考点清单 专题03 磁场（原卷版+解析版）2023-2024学年高二物理下学期期末考点大串讲（人教版2019）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8284" PAGEREF _Tc8284 \h 2
\l "_Tc246" 清单01 磁场的性质及磁场对通电导体的作用 PAGEREF _Tc246 \h 2
\l "_Tc23639" 清单02 带电粒子在匀强磁场中的运动 PAGEREF _Tc23639 \h 4
\l "_Tc25494" PAGEREF _Tc25494 \h 7
\l "_Tc3813" 清单01 磁场的性质及磁场对通电导体的作用 PAGEREF _Tc3813 \h 7
\l "_Tc25157" 考题1：安培力的方向 PAGEREF _Tc25157 \h 7
\l "_Tc24299" 考题2：安培力的计算式及简单应用 PAGEREF _Tc24299 \h 9
\l "_Tc24727" 考题3：计算非直导线的安培力的大小 PAGEREF _Tc24727 \h 10
\l "_Tc8427" 考题4：倾斜轨道上的导体棒的受力分析 PAGEREF _Tc8427 \h 11
\l "_Tc19286" 考题5：电磁炮 PAGEREF _Tc19286 \h 13
\l "_Tc6032" 考题6：洛伦兹力的方向 PAGEREF _Tc6032 \h 15
\l "_Tc26470" 考题7：洛伦兹力的公式及简单计算 PAGEREF _Tc26470 \h 17
\l "_Tc21893" 清单02 带电粒子在匀强磁场中的运动 PAGEREF _Tc21893 \h 18
\l "_Tc16565" 考题1：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 PAGEREF _Tc16565 \h 18
\l "_Tc13102" 考题2：带电粒子在直线边界磁场中的运动 PAGEREF _Tc13102 \h 21
\l "_Tc411" 考题3：带电粒子在弧形边界磁场中的运动 PAGEREF _Tc411 \h 23
\l "_Tc7929" 考题4：根据粒子的运动确定磁场区域的范围 PAGEREF _Tc7929 \h 26
\l "_Tc32351" 考题5：带电粒子电性不确定形成的多解问题 PAGEREF _Tc32351 \h 29
\l "_Tc1375" 考题6：磁场方向不确定形成的多解问题 PAGEREF _Tc1375 \h 32
\l "_Tc23993" 考题7：临界状态不唯一形成的多解问题 PAGEREF _Tc23993 \h 35
\l "_Tc13777" 考题8：带电粒子在复合场中的运动 PAGEREF _Tc13777 \h 37
\l "_Tc20101" 考题9：带电粒子在组合场中的运动 PAGEREF _Tc20101 \h 39
清单01 磁场的性质及磁场对通电导体的作用
1．磁场的产生与叠加
2．地磁场的主要特点
（1）地磁场的N极在地球南极附近，S极在地球北极附近，磁感线分布如图所示。
（2）地磁场B的水平分量Bx总是从地球南极指向北极，而竖直分量By则南北相反，在南半球垂直地面向上，在北半球垂直地面向下。
（3）在赤道平面上，距离地球表面高度相等的各点，磁感应强度相等且方向水平向北。
3．安培力的分析与计算
4.两个二级结论
（1）同向平行电流相互吸引，反向平行电流相互排斥。
（2）两个电流不平行时，有转动到相互平行且电流方向相同的趋势。
5．判别物体在安培力作用下的运动方向的常用五种方法
（1）电流元受力分析法：即把整段电流等效为很多段直线电流元，先用左手定则判断出每小段电流元受安培力的方向，从而判断出整段电流所受合力方向，最后确定运动方向。
（2）特殊值分析法：把电流或磁体转到一个便于分析的特殊位置（如转过90°）后再判断所受安培力方向，从而确定运动方向。
（3）等效分析法：环形电流可以等效成条形磁体、条形磁体也可等效成环形电流、通电螺线管可等效成很多的环形电流来分析。
（4）推论分析法：两电流相互平行时无转动趋势，方向相同相互吸引，方向相反相互排斥；两电流不平行时有转动到相互平行且方向相同的趋势。
（5）转换研究对象法：因为电流之间、电流与磁体之间的相互作用满足牛顿第三定律。这样，定性分析磁体在电流磁场作用下如何运动的问题，可先分析电流在磁体磁场中所受的安培力，然后由牛顿第三定律，再确定磁体所受电流的作用力，从而确定磁体所受合力及运动方向。
6．求解安培力作用下的动力学问题的一般思路
清单02 带电粒子在匀强磁场中的运动
1．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动问题的处理关键
（1）圆心的确定
①速度和轨道半径垂直。
②轨迹上两点连线的垂直平分线过圆心。
（2）轨道半径的计算
方法一：由物理公式求：由于qvB＝ eq \f(mv2,r)，所以轨道半径r＝ eq \f(mv,qB)。
方法二：由几何关系求：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）通过计算来确定。
（3）运动时间的确定
方法一：由对应的圆心角α求：t＝ eq \f(α,2π)T＝ eq \f(αm,qB)。
方法二：由对应的弧长s求：t＝ eq \f(s,v)。
2．带电粒子在有界匀强磁场中运动时轨迹圆的几个基本特点
（1）粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，出射角等于入射角。（如图1所示，θ1＝θ2＝θ3）
并且粒子经过磁场时速度方向的偏转角等于其轨迹的圆心角。（如图1所示，α1＝α2）
（2）在圆形匀强磁场区域，若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应磁场半径的夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应磁场半径的夹角也为θ，如图2所示。
特例：沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时也沿半径方向，如图3所示。
（3）磁聚焦与磁发散
①磁聚焦：带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，且该点切线与入射方向平行。
②磁发散：带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行。
3．临界问题
（1）许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语暗示临界状态，审题时，一定要抓住这些特定的词语，挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。例如粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。
（2）解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界状态（一般是粒子运动轨迹与磁场边界相切或轨迹半径达到最大），常用方法如下：
4.多解问题
（1）产生多解现象的四种因素
（2）解决多解问题的一般思路
清单01 磁场的性质及磁场对通电导体的作用
考题1：安培力的方向
1．（22-23高二下·新疆巴音郭楞·期末）如图所示，质量为m，通电电流为I的金属棒ab置于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与宽为L的水平导轨平面夹角为θ，金属棒ab处于静止状态。下列说法正确的是（ ）
A．金属棒受到的安培力大小为BILsinθ
B．金属棒受到的支持力大小为BILcsθ
C．若只减小夹角θ，金属棒受到的摩擦力将减小
D．若只改变电流方向，金属棒对导轨的压力将减小
【答案】C
【详解】A．由图可知，金属棒ab与磁感应强度方向垂直，则金属棒受到的安培力大小为
故A错误；
B．对金属棒受力分析，如下图所示
根据平衡条件有
可得，金属棒受到的支持力大小为
故B错误；
C．根据平衡条件有
则若只减小夹角θ，金属棒受到的摩擦力将减小，故C正确；
D．若只改变电流方向，则对金属棒受力分析，如下图所示
根据平衡条件可得，金属棒受到的支持力为
则金属棒对导轨的压力将增大，故D错误。
故选C。
2．（22-23高二下·黑龙江牡丹江·期末）粗细均匀的导体棒ab悬挂在两根相同的轻质弹簧下，ab恰好水平，如图所示。已知ab的质量m=2g，ab的长度L=20cm，沿水平方向与ab垂直的匀强磁场的磁感应强度B=0.1T，方向垂直纸面向里，电源的电动势为12V，电路总电阻为12Ω。现将开关闭合，以下说法正确的是（ ）

A．导体棒ab所受的安培力方向竖直向上
B．能使两根弹簧恰好处于原长
C．导体棒ab所受的安培力大小为0.02N
D．若系统重新平衡后，两弹簧的伸长量均与闭合开关前相比改变了0.5cm，则弹簧的劲度系数为5N/m
【答案】C
【详解】AB．由左手定则可知，导体棒ab所受的安培力方向竖直向下，弹簧处于拉伸状态，故AB错误；
C．导体棒中的电流为
则ab所受的安培力大小为
故C正确；
D．闭合开关前，根据受力平衡可得
闭合开关后，根据受力平衡可得
联立可得
解得弹簧的劲度系数为
故D错误。
故选C。
考题2：安培力的计算式及简单应用
3．（22-23高二下·安徽滁州·期末）如图所示的天平可用来测定磁感应强度，天平的右臂下面挂有一个矩形线圈，宽为，共匝，线圈的下部悬在匀强磁场中，磁场方向垂直于纸面．当线圈中通有顺时针方向的电流时，在天平左、右两边加上质量各为、的砝码，天平平衡．当电流反向（大小不变）时，左边再加上质量为的砝码后，天平重新平衡．由上可知（ ）
A．磁感应强度的方向垂直纸面向里，大小为
B．磁感应强度的方向垂直纸面向外，大小为
C．磁感应强度的方向垂直纸面向外，大小为
D．磁感应强度的方向垂直纸面向里，大小为
【答案】B
【详解】AD．当的方向垂直纸面向里，开始线圈所受安培力的方向向下，电流方向相反，则安培力方向反向，变为竖直向上，相当于右边少了两倍的安培力大小，所以右边应加砝码，与题干矛盾，故AD错误；
BC．当的方向垂直纸面向外，开始线圈所受安培力的方向向上，电流方向相反，则安培力方向反向，变为竖直向下，相当于右边多了两倍的安培力大小，也说明原来的安培力是向上的，需要在左边加砝码，设线框的质量为，则有
联立解得
故B正确，C错误。
故选B。
4．（22-23高二下·内蒙古赤峰·期末）如图所示，一弹簧测力计下面挂有质量为m、匝数为n的矩形线框abcd，bc边长为L，方向与线框平面垂直（在图中垂直于纸面向里），当线框中通以逆时针方向的电流I，此时弹簧测力计的示数为F1；保持电流大小不变，改变电流的方向，弹簧测力计的示数为F2。则磁场的磁感应强度大小为（ ）

A．B＝B．B＝
C．B＝D．B＝
【答案】D
【详解】当线框中电流方向为逆时针，由左手定则可知bc边所受安培力方向竖直向上，由力的平衡条件有
线框中电流方向为顺时针时，由左手定则可知bc边所受安培力方向竖直向下，由力的平衡条件有
联立解得
故选D。
考题3：计算非直导线的安培力的大小
5．（22-23高二下·江苏南京·期末）等边三角形电阻丝与电源构成如图所示电路，D、E分别是BC、AC的中点，当线圈处在同一匀强磁场的不同位置时，线圈所受安培力最小的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】四个电路中的电流I和磁场B都相同，根据F=BIL可知，线圈受安培力的大小主要取决线圈在磁场中的有效长度；设三角形边长为a，则A图中有效长度等于三角形的高，即
B图中有效长度等于ED距离，即
C图中有效长度等于E点到AB的距离，即
D图中有效长度等于ED距离，即
即有效长度最短的是C，即C图受安培力最小。
故选C。
6．（22-23高二下·山东济宁·期末）如图所示，正六边形线框由六根阻值完全相同的导体棒连接而成，固定于匀强磁场中，且线框平面与磁场方向垂直。线框顶点a、b与电源两极相连，电源内阻及导线电阻忽略不计。开关S闭合后，线框受到的安培力大小为F，若仅将ab棒移走，则余下线框受到的安培力大小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设ab边的电阻为R，流过的电流为I，长度为L，受到的安培力方向向上，大小为
则afedcb边的电阻为5R，据反比分流可知，流过的电流为，等效长度为L，受到的安培力方向向上，大小为
则
若仅将ab棒移走，则余下线框受到的安培力大小为
故选A。
考题4：倾斜轨道上的导体棒的受力分析
7．（多选）（22-23高二下·广西桂林·期末）如图所示，倾角为的固定光滑斜面上静置着一根垂直于纸面且通有恒定电流的导体棒。已知导体棒的质量为m、长度为L，所通电流大小为I，方向垂直纸面向外，竖直面内存在方向未知的匀强磁场，导体棒处于静止状态，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）

A．若磁场方向垂直斜面向上，则导体棒所受安培力沿斜面向上
B．若导体棒对斜面无压力，则磁场方向水平向左
C．若只增大电流I，则导体棒一定能保持静止
D．磁感应强度的最小值为
【答案】AD
【详解】A．若磁场方向垂直斜面向上，则导体棒必须受到沿斜面向上的安培力才能保持平衡，故A正确；
B．若导体棒对斜面无压力，则安培力方向必定竖直向上，由于电流方向垂直纸面向外，根据左手定则可知，磁场方向水平向右，故B错误；
C．导体棒受重力、支持力和安培力三个力的作用保持静止，平移三个力的矢量后，可构成矢量三角形，重力所在的边固定不动，支持力所在的边方向不变，若只增加电流I，则安培力变大，但同时因为安培力方向不变，故当安培力增大时合力必定不再为零，即导体棒一定无法保持静止，故C错误；
D．最小的磁感应强度对应最小的安培力，根据前面分析可知导体棒受重力、支持力和安培力三个力构成矢量三角形，分析可知当安培力与支持力方向垂直时有最小值，故可得安培力最小为，有
解得
故D正确。
故选AD。
8．（多选）（22-23高二下·贵州黔东南·期末）导轨与水平面间夹角为θ，质量为m、长为L的金属棒中通有自a到b大小为I的恒定电流，当磁场方向水平向左时，金属棒与磁场方向垂直且恰好可以静止在光滑的绝缘导轨上。当磁场方向由水平向左逐渐变为竖直向上时（已知电流大小保持不变，磁感应强度大小可以调整），要保持金属棒静止不动，重力加速度为g，下列判断正确的是（ ）

A．磁感应强度逐渐变大B．安培力逐渐变小
C．支持力逐渐变大D．磁感应强度最小值为
【答案】CD
【详解】BC．当磁场方向由水平向左逐渐变为竖直向上时，根据平行四边形定则作图，平行四边形由小变大，支持力逐渐变大，安培力先减小后增大，B错误，C正确；

A．根据 ，当磁场方向由水平向左逐渐变为竖直向上时，安培力先减小后增大，磁感应强度先变小后变大，A错误；
D．当安培力沿斜面向上时，安培力最小，磁感应强度最小，根据平衡条件得
解得
D正确。
故选CD。
考题5：电磁炮
9．（多选）（22-23高二下·安徽六安·期末）如图甲所示是电磁炮发射过程的情境图。炮弹的炮弹能量是可调控的，未来可用于消防、军事等方面。其主要原理如图乙所示，两根平行长直金属导轨沿水平方向固定，炮弹可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨保持良好接触。可控电源提供强大的电流经导轨流入炮弹再流回电源，炮弹被导轨中电流形成的磁场推动而发射。在发射过程中，该磁场在炮弹所在位置始终可以简化为处于磁感应强度为B的匀强磁场中。已知两导轨内侧间距为d，炮弹的质量为m，炮弹在导轨间的电阻为R，若炮弹滑行距离l后获得的发射速度为v。不计空气阻力、导轨电阻、电源内阻，不考虑炮弹切割磁感线产生的感应电动势。下列说法正确的是（ ）

A．匀强磁场方向为竖直向下B．炮弹所受安培力大小为
C．通过炮弹的电流为D．通过炮弹的电流为
【答案】BC
【详解】A．根据题意，由图乙可知，炮弹发射时受向右的安培力，通过炮弹的电流方向为垂直纸面向里，根据左手定则可知，磁场方向为竖直向上，故A错误；
B．根据题意，由公式
可得，炮弹发射过程中的加速度为
对炮弹受力分析，水平方向上所受合力为安培力，由牛顿第二定律
可得，炮弹所受安培力大小为
故B正确；
CD．根据题意，由安培力公式
可得，流过炮弹的电流为
故C正确，D错误；
故选BC。
10．（多选）（22-23高二下·湖南·期末）2023年4月17日消息，我国目前的电磁炮所发射的炮弹，已经可以在100公里距离上击穿80毫米厚的钢板。如图所示为电磁轨道炮的模型，间距的平行光滑导轨水平放置，轨道处于磁感应强度大小为、方向沿竖直方向的匀强磁场中，导轨左端接有电动势、内阻的电源，带有炮弹的导体棒垂直放置在导轨上，其质量（含炮弹）为、电阻为，导轨电阻不计，则下列说法正确的是（ ）

A．匀强磁场的磁场方向应竖直向上
B．闭合开关瞬间，电路中的电流为
C．闭合开关瞬间，炮弹的加速度的大小为
D．若同时将电流方向和磁场方向反向，导体棒所受安培力方向不变
【答案】ACD
【详解】A．炮弹向右加速，需受向右的安培力，根据左手定则可知，匀强磁场的磁场方向应竖直向上，A项正确；
B．根据闭合电路欧姆定律可知，闭合开关瞬间，电路中电流为
B项错误；
C．导体棒受到的安培力大小为
炮弹的加速度大小为
C项正确；
D．若同时将电流方向和磁场方向反向，根据左手定则可知，导体棒所受安培力方向不变，D项正确。
故选ACD。
考题6：洛伦兹力的方向
11．（22-23高二下·云南丽江·期末）通电长直导线在其周围空间产生磁场。某点的磁感应强度大小B与该点到导线的距离r及电流I的关系为（k为常量）。如图所示，竖直通电长直导线中的电流I方向向上，绝缘的光滑水平面上P处有一带正电小球从图示位置以初速度v0水平向右运动，小球始终在水平面内运动，运动轨迹用实线表示，若从上向下看，则小球的运动轨迹可能是图中的（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据右手螺旋定则可知直线电流I产生的磁场方向与光滑的水平面平行，根据左手定则可知，带正电的小球受到的洛伦兹力方向始终与该水平面垂直，沿水平方向没有分力，所以洛伦兹力对运动的电荷不做功，由此可知小球将做匀速直线运动。
故选A。
12．（22-23高二下·湖南岳阳·期末）如图所示，圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，将两个带电粒子1、2从静止开始分别经不同电场加速后从P点沿直径PQ方向射入磁场，发现粒子1、2分别从A、B两点沿半径方向射出磁场，且它们在磁场中运动的时间相等，A、B两点恰好将半圆三等分，不考虑带电粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）

A．粒子1、2都带正电
B．粒子1、2在磁场中运动的圆心角之比1：2
C．粒子1、2在磁场中运动的半径之比
D．加速带电粒子1、2的加速电压之比2：9
【答案】D
【详解】A．由题知，带电粒子从P点射入后向下偏转，则根据左手定则可知粒子1、2均带负电，故A错误；
B．设磁场的半径为R，粒子1、2在磁场中做圆周运动，画出粒子1、2运动轨迹如图所示
由几何知识可知，粒子做圆周运动转过的圆心角分别是θ1= 120°，θ2= 60°
则粒子1、2在磁场中运动的圆心角之比为2：1，故B错误；
C．设粒子的运动轨道半径为r1，r2，则有，
解得
故C错误；
D．设加速带电粒子1、2的加速度分别为和，则有，
它们在磁场中运动的时间相等，则有
解得
故D正确。
故选D。
考题7：洛伦兹力的公式及简单计算
13．（多选）（22-23高二下·广东揭阳·期末）如图所示，将一由绝缘材料制成的带一定正电荷的滑块放在装有光电门的固定木板上，空间中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。测得带遮光条滑块的质量为m，木板的倾角为，木板与滑块之间的动摩擦因数为，遮光条的宽度为d，滑块由静止释放，遮光条通过两光电门所用的时间均为t，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）

A．到达光电门2之前滑块先加速后减速
B．到达光电门2之前滑块所受的摩擦力先增大后不变
C．滑块所带的电荷量为
D．滑块所带的电荷量为
【答案】BC
【详解】AB．以滑块为对象，根据左手定则可知，滑块运动过程受到的洛伦兹力垂直斜面向下，滑块由静止释放，根据牛顿第二定律可得
可知随着滑块速度的增大，滑块的加速度减小，所以滑块先做加速度减小的加速运动，由于遮光条通过两光电门所用的时间均为，可知滑块到达光电门前已经做匀速运动，到达光电门2之前滑块先加速后匀速，到达光电门2之前滑块所受的摩擦力先增大后不变，故A错误，B正确；
CD．遮光条通过两光电门所用时间均为，可知滑块到达光电门前已经做匀速运动，速度大小为
根据受力平衡可得
联立解得滑块所带的电荷量为
故C正确，D错误。
故选BC。
14．（多选）（22-23高二下·重庆·期末）如图所示，一辆汽车以速度v向右匀速运动，汽车顶部固定了一开口向上的轻质光滑绝缘管道，整个空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。管道内有一个带正电小球，开始位于管道M端且相对管道速度为0，一段时间后，小球运动到管道N端，小球质量为m，电量为q，管道高度为l，小球直径略小于管道内径。若不计小球重力，则小球从M端到N端的过程中（ ）

A．小球运动的时间
B．小球运动的时间
C．管道对小球作用力的平均功率
D．管道对小球作用力的平均功率
【答案】BD
【详解】AB．根据左手定则可知，小球受到洛伦兹力方向沿管道方向，由
可知，小球所受洛伦兹力恒定，设小球的加速度为，由牛顿第二定律有
设运动时间为，由运动学公式可得
解得
故A错误，B正确；
CD．小球所受洛伦兹力不做功，因此洛伦兹力在沿管道方向分力做正功的大小等于垂直于管道向左的分力做负功的大小，管道对小球的作用力始终与洛伦兹力垂直于管道向左的分力平衡，则有
管道对小球作用力的平均功率
故C错误，D正确。
故选BD。
清单02 带电粒子在匀强磁场中的运动
考题1：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
15．（22-23高二下·宁夏石嘴山·期末）镭（）是历史上第一个被分离出来的放射性元素，已知能自发放出粒子而变成新核，已知的质量，的质量，粒子的质量。如图所示，一个静止的镭核在匀强磁场中发生衰变，衰变后两粒子运动平面与磁场垂直（涉及比值时，质量可取整数）求：
（1）粒子与核在磁场中运动的半径之比和周期之比；
（2）衰变过程中放出的能量（）。

【答案】（1），；（2）
【详解】（1）静止的镭核衰变时动量守恒，粒子与核运动方向相反，因此均带正电，在磁场中所受洛伦兹力方向相反，偏转方向相反；又因粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，故两粒子的运动轨迹为两外切圆，由动量守恒知
由
可得
由电荷数守恒可知核的电荷量为
可知粒子与核在磁场中运动的半径之比
由周期公式
可知粒子与核在磁场中运动的周期之比为
（2）衰变过程中的质量亏损
衰变过程中放出的能量为
16．（22-23高二下·北京海淀·期末）活的植物通过光合作用和呼吸作用与环境交换碳元素，体内碳14的比例与大气中的相同。植物枯死后，遗体内的碳14仍在衰变，不断减少，但是不能得到补充。因此，根据放射性强度减小的情况就可以推算植物死亡的时间。
（1）某建筑工地上发现地下有一棵死去的古树，测出该古树碳14的含量是现代植物的，求这棵古树距今多少年？已知碳14的半衰期为5730年。
如图所示，在范围足够大的垂直纸面向里的匀强磁场中，静止在S点的碳14核发生一次衰变，产生的粒子速度方向如图所示，且粒子与氮核恰好在纸面内做匀速圆周运动。已知粒子与氮核质量之比为，不计重力。
（2）写出衰变方程，求粒子与氮核做圆周运动的半径之比，并在答题纸相应位置作出两者的运动轨迹（作图需要显示半径大小的定性关系）。
（3）求粒子与氮核做圆周运动形成的等效电流之比，两者形成的电流方向相同还是相反？

【答案】（1）28650年；（2）；； （3），电流方向相同
【详解】（1）由题意可知，该古树死去后已经经历了5个半衰期，则有
可知这棵古树距今28650年。
（2）根据质量数和电荷数守恒，衰变方程为
衰变过程动量守恒，则有
根据洛伦兹力提供向心力可得
可得
可知
轨迹如图所示

（3）粒子在磁场中的运动周期为
根据
则有
根据左手定则可知，两者形成的电流方向相同。
考题2：带电粒子在直线边界磁场中的运动
17．（多选）（22-23高二下·河南平顶山·期末）如图所示，匀强磁场垂直于平面向里，轴和轴是磁场的边界，是轴上与距离为的一点。一质量为、电荷量为的质子从轴上的点以初速度垂直于轴方向射入磁场，质子能够打到轴上的点，此时速度方向与轴正方向成角；若质子在轴上的入射点右移，当入射点在点（点没有画出）右侧时，在入射速度大小不变的前提下，无论怎样调整的方向，质子都不能打到点。下面说法正确的是（ ）
A．质子在磁场中运动的半径为
B．匀强磁场的磁感应强度大小为
C．之间距离为
D．从点射入到恰好打到点时，射入速度与轴正方向成
【答案】BC
【详解】A．粒子运动轨迹如图，根据几何关系
解得质子在磁场中运动的半径为2L，故A错误；
B．根据
解得
故B正确；
C．当入射点在点（点没有画出）右侧时，在入射速度大小不变的前提下，无论怎样调整的方向，质子都不能打到点，说明PN连线为对应圆弧的直径，之间距离为
故C正确；
D．从点射入到恰好打到点时，设射入速度与轴正方向成角，根据几何关系可知，与互余，则
不是30°，则射入速度与轴正方向夹角不是60°，故D错误。
故选BC。
18．（22-23高二下·河南平顶山·期末）如图所示，边长为正方形内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为，一束速度不等的带负电粒子自点与成角方向射入磁场。粒子进入磁场区域后经磁场偏转从之间离开磁场。已知带电粒子质量为、电荷量为，粒子重力不计。求：
（1）粒子速度的取值范围；
（2）从点、点离开磁场的粒子在磁场中运动的时间之比。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）带电粒子在磁场中运动的两个临界轨迹如图
设最小半径为，根据几何关系可得
解得
设最大半径为，根据几何关系可得
其中
解得
由洛伦兹力提供向心力有
可得粒子速度大小的取值范围为
（2）粒子在磁场中运动的时间
又
所以运动时间与粒子在磁场中转过的圆心角成正比，因此可得
考题3：带电粒子在弧形边界磁场中的运动
19．（多选）（22-23高二下·内蒙古赤峰·期末）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。M为磁场边界上一点，有无数个带电量为，质量为的相同粒子（不计重力及粒子间相互作用）在纸面内向各个方向以相同的速率通过M点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于上，的弧长是圆周长的，下列说法正确的是（ ）

A．粒子从M点进入磁场时的速率为v＝
B．从N点离开的粒子在磁场中运动的时间为t＝
C．从N点离开的粒子在N点速度反向延长线过磁场区域的圆心
D．若将磁感应强度的大小增加到B，则粒子射出边界的圆弧长度变为原来的
【答案】AD
【详解】A．边界上有粒子射出的范围是偏转圆直径为弦所对应的边界圆弧长，则可知旋转圆的半径为
粒子在磁场中，由洛伦兹力充当向心力有
解得
故A正确；
BC．当M点的粒子竖直向上，速度反向延长线不会经过磁场区域的圆心，则从N点离开的粒子，速度反向延长线不会经过磁场区域的圆心，如图

而粒子的运动周期
粒子在磁场中运动时间为
联立解得
故BC错误；
D．根据洛伦兹力充当向心力可得
当磁感应强度增加到原来的倍时，偏转圆半径为
此时弧长对应的弦长为，因此可知，有粒子射出的边界圆弧对应的圆心角为60°，则粒子射出边界的圆弧长度变为原来的，故D正确。
故选AD。
20．（22-23高二下·广东韶关·期末）在科学研究中，可以通过施加适当的磁场来实现对带电粒子运动的控制。在如图所示的平面坐标系xOy内，以坐标原点O为圆心，半径为R的圆形区域外存在范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B。原点O处有一质量为m、电荷量为＋q的a粒子，点，有一质量也为m、不带电的静止的b粒子，某时刻a粒子以一定速度沿y轴正方向运动，到P点与b粒子发生完全非弹性碰撞，碰撞后两粒子合在一起成为粒子c，在磁场区域偏转，经点进入无场区域射向原点O，各粒子重力均不计，求：
（1）a粒子从O点开始运动的速度；
（2）c粒子离开P点后经多长时间第一次回到P点。

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示，a、b粒子碰撞，根据动量守恒有
c粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有
由运动轨迹，由几何关系可知，OQ与x轴负半轴的夹角满足
得

c粒子做圆周运动半径为
解得，
（2）粒子运动轨迹如图所示，c粒子在磁场中运动时间

c粒子在磁场中做圆周运动的周期
得
c粒子在无场区做匀速直线运动，则有
得
c粒子第一次回到P点时间
考题4：根据粒子的运动确定磁场区域的范围
21．（22-23高二下·河北秦皇岛·期末）如图所示，在坐标系xOy中存在两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，两区域的边界均为矩形且磁场方向均垂直于坐标平面（图中未画出），一质量为m、电荷量为的带电粒子以大小为、方向与y轴正方向成30°角的速度从P（0，6d）点垂直磁场射入匀强磁场Ⅰ中，经偏转后恰好能沿x轴负方向运动并经过坐标原点O，经第二象限内的匀强磁场Ⅱ偏转后恰好沿着与y轴正方向成30°角的速度经过P点。不计粒子重力，求：
（1）磁场Ⅰ的磁感应强度大小及磁场Ⅰ的最小面积；
（2）磁场Ⅱ的磁感应强度最小值；
（3）磁场Ⅱ的磁感应强度取最小值时，该粒子从P点射出到第一次回到P点所需的时间。

【答案】（1），；（2）；（3）
【详解】（1）根据题意，画出粒子在匀强磁场Ⅰ中的运动轨迹，如图所示

由几何关系可得
解得
又有
解得
根据题意结合上述分析可知，磁场Ⅰ的面积最小时的矩形如图所示

由几何关系可得，矩形的长为
宽为
则磁场Ⅰ的最小面积为
（2）由题意可知，当该粒子离开点就进入磁场Ⅱ时,粒子在磁场中运动的半径最大，此时对应的磁场Ⅱ的磁感应强度最小，运动轨迹如图所示

设最小磁感应强度为，半径为，由牛顿第二定律有
解得
由几何关系有
解得
可得
（3）粒子在磁场中运动的周期为
又有
解得
则粒子在磁场Ⅰ中的周期为
粒子在磁场Ⅱ中的周期为
结合几何关系可得，粒子从P点射出到第一次回到P点所需的时间为
22．（22-23高二下·安徽六安·期末）如图所示，一个质量为m，带电量为的粒子沿y轴正方向以速度从O点射入第一象限磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为。其中m、q、、B为已知量，粒子的重力不计，试求：
（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；
（2）粒子在磁场中运动的时间t；
（3）若在x轴下方充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，要使粒子从b射出后能直接回到O点，则？

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）作出轨迹如图所示：

带电粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力
由分析可知带电粒子从O处进入磁场，转过后离开磁场，再做匀速直线运动从b点射出，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，连接粒子在磁场区入射点和出射点得弦长为
要使圆形磁场区域面积最小，其半径刚好为的一半，即有
则圆形匀强磁场区域的最小面积
（2）粒子在磁场中运动的周期
（3）根据几何关系可知
要使粒子能直接从回到O点，的方向为垂直纸面向外，由几何关系知：轨道半径
解得
由洛伦兹力提供向心力得
解得
考题5：带电粒子电性不确定形成的多解问题
23．（多选）（22-23高二下·全国·课前预习）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得
根据线速度和周期的关系，可得
联立解得
由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为
故选AD。
24．（多选）（20-21高二下·四川资阳·期末）如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回（水平速度不变，竖直方向速度等大反向）。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出。下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子一定带负电荷
B．带电粒子的速度最小值为
C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为
D．带电粒子在磁场中运动时间可能为
【答案】CD
【详解】AC．若粒子带正电，根据题意粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回，当粒子到挡板的速度刚好垂直于挡板时，粒子与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，粒子运动轨迹如图所示
由几何知识得
解得
根据牛顿第二定律得
解得
根据动量定理得
同理，当粒子带负电时，如图
此时粒子通过MN的中点时也能恰好从Q点射出，故粒子可能带负电，此时粒子的运动轨迹半径不一定为，结合前面分析可知受到挡板作用力的冲量可能为，故A错误，C正确；
B．若粒子的运动轨迹如图所示
由左手定则可知粒子带负电，粒子做圆周运动的半径最小为
由牛顿第二定律得
解得
故B错误；
D．若粒子带负电，粒子在磁场中的运动轨迹半径为L时，此时对应的圆心角为，如图所示
粒子在磁场中的运动时间为
故D正确。
故选CD。
考题6：磁场方向不确定形成的多解问题
25．（多选）（2023高二·全国·专题练习）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（ ）
A．，垂直纸面向里B．，垂直纸面向里
C．，垂直纸面向外D．，垂直纸面向外
【答案】BD
【详解】AB．当所加匀强磁场方向垂盲纸面向里时，由左手定则知：负离子向右偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（大圆弧）
由几何知识知
而
所以
所以当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出
所以得
故A错误，B正确；
CD．当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则知：负离子向左偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（小圆弧）
由几何知识知道相切圆的半径为，所以当离子轨迹的半径小于时满足约束条件。
由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出
所以得
故C错误，D正确。
故选BD。
26．（多选）（2023·湖北·模拟预测）如图所示的xOy坐标系中，y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y轴上（0，）处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的轨道半径为L，最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为
B．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O点的时间为
C．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为
D．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为
【答案】AD
【详解】
A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，由题意作出粒子的运动轨迹，如图甲所示
根据
解得
由几何关系可知
则有
A正确；
B．由几何关系可知粒子在y轴右侧偏转的角度为60°，则粒子从射入到运动至O点的时间
由于
解得
B错误；
CD．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴左右两侧各偏转一次经过O点，如图乙所示，由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径
则y轴左侧磁场的磁感应强度大小
粒子运动的时间
由于
解得
若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴的左侧偏转一次、在y轴的右侧偏转两次经过O点，如图丙所示
由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径
则y轴左侧磁场的磁感应强度大小
粒子运动的时间
由于
解得
C错误，D正确。
故选AD。
考题7：临界状态不唯一形成的多解问题
27．（多选）（23-24高二下·山东济宁·阶段练习）如图所示，边长为3L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为+q不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度v0为哪些值时粒子能通过B点（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】粒子可能的轨迹如图所示
由几何关系得（n=1,2,3）
由牛顿第二定律得
解得（n=1,2,3）
n=1时
n=3时
粒子可以通过B点，故AC符合题意，BD不符合题意。
故选AC。
28．（22-23高二下·山东菏泽·期中）如图所示，正方形abcd区域（包含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电量为q的正电粒子从a点沿着ab方向射入磁场中，边长为l，不计粒子的重力，为使粒子从cd边射出磁场区域，粒子的速度可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据洛伦兹力充当向心力，有
可得
可知对于同一粒子或比荷相同的粒子，在同一磁场中做圆周运动的轨迹半径由速度决定，速度越大轨迹半径越大，速度越小则轨迹半径越小。因此，粒子若要从cd边射出磁场区域，则恰好从d点出射时，粒子有最小速度，且此时ad为粒子轨迹的直径，有
解得
若粒子恰好从c点射出，粒子有最大速度，根据几何关系可知，此时粒子的轨迹半径为，则有
解得
综上可知，若粒子从cd边射出磁场区域，则粒子速度的取值范围为
故选C。
考题8：带电粒子在复合场中的运动
29．（22-23高二下·安徽滁州·期末）如图，在直角坐标系中，在第三象限有一平行轴放置的平行板电容器，板间电压。现有一质量，带电量的带正电的粒子（不计重力），从下极板处由静止开始经电场加速后通过上板上的小孔，垂直轴从点进入轴上方的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度。粒子经磁场偏转后又从点垂直轴进入第四象限，第四象限中有平行于轴负方向的匀强电场，粒子随后经过轴负半轴上的点，此时速度方向与轴负半轴成角。已知。求：
（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径；
（2）第四象限中匀强电场场强的大小。
【答案】（1）1m；（2）300V/m
【详解】（1）设粒子飞出极板的速度为，由动能定理
代入数据解得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
代入数据得r=1m
（2）设粒子运动到点时，沿轴负向的分速度大小为，则有
由牛顿第二定律得
由匀变速直线运动的速度位移公式得
其中，代入数据得
30．（22-23高二下·内蒙古赤峰·期末）如图xOy平面直角坐标系，在第一象限存在与y轴平行竖直向下的匀强电场，第二象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，一电荷量为q,质量为m的带正电粒子，在x轴上的a点以速度v0垂直x轴射入磁场，从y轴上y＝L处的b点沿垂直于y轴方向进入电场，并经过x轴上x＝L处的c点，求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）电场强度E的大小。

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
由几何关系得圆周运动的半径为r＝L
解得磁感应强度的大小
（2）带电粒子在电场中做类平抛运动，设粒子的加速度为a，水平方向有
竖直方向有
其中
解得
考题9：带电粒子在组合场中的运动
31．（22-23高二下·山东济宁·期末）某离子加速偏转实验装置部分的示意图如图所示，z轴正方向垂直于平面向外。粒子在加速器内经电压加速后，在（，，）点沿x轴正方向进入I区域，该区域沿x轴方向的宽度为，区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小。粒子经偏转后进入II区域，该区域沿x轴方向的宽度为，内部某圆形区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为。粒子经过II区域的磁场后速度方向偏转，再进入III区域，该区域存在沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，粒子离开III区域时速度方向平行于平面，且与z轴负方向成角。已知粒子的电荷量为、质量为，不计粒子重力。求：
（1）粒子在I区域内沿y轴方向的侧移量；
（2）II区域内圆形磁场区域的最小面积；
（3）III场区沿x轴方向的可能宽度。

【答案】（1）；（2）；（3）（，，）
【详解】（1）粒子经过加速器过程，根据动能定理可得
解得
粒子在I区域内做类平抛运动，则有
，，
联立解得
（2）粒子离开I区域时速度大小为，方向与x轴正方向的夹角为，则有
，，
联立解得
，，
粒子进入II区域中圆形区域的匀强磁场中，由洛伦兹力提供向心力得
解得
粒子经过II区域的磁场后速度方向偏转，如图所示

当粒子轨迹对应弦长对于圆形磁场直径时，圆形磁场的面积最小，则有
II区域内圆形磁场区域的最小面积为
（3）粒子进入III区域时速度方向与y轴负方向成角，将粒子进入III区域时的速度分解到轴方向和方向，则有，，
由于磁场方向在沿x轴正方向，则粒子沿x轴正方向以做匀速直线运动，同时粒子在平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得
解得
根据题意有粒子离开III区域时速度方向平行于平面，且与z轴负方向成角，由于
则粒子在平面内做匀速圆周运动离开时速度方向刚好沿z轴负方向，粒子在III区域中的运动时间为（，，）
则III场区沿x轴方向的宽度为（，，）
32．（22-23高二下·云南楚雄·期末）如图所示，质量为 m、带电荷量为q的小物块从半径为R的固定光滑绝缘半圆槽顶点A 由静止滑下，整个装置处于方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。已知物块所带的电荷量保持不变，物块运动过程中始终没有与半圆槽分离，重力加速度大小为g，求：
（1）物块运动过程中的最大速度vmax；
（2）物块对半圆槽的最大压力Fmax。

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）物块运动过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律可知物块到达圆槽最低点时速度最大，有
解得
（2）物块在半圆槽内做往复运动，当物块在最低点受到向下的洛伦兹力时，物块对半圆槽的压力最大，有
解得
方向
左手定则
大小
直导线
F＝BIL sin θ，当θ＝0时，F＝0；当θ＝90°时，F＝BIL
导线为曲线时
等效为ac直线电流
放缩圆
旋转圆
平移圆
适用条件
粒子速度方向一定，速度大小不同
粒子的速度大小一定，轨迹半径一定，速度方向不同
粒子的速度大小、方向均一定，从同一直线边界进入匀强磁场的入射点位置不同
运动分析
以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件
将一半径为R＝ eq \f(mv0,qB)的圆 以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件。
将半径为R＝ eq \f(mv0,qB)的圆进行平移
（轨迹圆的所有圆心在一条直线上）
图例
带电性不确定
磁场方向不确定
临界状态不唯一
运动周期性（往复性）
图例
原因分析
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中的运动轨迹不同，因而形成多解
有些题目只给出了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须考虑由磁感应强度方向不确定而形成的多解
如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接穿过去了，也可能转过180°从入射界面反向飞出，于是形成了多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，往往具有往复性，因而形成多解