四川省平昌县第二中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

2023学年度第一次月考高二（上）数学试题

（考试时间：120分钟，满分：150分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．直线的倾斜角为（　 ）

A． B． C． D．不存在

2．下列向量中，与向量，平行的是（    ）

A．          B．        C．    D．

3．若，，，则事件与的关系是（    ）

A．事件与互斥 B．事件与对立

C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立

4．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：

192  907  966  925  271  932  812  458  569  683  

257  393  127  556  488  730  113  537  989  431

据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（　　）.

A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75

5．如图，在三棱柱中，分别是，的中点，，则（    ）

A．            B．

C．           D．

6．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．已知向量，，，若，，共面，则（    ）

A．4 B．2 C．3 D．1

8．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．在下列四个命题中，正确的是（    ）

A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0

B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为

C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大

10．在空间直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，则（    ）

A．点关于轴对称点的坐标    B．点关于平面的对称点坐标为

C．点到原点的距离是               D．直线与轴所在直线夹角的余弦值为

11．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率，从两袋各摸出一个球，则（    ）

A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为

C．2个球至多有一个红球的概率为 D．2个球中至少有1个红球的概率为

12．如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的菱形，且，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知点，在直线上，则直线的斜率的大小为            .

14.已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为            .

15．杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》的概率是              ．

16．如图，在棱长为4的正方体中，E为BC的中点，

点P在线段上，点Р到直线的距离的最小值为             .

四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知坐标平面内三点，，．

(1)求直线AC的倾斜角；

(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围．

18．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有道不同的题目，其中选择题道，判断题道，甲、乙两人各抽一道（不重复）．

(1)甲抽到选择题且乙抽到判断题的概率是多少？

(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

19．甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定；两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙每人面试合格的概率都是，且三人面试是否合格互不影响．求：

(1)恰有一人面试合格的概率；

(2)至多一人签约的概率．

20．如图，在正方体中，分别是的中点．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；

(2)求点到平面的距离．

21．2023 U. I. M. F1摩托艇世界锦标赛中国郑州大奖赛于2023年4月29日~30日在郑东新区龙湖水域举办．这场世界瞩目的国际体育赛事在风光迤逦的龙湖上演绎了速度与激情，全面展示了郑州现代化国家中心城市的活力与魅力．为让更多的人了解体育运动项目和体育精神，某大学社团举办了相关项目的知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中成绩的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值代替）；

(2)若先采用分层抽样的方法从成绩在，的学生中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人为赛事志愿者，求这2名志愿者中至少有一人的成绩在的概率．

22．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点.

(1)求直线与平面所成角的大小；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

2023学年度第一次月考高二（上）数学试题

参考答案：

1．C  【详解】因为直线与x轴垂直，所以直线的倾斜角为.

2．C

【详解】对于A，因为，所以两向量不平行；对于B，因为，所以两向量不平行；

对于C，因为，所以两向量平行；对于D，因为，所以两向量不平行.

3．C    【详解】∵，∴，

∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.

4．D

【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为

5．D

【详解】如下图所示：

首先有，一方面：由，所以，又是的中点，

所以 ， 所以；

另一方面：，且注意到分别是，的中点，

所以.

因此.

6．D

【详解】记甲是通过飞沫传播被感染为事件，乙是通过飞沫传播被感染为事件，，

甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为：．

7．D     【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，

即，即，解得．

8．C

【详解】设甲、乙、丙三人用，由题意可知：传球的方式有以下形式，

，所求概率为.

9．AB    【详解】当时，其斜率，所以A正确；

根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以 B正确；

若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，且. ，故C不正确；

直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确；

10．BCD

【详解】对于A，点关于轴对称点的坐标，错误；

对于B，点关于平面的对称点坐标为，正确；

对于C，点到原点的距离是，正确；

对于D，直线的方向向量为，轴所在直线的方向向量为，

所以直线与轴所在直线夹角的余弦值为，正确.

11． AB

【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为A，从乙袋中摸出一个红球的事件为B，则，，A，B相互独立，

2个球都是红球的事件为AB，则有，A正确；

2个球中恰有1个红球的事件为，则，B正确；

2个球至多有一个红球的事件的对立事件为AB，故2个球至多有一个红球的概率为，故C错误；

至少有1个红球的事件的对立事件是，则，所以至少有1个红球的概率为，故D错误.

 12．BD

【详解】因为底面ABCD，所以垂直于平面内的任何一条直线，

因为四边形ABCD是边长为1的菱形，且，所以和是等边三角形，

A. ，故A错误；

B. ，故B正确；

C.

，故C错误；

D. ，故D正确.

13．1    【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，

因为，所以，故答案为：1.

14. 60° 解析　∵＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)，∴||＝3，||＝，·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cos〈，〉＝＝，∵〈，〉∈[0°，180°]，∴〈，〉＝60°.

15．   【详解】将《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》分别记为a、b、c，《新婚别》《无家别》《垂老别》分别记为d、e、f，

从“三吏”中选两篇，从“三别”中选一篇的样本空间为，共9个样本点，

记事件A为“语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》”，则，共2个样本点，故，

16．/

【详解】在正方体中，建立如图所示的直角坐标系，则，

，

因点P在线段上，则，，

，向量在向量上投影长为，

而，则点Р到直线的距离

，当且仅当时取“=”，

所以点Р到直线的距离的最小值为.

17．(1)，，，直线AB的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为．(2)

（2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时由增大到，所以的取值范围为，即直线CD的倾斜角的取值范围为．

18．2．(1)   (2)

【详解】（1）解：记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件，

记两道选择题分别为、，两道判断题分别为、，

所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共种，其中事件包含的基本事件有：、、、，共种，

由古典概型的概率公式可得.

（2）解：记事件甲、乙二人中至少有一人抽到选择题，

则事件包含的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，由古典概型的概率公式可得.

19．(1)(2)

【详解】（1）记事件A：甲面试合格，

事件B：乙面试合格,事件C：丙面试合格,事件D：恰好有一人面试合格

依题意，事件A、B、C相互独立.

（2）至多一人签约包括甲签约乙丙没有签约、三人都没有签约两种情况，

事件F：甲签约乙丙没有签约，事件G：三人都没有签约，事件E：至多一人签约，

因为F与G互斥，所以，，

，，所以至多一人签约的概率为．

20．1．(1)(2)

【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则，

 ，

所以直线与所成角的余弦值为；

（2）设平面的法向量为，

则得取，则，得平面的一个法向量为，

所以点到平面的距离为．

21．(1)平均数73，中位数(2)

【详解】（1）由频率分布直方图中数据知：平均成绩

.

设中位数为，则，解得.

（2）因为成绩在的学生人数所占比例为，

所以从成绩在的学生中应分别抽取4人，2人，

记抽取成绩在的4人为：，抽取成绩在的2人为：，

从这6人中随机抽取2人的所有可能为：，，共15种，

抽取的2名学生中至少有一人的成绩在的是

，，只有9种，

故做培训的这2名学生中至少有一人的成绩在的概率

22．(1)证明见解析(2)60°(3)

【详解】

（1）设是的中点，连接，∵是正方形，为正三角形，∴.又∵面面，交线为，∴平面.

以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，

∴，，

设平面的法向量为，则，令.则，得.设直线与平面所成角为，

∴，即直线与平面所成角的正弦值，故所求角大小为60°.

（2）由（2）可知，设平面的法向量为，则

，令.则，，.

设面与面夹角为，∴，∴面与面夹角的余弦值为.