率为0，
故答案为0或1．
【点评】本题主要考查了确定事件的定义，确定事件包括必然事件与不可能事件，难度适中．
四．概率公式（共9小题）
17．（2022春•奉贤区校级期末）从等边三角形、平行四边形、矩形、圆、等腰梯形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率是 ．
【分析】根据中心对称图形的定义得出所有的中心对称图形，进而利用概率公式求出即可．
【解答】解：∵等边三角形、平行四边形、矩形、圆、等腰梯形共5图形中，
中心对称图形有：平行四边形、矩形、圆共3，
∴5图形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义以及概率公式的应用，正确把握中心对称图形的定义是解题关键．
18．（2022春•奉贤区校级期末）从①AB＝BC，②AC＝BD，③AC⊥BD，④∠A＝90°四个关系中，任选1个作为条件，那么选到能够判定平行四边形ABCD是菱形的概率是 ．
【分析】选到能够判定平行四边形ABCD是菱形的有①AB＝BC、③AC⊥BD这2种结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：选到能够判定平行四边形ABCD是菱形的有①AB＝BC、③AC⊥BD这2种结果，
∴选到能够判定平行四边形ABCD是菱形的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
19．（2022春•闵行区校级期中）一个不透明的口袋中，装有白球4个，黑球3个，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则摸到黑球的可能性是 ． ．
【分析】先求出所有球的个数与黑球的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：∵共4+3＝7个球在袋中，其中3个黑球，
∴摸到黑球的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，难度适中．
20．（2022春•杨浦区校级期末）从1，2，3，4这四个数字中任取一个数，取出的数为素数的概率是 ．
【分析】用素数的个数除以数据总数即可求得答案．
【解答】解：1，2，3，4这四个数字中素数有2和3共2个，
∴从1，2，3，4这四个数字中任取一个数，取出的数为素数的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（2022春•浦东新区校级期中）有15只型号相同的杯子，其中一等品3只，二等品5只，三等品7只，从中任取1只，是一等品的概率是 ．
【分析】用一等品的杯子总数除以杯子的总数即可求得答案．
【解答】解：∵15只杯子里面有3只一等品，
∴从中任取1只是一等品的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
22．（2022春•宝山区校级期中）某同学投掷一枚硬币，如果连续4次都是正面朝上，则他第5次抛掷硬币的结果是正面朝上的概率是 ．
【分析】投掷一枚硬币，是一个随机事件，可能出现的情况有两种：正面朝上或者正面朝下，而且机会相同．
【解答】解：第5次掷硬币，出现正面朝上的机会和朝下的机会相同，都为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
23．（2022春•闵行区校级期末）有一个质地均匀的正方体，其六个面上分别写着直角梯形、等腰梯形、矩形、正方形、菱形、平行四边形，投掷这个正方体后，向上的一面的图形是对角线相等的图形的概率是 ．
【分析】由这6个图形中对角线相等的有等腰梯形、矩形、正方形这3个，根据概率公式计算可得．
【解答】解：∵在直角梯形、等腰梯形、矩形、正方形、菱形、平行四边形这6个四边形中，对角线相等的有等腰梯形、矩形、正方形这3个，
∴投掷这个正方体后，向上的一面的图形是对角线相等的图形的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握常见特殊四边形的性质及随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
24．（2022春•普陀区校级期中）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上的点数分别为1到6的整数，那么掷出的点数小于3的概率为 ．
【分析】点数小于3的有2种情况，除以总个数6即为向上的一面的点数小于3的概率．
【解答】解：∵共有6种情况，点数小于3的有2种，
∴P（点数小于3）＝．
故答案为
【点评】本题考查的是概率的求法的运用．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
25．（2022春•杨浦区校级期中）从长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三角形的概率等于 ．
【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，本题只要把三边代入，看是否满足即可．把满足的个数除以4即可得出概率．
【解答】解：长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条共有：
2，3，5；2，3，7；2，5，7；3，5，7，
能构成三角形的为：3、5、7，只有1组，因此概率为．
【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
五．几何概率（共1小题）
26．（2022春•宝山区校级期中）如图，数轴上两点A，B，在线段AB上任取一点C，则点C到表示1的点的距离不大于2的概率是 ．
【分析】先求出AB两点间的距离，再根据距离的定义找出符合条件的点即可．
【解答】解：∵AB间距离为6，点C到表示1的点的距离不大于2的点是﹣1到3之间的点，满足条件的点组成的线段的长是4．
∴其概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
六．列表法与树状图法（共11小题）
27．（2022春•浦东新区校级期中）甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】此题需要三步完成，所以采用树状图法比较简单．注意要做到不重不漏．
【解答】解：根据题意，画树状图得：
∴一共有24种跑步顺序，而恰好由甲将接力棒交给乙的有6种，
∴恰好由甲将接力棒交给乙的概率是：＝．
故选：A．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意画树状图是要做到不重不漏．
28．（2022春•闵行区校级月考）将分别写有“绿色闵行”、“垃圾分类”、“要先行”的三张大小质地相同的卡片随机排列，那么恰好排列成“绿色闵行垃圾分类要先行”的概率是 ．
【分析】根据题意画出三张卡片排列的所有等可能结果，再由树状图确定恰好排列成“绿色闵行垃圾分类要先行”的结果数，依据概率公式可得答案．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中恰好排列成“绿色闵行垃圾分类要先行”的只有1种结果，
∴恰好排列成“绿色闵行垃圾分类要先行”的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
29．（2022春•长宁区校级期末）将分别标有数字1、2、3的3个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中．
（1）若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？
（2）若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之和等于4的概率（用树状图或列表法求解）．
【分析】（1）根据概率公式求解；
（2）通过列表展示9种等可能的结果，再找出所摸出的两个球上数字之和等于4的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）P（标号为奇数）＝；
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中所摸出的两个球上数字之和等于4（记为事件A）的有3种，
所以，P（A）＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
30．（2022春•宝山区校级月考）如图，麻将是中国的国粹之一，玩法最为复杂有趣，是中国古人发明的一种博弈游戏．它开局拿牌要投两枚骰子，将两枚骰子的点数相加之和除以4看余数来决定是在哪家开始拿牌．余数为1则在自家拿牌，余数为2就在下家拿牌，余数为3则在对家拿牌，能被4整除就在上家拿牌，则在自家拿牌的概率为 ．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有36种等可能结果，其中点数相加之和除以4余数为1的有8种结果，
所以在自家拿牌的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
31．（2022春•青浦区校级期末）掷两枚骰子，两者朝上面点数之和只可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12，共11种可能，那么“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8”的概率是 ．
【分析】利用列表法把所有等可能的情况都列举出来，找出掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8的情况，利用概率公式计算即可．
【解答】解：根据题意，列表如下所示，
通过列表可得，共有36种等可能的情况，其中掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8的情况共有5种，
∴“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8”的概率为P＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法或画树状图法求概率，解答本题的关键是利用列表法把所有等可能的情况列举出来．
32．（2022春•浦东新区校级期末）从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互素的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
由表知，共有30种等可能结果，其中这2个数互素的有22种结果，
所以这2个数互素的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
33．（2022春•上海期中）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 ．
【分析】画树状图，展示所有4种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：把“做社区志愿者”和“参加社会调查”分别记为A、B，
画树状图如图：
共有4个等可能的结果，符合条件的结果有1个，
∴小杰和小丽两人同时选择“做社区志愿者”的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
34．（2022春•闵行区校级月考）布袋内装有大小、形状相同的3个红球和1个白球，从布袋中一次摸出两个球，那么两个都摸到红球的概率是 ．
【分析】列举出所有情况，看两个球颜色是红色的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：如图：
一共有12种情况，两个球颜色是红色的有6种情况，
∴这两个球颜色是红色的概率是＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
35．（2022春•奉贤区校级期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．
（1）任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是 1 ；
（2）任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是 ；
（3）任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的概率是多少？（请用树形图法说明）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中所标的数字和为偶数的结果有4种，再由概率公式求解即可；
（3）共有16种等可能的结果，其中摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）任意摸出一个小球，共有4种等可能结果，其中所标的数字不超过4的结果有4种，
∴所标的数字不超过4的概率是1，
故答案为：1；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所标的数字和为偶数的结果有4种，
∴所标的数字和为偶数的概率是＝，
故答案为：；
（3）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的结果有8种，
∴摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
36．（2022春•徐汇区期末）国宝大熊猫作为体育盛会的吉祥物见证了祖国的日益强大．从1990年北京亚运会的“盼盼”，到2008年北京奥运会的“福娃晶晶”，再到北京冬奥会的“冰墩墩”．现在将4张卡片（如图，分别记为A、B、C、D）背面朝上洗匀，这些卡片除图案外其余均相同．
（1）小明从中随机抽取1张，抽到冰墩墩的概率为 ；
（2）小明从中随机抽取2张，抽取规则为：先随机抽取1张不放回，再随机抽取1张．请利用树状图或列表法求出小张抽取的2张卡片都是冰墩墩的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小明从中随机抽取1张，抽到冰墩墩的概率为＝；
故答案为：；
（2）盼盼和福娃晶晶分别用A、B表示，2张冰墩墩用C表示，
列表如下：
由表可知，共有12种等可能的结果，其中小张抽取的2张卡片都是冰墩墩的结果有10种，
则小张抽取的2张卡片都是冰墩墩的概率是＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
37．（2022春•虹口区校级月考）某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有4个标号分别为1，2，3，4的质地、大小相同的小球，顾客任意摸取一个小球，然后放回，再摸取一个小球，若两次摸出的数字之和为“8”是一等奖，数字之和为“6”是二等奖，数字之和为其它数字则是三等奖，请分别求出顾客抽中一、二、三等奖的概率．
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：列表得：
∴一共有16种情况，两次摸出的数字之和为“8”的有一种，数字之和为“6”的有3种情况，数字之和为其它数字的有12种情况，
∴抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为，抽中三等奖的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
七．游戏公平性（共2小题）
38．（2019春•长宁区期末）甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张．若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽的两张牌面数字的积为偶数，则乙获胜．这个游戏 不公平 ．（填“公平”或“不公平”）
【分析】根据游戏规则可知：牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随意抽取2张，积有9种情况，其中5种是偶数，4种是奇数．那么甲、乙两人取胜的概率不相等；故这个游戏不公平．
【解答】解：从5、6、7中任意找两个数，积有35、30、42、25、36、49，其中30、35、42都是两次，即共9种情况，其中奇数的有4种，偶数的有5种，显然是不公平的．
故答案为：不公平
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
39．（2020春•宝山区期末）暗箱内有三个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字1、2、3，甲、乙两人按照下列规则决定胜负．
（1）从箱中摸出一个小球，如果上面标注的数是2的倍数，则甲获胜，如果上面标注的数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？为什么？
（2）从箱中连续摸出两个小球（摸出后不放回），并将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，组成一个两位数，如果这个两位数是2的倍数，则甲获胜，如果这个两位数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？请用树状图或表格说明理由．
【分析】（1）直接由概率公式求出甲获胜的概率＝乙获胜的概率，即可得出结论；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中这个两位数是2的倍数的结果有2种，这个两位数是3的倍数的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）规则公平，理由如下：
由题意得：甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
∴甲获胜的概率＝乙获胜的概率，
∴规则公平；
（2）规则公平，理由如下：
共有6种等可能的结果，其中这个两位数是2的倍数的结果有2种，这个两位数是3的倍数的结果有2种，
∴甲获胜的概率＝＝，乙获胜的概率＝＝，
∴甲获胜的概率＝乙获胜的概率，
∴规则公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
八．利用频率估计概率（共1小题）
40．（2015春•青浦区期末）下列说法错误的是（ ）
A．在一定条件下必出现的现象叫必然事件
B．不可能事件发生的概率为0
C．在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值
D．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖
【分析】根据必然事件，随机事件，概率的定义进行判断．
【解答】解：A、在一定条件下必出现的现象叫必然事件，说法正确，故本选项错误；
B、不可能事件发生的概率为0，说法正确，故本选项错误；
C、在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值，说法正确，故本选项错误；
D、某种彩票中是随机事件，买100张该种彩票不一定会中奖，说法错误，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是了解多次重复试验事件发生的频率可以估计概率．
九．模拟试验（共1小题）
41．（2012春•宝山区期末）学习概率有关知识时，全班同学一起做摸球试验．布袋里装有红球和白球共5个，它们除了颜色不同其他都一样．每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，一共摸了100次，其中63次摸出红球，由此可以估计布袋中红球的个数是 3 ．
【分析】根据题意，一共摸了100次，其中63次摸出红球，可以估计出得到红球的概率，进而求出红球个数．
【解答】解：∵小明共摸了100次，其中63次摸到红球，
∴得到红球的概率为：≈0.6，
∵布袋里装有红球和白球共5个，
∴可以估计布袋中红球的个数是：0.6×5＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了模拟实验，利用实验得出摸出红球的概率是解题关键．
巩固提升
一、单选题
1．（2022春·上海·八年级校考期中）下列事件，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是1
B．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数
C．打开电视，正在播广告
D．抛掷一枚硬币，掷得的结果不是正面就是反面
【答案】D
【分析】根据必然事件就是必然发生的事件逐项判断即可．
【详解】A．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是1是随机事件，不符合题意；
B. 掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数是随机事件，不符合题意；
C. 打开电视，正在播广告是随机事件，不符合题意；
D. 抛掷一枚硬币，掷得的结果不是正面就是反面是必然事件，符合题意．
故选D
【点睛】本题考查随机事件．掌握必然事件就是必然发生的事件是解题关键．
2．（2022春·上海宝山·八年级校考阶段练习）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．在十进制中
B．从长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形
C．方程在实数范围内有解
D．在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球.
【答案】B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】A. 在十进制中，是必然事件，不符合题意；
B. 从长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形，是随机事件，符合题意；
C. 方程在实数范围内有解，是不可能事件，不符合题意；
D. 在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件和确定事件，解题关键是明确可能发生也可能不发生的事件是随机事件．
3．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）如果用A表示事件“若a＞b，则ac2＞bc2”，用P（A）表示“事件A发生的概率”，那么下列结论中正确的是（ ）
A．P（A）＝1B．P（A）＝0C．0＜P（A）＜1D．P（A）＞1
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质1知事件A是随机事件，由概率的意义可得答案．
【详解】解：若a＞b，根据不等式的基本性质知ac2≥bc2成立，
∴A是随机事件，
∴0＜P（A）＜1，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查的是概率的意义，必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；如果A为不确定事件，那么0＜P（A）＜1，解题的关键是确定事件A的类型．
4．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．方程在实数范围内有解
B．在十进制中
C．两个非零实数的积为负
D．平面直角坐标系中，直线不经过第二象限
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式，二进制，有理数的乘法，直线的性质判断即可得出答案．
【详解】解：A、针对于方程x2+a=0，Δ=0-4a=-4a，当a≤0时，方程有两个实数根，当a＞0时，方程没有实数根，故此选项不符合题意；
B、在十进制中1+1=10和十进制中的2不能比较大小，故此选项不符合题意；
C、两个非零数相乘，同号得正，异号得负，故此选项不符合题意；
D、针对于直线y=3x-1，k=3＞0，b=-1＜0，∴直线y=3x-1经过第一、三、四象限，不经过二象限，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二进制，有理数的乘法，一次函数的性质．
5．（2022春·上海杨浦·八年级校考期中）下列事件是必然事件的是（ ）
A．疫情期间参加聚会会感染新冠病毒
B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
C．打开的电视机正在播放新闻
D．13个同学中至少有两个同学同一个月生日
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、疫情期间参加聚会会感染新冠病毒，是随机事件，则此项不符合题意；
B、抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，则此项不符合题意；
C、打开的电视机正在播放新闻，是随机事件，则此项不符合题意；
D、因为一年有12个月，所以13个同学中至少有两个同学同一个月生日，是必然事件，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．（2022春·八年级单元测试）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6
【答案】D
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.17左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
【详解】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，不符合题意；
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，不符合题意；
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率是，不符合题意；
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6的概率是，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
7．（2022春·上海·八年级期末）下列命题正确的是（）．
A．任何事件发生的概率为1
B．随机事件发生的概率可以是任意实数
C．可能性很小的事件在一次实验中有可能发生
D．不可能事件在一次实验中也可能发生
【答案】C
【分析】根据随机事件、不可能事件的定义和概率的性质判断各选项即可．
【详解】A中，只有必然事件概率才是1，错误；
B中，随机事件的概率p取值范围为：0＜p＜1，错误；
C中，可能性很小的事件，是有可能发生的，正确；
D中，不可能事件一定不发生，错误
故选：C
【点睛】本题考查事件的可能性，注意，任何事件的概率P一定在0至1之间．
8．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）在圆、等腰三角形、平行四边形、正方形中任选两个图形，那么下列事件中为不可能事件的是（ ）
A．这两个图形都是中心对称图形；
B．这两个图形都不是中心对称图形；
C．这两个图形都是轴对称图形；
D．这两个图形都是既为轴对称图形又为中心对称图形．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形，正方形，平行四边形的性质，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：圆和正方形既为轴对称图形又为中心对称图形，
等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，
平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，
A．这两个图形都是中心对称图形，是随机事件，故不符合题意；
B．这两个图形都不是中心对称图形，是不可能事件，故符合题意；
C．这两个图形都是轴对称图形，是随机事件，故不符合题意；
D．这两个图形都是既为轴对称图形又为中心对称图形，是随机事件，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件，等腰三角形，正方形，平行四边形的性质，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
二、填空题
9．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）掷两枚骰子，两者朝上面点数之和只可能是、、、、、、、、、和，共种可能，那么“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为”的概率是______．
【答案】
【分析】利用列表法把所有等可能的情况都列举出来，找出掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为的情况，利用概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意，列表如下所示，
通过列表可得，共有种等可能的情况，其中掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为的情况共有种，
“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为”的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，解答本题的关键是利用列表法把所有等可能的情况列举出来．
10．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）从1，2，3，4这四个数字中任取一个数，取出的数为素数的概率是______．
【答案】##0.5
【分析】用素数的个数除以数据总数即可求得答案．
【详解】解：1，2，3，4这四个数字中素数有2和3共2个，
∴从1，2，3，4这四个数字中任取一个数，取出的数为素数的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了素数的概念，概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）确定事件的概率是______．
【答案】0或1##1或0
【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件，再根据必然事件和不可能事件的概率解答即可．
【详解】解：确定事件包括必然事件和不可能事件，
必然事件的概率为，
不可能事件的概率为，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了确定事件的定义，确定事件包括必然事件与不可能事件，难度适中．
12．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）如图：麻将是中国的国粹之一，玩法最为复杂有趣，是中国古人发明的一种博弈游戏．它开局拿牌要投两枚骰子，将两枚骰子的点数相加之和除以4看余数来决定是在哪家开始拿牌．余数为1则在自家拿牌，余数为2就在下家拿牌，余数为3则在对家拿牌，能被4整除就在上家拿牌，则在自家拿牌的概率为___________．
【答案】
【分析】根据题意画出树状图，然后得出满足条件的结果，利用概率公式求解即可．
【详解】解：如图所示，画树状图如下：
共有36种等可能结果，其中点数相加之和除以4余1的有8种结果，分别为（1，4），（2，3），（3，2），（3，6），（4，1），（4，5），（5，4），（6，3），
所以在自家拿牌的概率为，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查利用树状图求概率，熟练掌握树状图的画法是解题关键．
13．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互素的概率是___．
【答案】
【分析】利用列表法，求得所有可能的结果数及2个数互素的结果数，则由概率公式即可求得概率．
【详解】列表如下：
所有可能结果数是30种，其中这2个数互素人结果数是22种，则所求的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用树状图或列表法求概率，关键是知道互素的含义，会用树状图或列表法来解决．
14．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）从①，②，③，④四个关系中，任选1个作为条件，那么选到能够判定平行四边形是菱形的概率是_______．
【答案】
【分析】根据一对邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，逐一判定，而后根据概率的计算方法解答．
【详解】解：①∵中，，∴是菱形，故①正确；
②∵，，∴是矩形，故②不正确；
③∵，，∴是菱形，故③正确；
④∵，，∴是矩形，故④不正确；
故选到能够判定是菱形的有①、③，2种结果，
∴选到能够判定是菱形的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形，菱形，概率等，解决问题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，菱形的判定方法，概率的计算方法．
三、解答题
15．（2018春·上海·八年级上海市民办扬波中学校考期末）从1，2．．．，100这100个数中任意选取一个数，求：
（1）取到的是3的倍数的数概率P（A）
（2）取到的个位数字与十位数字之和为7的两位数的概率P（B）
【答案】（1）33%；（2）
【分析】（1）先例举出1，2．．．，100这100个数字中3的倍数，再利用简单概率的概率公式计算即可得到答案。（2）例举出符合条件的两位数，利用简单随机事件的概率公式解题即可．
【详解】（1）因为从1，2．．．，100这100个数字中3的倍数有
个，所以取到的是3的倍数的数概率P（A）33%．
（2）两位数一共90个，其中只有16、25、34、43、52、61，70满足条件，
则P（B）．
【点睛】本题考查的是简单问题中的随机事件的概率的计算，掌握计算公式是解题关键．
16．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字．
(1)任意摸出一个小球，所标的数字不超过的概率是__________；
(2)任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是__________；
(3)任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的概率是多少？（请用树形图法说明）
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）根据概率公式直接计算即可求解；
（2）根据题意，列表法求得概率；
（3）根据题意，利用树状图法求得概率．
【详解】（1）解：∵小球上分别标有数字．
∴任意摸出一个小球，所标的数字不超过的概率是，
故答案为：；
（2）解：列表如下，
任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是，
故答案为：；
（3）解：树形图如图，
由图可知共有16种等可能的结果，其中两个小球所标数字的和为奇数的有8种，
∴摸到的这两个小球所标数字的和为奇数的概率是：．
【点睛】本题主要考查列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式是解题的关键．
17．（2022春·上海·八年级专题练习）在一个不透明的布袋里装有红、白、黄三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个，若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.4．
(1)求口袋中红球的个数：
(2)在这个布袋中摸出一个球再放回袋中，搅匀后再摸出一个球，求事件“摸到一红一白两球”的概率．
【答案】(1)红球的个数为2个
(2)事件“摸到一红一白两球”的概率为
【分析】（1）求出所有球的个数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有25种等可能的结果，事件“摸到一红一白两球”的结果有8种，再由概率公式求解即可．
(1)
所有球的个数为：2÷0.4＝5（个），
则红球的个数为：5﹣2﹣1＝2（个）；
(2)
画树状图如图：
共有25种等可能的结果，事件“摸到一红一白两球”的结果有8种，
∴事件“摸到一红一白两球”的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．（2022春·上海·八年级专题练习）在一个不透明的袋子中装有（除颜色外）完全相同的红色小球1个，白色小球1个和黄色小球2个．
(1)如果从中先摸出一个小球，记下它的颜色后，将他放回袋子中摇匀，再摸出一个小球，记录下颜色，那么摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是_________；
(2)如果摸出的第一个小球之后不放回袋子中，再摸出第二个小球，这时摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是_________．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)按照放回式概率问题，画树状图计算概率即可．
(2)按照不放回式概率问题，画树状图计算概率即可．
【详解】（1）画树状图如图：
由树形图可得：共有16个等可能的结果，其中恰好是“一红一黄”的结果有4个，
∴恰好是“一红一黄”的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
由树形图可得：共有12种等可能的结果，其中恰好“一红一黄”的结果有4种，
∴恰好是“一红一黄”的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了放回式和不放回式的概率计算，正确画出树状图是解题的关键．
19．（2022春·上海·八年级专题练习）有两个不透明的布袋，其中一个布袋中有一个红球和两个白球，另一个布袋中有一个红球和三个白球，它们除了颜色外其他都相同．在两个布袋中分别摸出一个球．
(1)用树形图或列表法展现可能出现的所有结果；
(2)求摸到一个红球和一个白球的概率．
【答案】(1)见解析
(2)摸到一个红球和一个白球的概率P＝
【分析】(1)第一个布袋有3种等可能性，第2个布袋有四种等可能性，画出树状图即可．
(2)根据（1）的树状图，确定所有的等可能性，确定事件的等可能性，按照概率公式计算即可．
(1)
根据题意，画树状图如下：
．
(2)
共有12种等可能的情况，其中摸到一个红球和一个白球的可能情况有5种，
所以摸到一个红球和一个白球的概率P＝．
【点睛】本题考查了列表法或树状图求概率，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．（2019春·上海浦东新·八年级统考期末）中国古代有着辉煌的数学成就，A《周髀算经》，B《九章算术》，C《海岛算经》，D《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
(1)小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___；
(2)某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．（用列表法或树状图求解）
【答案】(1)
(2)图表见解析，
【分析】（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式解答即可；
（2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
【详解】（1）解：（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为．
故答案为:；
（2）解： 将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．
根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即BD，DB，
∴P（M）=．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
1
2
3
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
3
4
5
6
7
8
3
（4，3）
（5，3）
（6，3）
（7，3）
（8，3）
4
（3，4）
（5，4）
（6，4）
（7，4）
（8，4）
5
（3，5）
（4，5）
（6，5）
（7，5）
（8，5）
6
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（7，6）
（8，6）
7
（3，7）
（4，7）
（5，7）
（6，7）
（8，7）
8
（3，8）
（4，8）
（5，8）
（6，8）
（7，8）
A
B
C
C
A
BA
CA
CA
B
AB
CB
CB
C
AC
BC
CC
C
AC
BC
CC
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
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3
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6
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9
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5
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10
5
6
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11
6
7
8
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11
12
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4
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34
35
36
37
38
4
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45
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