安徽省皖东南初中四校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题 (本大题共10小题，每小题3分，满分30分)
1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式即可解答．
【详解】解：∵是最简二次根式，
∴与不是同类二次根式，
故项不符合题意；
∵，
∴与是同类二次根式，
∴与是同类二次根式，
故项符合题意；
∵，
∴与不是同类二次根式，
∴与不是同类二次根式，
故项不符合题意；
∵，
∴与不是同类二次根式，
∴与不是同类二次根式，
故项不符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，理解同类二次根式的定义是解题的关键．
2. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和立方根的概念即可求出答案．
【详解】解：A、3，故A不符合题意；
B、3，故B不符合题意；
C、3，故C不符合题意；
D、2，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简、立方根，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
3. 用配方法解方程时．变形结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先给方程两边同除2，然后再根据完全平方公式和等式的性质配方即可．
【详解】解：
．
故选A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把方程整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4. 满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A. 三边的边长比为B. 三边边长的平方比为
C. 三个内角度数比为D. 三个内角度数比为
【答案】A
【解析】
【分析】由比的意义及勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，即可完成解答．
【详解】解：A、设三边长分别为，由，此三角形是直角三角形；
B、由题意，设三边的平方分别为，而，此三角形不是直角三角形；
C、由题意知，最大内角为：，故不是直角三角形；
D、由题意知，最大内角为：，故不是直角三角形；
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理逆定理及三角形内角和定理是解题的关键．
5. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴，确定a，b的大小，再根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
【详解】解：由数轴可知：b＜-2，1＜a＜2，
∴a−2＜0，a＋b＜0，
∴原式＝|a−2|−|a＋b|，
=−（a−2）＋（a＋b）
＝−a＋2＋a＋b
＝2＋b，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质化简，本题属于基础题型．
6. 将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
【详解】解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：(30-2x)÷2=15-x，
则根据题意，列出关于x的方程为：15(15-x)x=600
故选：C．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的棱长是解题关键．
7. 如图，在中，将折叠，使点 B 恰好落在边 上，与点重合， 为折痕，则长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设未知数利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】∵在中，
∴
∵将折叠，使点 B 恰好落在边 上，与点重合，
∴，
∴
设，则
∴在中，
即，解得
∴
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是设未知数列出方程．
8. 关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a＞﹣1且a≠0B. a＜1且a≠0C. a＜1D. a＞﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，由方程有两个不相等的实数根，得到一元二次方程根的判别式大于0，求出a的范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=（-2）2-4×a×（-1）＞0，
解得：a＞-1且a≠0．
故选：A．
【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
9. 如图，该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为，然后根据直角三角形的面积和正方形的面积可建立关于的等量关系式，求解即可．
【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为，
∵每一个直角三角形的面积为：，
从图形中可得，大正方形的面积是个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，且大正方形面积为，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查等积变换，求代数式的值，算术平方根的应用．根据题意建立等量关系式是解题的关键．
10. 如图，△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝6，点D是BC边上一点，且BD＝2，点P是线段AB上一动点，则PC＋PD的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先确定DC′＝DP＋PC′＝DP＋CP的值最小，然后根据勾股定理计算．
详解】解：过点C作CM⊥AB于M，延长CM到C′，使MC′＝MC，连接DC′，交AB于P，连接CP，如图：
此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．
∵∠ABC＝30°，
∴CM＝BC，∠BCC′＝60°，
∴CC′＝2CM＝BC，
∴△BCC′是等边三角形，
作C′E⊥BC于E，
∴BE＝EC＝BC＝3，C′E＝BC＝3，
∵BD＝2，
∴DE＝1，
根据勾股定理可得．
故选：A．
【点睛】本题考查了在三角形中的两边之和的最小值的动点问题，解题的关键是：利用等边三角形的性质，通过等量代换，再根据三点共线时距离最短，最后利用勾股定理建立等式求解．
二、填空题 (本大题共5小题，每小题3分，满分15分)
11. 要使式子有意义，则应满足的条件是______
【答案】且##且
【解析】
【分析】根据二次根式的有意义的条件，分式的有意义的条件可知不等式组进而即可解答．
【详解】解：∵要使式子有意义，则必须有
，
解得：且，
∴要使式子有意义，则应满足的条件是且,
故答案为且．
【点睛】本题考查了二次根式的有意义的条件，分式的有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件及分式有意义的条件是解题的关键．
12. 若关于的一元二次方程的一个根为4，则方程的另外一个根是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根的定义求出的值，然后解该一元二次方程即可获得答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为4，
∴，解得，
∴，
解得，，
∴该方程的另外一个根是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及解一元二次方程，理解一元二次方程的根的定义是解题关键．
13. 2021年“房住不炒”第三次出现在政府报告中，明确了要稳地价、稳房价、稳预期．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企业连续降价两次后的平均价格是降价之前的，则平均每次降价的百分率为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设平均每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的价格=原价平均每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：(不合题意，舍去)．
故答案为：．
14. 在中，，高，则的周长是 _____．
【答案】或##或
【解析】
【分析】分两种情况讨论：当高在的内部时，当高在的外部时，结合勾股定理，即可求解．
【详解】解：当高在的内部时，如图，
在中，，
在中，，
∴，
此时的周长是；
当高在外部时，如图，
在中，，
在中，，
∴，
此时的周长是；
综上所述，的周长是或．
故答案为：或
【点睛】此题考查了勾股定理的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．
15. 如图，，，在线段上有一动点D，连接，过点A作且，连接．当时，的长为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
在中由勾股定理求出的长；连接，先证，再利用“”判定和全等，从而得出，进而可得，然后在中由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：在中，，，
由勾股定理得：，
连接，如图所示：
∵，为等腰直角三角形，
，
又，
，
，
，
，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
∵，，
，
在中，，
由勾股定理得：．
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题5分，满分10分）
16. 计算：．
【答案】12
【解析】
【分析】先根据完全平方公式和二次根式的乘法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17. 解方程
【答案】，
【解析】
【分析】先将原方程化为一般形式，然后用公式法解方程即可．
【详解】解：，
将原方程化为一般形式：
∵，
∴，
即，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式．
四、（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）
18. 观察下列等式：
；；；
（1）写出式第个等式：______；
（2）写出第个等式，并证明．
【答案】（1）；
（2），证明见解析．
【解析】
【分析】（1）观察等式的规律即可得出答案；
（2）写出等式，将多项式乘多项式展开，化简，根据即可得出答案．
【小问1详解】
第个等式为：，
故答案为：；
【小问2详解】
，
证明：



．
【点睛】本题考查了探索规律，二次根式的性质，根据化简是解题的关键．
19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形．
（2）①在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、2、，②求此三角形最长边上的高．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）先求出正方形的边长，再根据勾股定理画出图形即可；
（2）①根据勾股定理画出图形即可；
②求出三角形的面积，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【小问1详解】
如图1，正方形ABCD即为所求；
【小问2详解】
①如图2，△ABC即为所求．
②S△ABC＝，
∵，
∴AC边上的高．
【点睛】本题考查的是作图﹣应用与设计作图，熟知勾股定理是解答此题的关键．
20. 已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为α，β，，求m的值．
【答案】（1）m≤0 （2）m的值为-2
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得到，然后解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，利用整体代入的方法得到，然后解关于m的方程即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
解得，
∴m的取值范围是m≤0．
【小问2详解】
解：根据题意得，，
∵，
∴，即，
解得，（舍去）．
故m值为-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两根时，，．
五、（本大题共1小题，满分10分）
21. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．
（1）商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？
（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．
【答案】（1）每盒售价最高为15元；
（2）1．
【解析】
【小问1详解】
设每盒“冰墩墩”售价的为x元，
，
解得，
故每盒售价最高为15元．
【小问2详解】
根据题意可得方程：
，
，
，（舍去）
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元一次不等式以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意正确列出一元一次不等式和一元二次方程．
六、（本大题共1小题，满分11分）
22. 若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形．现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．例如图1，在中，，则为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．
特例感知
（1）等腰直角三角形______勾股高三角形（请填写“是”或者“不是” ）；
深入探究
（2）如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明．
推广应用
（3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，是边上的高，过点D作交于点E． 若，试求线段的长度．
【答案】（1）是；（2），证明详见解析；（3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，
（1）根据勾股高三角形的定义，即可求解；
（2）根据勾股定理，以及勾股高三角形的定义，可得，即可求解；
（3）过点A作于点G，根据勾股高三角形的定义，可得，再证明，可得，然后根据等腰三角形的判定和性质可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：如图，是等腰直角三角形，，

∵，且是边上的高，
∴等腰直角三角形是勾股高三角形；
故答案为：是；
（2），证明如下：
∵为勾股高三角形，是边上的高，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（3）如图，过点A作于点G，

∵为勾股高三角形，是边上的高，，
∴，
由（2）得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．