2023-2024学年河南省商丘市高一（下）联考数学试卷（5月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年河南省商丘市高一（下）联考数学试卷（5月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知非零向量a=(4−k,0)，b=(6,k+2)，若a//b，则|a|=( )
A. 8B. 6 2C. 6D. 6
2.如图，在△ABC中，E为边AB的中点，BD=2DC，则DE=( )
A. −16AB+23AC
B. 56AB+13AC
C. 16AB+23AC
D. 16AB−23AC
3.设z=2+4i1−3i，则z−的虚部是( )
A. 1B. −1C. −iD. i
4.北京天安门广场中心屹立着一座中国最大的纪念碑——人民英雄纪念碑，它专门为缅怀近现代英雄而建，它不仅仅是一个简单的建筑，更是民族精神的象征.某学生为测量该纪念碑的高度CD，选取与碑基C在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=90米，在点B处测得碑顶D的仰角为30°，则纪念碑高CD为( )
A. 15 6米B. 30 2米C. 15 2米D. 30 6米
5.如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，E为边AB的中点，线段AC与DE交于点F，则cs∠AFE=( )
A. −3 2114B. − 217C. − 714D. −17
6.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6,O′C′=2，则原图形OABC的面积为( )
A. 24 2B. 12 2C. 48 2D. 20 2
7.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列说法正确的是( )
A. 若m上有两点到平面α距离相等，则m/​/α
B. 若α/​/β，m⊂α，n⊂β，则m与n是异面直线
C. 若α/​/β，m⊂α，n⊂β，则m与n没有公共点
D. 若α∩β=n，m⊂α，则m与β一定相交
8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点F是棱AA1上的一个动点，平面BFD1交棱CC1于点E，则下列命题中不正确的是( )
A. 存在点F，使得A1C1/​/平面BED1F
B. 对于任意点F，四边形BED1F均为平行四边形
C. 四边形BED1F的面积随F点位置的变化而变化
D. 三棱锥F−BB1D1的体积随F点位置的变化而变化
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,3)，b=(x,−2)(x>0)，且(a+b)⊥b，则( )
A. 与b同向的单位向量为( 55,−2 55)B. a与b的夹角为π4
C. |a+b|= 5D. a在b上的投影向量是(−1,2)
10.下列说法正确的是( )
A. |1+2i2023+3i2024|=20
B. z⋅z−=|z|2，z∈C
C. 若|z+i|=1，z∈C，则|z−2|的最小值为1
D. 若−4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根，则p=8
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形
C. 若a=2 3,b=4,A=π4，则满足条件的三角形有两个
D. 若(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|=12，则△ABC为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a+b+c)(sinA+sinB−sinC)=asinB，则C= ______．
13.已知边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的∠BDC=π2，则过A，B，C，D四点的球的体积为______．
14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花.图2中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2，圆O的直径MN/​/CD，点P在正六边形的边上运动，则PM⋅PN的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知非零向量a，b满足|a|=1，且(a−b)⋅(a+b)=34．
(1)求|b|；
(2)当a⋅b=−14时，求向量a与a+2b的夹角θ的值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 3a= 3bcsC+csinB．
(1)求角B的值；
(2)若b=2，且△ABC的面积为 3，求△ABC的周长．
17.(本小题15分)
已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是DD1中点．
(1)求证：BD1//平面AEC；
(2)设正方体棱长为a，求三棱锥D−AEC的表面积和体积．
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=8，且(a−b)(sinA+sinB)=c(sinC−sinB)．
(Ⅰ)求△ABC面积的最大值；
(Ⅱ)若AB⋅AC=8,D为边BC的中点，求线段AD的长度．
19.(本小题17分)
如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，PA是圆柱的母线，PA=3，AD=2AB=2，∠BAD=120°，C是BD上的动点．
(1)求圆柱的侧面积S；
(2)求四棱锥P−ABCD的体积V的最大值．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.A
5.C
6.A
7.C
8.D
9.ACD
10.BD
11.ACD
12.2π3
13.5 5π6
14.8
15.解：(1)因为(a−b)⋅(a+b)=34，即a2−b2=34，即|a|2−|b|2=34，
所以，|b|2=|a|2−34=1−34=14，故|b|=12．
(2)因为|a+2b|2=|a|2+4a⋅b+|2b|2=1−1+1=1，故|a+2b|=1.
又因为a⋅(a+2b)=|a|2+2a⋅b=1−12=12，
∴cs θ=a⋅(a+b)|a|⋅|a+2b|═12，
又0°≤θ≤180°，故θ=60°．
16.解：(1)由正弦定理及已知，化边为角得 3sinA= 3sinBcsC+sinCsinB．
∵A+B+C=π，∴sinA=sin(B+C)，代入得 3sinBcsC+ 3csBsinC= 3sinBcsC+sinCsinB，
∴ 3csBsinC=sinCsinB．
∵0又∵0(2)∵S△ABC=12acsinB= 34ac= 3，∴ac=4．
由余弦定理，得b2=a2+c2−2accsB=(a+c)2−3ac，
∴(a+c)2=b2+3ac=16，∴a+c=4，
∴△ABC的周长为6．
17.解：(1)证明：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是DD1中点，
连接BD交AC于O，连接OE，显然O是BD的中点，则OE/​/BD1，
又OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，
所以BD1//平面AEC；

(2)显然AD，DC，DE两两垂直，而AD=a，
则AE=CE= 52a,AC= 2a，
又O是AC的中点，则EO⊥AC，EO=12BD1= 32a，
所以三棱锥D−AEC的表面积为：
S=12a⋅a+12a⋅12a+12a⋅12a+12⋅ 2a⋅ 32a=4+ 64a2；
体积为VD−AEC=VA−CDE=13S△CDE⋅AD=13⋅14a2⋅a=112a3．
18.解：(Ⅰ)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
又(a−b)(sinA+sinB)=c(sinC−sinB)，
则(a−b)(a+b)=c(c−b)，
即b2+c2−a2=bc，
即csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
又0故A=π3，
因为a2=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，
所以bc≤64，当且仅当b=c时取等号．
所以S△ABC=12bcsinA= 34bc≤16 3，
故△ABC面积的最大值为16 3．
(Ⅱ)因为D是边BC的中点，
所以AD=12(AB+AC)，
所以AD2=14(AB+AC)2=14(|AB|2+2AB⋅AC+|AC|2)=14(b2+c2)+12AB⋅AC，
因为AB⋅AC=8，
所以bccsA=8，
因为AB⋅AC=8，
所以bccsA=8，
又csA=12，
所以bc=16，
又a=8，
则b2+c2−bc=a2=64，
所以b2+c2=80，
所以AD2=14×80+12×8=24，
所以|AD|=2 6，
即线段AD的长度为2 6．
19.解：(1)∵在△ABD中，AD=2AB=2，∠BAD=120°，
∴由余弦定理可得：BD= 22+12−2×1×2×(−12)= 7，
设圆柱的底面圆的半径为r，则在△ABD中，由正弦定理可得：
BDsin∠BAD=2r，即2r= 7 32=2 7 3，∴r= 7 3，又圆柱的母线PA=3，
∴圆柱的侧面积S=2π× 7 3×3=2 21π；
(2)由(1)可知，在圆柱底面圆O中，BD= 7，圆O的半径r= 7 3，
∴当C到BD的距离最大时，△BCD的面积最大，
过圆心O作OH⊥BD，垂足点为H，延长HO交圆O于点C．
则C到BD的距离最大为：CH=OH+r= r2−(BD2)2+r= 73−74+ 7 3= 212，
∴△BCD的面积最大值为12×BD×CH=12× 7× 212=7 34，
又△ABD的面积为12×1×2× 32= 32，又四棱锥P−ABCD的高PA=3，
∴四棱锥P−ABCD的体积V的最大值为13×(7 34+ 32)×3=9 34．