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    四川省巴中市平昌县第二中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题(原卷版+解析版)
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    四川省巴中市平昌县第二中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题(原卷版+解析版)

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    (考试时间:120分钟,满分:150分)
    一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1. 如图,函数y=f(x)在区间[1,3]上的平均变化率是( )
    A. 1B. -1C. 2D. -2
    【答案】B
    【解析】
    2. 已知函数(是的导函数),则( )
    A. 1B. 2C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据导数的求导法则,求导代入即可求解.
    【详解】对求导可得,
    所以,所以,
    故选:C
    3. 设函数在上可导,其导函数的图像如图所示,则( )
    A. 函数有极大值B. 函数有极大值
    C. 函数的单调递增区间为D. 函数的单调递增区间为
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据题意,由导函数的图像,即可判断.
    【详解】由图像可知,时,,则单调递增,故CD错误;
    时,,则单调递减,
    所以时,有极大值,故B正确,A错误;
    故选:B
    4. 已知数列满足,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】当,两式做差整理求解即可.
    【详解】因为,
    当,两式做差得:

    故,当,,符合;故.
    故选:D
    5. 函数在区间上的最小值,最大值分别为( )
    A. 0,B. 0,C. , D. ,
    【答案】C
    【解析】
    【分析】借助导数研究函数的单调性即可得其最值.
    【详解】,
    则当时,,当时,,
    故在上单调递增,在上单调递减,
    故有最大值,
    又,,
    故的最小值为.
    故选:C.
    6. 若A,B,C,D,E,F六人站队照相,要求A、B相邻且C、D不相邻,则所有不同的站法有( )
    A. 36B. 72C. 108D. 144
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据相邻元素的捆绑法与不相邻元素的插空法即可得不同的站法数.
    【详解】由于A、B相邻捆绑再一起有种方法,
    再与E,F一起安排有种方法,最后插空安排不相邻的C、D有种方法,
    根据分步乘法计数原理可得所有不同的站法有种.
    故选:D.
    7. 若函数存在单调递减区间,则实数的取值范围为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】利用导数与函数单调性的关系将问题转化为在上有解问题,再构造函数,利用导数求得其最小值,从而得解.
    【详解】因为存在单调递减区间,
    所以在上有解,即在上有解,
    令,则,令,解得(负值舍去),
    当时,单调递减;
    当时,单调递增;
    所以,故,
    故选:A.
    8. 设,则( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】构造函数,利用函数单调性确定大小,通过作差,判断正负即可确定大小即可.
    【详解】设,则,得,
    则在上单调递增,在上单调递减,
    ,则,
    又,得,
    所以,
    故选:A
    二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
    9. 下列命题正确的有( )
    A. 已知函数在上可导,若,则
    B.
    C. 已知函数,若,则
    D. 设函数的导函数为,且,则
    【答案】CD
    【解析】
    【分析】根据导数定义可判断A的正误,根据导数的四则运算可判断BD的正误,根据复合函数的导数的运算规则可判断C的正误.
    【详解】对于A,,故A错误.
    对于B,,故B错误.
    对于C,,若,则即,故C正确.
    对于D,,故,故,故D正确.
    故选:CD.
    10. 如图是导函数的图象,则下列说法正确的是( )
    A. 为函数的单调递增区间
    B. 为函数的单调递减区间
    C. 函数在处取得极大值
    D. 函数在处取得极小值
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】根据时,,即可判断A,B;利用导数的正负与函数极值之间的关系,即可判断C,D.
    【详解】对于A,B,当 时,,故为函数的单调递增区间,故A正确,B错误;
    对于C,当时,,当时,,故是函数的极大值点,故C正确;
    对于D,当时,,当时,,故是函数的极小值点,故D正确.
    故选:ACD.
    11. 已知椭圆:的两个焦点分别为,,是C上任意一点,则( )
    A. 的离心率为B. 的周长为12
    C. 的最小值为3D. 的最大值为16
    【答案】BD
    【解析】
    【分析】首先分析题意,利用椭圆性质进行逐个求解,直接求出离心率判断A,利益椭圆的定义求出焦点三角形周长判断B,举反例判断C,利用基本不等式求最大值判断D即可.
    【详解】由椭圆得
    则所以,故A错误;
    易知的周长为故B正确;
    当在椭圆长轴的一个端点时,取得最小值,最小值为,故C错误;
    由基本不等式得,当且仅当时取等,
    则取得最大值16,故D正确.
    故选:BD.
    12. 已知函数,则下列选项正确的是( )
    A. 在上单调递增
    B. 恰有一个极大值
    C. 当时,无实数解
    D. 当时,有三个实数解
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】分类讨论去掉绝对值符号后求导数确定单调性、极值判断AB,利用极值判断方程的实根个数判断C,利用数形结合思想判断D.
    【详解】对于A,当时,,当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.当时,,在上单调递增,A错误;
    对于B,由以上讨论知是的极大值点,B正确;
    对于C,当时,,当时,,所以当时,无实数解,C正确;
    对于D,当时,,由以上讨论知当时,.而,作出的大致图象如图所示.如图可知,有三个实数解,所以有三个实数解,D正确.
    故选:BCD.
    三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
    13. 已知函数在处取得极值5,则____.
    【答案】
    【解析】
    【分析】求得,结合题意,列出方程组,求得的值,即可求解.
    【详解】由函数,可得,
    因函数在处取得极值,可得,
    解得,所以.
    故答案为:.
    14. 一次下乡送医活动中,某医院要派医生和护士分成3组到农村参加活动,每组1名医生和1名护士,则医生不和护士分到同一组概率为__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用列举法求解即可.
    【详解】由题意可知:不同分组有:、、
    、、、,共6种,
    医生不和护士分到同一组有4种,则所求概率为.
    故答案为:.
    15. 3名男生,4名女生,全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端的站法有_____种.
    【答案】3720
    【解析】
    【分析】解法一,对特殊元素进行分类,结合排列数公式,即可求解;解法二,采用间接法,和排列数公式,即可求解;解法三,特殊位置优先法,列式求解.
    【详解】解法一(特殊元素优先法):按甲是否在最右端分两类:
    第一类:甲在最右端时有 (种)
    第二类:甲不在最右端时,甲有个位置可选,而乙也有个位置,而其余全排
    有 (种)
    故 (种).
    解法二(间接法):
    无限制条件的排列数共有,
    而甲在左端或乙在右端的排法都有,且甲在左端且乙在右端的排法有
    故 (种).
    解法三(特殊位置优先法):按最左端优先安排分步.
    对于左端除甲外有种排法,余下六个位置全排有,但减去乙在最右端的排法种,
    故(种).
    16. 已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据题意,构造函数,分与讨论,然后转化为恒成立,代入计算,即可得到结果.
    【详解】构造函数,其定义域为,
    则,
    当时,单调递增,不可能恒成立;
    当时,令,得或(舍去).
    当时,;
    当时,,故在上有最大值,
    由题意知恒成立,即,
    令,则在上单调递减,且,
    故成立的充要条件是.
    故答案为:
    四、解答题(本大题共6小题,第17题10分,第18-22题每题12分,共70分,解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤)
    17. 已知函数在处的切线垂直于直线.
    (1)求.
    (2)求的单调区间.
    【答案】(1);(2)在内单调递减,在内单调递增.
    【解析】
    【分析】(1)由题意求导可得,代入可得(1),从而求,进而求切线方程;
    (2)的定义域为,,从而求单调性.
    【详解】解:(1)因为在处切线垂直于,
    所以

    (2)因为的定义域为

    当时,
    当时,
    在内单调递减,在内单调递增.
    【点睛】本题考查导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性,属于基础题.
    18. 设抛物线,F为C的焦点,过F的直线l与C交于A,B两点.
    (1)若l的斜率为2,求的值;
    (2)求证:为定值.
    【答案】(1)5 (2)证明见解析
    【解析】
    【分析】(1)联立直线与抛物线方程,利用焦点弦长公式,即可求解;
    (2)首先设直线方程为,联立直线与抛物线方程,并利用韦达定理表示,即可求解.
    【小问1详解】
    过点,且直线的斜率为2的直线为,
    设,,
    联立,得,,

    【小问2详解】
    设过点的直线,

    联立,得,,
    则,
    .
    19. 已知函数.
    (1)若,求曲线在处的切线方程;
    (2)若,求实数的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据导数的几何意义,结合导数的运算性质、直线的点斜式方程进行求解即可;
    (2)对不等式进行常变量分离,构造函数,利用导数研究函数的最值即可.
    【小问1详解】

    因此,而,
    故所求切线方程为,即;
    【小问2详解】
    依题意,,故对任意恒成立.
    令,则,
    令,解得.
    故当时,单调递增;
    当时,单调递减,
    则当时,取到极大值,也是最大值2.
    故实数的取值范围为.
    20. 已等差数列的前项和为,且.
    (1)求数列的通项公式及;
    (2)若,令,求数列的前项和.
    【答案】(1),
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)设等差数列的公差为,根据条件,建立与的方程组,求得,即可求出结果;
    (2)根据条件,利用错位相减法,即可求出结果.
    【小问1详解】
    设等差数列的公差为,
    因为,得到①,由,得到②,
    由①②得到,所以数列的通项公式为,.
    【小问2详解】
    由(1)知,所以,
    所以③,
    ③得④,
    由③④得到,
    整理得到.
    21. 如图,在四棱锥中,底面为正方形,,平面平面,,是的中点,作交于.

    (1)求证:平面;
    (2)求二面角的正切值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)连接交于点,由中位线性质可得,根据线面平行的判定可得结论;
    (2)由面面垂直性质可得平面,以为坐标原点建立空间直角坐标系,令,结合可构造方程求得,进而得到点坐标,利用二面角的向量求法可求得余弦值,进而得到正切值.
    【小问1详解】
    连接交于点,连接,

    四边形为正方形,为中点,又为中点,,
    平面,平面,平面.
    【小问2详解】
    ,平面平面,平面平面,平面,
    平面,又,
    以为坐标原点,正方向为轴正方向,可建立如图所示空间直角坐标系,

    则,,,,,
    ,,,
    设,则,,
    ,,解得:,
    ,,,
    设平面的法向量,
    则,令,解得:,,;
    轴平面,平面的一个法向量,
    由图形可知:二面角为锐二面角,设其为,
    则,,
    即二面角的正切值为.
    22. 已知函数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)当时,证明:当时,.
    【答案】(1)答案见解析
    (2)证明见解析
    【解析】
    【分析】(1)利用导数与函数单调性的关系,分类讨论即可得解;
    (2)构造函数,利用二次导数,结合函数的最值情况,证得,从而得证.
    【小问1详解】
    因为的定义域为,
    所以,
    当时,恒成立,所以在上单调递增;
    当时,令,得,
    当时,单调递减,
    当时,单调递增,
    综上,当时,在上单调递增;
    当时,在上单调递减,在上单调递增.
    【小问2详解】
    当时,,
    令,则,
    令,则,
    因为,所以,
    所以当时,恒成立,所以在上单调递减,
    即上单调递减,所以,
    所以在上单调递减,
    所以,即.
    【点睛】结论点睛:恒成立问题:
    (1)恒成立;恒成立.
    (2)恒成立;恒成立.
    (3)恒成立;恒成立;
    (4),,.
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