四川省平昌中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份四川省平昌中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A.单位向量都相等B.若,则
C.零向量没有方向D.模为0的向量与任意非零向量共线
二、选择题
2．已知复数,则z对应的点Z在复平面的( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
三、选择题
3．化简( )
A.B.C.D.
四、选择题
4．设的内角A,B,C对边分别为a,b,c,若,,,则A的值可以是( )
A.B.C.D.或
五、选择题
5．已知向量,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
六、选择题
6．在中,已知,则的形状是( )
A.等边三角形B.直角三用形C.等腰或直角三角形D.等腰三角形
七、选择题
7．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则其最大角为( )
A.B.C.D.
八、选择题
8．已知点G为的重心,D,E分别是,边上一点,D,G,E三点共线,F为的中点,若,则的最小值为( )
A.6B.7C.D.
九、多项选择题
9．设复数,则( )
A.z的实部为B.C.z的虚部为D.
一十、多项选择题
10．下列结论正确的是( )
A.若,为非零向量,且,则与共线
B.若,,则或
C.若,,则
D.已知,为单位向量,若,则在上的投影向量为
一十一、多项选择题
11．设向量,,若与的夹角为锐角,则实数t的值可能是( )
A.-5B.3C.6D.9
一十二、多项选择题
12．对于,有如下判断,其中正确的判断是( )
A.若,,则
B.若,,则符合条件的有两个
C.若点P为所在平面内的动点,且,,则点P的轨迹经过的垂心
D.已知O是内一点,若,,分别表示,的面积,则
一十三、填空题
13．已知为纯虚数,则____________．
一十四、填空题
14．中,若,,则_____________.
一十五、填空题
15．在锐角中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量,且,若,,则的面积为_______________．
一十六、填空题
16．如图,在矩形中,,,点E,F分别在线段,上,且,则的最小值为_____________．
一十七、解答题
17．回答下列问题
（1）已知：,求;
（2）计算：．
一十八、解答题
18．已知向量与的夹角为60°,＝1,．
（1）求及;
（2）求.
一十九、解答题
19．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,,．
（1）求的面积;
（2）求边长c及的值．
二十、解答题
20．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知．
（1）求角B的大小;
（2）若,求周长的最大值．
二十一、解答题
21．在直角梯形ABCD中,已知,,,点F是BC边上的中点,点E是CD边上一个动点.
（1）若,求的值;
（2）求的取值范围.
二十二、解答题
22．定义非零向量的“相伴函数”为,向量称为为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．
（1）求的“相伴向量”;
（2）求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围;
（3）当向量时,其“相伴函数”为,若,方程存在4个不相等的实数根,求实数a的取值范围．
参考答案
1．答案：D
解析：对于A,单位向量的方向不一定相同,故单位向量不一定相等,故A错误;
对于B,取非零向量,此时满足,但不成立,故B错误．
对于C,零向量有方向,其方向任意,故C错误;
对于D,模为0的向量为零向量,零向量与任意非零向量共线,故D正确;
故选：D．
2．答案：C
解析：因为,
所以z对应的点Z在复平面的第三象限,
故选：C.
3．答案：D
解析：由题意可得：.
故选：D.
4．答案：A
解析：由正弦定理得,即,
解得,
因为,所以,
所以.
故选：A.
5．答案：B
解析：由题意,,则,
而或,
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6．答案：D
解析：因为,
所以
由,,知,,
所以,即.
故选：D.
7．答案：C
解析：设,则,,
,最大,
,,.
故选：C.
8．答案：A
解析：由点G为的重心,F为的中点知,
,
所以,
因为D,G,E三点共线,D,E分别是,边上一点,
所以,即,
,
当且仅当,即,时等号成立,
故选：A.
9．答案：AB
解析：因为,
所以z的实部为,虚部为,,,
故选：AB.
10．答案：ABD
解析：对于选项A,因为,即的单位方向向量相等,所以与共线,所以选项A正确;
对于选项B,因为,,由数乘向量的定义可知,或,所以选项B正确;
对于选项C,当,有,,但与不一定共线,所以选项C错误;
对于选项D,因为,为单位向量,若,
所以在上的投影向量为,所以选项D正确,
故选：ABD.
11．答案：BC
解析：,则.
当与同向时,,由于与的夹角为锐角,则且
故选：BC.
12．答案：ACD
解析：由正弦定理知,
所以可得,由可得,故A正确;
由正弦定理可知,即,解得,
又,所以,故A只有一解,所以三角形一解,故B错误;
因为
,所以,所以点P的轨迹经过的垂心,故C正确;
因为,所以,
设,的中点分别为E,D,如图,
则,即,所以,故D正确.
故选：ACD.
13．答案：-1
解析：因为为纯虚数,
所以,即,
故答案：-1.
14．答案：-4
解析：在中,,,
则,
又,的夹角为,
所以,
故答案为：-4.
15．答案：
解析：由可得,
由正弦定理可得,
由,所以,
又,所以,
所以为正三角形,.
故答案为：.
16．答案：
解析：设,则,
故,,
故
,
当,时,,即时,
此时取最小值.
故答案为：．
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）因为,
所以.
（2）
.
18．答案：（1）,1;
（2）.
（1）由题设,则
（2）由,
所以.
19．答案：（1）
（2）,
解析：（1）由,且,
则,
所以．
（2）由,
则,
又,则．
20．答案：（1）
（2）6
解析：（1）因为,由正弦定理可得,
整理得,
由余弦定理可得,
且,所以.
（2）由（1）可知：,整理得,即,
因为,当且仅当时,等号成立,
则,可得,即,
所以周长的最大值为.
21．答案：（1）2;
（2）.
解析：（1）由图知：,,
所以,
所以,
又,,,
所以.
（2）由（1）知：,
令且,则,,
所以
.
则.
22．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）
,
所以函数的“相伴向量”.
（2）,
,,
的取值范围为;
（3）,
当时,,
由,得：,
∴或,
由,即,而,解得或,
即在上有两个根,
方程在上存在4个不相等实数根,
当且仅当且在上有两个不等实根,
在同一坐标系内作出函数在上的图象和直线,如图,
方程在上有两个不等实根,
当且仅当函数在上的图象和直线有两个公共点,
观察图象知：或,
解得或,
所以实数a的取值范围是.