安徽省皖东南初中四校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份安徽省皖东南初中四校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解方程时．变形结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．三边的边长比为B．三边边长的平方比为
C．三个内角度数比为D．三个内角度数比为
5．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．B．
C．D．
6．将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在中，将折叠，使点 B 恰好落在边 上，与点重合， 为折痕，则的长为（ ）
A．B．C． D．
8．关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1且a≠0B．a＜1且a≠0C．a＜1D．a＞﹣1
9．如图，该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（ ）

A．B．C．D．
10．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝6，点D是BC边上一点，且BD＝2，点P是线段AB上一动点，则PC＋PD的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题 (本大题共5小题，每小题3分，满分15分)
11．要使式子有意义，则应满足的条件是
12．若关于的一元二次方程的一个根为4，则方程的另外一个根是 ．
13．2021年“房住不炒”第三次出现在政府报告中，明确了要稳地价、稳房价、稳预期．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企业连续降价两次后的平均价格是降价之前的，则平均每次降价的百分率为 ．
14．在中，，高，则的周长是 ．
15．如图，，，在线段上有一动点D，连接，过点A作且，连接．当时，的长为 ．
三、（本大题共2小题，每小题5分，满分10分）
16．计算：．
17．解方程
四、（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）
18．观察下列等式：
；；；
(1)写出式第个等式：______；
(2)写出第个等式，并证明．
19．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形．
(2)①在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、2、，②求此三角形最长边上的高．
20．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为α，β，，求m的值．
五、（本大题共1小题，满分10分）
21．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．
(1)商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？
(2)实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．
六、（本大题共1小题，满分11分）
22．若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形．现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．例如图1，在中，，则为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．
特例感知
（1）等腰直角三角形______勾股高三角形（请填写“是”或者“不是” ）；
深入探究
（2）如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明．
推广应用
（3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，是边上的高，过点D作交于点E． 若，试求线段的长度．
参考答案与解析
1．B
详解：解：∵是最简二次根式，
∴与不是同类二次根式，
故项不符合题意；
∵，
∴与是同类二次根式，
∴与是同类二次根式，
故项符合题意；
∵，
∴与不是同类二次根式，
∴与不是同类二次根式，
故项不符合题意；
∵，
∴与不是同类二次根式，
∴与不是同类二次根式，
故项不符合题意；
故选．
2．D
详解：解：A、3，故A不符合题意；
B、3，故B不符合题意；
C、3，故C不符合题意；
D、2，故D符合题意．
故选：D．
3．A
详解：解：
．
故选A．
4．A
详解：解：A、设三边长分别为，由，此三角形是直角三角形；
B、由题意，设三边的平方分别为，而，此三角形不是直角三角形；
C、由题意知，最大内角为：，故不是直角三角形；
D、由题意知，最大内角为：，故不是直角三角形；
故选：A．
5．B
详解：解：由数轴可知：b＜-2，1＜a＜2，
∴a−2＜0，a＋b＜0，
∴原式＝|a−2|−|a＋b|，
=−（a−2）＋（a＋b）
＝−a＋2＋a＋b
＝2＋b，
故选：B．
6．C
详解：解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：(30-2x)÷2=15-x，
则根据题意，列出关于x的方程为：15(15-x)x=600
故选：C．
7．C
详解：∵在中，
∴
∵将折叠，使点 B 恰好落在边 上，与点重合，
∴，
∴
设，则
∴在中，
即，解得
∴
故选：C．
8．A
详解：解：∵关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=（-2）2-4×a×（-1）＞0，
解得：a＞-1且a≠0．
故选：A．
9．C
详解：解：由题意可知：中间小正方形的边长为，
∵每一个直角三角形的面积为：，
从图形中可得，大正方形的面积是个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，且大正方形面积为，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
10．A
详解：解：过点C作CM⊥AB于M，延长CM到C′，使MC′＝MC，连接DC′，交AB于P，连接CP，如图：
此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．
∵∠ABC＝30°，
∴CM＝BC，∠BCC′＝60°，
∴CC′＝2CM＝BC，
∴△BCC′是等边三角形，
作C′E⊥BC于E，
∴BE＝EC＝BC＝3，C′E＝BC＝3，
∵BD＝2，
∴DE＝1，
根据勾股定理可得．
故选：A．
11．且##且
详解：解：∵要使式子有意义，则必须有
，
解得：且，
∴要使式子有意义，则应满足的条件是且,
故答案为且．
12．
详解：解：∵关于的一元二次方程的一个根为4，
∴，解得，
∴，
解得，，
∴该方程的另外一个根是．
故答案为：．
13．
详解：解：设平均每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：(不合题意，舍去)．
故答案为：．
14．或##或
详解：解：当高在的内部时，如图，
在中，，
在中，，
∴，
此时的周长是；
当高在的外部时，如图，
在中，，
在中，，
∴，
此时的周长是；
综上所述，的周长是或．
故答案为：或
15．
详解：解：在中，，，
由勾股定理得：，
连接，如图所示：
∵，为等腰直角三角形，
，
又，
，
，
，
，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
∵，，
，
在中，，
由勾股定理得：．
故答案为：．
16．12
详解：解：原式
．
17．，
详解：解：，
将原方程化为一般形式：
∵，
∴，
即，．
18．(1)；
(2)，证明见解析．
详解：（1）第个等式为：，
故答案为：；
（2），
证明：



．
19．(1)见解析
(2)①见解析；②
详解：（1）如图1，正方形ABCD即为所求；
（2）①如图2，△ABC即为所求．
②S△ABC＝，
∵，
∴AC边上的高．
20．(1)m≤0
(2)m的值为-2
详解：（1）解：根据题意得：，
解得，
∴m的取值范围是m≤0．
（2）解：根据题意得，，
∵，
∴，即，
解得，（舍去）．
故m的值为-2．
21．(1)每盒售价最高为15元；
(2)1．
详解：（1）设每盒“冰墩墩”售价的为x元，
，
解得，
故每盒售价最高为15元．
（2）根据题意可得方程：
，
，
，（舍去）
故答案为：1．
22．（1）是；（2），证明详见解析；（3）．
详解：（1）解：如图，是等腰直角三角形，，

∵，且是边上的高，
∴等腰直角三角形是勾股高三角形；
故答案为：是；
（2），证明如下：
∵为勾股高三角形，是边上的高，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（3）如图，过点A作于点G，

∵为勾股高三角形，是边上的高，，
∴，
由（2）得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．