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2023-2024学年广东省广州市龙涛教育集团七年级（下）期末数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年广东省广州市龙涛教育集团七年级（下）期末数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各点中，位于第四象限的点是( )
A. (5,−4)B. (−5,4)C. (5,4)D. (−5,−4)
2.下列采用的调查方式中，不合适的是( )
A. 了解珠江的水质，采用抽样调查
B. 了解白云区中学生睡眠时间，采用抽样调查
C. 了解一批圆珠笔的质量，采用全面调查
D. 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查
3.在实数 2， 3， 4， 5中，有理数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
4.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A. x+y=5y=2B. x+y=1y+z=2C. xy=2x+y=1D. x−y=2y2=1
5.在数轴上表示不等式x≥−2的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，下列说法错误的是( )
A. ∠A与∠B是同旁内角B. ∠1与B是同位角
C. ∠2与∠3是内错角D. ∠1与∠3是对顶角
7.已知aA. b>aB. −a<−bC. a−71−3b
8.如图所示，已知∠1=65°，∠2=80°，∠3=35°，下列条件中，能得到AB//CD的是( )
A. ∠4=80°B. ∠5=65°C. ∠4=35°D. ∠5=35°
9.已知点M(−1,3)，点N为y轴上一动点，则MN的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 10
10.“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”.中国古代数学史上经常研究这一神话.数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3方格，每一行、每一列及斜对角的三个数之和都相等，也称之为三阶幻方.如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中的字母m表示的数是( )
A. 5B. 7C. 8D. 6
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若一个数的立方根就是它本身，则这个数是______．
12.一组数据，其中最大值是170，最小值是147，对这组数据进行整理时，组距是4，则分成______组合适．
13.某次数学测验中共有20道题目，评分办法：答对一道得5分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对______道题，成绩才能在80分以上．
14.数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.如图所示，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上(点E在点A左侧)，且AD=AE，则点E所表示的数为______．
15.如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1=62°，则∠2= ______．
16.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：(1,0)→(2,0)→(2,1)→(1,1)→(1,2)→(2,2)→…根据这个规律，第2024个点的坐标为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解不等式组2x−5≤3(x−1)x+72>4x，并把它的解集在数轴上表示出来．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
计算： 4−3−8÷|−2|×(−7+5)．
19.(本小题8分)
用适当的方法解下列方程(组)：
(1)(x−1)2=9；
(2)2x+3y=54x−y=3．
20.(本小题8分)
如图所示，EF⊥BC于点F，DM⊥BC于点M，∠1=∠2，∠3=∠C.求证：AB//MN．
21.(本小题8分)
数学小组为了了解我校同学对食堂就餐的评价，抽取部分同学参加问卷评价调查，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示.请根据图表信息解答下列问题：
(1)本次问卷评价调查中，总体，个体，样本各是什么？
(2)统计表中m= ______，n= ______；并补全频数分布直方图；
(3)若全校共1200人，试估计评价得分不低于80分的人数．
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为(x,−2)，(3,y)，(0,2)，且(x+2)2+ y−1=0．
(1)在平面直角坐标系中画出三角形ABC并求出三角形ABC的面积；
(2)若把三角形ABC向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形A′B′C′，请写出点A，B，C的对应点A′，B′，C′的坐标；若三角形ABC内某一点P经过上述平移后与点Q(a,b)对应，请写出点P的坐标．
23.(本小题8分)
“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴.”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．
(1)求A，B两种跳绳的单价；
(2)如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？
24.(本小题10分)
定义一种新运算“a☆b”的含义为：当a≥b时，a☆b=a+3b；当a(1)计算：(−4)☆3= ______；(6− 2)☆2= ______；
(2)化简(−3x2+2x−5)☆(−x2+2x+3)；
(3)如果1☆(x2−5)=13，求x的值．
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，AB//CD//x轴，BC//DE//y轴，且AB=CD=5cm，OA=7cm，DE=4cm，动点P从点A出发，沿ABC路线向点C运动；动点Q从点O出发，沿OED路线向点D运动，P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止，连接PO，PQ，其中PQ不垂直于x轴．
(1)直接写出B，D两点的坐标；
(2)点P，Q开始运动后，∠AOP，∠OPQ，∠PQE三者之间存在何种数量关系，请说明理由；
(3)若动点P，Q分别以每秒1cm和每秒2cm的速度运动，则运动时间为多少秒时，三角形OPQ的面积为25cm2．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.A
5.C
6.D
7.B
8.D
9.A
10.D
11.1，−1，0
12.6
13.17
14.1− 5
15.59°
16.(45,1)
17.解：解不等式2x−5≤3(x−1)得x≥−2，
解不等式x+72>4x得x<1，
∴不等式组的解集为−2≤x<1，
在数轴上表示为：
．
18.解：原式=2−(−2)÷2×(−2)=2−2=0．
19.解：(1)(x−1)2=9，
方程两边开方得：x−1=±3，
解得：x1=4，x2=−2；
(2)2x+3y=5①4x−y=3②，
①+②×3得：14x=14，
解得：x=1，
把x=1代入①得：2+3y=5，
解得：y=1，
所以方程组的解是x=1y=1．
20.证明：∵EF⊥BC，DM⊥BC(已知)，
∴∠EFC=∠DMC=90°(垂直定义)，
∴EF//DM(同位角相等，两直线平行)，
∴∠2=∠CDM(两直线平行，同位角相等)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠CDM(等量代换)，
∴CD//MN(内错角相等，两直线平行)，
∵∠3=∠C(已知)，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，
∴AB//MN(平行于同一直线的两直线互相平行)．
21.120 0.3
22.解：(1)∵(x+2)2+ y−1=0，
∴x+2=0，y−1=0，
∴x=−2，y=1，
∴A、B的坐标分别为(−2,−2)，(3,1)，
如图所示：
△ABC的面积=4×5−12×5×3−12×2×4−12×1×3=7；
(2)∵把三角形ABC向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形A′B′C′，
∴A′，B′，C′的坐标分别为(−3,1)，(2,4)，(−1,5)，点P的坐标为(a−1,b+3)．
23.解：(1)设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，
3x+y=1055x+3y=215，
解得：x=25y=30，
答：A种跳绳的单价为25元，B种跳绳的单价为30元；
(2)设购进A种跳a件，总费用为w元，
∵B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，
则2a≤48−a，
解得：a≤16，
w=25a+30(48−a)=−5a+1440，
∵−5<0，
∴w随a的增大而减小，
当a=16时，w有最小值为1360元，
答：购买跳绳所需最少费用是1360元．
24.−13 12− 2
25.解：(1)∵AB//CD//x轴，BC//DE//y轴，且AB=CD=5cm，OA=7cm，DE=4cm，
∴B(5,7)，C(5,4)，AB+CD=10(cm)，
∴D(10,4)；
(2)∠PQE+∠AOP−∠OPQ=90°或∠PQE+∠OPQ−∠AOP=180°，理由如下：
分情况讨论：①当点P在AB上，Q在OE上时，如图1所示：
∵AB//CD//x轴，
∴∠PQE=∠APQ=∠APO+∠OPQ=90°−∠AOP+∠OPQ，
∴∠PQE+∠AOP−∠OPQ=90°；
②当点P在BC上，Q在OE上时，如图2所示：
过P作PM//OE，则PM//AB，
∴∠PQE=∠MPQ=∠MPO+∠OPQ=90°−∠AOP+∠OPQ，
∴∠PQE+∠AOP−∠OPQ=90°；
③当点P在AB上，Q在DE上时，如图3所示：
过Q作QN//OE，则QN⊥DE，QN//AB，
∴∠PQN=∠BPQ，
∴∠PQE=90°+PQN=90°+∠BPQ=90°+180°−∠APO−∠OPQ=270°−(90°−∠AOP)−∠OPQ=180°+∠AOP−∠OPQ，
∴∠PQE+∠OPQ−∠AOP=180°；
④当点P在BC上，Q在DE上时，如图4所示：
∵BC//DE//y轴，
∴∠AOP+∠BPO=180°，∠PQE=∠BPQ，
∴∠BPO=180°−∠AOP，
∴∠PQE=∠BPQ=360°−∠BPO−∠OPQ=360°−(180°−∠AOP)−∠OPQ=180°+∠AOP−∠OPQ，
∴∠PQE+∠OPQ−∠AOP=180°；
综上所述，∠AOP，∠OPQ，∠PQE三者之间存在的数量关系为∠PQE+∠AOP−∠OPQ=90°或∠PQE+∠OPQ−∠AOP=180°；
(3)设点P、Q的运动时间为t秒，分两种情况：
①0
则OQ=2t cm，
由题意得：△OPQ的面积=12×2t×7=25，
解得：t=257；
②5≤t≤7时，点P在BC上，Q在DE上，
过P作OE的平行线交ED的延长线于G，如图5所示：
则BP=(t−5)cm，QE=(2t−10)cm，
∵OA=7cm，DE=4cm，
∴GE=OA−BP=7−(t−5)=(12−t)cm，
∴GQ=GE−QE=12−t−(2t−10)=(22−3t)cm，
∵△OPQ的面积=梯形POEG的面积−△OEQ的面积−△PQG的面积=25，
∴12×(5+10)×(12−t)−12×10×(2t−10)−12×5×(22−3t)=25，
解得：t=6；
综上所述，运动时间为257秒或6秒时，三角形OPQ的面积为25cm2． 组别
评价得分
频数
频率
A组
60≤x<70
30
0.1
B组
70≤x<80
90
n
C组
80≤x<90
m
0.4
D组
90≤x<100
60
0.2
1.下列各点中，位于第四象限的点是( )
A. (5,−4)B. (−5,4)C. (5,4)D. (−5,−4)
2.下列采用的调查方式中，不合适的是( )
A. 了解珠江的水质，采用抽样调查
B. 了解白云区中学生睡眠时间，采用抽样调查
C. 了解一批圆珠笔的质量，采用全面调查
D. 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查
3.在实数 2， 3， 4， 5中，有理数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
4.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A. x+y=5y=2B. x+y=1y+z=2C. xy=2x+y=1D. x−y=2y2=1
5.在数轴上表示不等式x≥−2的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，下列说法错误的是( )
A. ∠A与∠B是同旁内角B. ∠1与B是同位角
C. ∠2与∠3是内错角D. ∠1与∠3是对顶角
7.已知a
8.如图所示，已知∠1=65°，∠2=80°，∠3=35°，下列条件中，能得到AB//CD的是( )
A. ∠4=80°B. ∠5=65°C. ∠4=35°D. ∠5=35°
9.已知点M(−1,3)，点N为y轴上一动点，则MN的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 10
10.“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”.中国古代数学史上经常研究这一神话.数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3方格，每一行、每一列及斜对角的三个数之和都相等，也称之为三阶幻方.如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中的字母m表示的数是( )
A. 5B. 7C. 8D. 6
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若一个数的立方根就是它本身，则这个数是______．
12.一组数据，其中最大值是170，最小值是147，对这组数据进行整理时，组距是4，则分成______组合适．
13.某次数学测验中共有20道题目，评分办法：答对一道得5分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对______道题，成绩才能在80分以上．
14.数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.如图所示，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上(点E在点A左侧)，且AD=AE，则点E所表示的数为______．
15.如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1=62°，则∠2= ______．
16.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：(1,0)→(2,0)→(2,1)→(1,1)→(1,2)→(2,2)→…根据这个规律，第2024个点的坐标为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解不等式组2x−5≤3(x−1)x+72>4x，并把它的解集在数轴上表示出来．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
计算： 4−3−8÷|−2|×(−7+5)．
19.(本小题8分)
用适当的方法解下列方程(组)：
(1)(x−1)2=9；
(2)2x+3y=54x−y=3．
20.(本小题8分)
如图所示，EF⊥BC于点F，DM⊥BC于点M，∠1=∠2，∠3=∠C.求证：AB//MN．
21.(本小题8分)
数学小组为了了解我校同学对食堂就餐的评价，抽取部分同学参加问卷评价调查，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示.请根据图表信息解答下列问题：
(1)本次问卷评价调查中，总体，个体，样本各是什么？
(2)统计表中m= ______，n= ______；并补全频数分布直方图；
(3)若全校共1200人，试估计评价得分不低于80分的人数．
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为(x,−2)，(3,y)，(0,2)，且(x+2)2+ y−1=0．
(1)在平面直角坐标系中画出三角形ABC并求出三角形ABC的面积；
(2)若把三角形ABC向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形A′B′C′，请写出点A，B，C的对应点A′，B′，C′的坐标；若三角形ABC内某一点P经过上述平移后与点Q(a,b)对应，请写出点P的坐标．
23.(本小题8分)
“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴.”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．
(1)求A，B两种跳绳的单价；
(2)如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？
24.(本小题10分)
定义一种新运算“a☆b”的含义为：当a≥b时，a☆b=a+3b；当a
(2)化简(−3x2+2x−5)☆(−x2+2x+3)；
(3)如果1☆(x2−5)=13，求x的值．
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，AB//CD//x轴，BC//DE//y轴，且AB=CD=5cm，OA=7cm，DE=4cm，动点P从点A出发，沿ABC路线向点C运动；动点Q从点O出发，沿OED路线向点D运动，P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止，连接PO，PQ，其中PQ不垂直于x轴．
(1)直接写出B，D两点的坐标；
(2)点P，Q开始运动后，∠AOP，∠OPQ，∠PQE三者之间存在何种数量关系，请说明理由；
(3)若动点P，Q分别以每秒1cm和每秒2cm的速度运动，则运动时间为多少秒时，三角形OPQ的面积为25cm2．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.A
5.C
6.D
7.B
8.D
9.A
10.D
11.1，−1，0
12.6
13.17
14.1− 5
15.59°
16.(45,1)
17.解：解不等式2x−5≤3(x−1)得x≥−2，
解不等式x+72>4x得x<1，
∴不等式组的解集为−2≤x<1，
在数轴上表示为：
．
18.解：原式=2−(−2)÷2×(−2)=2−2=0．
19.解：(1)(x−1)2=9，
方程两边开方得：x−1=±3，
解得：x1=4，x2=−2；
(2)2x+3y=5①4x−y=3②，
①+②×3得：14x=14，
解得：x=1，
把x=1代入①得：2+3y=5，
解得：y=1，
所以方程组的解是x=1y=1．
20.证明：∵EF⊥BC，DM⊥BC(已知)，
∴∠EFC=∠DMC=90°(垂直定义)，
∴EF//DM(同位角相等，两直线平行)，
∴∠2=∠CDM(两直线平行，同位角相等)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠CDM(等量代换)，
∴CD//MN(内错角相等，两直线平行)，
∵∠3=∠C(已知)，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，
∴AB//MN(平行于同一直线的两直线互相平行)．
21.120 0.3
22.解：(1)∵(x+2)2+ y−1=0，
∴x+2=0，y−1=0，
∴x=−2，y=1，
∴A、B的坐标分别为(−2,−2)，(3,1)，
如图所示：
△ABC的面积=4×5−12×5×3−12×2×4−12×1×3=7；
(2)∵把三角形ABC向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形A′B′C′，
∴A′，B′，C′的坐标分别为(−3,1)，(2,4)，(−1,5)，点P的坐标为(a−1,b+3)．
23.解：(1)设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，
3x+y=1055x+3y=215，
解得：x=25y=30，
答：A种跳绳的单价为25元，B种跳绳的单价为30元；
(2)设购进A种跳a件，总费用为w元，
∵B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，
则2a≤48−a，
解得：a≤16，
w=25a+30(48−a)=−5a+1440，
∵−5<0，
∴w随a的增大而减小，
当a=16时，w有最小值为1360元，
答：购买跳绳所需最少费用是1360元．
24.−13 12− 2
25.解：(1)∵AB//CD//x轴，BC//DE//y轴，且AB=CD=5cm，OA=7cm，DE=4cm，
∴B(5,7)，C(5,4)，AB+CD=10(cm)，
∴D(10,4)；
(2)∠PQE+∠AOP−∠OPQ=90°或∠PQE+∠OPQ−∠AOP=180°，理由如下：
分情况讨论：①当点P在AB上，Q在OE上时，如图1所示：
∵AB//CD//x轴，
∴∠PQE=∠APQ=∠APO+∠OPQ=90°−∠AOP+∠OPQ，
∴∠PQE+∠AOP−∠OPQ=90°；
②当点P在BC上，Q在OE上时，如图2所示：
过P作PM//OE，则PM//AB，
∴∠PQE=∠MPQ=∠MPO+∠OPQ=90°−∠AOP+∠OPQ，
∴∠PQE+∠AOP−∠OPQ=90°；
③当点P在AB上，Q在DE上时，如图3所示：
过Q作QN//OE，则QN⊥DE，QN//AB，
∴∠PQN=∠BPQ，
∴∠PQE=90°+PQN=90°+∠BPQ=90°+180°−∠APO−∠OPQ=270°−(90°−∠AOP)−∠OPQ=180°+∠AOP−∠OPQ，
∴∠PQE+∠OPQ−∠AOP=180°；
④当点P在BC上，Q在DE上时，如图4所示：
∵BC//DE//y轴，
∴∠AOP+∠BPO=180°，∠PQE=∠BPQ，
∴∠BPO=180°−∠AOP，
∴∠PQE=∠BPQ=360°−∠BPO−∠OPQ=360°−(180°−∠AOP)−∠OPQ=180°+∠AOP−∠OPQ，
∴∠PQE+∠OPQ−∠AOP=180°；
综上所述，∠AOP，∠OPQ，∠PQE三者之间存在的数量关系为∠PQE+∠AOP−∠OPQ=90°或∠PQE+∠OPQ−∠AOP=180°；
(3)设点P、Q的运动时间为t秒，分两种情况：
①0
则OQ=2t cm，
由题意得：△OPQ的面积=12×2t×7=25，
解得：t=257；
②5≤t≤7时，点P在BC上，Q在DE上，
过P作OE的平行线交ED的延长线于G，如图5所示：
则BP=(t−5)cm，QE=(2t−10)cm，
∵OA=7cm，DE=4cm，
∴GE=OA−BP=7−(t−5)=(12−t)cm，
∴GQ=GE−QE=12−t−(2t−10)=(22−3t)cm，
∵△OPQ的面积=梯形POEG的面积−△OEQ的面积−△PQG的面积=25，
∴12×(5+10)×(12−t)−12×10×(2t−10)−12×5×(22−3t)=25，
解得：t=6；
综上所述，运动时间为257秒或6秒时，三角形OPQ的面积为25cm2． 组别
评价得分
频数
频率
A组
60≤x<70
30
0.1
B组
70≤x<80
90
n
C组
80≤x<90
m
0.4
D组
90≤x<100
60
0.2
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