2023-2024学年北京市东直门中学中考三模数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市东直门中学中考三模数学试题（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2023年我国规模以上内容创作生产营业收入累计值前三个季度分别约为6500亿元13000亿元，20000亿元，合计约39500亿元．将39500用科学记数法表示应为( )
A. 395×102B. 3.95×104C. 3.95×103D. 0.395×105
2.如图是一个由5个小正方体和1个圆锥组成的立体图形，这个立体图形的主视图是( )
A. B.
C. D.
3.如图，▵ABC经过旋转成轴对称得到△AB′C′，其中▵ABC绕点A逆时针旋转60∘的是( )
A. B.
C. D.
4.已知地面温度是20，如果从地面开始每升高1km，气温下降6，那么气温t与高度ℎ(km)的函数关系是( )( )
A. 正比例函数B. 反比例函数C. 二次函数D. 一次函数
5.实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，若a=c，则下列结论中正确的是( )
A. a+c>0B. a−b>0C. a>bD. ab>0
6.已知A−1,y1，B1,y2，C4,y3三点都在二次函数y=−x−22+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A. y17.9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数a与这9个数都不相等．把a和这9个数组成一组新的数据，下列结论正确的是( )
A. 这两组数据的平均数一定相同B. 这两组数据的方差一定相同
C. 这两组数据的中位数可能相同D. 以上结论都不正确
8.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆周上的动点(与A，B不重合)，CD⊥AB于点D，连接OC.设AD=a，BD=b，CD=ℎ，给出下面三个结论：①ℎ≤a+b2；②a−b2≤ℎ；③ℎ2=ab.上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若代数式 x+8在实数范围内有意义，x应满足的条件是 ．
10.因式分解：a3−2a2b+ab2= ．
11.方程2x−1x−2=0的解是 ．
12.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=6x的图象经过点A(2,m)和点B(−2,n)，则m+n= ．
13.已知9°的圆周角所对的弧长是π5cm，则此弧所在圆的半径是 ．
14.甲、乙、丙三位同学随机站成一排，那么甲站在中间的概率是 ．
15.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，DE= 13，则AF的长为 ．
16.有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6；把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：
①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母 的位置，标注字母d的卡片写有数字
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：4sin45∘− 8+12−2+|3−π|．
18.(本小题8分)
解不等式组：x−2≥4+3xx−119.(本小题8分)
已知m是方程x2+2x−4=0的一个根，求代数式(m+2)2+(m+3)(m−3)的值．
20.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．
(1)求证：四边形OMPN是矩形；
(2)连接AP，若AB=4，∠BAD=60∘，求AP的长．
21.(本小题8分)
如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽．
22.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(3,m).
(1)若点A，B在同一个反比例函数y1=kx的图象上，求m的值；
(2)若点A，B在同一个一次函数y2=ax+b的图象上，
①若m=2，求这个一次函数的解析式；
②若当x>3时，不等式mx−1> ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
23.(本小题8分)
某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分．
例如 A节目演出后各个评委所给分数如下：
评分方案如下：
方案一：取各位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为x=7.2+7.5+7.8+7.5+8.2+9.7+7.9+6.7+8.5+9.410=8.04．
方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为x=7.2+7.5+7.8+7.5+8.2+7.9+8.5+9.48=8.00．
回答下列问题：
(1)小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你______小乐的说法吗(填“同意”或“不同意”)？理由是______；
(2)小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”：先计算1至4号评委所给分数的平均数x1=7.5，5至10号评委所给分数的平均数x2=8.4，再根据比赛的需求设置相应的权重(f1表示专业评委的权重，f2表示大众评委的权重，且f1+f2=1).
如：当f1=0.7时，则f2=1−0.7=0.3.该节目的得分为x=f1x1+f2x2=0.7×7.5+0.3×8.4=7.77．
Ⅰ.当按照“方案三”中f1=0.8评分时，A节目的得分为______；
Ⅱ.关于评分方案，下列说法正确的有______．
①当f1=0.3时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高；
②当f1=0.5时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；
③当f1>0.4时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性．
24.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG=AG，连接AC．

(1)求证：AC/​/DF；
(2)若AB=12，求AC和GD的长．
25.(本小题8分)
中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下：
a.探究活动在同一社团活动室进行，室温25；
b.经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用95的水冲泡，等茶水温度降至60饮用，口感最佳；某种绿茶用85的水冲泡，等茶水温度降至60饮用，口感最佳；
c.同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x(单位：min)，普洱茶茶水的温度为y1(单位： )，绿茶茶水的温度为y2(单位：C。C).记录的部分数据如下：
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
(1)可以用函数刻画y1与x、y2与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出y1与x的函数图象，请画出y2与x的函数图象；
(2)探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________min时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________C。C⁡(结果保留小数点后一位)；
(3)探究活动中，当普洱茶茶水的温度为90时，再继续放置6min，测得其温度为m，则m__________60(填“>”“=”或“﹤”)．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xy中，抛物线y=ax2−2a2xa≠0．
(1)当抛物线过点2,0时，求抛物线的表达式；
(2)求这个二次函数的对称轴(用含a的式子表示)；
(3)若抛物线上存在两点Aa−1,y1和Ba+3,y2，当y1⋅y2<0，求a的取值范围．
27.(本小题8分)
在▵ABC中，∠C=90°，AC>BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
(1)如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a,BF=b，求EF的长(用含a,b的式子表示)；
(2)当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
28.(本小题8分)
对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A、B两点，使▵ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90∘，我们则称点C为图形G的“东中点”．
(1)已知点O0,0，M4,0，在点C10,4，C21,4，C32,−1中，线段OM的“东中点”是______；
(2)直线y=−x+m分别交x轴、y轴于P、Q两点，若点C3,2为线段PQ的“东中点”，求m的取值范围；
(3)已知直线y=−x+n分别交x轴、y轴于P、Q两点，若线段PQ上存在半径为2的⊙O的“东中点”，直接写出n的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.D
5.C
6.B
7.A
8.C
9.x≥−8
10.a(a−b)2
11.x=4
12.0
13.2cm
14.13
15.53
16.B
4

17.解：原式=4× 22−2 2+4+π−3
=2 2−2 2+4+π−3
=π+1．

18.x−2≥4+3x①x−1解不等式①，得x≤−3；
解不等式②，得x<2，
所以不等式组的解集是x≤−3．

19.解：原式=m2+4m+4+m2−9
=2m2+4m−5，
∵m是方程x2+2x−4=0的一个根，
∴m2+2m−4=0，
∴m2+2m=4，
则原式=2(m2+2m)−5
=2×4−5
=3．
20.(1)∵P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．
∴PM//OC，PN//OD．
∴四边形OMPN是平行四边形．
∵在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，
∴∠COD=90∘．
∴四边形ONPN是矩形．
(2)∵四边形OMPN是矩形，
∴∠PNO=90∘．
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC平分∠BAD．
∵AB=AD=4，∠BAD=60∘，
∴△ABD是等边三角形．
∴BD=4．
∴OB=OD=2，由勾股定理得：OC=OA=2 3．
∴PN=1，ON= 3．
∴AN=3 3．
∴在Rt△PAN中，由勾股定理得：AP= AN2+PN2= 27+1=2 7．

21.解：设车道宽度为x米，
根据题意得：(30−x)(19−x)=390，
整理得：x2−49x+180=0，
解得：x1=4，x2=45(不符合题意，舍去)，
答：车道的宽为4米．

22.解：(1)把A1,4代入y1=kx，
∴k=1×4=4,
把B3,m代入y1=4x，
∴m=43,
(2)①当m=2,则B3,2,
把A1,4,B3,2代入y2=ax+b中，
∴a+b=43a+b=2,
解得：a=−1b=5,
∴ 这个一次函数的解析式为y=−x+5.
②当03时，不等式mx−1>ax+b始终成立，
所以直线y=mx−1过B,B1符合题意，过B2不符合题意，
∵B3,m,B13,3m−1,
∴m≤3m−1,
∴m≥12,
所以：12≤m<4；
当m≤0,如图，由3m−1此时B1始终在B的下方，所以，此时不符合题意，舍去，

当m≥4时， 此时3m−1>m,
如图，即B1始终在B的上方，

所以：当m≥4时，满足x>3时，不等式mx−1>ax+b始终成立，
综上：m≥12.

23.(1)解：同意小乐的说法，理由是：评委的评分常带有主观性，去掉最高分和最低分，能够使评分更具公平性．
(2)解：I.∵x1=7.5，x2=8.4，f1=0.6，f2=1−0.6=0.4，
∴x=f1x1+f2x2=0.6×7.5+0.4×8.4=7.86，
∴A节目的得分为：7.86；
Ⅱ.①当f1=0.3时，A节目按照“方案三”评分的结果==0.3×7.5+0.7×8.4=8.13，比“方案一”和“方案二”都高，故原说法正确；
②当f1=0.5时，A节目按照“方案三”的评分结果=0.5×7.5+0.5×8.4=7.95，与“方案一”的评分结果不一样，故原说法错误；
③当f1=0.4时，A节目按照“方案三”的评分结果0.4×7.5+0.6×8.4=8.04，与“方案一”的评分结果一样；
当f1>0.4时，说明专业评委的权重占比大于大众评委的权重，即“方案三”评分更注重节目的专业性，故原说法正确；
综上所述：①③正确．

24.(1)证明：∵AG=CG，
∴∠DCA=∠CAF，
∵CF=CF，
∴∠CAF=∠CDF，
∴∠ACD=∠CDF，
∴AC/​/DF；
(2)解：如图，连接CO，

∵AB⊥CD，
∴AC=AD，CE=DE，
∵∠DCA=∠CAF，
∴AD=CF，
∴AC=AD=CF，
∴∠AOD=∠AOC=∠COF，
∵DF是直径，
∴∠AOD=∠AOC=∠COF=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=AO=6，∠CAO=60°，
∵CE⊥AO，
∴AE=EO=3，∠ACD=30°，
∴CE=3 3=DE，
∵AG2=GE2+AE2，
∴AG2=(3 3−AG)2+9，
∴AG=2 3，
∴GE= 3，
∴DG=4 3．
25.(1)解：依题意，得y2与x的函数图象，如图所示：
(2)解：∵某种普洱茶用95的水冲泡，等茶水温度降至60饮用，口感最佳；某种绿茶用85的水冲泡，等茶水温度降至60饮用，口感最佳；且结合函数图象
∴绿茶茶水降至60饮用，大概时间轻为5.5min，其饮用口感最佳，
此时普洱茶茶水的温度约为66.0(结果保留小数点后一位)；
故答案为：5.5；66.0．
(3)解：∵某种普洱茶用88.5的水冲泡，放置6min，此时测得其温度为接近60.360.3>60，
∴当普洱茶茶水的温度为90时，再继续放置6min，测得其温度为m，则m>60
故答案为：>．

26.(1)解：∵抛物线过点2,0，
∴0=4a−4a2，
解得：a=1或a=0(舍去)；
∴y=x2−2x；
(2)解：抛物线的对称轴为：x=−−2a22a=a；
(3)解：y=ax2−2a2x=axx−2a，
当y=0时，0=axx−2a，解得：x1=0,x2=2a；
①当a>0时：∵y1⋅y2<0，
如图，
或
则：02a或a−1<0a解得：1∴1②当a<0时：∵y1⋅y2<0，
如图，
或
则：a−1<2aa0,
解得：无解或−3∴综上：1
27.(1)∵D是AB的中点，E是线段AC的中点
∴DE为▵ABC的中位线，且CE=AE=a
∴DE//BC，DE=12BC
∵∠C=90∘
∴∠DEC=180∘−∠C=90∘
∵DF⊥DE
∴∠EDF=90∘
∴四边形DECF为矩形
∴DE=CF
∴CF=12BC=12(BF+CF)
∴CF=BF=b
则在Rt▵CEF中，EF= CE2+CF2= a2+b2；
(2)过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG
∵BG//AC
∴∠EAD=∠GBD，∠DEA=∠DGB
∵D是AB的中点
∴AD=BD
在▵EAD和▵GBD中，∠EAD=∠GBD∠DEA=∠DGBAD=BD
∴▵EAD≅▵GBD(AAS)
∴ED=GD，AE=BG
又∵DF⊥DE
∴DF是线段EG的垂直平分线
∴EF=FG
∵∠C=90∘，BG//AC
∴∠GBF=∠C=90∘
在Rt▵BGF中，由勾股定理得：FG2=BG2+BF2
∴EF2=AE2+BF2．


28.(1)解：如图所示，由题意知，OC1=OM=4,∠C1OM=90∘，故▵C1OM是等腰直角三角形，满足题意；
过C2作C2A⊥OM于A，AM=3,OA=1,C2A=4，▵C2AM、▵C2AO均不是等腰直角三角形，则C2不符合题意；
过C3作C3B⊥OM于B，则BC3=AB=1,∠C3BA=90∘，故△C3AB是等腰直角三角形，满足题意；
综上，满足题意点有C1、C3；
故答案为：C1、C3；

(2)解：对于直线y=−x+m，令y=0，得x=m；令x=0，得y=m；
即P(m,0)、Q(0,m)，
∴OP=OQ，
∴∠OPQ=45∘；
显然直线PQ经过点C时，此时2=−3+m，即m=5时，不满足题意；
当直线PQ在C点上方时，如图，过点C作CB⊥PQ于B，延长BC交x轴于H，
则∠BHP=∠OPQ=45∘，
∴BH=BP，
∴△BPH为等腰直角三角形，且BH>BC，
故在线段PQ上必存在点A，使得∠ABC=90∘,AB=BC；
把x=3,y=2代入y=−x+m中，得m=5，
所以m>5；

当直线PQ在C点下方时，如图，过点C作CB⊥PQ于B，延长CB交x轴于H，
则BQ≥BC时，符合题意；

当直线PQ过点H时，BQ=BC，如图，
此时OB=3−2=1，即B(1,0)，
把B点坐标代入y=−x+m中，得m=1，
即1≤m<5；
综上，1≤m<5或m>5；

(3)解：考虑n>0时的情况；
当直线PQ与⊙O切于点C时，如图，∠ACB=45∘，∠ABC=90∘，

符合题意，此时∠QCB=45∘，
∴QC=OC=2，
由勾股定理得：OQ=2 2，
故n=2 2；
以AD为直径，构造等腰直角三角形ABP，此时为n的最大值，
由题意，OP是线段AD的垂直平分线，则∠DPO=∠APO=12×45∘=22.5∘，
∵∠QPO=45∘，
∴∠DPQ=12×45∘=22.5∘，
∴DP平分∠OPQ；
过点D作DM⊥PQ于M，则DM=DO=2，∠MQD=∠QDM=45∘，
∴DM=QM=OD=2，
∴DQ= DM2+QM2=2 2，
∴OQ=OD+DQ=2+2 2，
即n=2+2 2；

综上，当n>0时，n的取值范围为2 2≤n≤2+2 2；
当n=0时，不符合题意，
当n<0时，与n>0的情况对称，n的取值范围为−2−2 2≤n≤−2；
综上，n的取值范围为−2−2 2≤n≤−2或2 2≤n≤2+2 2．
评委编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
评分/分
7.2
7.5
7.8
7.5
8.2
9.7
7.9
6.7
8.5
9.4
x
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
y1
95.0
88.5
82.6
77.2
72.4
68.0
64.0
60.3
57.1
54.1
51.4
y2
85.0
79.5
74.5
70.0
65.8
62.0
58.6
55.5
52.7
50.2
47.9