1.4 充分条件与必要条件（六种常考题型）-【初升高衔接】2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

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知识点1 命题及相关概念
知识点2 充分条件与必要条件
注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式．
（2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”．
知识点3 充要条件
如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件．
如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件．
注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
①若，则称是的充分条件，是的必要条件．
②若，则是的充要条件．
③若，且，则称是的充分不必要条件．
④若，且，则称是的必要不充分条件．
⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件．
（2）“”的传递性
若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件．
题型一命题的概念及真假
1．下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤.
【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确;
对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，
对于③，方程的判别式为，故正确，
对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，
对于⑤，,故正确;
故选：C．
2．将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)当a＞b时，有ac2＞bc2；
(2)实数的平方是非负实数；
(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除．
【答案】(1)若a＞b，则ac2＞bc2，是假命题
(2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题
(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题
【分析】（1）可以举反例证明；
（2）实数的平方必为非负数；
（3）由，即可判断.
【详解】（1）若a＞b，则ac2＞bc2，当，则该命题不成立，故为假命题；
（2）若，则，该命题为真命题；
（3）若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，
若一个数能被6整除，即6为该数的一个因数，由，
则也为该数的因数，故该命题正确.
3．(多选)下列语句是命题的是（ ）
A．3是15的约数B．x2+2x+1≥0
C．4不小于2D．你准备考北京大学吗?
【答案】ABC
【分析】根据命题的定义逐个判断即可.
【详解】对于A，3能整除15，为真，所以A是命题；
对于B，，为真，所以B是命题；
对于C，，所以“4不小于2”为真，所以C是命题；
对于D，“你准备考北京大学吗?”是疑问句不是陈述句，且无法判断真假，所以D不是命题.
故选：ABC.
4．下列语句中是命题的有________；是真命题的有________（填序号）.
①这里真热闹啊！②求证是无理数；③一个数不是正数就是负数；④并非所有的人都喜欢苹果；⑤若x＝2，则.
【答案】 ③④⑤ ④⑤
【分析】利用命题的意义，逐一判断各个语句，并判断命题真假作答.
【详解】①是感叹句，不是命题；②是祈使句，不是命题；
③是命题，一个数不是正数可能是负数，还可能为0，可以判断该语句的真假，所以该命题为假命题；
④是命题，有的人喜欢苹果，也有人不喜欢苹果，所以可判断该语句的真假，它是命题，并且是真命题；
⑤是命题，当时，，可以判断该语句的真假，它是命题，并且是真命题．
故答案为：③④⑤；④⑤
5．以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【分析】根据命题的定义进行判断.
【详解】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．
故选：B
6．下列命题中真命题有（ ）
①是一元二次方程；
②函数的图象与x轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】B
【分析】对于①，举反例即可判断；对于②，令，求解即可判断；对于③，根据包含关系即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断.
【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误；
②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确；
③中，互相包含的两个集合相等，③正确；
④中，空集不是本身的真子集，④错误．
故选：B
题型二充分、必要条件的判定
7．明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合题意即可下结论.
【详解】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件.
故选：B.
8．不等式“”成立，是不等式“”成立的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分、必要条件的定义判断.
【详解】由，但，所以由“”不能推出“”；
又，但，所以由“”不能推出“”，
即不等式“”成立，是不等式“”成立的既不充分也不必要条件.
故选：D
9．“”是“”的____(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”).
【答案】充分不必要条件
【分析】利用集合法求解.
【详解】由解得：，记集合.
由解得：，记集合.
因为，所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件
10．“”是“”的________条件，“”是“”的________条件（用“充分”“必要”填空）．
【答案】 必要 充分
【分析】由于，再根据充分条件和必要条件的定义即可作答.
【详解】由于，
所以“”是“”的必要条件，“”是“”的充分条件．
故答案为：必要；充分
11．已知实数a，b，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】为充要条件．
故选：C.
12．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】先判断充分性是否满足，再判断必要性是否满足，即可得答案.
【详解】解：充分性：若，则可得有三种可能：①两个都为正；②一个为正、一个为零；③一个为正、一个为负且正数的绝对值大于负数的绝对值，
所以或或，
故不是的充分条件；
必要性:若，则或，故或，
故“”不是“”的必要条件.
综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
13．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不允分也不必要条件
【答案】B
【分析】分别求解与，再根据充分性与必要性判断即可.
【详解】由“”解得，由“”解得，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
14．已知A，，则“”是“”的__________条件．
【答案】充要
【分析】根据集合间的运算即可结合充要条件的定义进行求解.
【详解】由可得,所以，
由得，进而，故“”是“”的充要条件，
故答案为：充要
15．“”是“不等式与同解”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】D
【分析】取特殊值，即可得出充分性和必要性均不满足.
【详解】取，，满足，
所以即为，即为，
两不等式的解集不同，故充分性不满足；
不等式与不等式的解集相同，均为R，
但不满足，故必要性不满足.
所以“”是“不等式与同解”的既不充分又不必要条件.
故选：D.
16．(多选)下列命题是真命题的是（ ）
A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件
B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件
C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件
D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件
【答案】AC
【分析】根据充分条件与必要条件的定义逐项判断即可.
【详解】∵x＞3⇒x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要条件，∴A是真命题；
∵x＝2⇒x2＝4，x2＝4不能推出x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要条件，∴B是假命题；
∵A∩B＝B⇒A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件，反之也成立，故也是充分条件，∴C是真命题；
∵ac＞bc，c<0时，a故选：AC.
17．已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
【答案】B
【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.
【详解】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出，
因为是的的充分条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确，
因为，，，所以，
推不出，故是的充分不必要条件，②正确；
因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；
因为，，所以，又，
所以是的充要条件，命题④错误；
故选：B.
题型三根据充分、必要条件确定参数的取值范围
18．已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系求解.
【详解】，即或，又是的充分不必要条件，
所以，即的取值范围是.
故选:A.
19．请在①充分不必要条件②必要不充分条件③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面的问题中横线部分．若问题中的a存在，求出a的取值范围，若问题中的a不存在，请说明理由．
问题：已知集合，，是否存在实数a，使得是成立的______？
【答案】答案见解析.
【分析】根据所选的条件，判断集合、之间的关系，进而求参数的范围.
【详解】选①，则是的真子集，则且（两等号不同时取），
又，解得，
∴存在，的取值集合
选②，则是的真子集，则且（两等号不同时取），
又，解得，
∴存在，的取值集合
选③，则，则且，又，方程组无解
∴不存在满足条件的.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
20．若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】根据题意确定q可以推得P，但p不能推出q，由此可得到关于a的等式，求得答案.
【详解】p：，即或，q：∵，∴，
由题意知p：是q：（）的必要而不充分条件，
则，或，解得，或，
故选：D.
21．集合，其中b是实数，若A是B的充要条件，则b=_________；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是_______（答案不唯一，写出一个即可）
【答案】 /0.5
【分析】分别根据充要条件以及必要不充分条件的含义即可求解.
【详解】因为A是B的充要条件，则解集相同.，得，因为，则，解得；因为A是B的充分不必要条件，即
，又因为，且，则，需要，解得，即
故答案为：；
22．已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】．
【分析】由题意可得是的真子集，从而有或，求解即可.
【详解】因为p是q的必要不充分条件，
所以是的真子集，
故有或
解得.
又，所以实数m的取值范围为．
23．已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ____；若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是_____.
【答案】 或
【分析】根据条件函数的图像与轴只有一个交点，推导出或，因为条件是条件的充分不必要条件即可得到实数的值；根据条件是条件的必要不充分条件，推导出实数的取值范围.
【详解】当时，，其图像与轴只有一个交点，符合题意；
当时，的图像与轴只有一个交点，则，符合题意；
条件或
条件是条件的充分不必要条件，则或实数为或
当时，由得，；
当时，由得，；
条件是条件的必要不充分条件，且条件或，条件
，即
故答案为：或；实数的取值范围是.
24．已知，.
(1)是否存在实数m，使是的充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；
(2)是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)存在，
【分析】（1）要使是的充要条件，则，得到，方程无解，得到答案.
（2）要使是的必要条件，则，考虑和两种情况，计算得到答案.
【详解】（1），
要使是的充要条件，则，即，此方程无解，
则不存在实数m，使是的充要条件；
（2）要使是的必要条件，则，
当时，，得；
当时，，得，要使，则有，得，故，
综上所述，当实数时，是的必要条件.
25．已知全集，集合，.
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；
（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可
【详解】（1）当时，集合，
因为，所以.
所以，
（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以，因此.
26．请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？
【答案】答案见解析
【分析】若选择条件①，可得集合A是集合B的真子集，列出不等式组可得实数m的取值范围；若选择条件②，可得集合B是集合A的真子集，列出不等式组可得实数的取值范围；若选择条件③，列出方程组可得集合A等于集合B可得答案.
【详解】若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，则有，解得，
所以，实数m的取值范围是；
若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，
则有，解得，
所以，实数的取值范围是；
若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合A等于集合B则有，方程组无解，
所以，不存在满足条件的实数.
题型四充要条件的证明
27．已知，是实数，求证：成立的充要条件是.
【答案】证明见解析
【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论．
【详解】解：先证明充分性：
若，则成立．
所以“”是“”成立的充分条件；
再证明必要性：
若，则，
即，
，
，
，
，
即成立．
所以“”是“”成立的必要条件.
综上：成立的充要条件是．
28．（1）已知集合，．证明：的充要条件是；
（2）模仿上述命题，写出一个不同于（1）的命题，判断命题的真假并说明理由．
【答案】（1）证明见解析 ；（2）答案不唯一，具体见解析 ．
【分析】（1）根据两个集合相等、充要条件等知识证得结论成立.
（2）模仿（1）写出一个命题，并判断出真假性.
【详解】（1），
即大前提包括都不为零.
所以，
即的充要条件是.
（2）已知均为非零实数，，.命题：的充要条件是.
这是假命题，理由如下：
当时，取，
则，，
所以不是的充要条件.
29．已知，是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由可得：，
对两边同时平方可得，所以，
所以”是“”的充要条件.
故选：C.
30．已知集合，．
(1)若“，”为假命题，求的取值范围；
(2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知，先求解出集合，然后根据，将集合分为和两种情况讨论，分别列式求解即可；
（2）由已知，先有或，证明至少有2个子集，即证明充分性，然后再根据至少有2个子集，求解参数的范围与或比较即可证明其必要性.
【详解】（1）由已知，集合，所以集合．
因为“，”为假命题，所以．
当时，，解得；
当时，要使，则，，且，，
即，解得或或或．
综上，实数m的取值范围为．
（2）证明：充分性：若，或，则至少有2个子集．
当，或时，，方程有解，
集合至少有1个元素，至少有2个子集，充分性得证；
必要性：若至少有2个子集，则或．
若至少有2个子集，则至少有1个元素，
方程有解，，解得或，
必要性得证．
综上，至少有2个子集的充要条件是或．
31．设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件．
【答案】答案见详解
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，先求出方程与有公共根的条件，然后证明充分性即可.
【详解】必要性：
设方程与的公共根为，
则，，
两式相加得（舍去），
将代入，
得，
整理得.
所以.
充分性：
当时，，
于是等价于，
所以，
该方程有两根，.
同样等价于，
所以，
该方程亦有两根，.
显然，两方程有公共根.
故方程与有公共根的充要条件是.
32．已知，设二次函数，其中a，c均为实数.证明:对于任意，均有成立的充要条件是.
【答案】证明见解析
【分析】根据充要条件定义证明即可.
【详解】因为，所以函数图像的对称轴方程为直线，且，所以.
先证充分性:因为，且，所以.
再证必要性:因为，所以只需即可.即，从而.综上可知，
对于任意，均有成立的充要条件是.
题型五探求命题为真的充要条件
33．三个数，，不全为零的充要条件是（ ）
A．，，都不是零B．，，中最多有一个是零
C．，，中只有一个是零D．，，中至少有一个不是零
【答案】D
【分析】，，不全为零即，，中至少有一个不是零.
【详解】解：，，不全为零即，，中至少有一个不是零
故选：D．
34．命题“”是真命题的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将问题转化为在上恒成立，可求出结果.
【详解】因为命题“”是真命题，
所以在上恒成立，
所以，即，
所以命题“”是真命题的充要条件是.
故选：C
35．“一元二次方程有实数根”的充要条件是 __．
【答案】
【分析】利用判别式即可求出实数的取值范围．
【详解】一元二次方程有实数根，应满足，
解得或，
所以实数的取值范围是
故答案为：
36．已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（ ）
A．，
B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等
C．，
D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等
【答案】B
【分析】直接利用充分条件和必要条件判断A、B、C、D的结论．
【详解】对于A选项，，解得：或，
所以，但，
故为的充分不必要条件，故A错误；
B选项：根据全等三角形的性质及判定可知，，故是的充要条件，故B正确；
C选项，由可得或，，则为的充分不必要条件，故C错误；
D选项，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等，
但两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形不一定全等，
例如：中，，斜边，
中，，则斜边，
故为的必要不充分条件．
故选：B．
37．(多选)设全集为U，在下列选项中，是的充要条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】利用维恩图解决集合运算问题.
【详解】
由维恩图可知，A不是的充要条件，B，C，D都是的充要条件，
故选：BCD．
38．方程 有一正一负根的充要条件是_______
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解.
【详解】 有一正一负根
故答案为：
39．（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（ ）
A．
B．p：，q：
C．p：，q：
D．p：，q：
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质，结合充要条件的判断，即可由选项逐一求解.
【详解】对于A选项，p⇒q，但不一定得到，故p不是q的充要条件；
对于B选项，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；
对于C选项，不能得到，但一定，故p不是q的充要条件；
对于D选项，p⇒q，且q⇒p，故p是q的充要条件．
故选：BD.
40．(多选)设全集为，在下列条件中，是的充要条件的有（ ）
A． B． C．D．
【答案】ABCD
【分析】结合Venn图，利用充分条件和必要条件的定义，对选项逐一判断即可.
【详解】对于A，若，则；反过来，若，则，故互为充要条件，故正确；
对于B，如下Venn图，
若，则，若，则，故正确；
选项C中，若，则；反过来，若，则，故互为充要条件，故正确；
选项D中，若，则，故；反过来，若，则，故，故互为充要条件，故正确.
故选：ABCD.
题型六探求充分、必要条件
41．下列选项中，能使“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】欲求成立的必要而不充分的条件，即选择一个能推出的选项，但不能推出，对选项逐一分析即可
【详解】不能推出，故选项A不是的必要条件，不满足题意；A不正确；
不能推出 ，故选项B不是的必要条件，不满足题意；B不正确；
不能推出，故选项C不是的必要条件，不满足题意；C不正确；
能推出，但不能推出，是的一个必要不充分条件，满足题意，D选项正确.
故选︰D.
42．使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据充分不必要条件的知识确定正确答案.
【详解】不等式成立的一个充分不必要条件是，
是的必要不充分条件，
是的非充分非必要条件，
是的充分必要条件.
故选：A
43．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】等价转化求得一元二次方程满足题意的条件，再根据必要不充分条件即可判断.
【详解】由题意，记方程的两根分别为，，
因为一元二次方程有一个正根和一个负根，
所以，解得，
根据选项可得到是的必要不充分条件，
故选：C
44．已知，设，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先解不等式，再利用必要不充分条件的定义判断.
【详解】解：因为，
所以，
所以p的一个必要不充分条件是，
故选：B
45．使“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．或C．D．
【答案】A
【分析】根据必要不充分的定义进行求解即可.
【详解】设：，所求的命题为，则原表述可以改写为是的必要不充分条件，即，但反之推出关系不成立.
故选：A.
46．使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．x<2D．
【答案】B
【分析】根据分式不等式的解法以及充分不必要条件的概念求解.
【详解】由得，
所以“”是“”的即不充分也不必要条件，故A错误；
“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
“”是“”的即不充分也不必要条件，故C错误；
“”是“”的充要条件，故D错误.
故选：B.
47．不等式在R上恒成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式在R上恒成立得出m的范围后，根据必要不充分条件的定义即可得出答案，注意区分谁是条件，谁是结论.
【详解】不等式在R上恒成立，即一元二次方程在R上无实数解
，解得：，
因此：
A选项为充要条件，故A错误；
B选项与没有交集，即推不出，故B错误；
C选项比范围大，即可推出，反之无法推出，故C正确；
D选项比范围小，即可推出，反之无法推出，则是“不等式在R上恒成立”的充分不必要条件，故D错误.
故选：C.
48．方程有实根的充要条件是_____，方程有实根的一个充分而不必要条件可以是_____.
【答案】 (答案不唯一)
【分析】由方程有实根，可得判别式非负，从而可得到其充要条件，当时方程有实根，而方程有实根时不一定有，从而可得到其一个充分不要条件，其实只要的取值能使判别式非负即可.
【详解】解：因为方程有实根，
所以，即，解得，
反之，当时，，则方程有实根，
所以是方程有实根的充要条件，
当时，方程有实根，
而当方程有实根时不一定是，
所以是方程有实根的一个充分不要条件.
故答案为：；(答案不唯一).定义
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句
分类
真命题:判断为真的语句
假命题:判断为假的语句
形式
形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论
命题真假
“若,则”是真命题
“若,则”是假命题
推出关系及符号表示
由通过推理可得出,记作:
由条件p 不能推出结论q,记作:
条件关系
是的充分条件；
是的必要条件
不是的充分条件；
不是的必要条件