2020-2021学年云南省曲靖市高一（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年云南省曲靖市高一（下）4月月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知复数z=1−2i，在复平面内，z对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 向量a→=2,−1，b→=−1,2，则2a→+b→⋅a→=( )
A.6B.5C.1D.−6

3. 如图：D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )

A.BD→+DF→+CF→=0→B.CD→−CF→+EC→=0→
C.AD→+CE→−CF→=0→D.BD→−BE→−FC→=0→

4. 已知向量a→=2,1，b→=2csα,sinα且α∈0,π，若a→//b→，则α=( )
A.π4B.3π4C.π3D.2π3

5. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinA=bcsC+ccsB，则△ABC的形状为( )

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定

6. 如图，在△ABC中， AD→=23AC→，BP→=13BD→，若AP→=λAB→+μAC→，则λμ的值为( )

A.−3B.3C.2D.−2

7. 已知向量a→=2,3，b→=−1,3，则a→在b→上的投影向量为( )
A.−12,32B.12,−32C.−714,2114D.−14,34

8. 已知向量a→=1,−2，则与a→平行的单位向量的坐标为( )
A.−255,55B.−255,55或255,−55
C.55,−255D.55,−255或−55,255

9. 已知向量a→=2,0，b→=1,2．若向量ka→−b→与a→+2b→垂直，则实数k的值为( )
A.32或−12B.32C.−12D.−32

10. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为a2+b2−c24，则C=( )
A.π2B.π3C.π4D.π6

11. 如图，一个几何体的三视图（正视图、侧视图和俯视图）为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为( )

A.πB.2πC.3πD.4π

12. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=5，c=2， sinC=23，则b=( )
A.19B.13C.3D.13或3
二、填空题

已知在△ABC中，三个内角为A，B，C，sin2A=sin2B，则△ABC是________三角形.

复数z满足(1−i)z=2i，则|z|=________.

已知向量a→，b→的夹角为60∘，|a→|=2，|b→|=1，则|a→+3b→|=________.

如图建造一个容积为16m3，深为2m，宽为2m 的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，则水池的总造价为________元．

三、解答题

已知|a→|=1，|b→|=1，且向量a→与b→不共线．
(1)若a→与b→的夹角为45∘，求(2a→−b→)⋅(a→+b→)；

(2)若向量ka→+b→与ka→−b→的夹角为钝角，求实数k的取值范围．

如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，求点E到平面ACD1的距离.


如图所示，在△ABC中，已知点D在边BC上，且∠DAC=90∘，cs∠DAB=223，AB=6.

(1)若sinC=33 ，求线段BC的长；

(2)若点E是BC的中点，AE=17，求线段AC的长．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b+4csAacsC+ccsA=0.
(1)求csA的值；

(2)若a=4，AB→⋅AC→=−32，求△ABC的周长．

已知：△ABC中，满足2c−ba=csBcsA．
(1)求角A的大小；

(2)若a=25，求△ABC面积的最大值．

设函数fx=m→⋅n→，其中向量 m→=2csx,1，n→=csx,3sin2x，x∈R．
(1)求fx 的最小正周期和单调递增区间；

(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，fA=2，a=3，b+c=3b>c ，求b，c的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年云南省曲靖市高一（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
本题主要考查复数的代数表示及其几何意义即复数z=a+bi（a,b都是实数）对应的点的坐标是（a，b）及其所在象限的判断.
在复平面内，复数z=a+bi对应的点的坐标为（a,b）,当a>0,b<0时，点（a,b）点在第四象限.
由此可判定复数z=1-2i对应的点（1，-2）所在的象限.
【解答】
解：∵复数z=1−2i的实部1>0，虚部−2<0，
∴在复平面内，z对应的点(1,−2)在第四象限.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
由题求出a→和a→⋅b→的值，即可得解2a→+b→⋅a→=2a→2+b→⋅a→=2a→2+b→⋅a→的值.
【解答】
解：∵ 向量a→=(2,−1)，b→=(−1,2)，
∴ a→=22+(−1)2=5，a→⋅b→=−2−2=−4，
∴ 2a→+b→⋅a→=2|a→|2+b→⋅a→=2×5−4=6.
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
利用向量加减运算法则逐项验证即可.
【解答】
解：A，BD→+DF→+CF→=BF→+FA→=BA→，故错误；
B，CD→−CF→+EC→=FD→+EC→=CE→+EC→=0→，故正确；
C，AD→+CE→−CF→=AD→+FE→≠0→，故错误；
D，BD→−BE→−FC→=ED→+CF→≠0→，故错误.
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
利用向量平行的性质直接求解．
【解答】
解：∵ 向量a→=2,1，b→=2csα,sinα且α∈0,π，
若a→//b→，
∴ 2sinα−2csα=0，
即tanα=1，
∵ α∈(0, π)，
∴ α=π4．
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦定理
三角形的形状判断
【解析】
根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A的值进而求得A，判断出三角形的形状．
【解答】
解：∵ asinA=bcsC+ccsB，
∴ sin2A=sinBcsC+sinCcsB=sinB+C=sinA，
∵ sinA≠0，
∴ sinA=1，
∴ A=π2，
故△ABC为直角三角形.
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
向量的三角形法则
【解析】
根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可．
【解答】
解：∵ AP→=AB→+BP→，
BP→=13BD→=13(AD→−AB→)=13AD→−13AB→
=13×23AC→−13AB→=29AC→−13AB→，
∴ AP→=AB→+(29AC→−13AB→)
=23AB→+29AC→.
又AP→=λAB→+μAC→，
∴ λ=23，μ=29，
∴ λμ=23×92=3．
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的投影
【解析】
求出向量a→和b→的数量积和向量b→的模长，得出a→在b→上的投影为12，又b→方向上的单位向量e=b→|b→|=−12,32，由|a→|cs⟨a→,b→⟩⋅e计算可得解．
【解答】
解：∵ a→=2,3，b→=−1,3，
∴ a→⋅b→=2×(−1)+3×3=1，|b→|=(−1)2+32=2，
∴ a→在b→上的投影为a→⋅b→|b→|=12，
又∵ b→方向上的单位向量e→=b→|b→|=−12,32，
∴|a→|cs⟨a→,b→⟩⋅e→=12×−12,32=−14,34.
故选D．
8.
【答案】
D
【考点】
单位向量
平行向量的性质
【解析】
利用与a→=1,−2平行的单位向量为±a→a→进行求解即可.
【解答】
解：∵ a→=1,−2，
设与a→平行的单位向量的坐标为(m,−2m)，
则m2+(−2m)2=1，
解得m=±55，
∴ 与a→平行的单位向量为 55,−255或−55,255.
故选D.
9.
【答案】
B
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量的坐标运算
【解析】
根据题意，由向量的坐标计算公式计算可得ka→−b→和a→+2b→的坐标，进而由数量积判断向量垂直的方法可得ka→−b→⋅a→+2b→=42k−1+(−2)×4=0，解可得k的值，即可得答案．
【解答】
解：∵a→=2,0，b→=1,2，
∴ka→=2k,0，2b→=2,4，
∴ka→−b→=2k−1,−2，
a→+2b→=4,4，
∵ka→−b→与a→+2b→垂直，
∴ka→−b→⋅a→+2b→
=42k−1+(−2)×4=0，
即2k−3=0，
解得k=32．
故选B．
10.
【答案】
C
【考点】
解三角形
三角形求面积
余弦定理
三角函数值的符号
【解析】
推导出S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，从而sinC=a2+b2−c22ab=csC，由此能求出结果．
【解答】
解：∵ △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,
△ABC的面积为a2+b2−c24，
∴ S△ABC=12absinC=a2+b2−c24,
∴ sinC=a2+b2−c22ab=csC.
∵ 0∴ C=π4．
故选C．
11.
【答案】
C
【考点】
由三视图求外接球问题
【解析】
三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积．
【解答】
解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S−ABCD，
其中SA⊥面ABCD，面ABCD为正方形，
将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，
所以外接球的直径2r=3，
∴ S球=4πr2=4π×34=3π．
故选C.
12.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正弦公式
【解析】
先由正弦定理asinA=csinC求得sinA的值，由同角三角函数基本关系得出csA的值，可得出b的值．
【解答】
解：∵a=5，c=2， sinC=23，
asinA=csinC，
∴sinA=asinCc=5×232=53.
∵sin2A+cs2A=1，
∴csA=±1−sin2A=±23．
①当csA=23时， 由A+B+C=π知，
sinB=sinπ−(A+C)=sin(A+C)
=sinAcsC+csAsinC
=53×53+23×23=1.
∵B∈0,π ，
∴B=π2，
∴b=a2+c2=3.
②当csA=−23时，
sinB=sinA+C
=sinAcsC+csAsinC
=53×53−23×23=19.
由 asinA=bsinB 得，
b=a⋅sinBsinA=5×1953=13.
综上所述 b=13或3.
故选D．
二、填空题
【答案】
等腰或直角
【考点】
三角形的形状判断
【解析】
由题意可得2A=2B或2A+2B=π，即可得到A=B或A+B=π2，进而得到三角形的形状.
【解答】
解：在△ABC中，三个内角为A，B，C，
sin2A=sin2B，2A，2B∈0,π，
∴ 2A=2B或2A+2B=π，
∴ A=B或A+B=π2，
∴ △ABC是等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰或直角.
【答案】
2
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知得z=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)
=2(−1+i)2=−1+i.
即|z|=(−1)2+1=2.
故答案为：2.
【答案】
19
【考点】
向量的模
平面向量数量积的运算
【解析】
因为|a→|=2，|b→|=1，且夹角为60∘，所以可求出它们的模以及数量积，欲求|a→+3b→|，只需自身平方再开方即可，这样就可出现两向量的模与数量积，把前面所求代入即可．
【解答】
解：∵ |a→|=2，|b→|=1，两向量的夹角为60∘，
∴ a→⋅b→=|a→||b→|cs60∘=1，
∴ |a→+3b→|=|a→|2+|3b→|2+6a→⋅b→=4+9+6=19.
故答案为：19.
【答案】
2880
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
利用表面积公式求解即可.
【解答】
解：∵ 容积是16m3，深2m，宽2m，
∴ 长为4m，
∴ 池底造价为4×2×120=960（元），
∴ 池壁造价为2×2×2+4×2×2×80=1920（元），
∴ 总造价为960+1920=2880（元）.
故答案为：2880．
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ a→与b→的夹角为45∘，
∴ a→⋅b→=|a→||b→|cs45∘=1×1×22=22，
∴ (2a→−b→)⋅(a→+b→)=2a→2+a→⋅b→−b→2
=2+22−1=1+22．
(2)∵ 向量ka→+b→与ka→−b→的夹角为钝角，
∴ (ka→+b→)⋅(ka→−b→)<0，且不能反向共线，
∴ k2a→2−b→2=k2−1<0，解得−1∴ 实数k的取值范围是(−1, 0)∪(0,1)．
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积的运算
【解析】
（1）由a→与b→的夹角为45∘，可得a→⋅b→=|a→||b→|cs45∘．展开(2a→−b→)⋅(a→+b→)=2a→2+a→⋅b→−b→2，代入即可得出．
（2）由向量ka→+b→与ka→−b→的夹角为钝角，可得(ka→+b→)•(ka→−b→)<0，且不能反向共线，即可得出．
【解答】
解：(1)∵ a→与b→的夹角为45∘，
∴ a→⋅b→=|a→||b→|cs45∘=1×1×22=22，
∴ (2a→−b→)⋅(a→+b→)=2a→2+a→⋅b→−b→2
=2+22−1=1+22．
(2)∵ 向量ka→+b→与ka→−b→的夹角为钝角，
∴ (ka→+b→)⋅(ka→−b→)<0，且不能反向共线，
∴ k2a→2−b→2=k2−1<0，解得−1∴ 实数k的取值范围是(−1, 0)∪(0,1)．
【答案】
解： 设点E到平面ACD1的距离为ℎ，
∵棱柱为长方体，
∴AD1=2，AC=5，CD1=5，
∴S△ACD1=12×2×322=32，S△AEC=12×1×1=12，
∵VE−ACD1=VD1−AEC，
∴13⋅S△AD1C⋅ℎ=13⋅S△AEC⋅D1D，
又D1D=A1A=1，
∴ℎ=13．
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到平面ACD1的距离．
【解答】
解： 设点E到平面ACD1的距离为ℎ，
∵棱柱为长方体，
∴AD1=2，AC=5，CD1=5，
∴S△ACD1=12×2×322=32，S△AEC=12×1×1=12，
∵VE−ACD1=VD1−AEC，
∴13⋅S△AD1C⋅ℎ=13⋅S△AEC⋅D1D，
又D1D=A1A=1，
∴ℎ=13．
【答案】
解：(1)由题意，得sin∠BAC=sin(90∘+∠DAB)
=cs∠DAB=223，
由正弦定理，得BCsin∠BAC=ABsinC，
即BC=633×223=46.
(2)由题意，得sin∠BAC=223，∠BAC为钝角，
∴ cs∠BAC=−13，
∵ 点E是BC的中点，
∴ 2AE→=AB→+AC→，
∴ 4AE→2=AB→2+AC→2+2AB→⋅AC→，
即68=36+|AC→|2+2×6×|AC→|×−13
整理，得|AC→|2−4|AC→|−32=0，
解得|AC→|=8或|AC→|=−4 （舍去），
故线段AC的长为8．
【考点】
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意，得sin∠BAC=sin(90∘+∠DAB)
=cs∠DAB=223，
由正弦定理，得BCsin∠BAC=ABsinC，
即BC=633×223=46.
(2)由题意，得sin∠BAC=223，∠BAC为钝角，
∴ cs∠BAC=−13，
∵ 点E是BC的中点，
∴ 2AE→=AB→+AC→，
∴ 4AE→2=AB→2+AC→2+2AB→⋅AC→，
即68=36+|AC→|2+2×6×|AC→|×−13
整理，得|AC→|2−4|AC→|−32=0，
解得|AC→|=8或|AC→|=−4 （舍去），
故线段AC的长为8．
【答案】
解：(1)由正弦定理可得：
sinB+4csA(sinAcsC+sinCcsA)=0，
可得sinB+4csAsin(A+C)=0，
可得sinB+4csAsinB=0.
又因为sinB≠0，
所以1+4csA=0，
所以csA=−14．
(2)因为a=4，AB→⋅AC→=bccsA=bc×−14=−32，
所以解得bc=6.
由余弦定理可得
a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−2bc(1+csA)，
即16=(b+c)2−32bc
=(b+c)2−32×6，
解得b+c=5，
所以△ABC的周长为a+b+c=4+5=9．
【考点】
两角和与差的正弦公式
余弦定理
正弦定理
平面向量数量积的运算
运用诱导公式化简求值
【解析】
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：(1)由正弦定理可得：
sinB+4csA(sinAcsC+sinCcsA)=0，
可得sinB+4csAsin(A+C)=0，
可得sinB+4csAsinB=0.
又因为sinB≠0，
所以1+4csA=0，
所以csA=−14．
(2)因为a=4，AB→⋅AC→=bccsA=bc×−14=−32，
所以解得bc=6.
由余弦定理可得
a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−2bc(1+csA)，
即16=(b+c)2−32bc
=(b+c)2−32×6，
解得b+c=5，
所以△ABC的周长为a+b+c=4+5=9．
【答案】
解：(1)∵ 2c−ba=csBcsA，
∴ (2c−b)⋅csA=a⋅csB，
由正弦定理，得(2sinC−sinB)⋅csA=sinA⋅csB，
整理得2sinC⋅csA−sinB⋅csA=sinA⋅csB．
∴ 2sinC⋅csA=sin(A+B)=sinC，
在△ABC中，sinC≠0．
∴ csA=12，
又A∈(0,π)，
∴ A=π3．
(2)由余弦定理，得csA=b2+c2−a22bc=12，a=25，
∴ b2+c2−20=bc≥2bc−20，
∴ bc≤20，当且仅当b=c时取等号，
∴ △ABC面积S=12bcsinA≤53，
∴ △ABC面积的最大值为53．
【考点】
正弦定理
求两角和与差的正弦
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
(1)把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．
(2)利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．
【解答】
解：(1)∵ 2c−ba=csBcsA，
∴ (2c−b)⋅csA=a⋅csB，
由正弦定理，得(2sinC−sinB)⋅csA=sinA⋅csB，
整理得2sinC⋅csA−sinB⋅csA=sinA⋅csB．
∴ 2sinC⋅csA=sin(A+B)=sinC，
在△ABC中，sinC≠0．
∴ csA=12，
又A∈(0,π)，
∴ A=π3．
(2)由余弦定理，得csA=b2+c2−a22bc=12，a=25，
∴ b2+c2−20=bc≥2bc−20，
∴ bc≤20，当且仅当b=c时取等号，
∴ △ABC面积S=12bcsinA≤53，
∴ △ABC面积的最大值为53．
【答案】
解：(1)向量m→=2csx,1 ， n→=csx,3sin2x，
则函数fx=m→⋅n→=2cs2x+3sin2x
=3sin2x+cs2x+1=2sin2x+π6+1，
所以函数的最小正周期为 T=2π2=π，
令 −π2+2kπ≤2x+π6≤2kπ+π2k∈Z，
解得 −π3+kπ≤x≤kπ+π6k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[−π3+kπ,kπ+π6]k∈Z．
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，fA=2，
即2sin2A+π6=1 ，解得A=π3，
又 a=3，b+c=3b>c，且 a2=b2+c2−2bccsA，
所以 bc=2，
所以b=2，c=1．
【考点】
平面向量数量积的运算
正弦函数的周期性
正弦函数的单调性
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)向量m→=2csx,1 ， n→=csx,3sin2x，
则函数fx=m→⋅n→=2cs2x+3sin2x
=3sin2x+cs2x+1=2sin2x+π6+1，
所以函数的最小正周期为 T=2π2=π，
令 −π2+2kπ≤2x+π6≤2kπ+π2k∈Z，
解得 −π3+kπ≤x≤kπ+π6k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[−π3+kπ,kπ+π6]k∈Z．
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，fA=2，
即2sin2A+π6=1 ，解得A=π3，
又 a=3，b+c=3b>c，且 a2=b2+c2−2bccsA，
所以 bc=2，
所以b=2，c=1．