2024河南中考数学专题复习 旋转综合训练 课件

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针对15题：与旋转有关的几何图形的计算
1. 如图，四边形ABCD是正方形，且AB＝　 ，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转后得到正方形AEFG，在旋转过程中，当点A，G，C三点共线时，则点F到BC的距离为____________．
2. (2023平顶山二模)如图，在矩形ABCD中，点E为边BC上一点，且AB＝　　　　　，BE＝1，连接AE，将△ABE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜360°)，当点B的对应点B′落在直线AD上时，点E的运动路径　　的长为______． (结果保留π)
3. 如图，在等边△ABC中，AB＝4，过点A的射线l绕点A旋转，过点C作CD⊥射线l于点D，连接BD，当AD＝CD时，△BCD的面积为______________．
4. (2023河南黑白卷)如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，将DE绕点D旋转得到DF，连接AF，G为AF的中点，连接BG，若AB＝2　 ，AD＝4，当DF∥BG时，BG的长为_____．
5. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABC绕点A旋转，得到△AMN，连接BN，P是BN的中点，连接AP.在旋转过程中，当∠CBN＝15°时，　 的值为________．
6. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕点C旋转得到Rt△A′B′C，若其中一个三角形较长的直角边与另一个三角形的斜边垂直，则A′B的长为______．
针对23题：与旋转有关的探究链接：微专题4　手拉手模型；微专题13　特殊三角形的分类讨论；微专题14　线段或直线上点位置不确定产生的分类讨论；微专题16　与旋转有关的分类讨论
1. 综合与实践问题情境：如图①，在矩形ABCD中，E为BC上一点，且AE平分∠BAD交BC于点E，点M是边AB上一点(不与点A重合)，点N为线段AE上一点(不与点A重合)，将∠ANM绕点N顺时针旋转90°得到∠QNP，两边分别交直线AD于点Q，P.(1)独立思考：试判断线段AM与PQ的数量关系，并说明理由；
(1)解：AM＝PQ；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝ ∠BAD＝ ×90°＝45°，由旋转可知：∠MNP＝∠ANQ＝90°，∠ANM＝∠QNP，∴∠AQN＝∠DAE＝∠BAE＝45°，∴AN＝QN，又∵∠AQN＝∠BAE＝45°，∠ANM＝∠QNP，∴△AMN≌△QPN(ASA)，∴AM＝PQ；
(2)如图②，当MN∥BC时，判断四边形AMNP的形状，并说明理由；
∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B＝90°，∠ANM＝90°－∠BAE＝90°－45°＝45°，∴AM＝MN，由旋转可知：∠MNP＝90°，∴四边形AMNP是矩形，又∵AM＝MN，∴四边形AMNP是正方形；
(3)解决问题：如图③，当点M与点B重合，且AN＝AM时，求证：△APN≌△ENM；
又∵AN＝AM＝AB，∴AN＝EM，∠AMN＝∠ANM，由旋转可知：∠MNP＝90°，∴∠MNP－∠ANM＝∠ABC－∠AMN，∴∠ANP＝∠EMN，又∵AN＝EM，∠DAE＝∠AEB＝45°，∴△APN≌△ENM(ASA)；
(4) 探索发现：当以点A，N，P为顶点的三角形是以AN为腰的等腰三角形时，请直接写出　　的值．
2. 综合与实践综合与实践综合与实践课上，老师让学生们以“直角三角形”为背景展开数学活动．问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AO平分∠BAC.(1)操作判断如图①，当AB＝AC时，过点O作OD∥AB交AC于点D，连接BD，则∠BOD的度数是______，线段BD与OD的数量关系是________；
【解法提示】∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°.∵OD∥AB，∴∠BAC＝∠ODC＝90°，∴∠COD＝45°，∴∠BOD＝135°.∵AO平分∠BAC，∴OB＝OC.∵OD∥AB，∴CD＝AD，设AB＝AC＝2a，则AD＝a，OD＝ AB＝a.在Rt△ABD中，BD＝ ＝ a，∴BD＝ OD.
(2)迁移探究如图②，若AB≠AC，点P是AO上任一点(不与点A，O重合)，过点P作PD∥AB交AC于点D，点E是AB上一点，且AE＝2AD，连接PE，DE，请写出∠EPD的度数及线段DE与PD的数量关系，并说明理由；
∵∠BAC＝90°，AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠CAO＝45°.
∵PD∥AB，∴∠ADP＝∠BAC＝90°.∴四边形ADPF为正方形，∴AD＝AF，∠DPF＝90°.∵AE＝2AD，∴AF＝EF＝PF.∵PF⊥AB，∴AP＝EP，∴∠BAP＝∠AEP＝45°，∴∠EPF＝45°，∴∠EPD＝135°；设AE＝2b，则AD＝PD＝b，在Rt△ADE中，DE＝ ＝ b，∴DE＝ PD；
(3)拓展应用在(2)的条件下，将△EAD绕点E旋转得到△EA′D′，当点P，E，A′在同一直线上，且DE＝　 时，连接A′D，请直接写出△PA′D的面积．
∵∠BAC＝90°，AO平分∠BAC，∴∠PGD＝45°，∴AG＝AE＝2PD＝2，PG＝PE＝ AE＝ ，∴△PA′D中A′P边上的高为 PG＝ .由旋转可得AE＝A′E＝2，∴A′P＝A′E－PE＝2－ ，∴△PA′D的面积为 (2－ )× ＝ ；
3. (2023南阳二模)数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：(1)【操作探究】如图①，△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，连接BE，则∠EBC＝______°.若F是BE的中点，连接AF，则AF与DE的数量关系是________；
【解法提示】∵△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，∴AC＝AE＝AB＝AD，∠ABC＝∠C＝∠ADE，∴∠AEB＝∠ABE，∴2(∠ABE＋∠ABC)＝180°，∴∠EBC＝90°；∵F是BE的中点，A是BD的中点，∴AF＝ DE.
(2)【迁移探究】如图②，将(1)中的△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，其他条件不变，求出此时∠EBC的度数及AF与DE的数量关系；
(3)【拓展应用】如图③，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，将△ABC绕点A旋转，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF.在旋转过程中，当∠EBC＝15°时，直接写出线段AF的长．
4. 综合与实践(1)问题发现如图①，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形CDE，且CD＜AB，连接AE，BD，取BD的中点F，连接AF.如图②，将△CDE绕点C旋转，使点E落在线段AC上．猜想并填空：①　　 的值是________；②∠EAF的度数是________；
【解法提示】如图，设BC的中点为G，连接FG，
过点F作FH⊥CD于点H，
又∵△CDE是等边三角形，FH⊥CD，∴F，E，H三点共线，∴FE∥BC，FH⊥AG.∴∠AEF＝∠ACB＝30°，∴ ＝ ，∠EAF＝60°.
(2)问题探究在(1)的基础上，继续将△CDE绕点C旋转，当点E落在线段BC上时，如图③，(1)中猜想的结论①与②是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(2)(1)中猜想的结论①与②都成立，证明如下：如解图②，延长BA到M，使AM＝AB，连接MD，MC，
∵AB＝AC，AM＝AB，∴AC＝AM.又∵∠BAC＝120°，∴∠CAM＝180°－∠BAC＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴CM＝CA，∠ACM＝∠AMC＝60°，∵△CDE是等边三角形，∴CD＝CE，∠ECD＝60°，∴∠ACM＝∠ECD，
∴∠ACM－∠ACD＝∠ECD－∠ACD，即∠DCM＝∠ECA，∴△DCM≌△ECA，∴MD＝AE，∠DMC＝∠EAC.∵AF＝ DM，∴AF＝ AE，即 ＝ .∵AF∥DM，∴∠BAF＝∠AMD.又∵∠EAC＝∠DMC，∴∠BAF＋∠EAC＝∠AMD＋∠DMC＝∠AMC＝60°，∵∠BAC＝120°，∴∠EAF＝∠BAC－(∠BAF＋∠EAC)＝60°；
(3)问题解决在△CDE绕点C旋转的过程中，若AB＝6，CD＝2，当CE⊥BC时，请直接写出线段AF的长度．
在Rt△ANE中，AE＝ ＝2 ，由(1)(2)易得AF＝ AE，∴AF＝ ；②当点E在BC下方时，如解图④，过点E作EP⊥AC交AC的延长线于点P，∵∠ACB＝30°，CE⊥BC，∴∠ECP＝60°，∴CP＝ CE＝ CD＝1，
∴AP＝7，EP＝ .在Rt△APE中，AE＝ ＝2 ，由(1)(2)易得AF＝ AE，∴AF＝ .综上所述，AF的长为 或 .
5. 在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，D为边BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF.(1)如图①，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为__________；
(2)在(1)的条件下，①如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图②的情形给出证明；
在Rt△CEF中，∠CFE＝90°，sin∠FEC＝ ，∴ ，∵∠FCE＝∠ACB＝45°，∴∠FCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE，∴∠FCA＝∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴ ，∴BE＝ AF，∴线段BE与AF的数量关系无变化；
②正方形CDEF绕点C旋转的过程中，当以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出线段AF的长．