专题18 函数的概念及其表示-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点一：函数的概念
1、函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数.
记作：，．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
知识点诠释：
(1)A、B集合的非空性；(2)对应关系的存在性、唯一性、确定性；(3)A中元素的无剩余性；(4)B中元素的可剩余性。
2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
3、区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
(2)无穷区间；
(3)区间的数轴表示．
区间表示：
； ；
； ；
； .
知识点二：函数的表示法
1、函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.
2、分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
知识点三：函数定义域的求法
(1)确定函数定义域的原则
①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.
③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合。
(2)抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。
(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
知识点四：函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
【题型归纳目录】
题型一：函数的概念
题型二：给出解析式求函数的定义域
题型三：抽象函数求定义域
题型四：给出函数定义域求参数范围
题型五：同一函数的判断
题型六：给出自变量求函数值
题型七：求函数的值域
题型八： 求函数的解析式
题型九： 分段函数求值、不等式问题
题型十： 区间的表示与定义
【典例例题】
题型一：函数的概念
例1．(2023·江苏扬州·高一统考期中)下列对应是集合到集合的函数的是( )
A．，
B．，，
C．，
D．，
【答案】A
【解析】对于A选项，满足函数的定义，A选项正确；
对于B选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故B选项错误；
对于C选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故C选项错误；
对于D选项，集合A中当时，在集合B中都有两个元素与x对应，不满足函数的定义，故D选项错误.
故选：A．
例2．(2023·高一课时练习)下列说法不正确的是( )
A．圆的周长与其直径的比值是常量
B．任意凸四边形的内角和的度数是常量
C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系
D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系
【答案】D
【解析】对A，根据圆周长公式，其中为圆周长，为圆直径，故，为常量，故A正确；
对B，根据任意凸四边形内角和为，故B正确；
对C，受重力因素影响可知发射升空后火箭的高度与发射的时间之间是函数关系，故C正确；
对D，某商品的广告费用与销售量之间的关系不确定，不是函数关系，故D错误.
故选：D.
例3．(2023·高一课时练习)下列变量间为函数关系的是( )
A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系
D．生活质量与人的身体状况间的关系
【答案】C
【解析】对选项A：匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程是常量，不满足；
对选项B：某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系是依赖关系，不满足；
对选项C：耗电量与时间t的关系是，是确定的函数关系；
对选项D：生活质量与人的身体状况间的关系是依赖关系，不满足.
故选：C
变式1．(2023·湖南郴州·高一校考阶段练习)下列各函数图象中，不可能是函数的图象的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于ABD选项，对于每个都有唯一对应的与之对应，ABD选项中的图象均为函数的图象；
对于C选项，存在，使得这个有两个与之对应，C选项中的图象不是函数的图象.
故选：C.
变式2．(2023·河南·高一校考阶段练习)下列图象中，表示函数关系的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，只有选项D的图象满足.
故选：D.
变式3．(2023·广西玉林·高一校考期末)设集合，.下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有( )
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】C
【解析】①中：因为在集合中当时，
在中无元素与之对应，所以①不是；
②中：对于集合中的任意一个数，
在中都有唯一的数与之对应，所以②是；
③中：对应元素，所以③不是；
④中：当时，在中有两个元素与之对应，
所以④不是；
因此只有②满足题意，
故选：C.
变式4．(2023·上海·高一专题练习)下列等量关系中，是的函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A，当x＝0时，y＝±1，不符合函数的定义，故选项A错误；
对于B，当x＝1时，y＝±1，不符合函数的定义，故选项B错误；
对于C，满足函数的定义，故选项C正确；
对于D，当x＝2时，y＝±2，不符合函数的定义，故选项D错误.
故选：C.
题型二：给出解析式求函数的定义域
例4．(2023·高一课时练习)函数的定义域是( )
A．B．
C．D．或
【答案】A
【解析】的自变量需满足，所以定义域为，
故选：A
例5．(2023·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中)函数的定义域为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据函数形式可知，函数的定义需满足
，解得：且，
所以函数的定义域为.
故选：B
例6．(2023·高一单元测试)已知函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，解得，故定义域为.
故选：B
变式5．(2023·江西九江·高一校考阶段练习)若代数式有意义，则实数( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为有意义，所以，所以，
所以或，即实数.
故选：C.
变式6．(2023·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末)若函数，则的定义域为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】要使函数有意义，则，
则，解得：或，
所以函数的定义域为，
故选：B
变式7．(2023·福建泉州·高一福建省安溪第一中学校考阶段练习)已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题知：，，
根据三角形三边关系得到，
所以函数的定义域为.
故选：A
变式8．(2023·高一课时练习)已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为( )
A．{x|x∈R}B．{x|x>0}
C．{x|0【答案】D
【解析】由题意知解得即定义域为
故选：D.
题型三：抽象函数求定义域
例7．(2023·高一单元测试)已知函数的定义域是，则的定义域是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数的定义域是，
所以，所以,即的定义域为，
所以，解得，即的定义域是.
故选:C.
例8．(2023·高一单元测试)若函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，故，故函数的定义域为.
故选：D
例9．(2023·全国·高一专题练习)已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵函数的定义域为，即，可得，
∴函数的定义域为，
令，解得，
故函数的定义域为.
故选：B.
变式9．(2023·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中)已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，则，因此在中，，
函数有意义，必有，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C
变式10．(2023·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末)若函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数的定义域为，
所以，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A.
变式11．(2023·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期末)已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】的定义域为，所以，
因此的定义域为，所以的定义域满足 ，即
故选：B
变式12．(2023·全国·高一专题练习)已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，即，则，
所以对于，有，解得，即的定义域为；
由解得，
所以的定义域为.
故选：A
题型四：给出函数定义域求参数范围
例10．(2023·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期中)若函数的定义域为，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意，
在中，定义域为，
当时，，符合题意；
当时，
，
解得：，
综上，.
故答案为：.
例11．(2023·高一课时练习)函数的定义域为M．若，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】若，则，即，
故当时，．
故答案为：
例12．(2023·全国·高一专题练习)若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为________.
【答案】.
【解析】的定义域为R，则恒成立，所以，所以实数a的取值范围为.
变式13．(2023·天津和平·高一校考期中)若函数的定义域为，则实数的取值范围_________．
【答案】
【解析】的定义域为是使在实数集上恒成立.
若时,要使恒成立,则有 且,即,解得.
若时，化为，恒成立，所以满足题意，
所以
综上,即实数a的取值范围是.
故填: .
变式14．(2023·高一课时练习)若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】∵函数的定义域为，
∴在上恒成立．
①当时，恒成立，满足条件．
②当时，若函数的定义域为，则，解得．
综上可得实数的取值范围是．
答案：
题型五：同一函数的判断
例13．(2023·高一课时练习)下列各函数中，与函数表示同一函数的是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，故的定义域为,
对于A，的定义域为，且解析式与相同，故为同一个函数，
对于B,，故不是同一个函数，
对于C,的定义域为，而对定义域为，定义域不同，不是同一个函数，
对于D,的定义域为，而对定义域为，定义域不同，不是同一个函数，
故选:A
例14．(2023·高一课时练习)下列各组函数为同一函数的是( )
①与;
②与;
③与.
A．①②B．①C．②D．③
【答案】B
【解析】对①:与的定义域、对应关系均相同，是同一函数；
对②:由，而,对应关系不同，不是同一函数；
对③：，，对应关系不同，不是同一函数.
故选：B
例15．(2023·高一课时练习)下列四组函数，表示同一函数的是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，因为与对应法则不一致，不是同一函数；
对于B，因为定义域为，而的定义域为R，
所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于C，因为定义域为，而的定义域为，
所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于D，，的定义域均为R，对应关系也相同，值域也相同，
故能表示同一函数.
故选：D.
变式15．(2023·全国·高一专题练习)下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【解析】对选项A，因为定义域为R，定义域为R，定义域相同，
但，所以，不是同一函数，故A错误；
对选项B，因为定义域为R，定义域为，
定义域不同，所以，不是同一函数，故B错误；
对选项C，因为定义域为，定义域为，
定义域不同，所以，不是同一函数，故C错误；
对选项D，因为定义域为R，定义域为R，
又，所以，是同一函数，故D正确.
故选：D
变式16．(2023·上海青浦·高一统考开学考试)下列四组函数中，表示相同函数的一组是( )．
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】对于A，与定义域均为，所以，
与为相等函数，A正确；
对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；
对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；
对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.
故选：A.
变式17．(2023·湖南郴州·高一校考阶段练习)下列函数与是同一函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】的定义域为，
对选项A：，定义域为，且解析式相同，正确；
对选项B：的定义域为，错误；
对选项C：，解析式不同，错误；
对选项D：的定义域为，错误.
故选：A
题型六：给出自变量求函数值
例16．(2023·高一单元测试)若，则__________．
【答案】5
【解析】，
.
故答案为：5
例17．(2023·河北邯郸·高一校考期末)已知函数满足，则__________.
【答案】1
【解析】因为，
令，可得.
故答案为：1.
例18．(2023·重庆璧山·高一重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习)设，则__________.
【答案】
【解析】由解得，
所以.
故答案为：
变式18．(2023·甘肃庆阳·高一校考期末)已知定义域为R的函数，，则_.
【答案】
【解析】依题意，，所以.
故答案为：
变式19．(2023·海南儋州·高一校考期末)已知，那么＝______．
【答案】/
【解析】由题意可得：，
故.
故答案为：.
变式20．(2023·重庆北碚·高一统考期末)已知函数，分别由下表给出，则 ___________.
【答案】
【解析】由表可得，
故答案为：
变式21．(2023·河南南阳·高一盐城市大丰区南阳中学校考期末)已知f(2x+1)＝，则f(1)＝______.
【答案】1
【解析】根据题意，令，解得，代入可得，
故答案为：1．
变式22．(2023·上海普陀·高一曹杨二中校考期末)已知函数满足：对任意非零实数x，均有，则__________．
【答案】
【解析】，取，则，即.
故答案为：
变式23．(2023·广西贺州·高一校考期末)已知函数，则______．
【答案】8
【解析】令，则，，
所以.
所以，
故答案为：.
题型七：求函数的值域
例19．(2023·浙江杭州·高一校考阶段练习)求下列函数的值域.
(1);
(2);
(3),.
【解析】(1)设,则,
所以,
根据二次函数的图像和性质,函数的值域为.
(2)函数的定义域为,
,
所以函数的值域为.
(3)因为函数的对称轴为,
所以函数在单调递减,单调递增,
所以函数的值域为.
例20．(2023·高一课时练习)试求下列函数的定义域与值域.
(1)，
(2)
(3)
(4)
【解析】(1)函数的定义域为，则，
同理可得，，，，所以函数的值域为.
(2)函数的定义域为，因为，所以函数的值域为.
(3)函数的定义域为，因为，
所以函数的值域为.
(4)要使函数有意义，需满足，即，故函数的定义域是.
设，则，于是，
又，所以，所以函数的值域为.
例21．(2023·全国·高一专题练习)求下列函数的值域：
(1)；
(2)
(3)；
(4)．
【解析】(1)因为，，，，，所以函数的值域为．
(2)因为，且，所以，所以函数的值域为．
(3)因为，所以，所以函数的值域为.
(4)设(换元)，则且，令.
因为，所以，即函数的值域为.
变式24．(2023·高一课时练习)求的最小值.
【解析】因为，
当时，，
当时，，
当时，，
故函数的最小值为.
变式25．(2023·上海徐汇·高一上海中学校考期末)(1)求函数的值域；
(2)求函数的值域.
【解析】(1)，，
当时，，当且仅当时等号成立；
当时，，当且仅当时等号成立.
故函数值域为；
(2)函数定义域为，令 ，则，故函数值域为.
变式26．(2023·高一课时练习)已知函数的值域为[1，3]，求的值
【解析】由题意定义域为，则在上有解，当符合题意，当，即 的解集为[1，3]，故1和3为关于y的二次方程的两个根所以
解得
变式27．(2023·高一课时练习)若函数的最大值为，最小值为，则( )
A．4B．6
C．7D．8
【答案】B
【解析】设，，，
时，，
时，因为，所以，解得，即且，
综上，最大值是，最小值是，和为6．
故选：B．
变式28．(2023·高一课时练习)已知，且，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为，所以.
又因为，
所以，解得.
故答案为：.
题型八： 求函数的解析式
例22．(2023·江西南昌·高一进贤县第二中学校考阶段练习)根据下列条件，求的解析式.
(1)已知
(2)已知
(3)已知是二次函数，且满足
【解析】(1)令，则，，
所以由，
得，
所以；
(2)由，
得，
所以，
所以，
解得；
(3)由题意设，
因为，所以，
因为，
所以，
所以，
所以，得，
所以.
例23．(2023·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考阶段练习)(1)已知，求的解析式；
(2)已知是一次函数，且满足，求的解析式．
【解析】(1)令，则，，
因为，
所以，
所以；
(2)由题可设，则
，，
所以
，
所以，
所以，
所以.
例24．(2023·湖南株洲·高一校考期中)回答下面两题
(1)已知，求；
(2)已知函数是一次函数，若，求．
【解析】(1)方法一 (配凑法)：∵
，
∴．
方法二 (换元法)：令，则，
∴，
即．
(2)设，
则．
又，∴，
，解得，或
∴或．
变式29．(2023·湖南郴州·高一校考阶段练习)求下列函数的解析式
(1)若，求的表达式．
(2)已知，求的表达式．
【解析】(1)令，当时，则，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当时取等号，
所以，或，
且，所以，，其中或，
因此，(或).
(2)由已知条件可得，解得.
变式30．(2023·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习)已知函数的图象如图示，在直线的左侧是经过两点的线段(包括两个端点)，在直线的右侧是经过点且解析式为的曲线．
(1)求函数的解析式；
(2)求的值；
(3)求方程的解．
【解析】(1)当时，设，
∵的图象过两点，
∴且，解得，∴；
当时，，
∵的图象过点，∴，解得，∴，
综上，.
(2).
(3)当时，，由，得，解得；
当时，，由，得，解得，
综上，方程的解为：．
变式31．(2023·全国·高一专题练习)若函数，则______．
【答案】
【解析】令，则，
∴，故，
∴.
故答案为：.
变式32．(2023·辽宁葫芦岛·高一统考期末)已知函数为上的增函数，且对任意都有，则______.
【答案】
【解析】令，所以，
又因为，所以，
又因为是上的增函数且，所以，
所以，所以.
故答案为：.
变式33．(2023·高一课时练习)是R上的函数，且满足，并且对任意的实数都有，则的解析式_______
【答案】
【解析】令，代入得，
又，则，
∴，
故答案为：．
题型九： 分段函数求值、不等式问题
例25．(多选题)(2023·吉林松原·高一校考期末)已知函数，若，则实数a的值为( )
A．B．C．2D．8
【答案】AC
【解析】函数，而，
当时，，解得，满足条件，即有，
当时，，解得，显然不满足条件，则有，
所以实数a的值为或2.
故选：AC
例26．(多选题)(2023·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习)已知函数，若，则实数的值可以是( )
A．3B．C．4D．-4
【答案】BC
【解析】当时，得，解得或(舍去)；当时，得，解得.
故选：BC
例27．(多选题)(2023·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考期中)，且，则实数a的值为( )
A．－B．C．D．
【答案】ACD
【解析】当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得或(舍去)．
综上可知，实数a的值为－或或．
故选：ACD.
变式34．(多选题)(2023·四川宜宾·高一四川省宜宾市第四中学校校考期中)已知函数，若，则实数的值为( )
A．B．C．D．1
【答案】CD
【解析】因为函数，，
所以当时，，解得；
当时，，即解得，
故选：CD
变式35．(多选题)(2023·宁夏中卫·高一中宁一中校考阶段练习)如图是函数的图像，则下列说法正确的是( )
A．B．的定义域为
C．的值域为D．若，则或2
【答案】CD
【解析】由图像值，故A错误；
函数的定义域为，，故B错误；
函数的值域为，，故C正确；
若，则或2，故正确
故选：．
变式36．(多选题)(2023·全国·高一专题练习)下列给出的式子是分段函数的是( )
A．f(x)＝B．f(x)＝
C．f(x)＝D．f(x)＝
【答案】AD
【解析】对于A：，定义域为，且，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故A正确；
对于B：，定义域为，但不满足函数的定义，如当时，和，故不是函数，故B错误；
对于C：，定义域为，且，且和，故不是函数，故C错误；
对于D：，定义域为，且，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故D正确；
故选：AD
变式37．(2023·广西桂林·高一校考期中)设函数.
(1)求，；
(2)若，求的值.
【解析】(1)；
又，所以.
(2)①当时，，满足题意；
②当时，，满足题意；
③当时，，不满足题意.
综上①②③：的值为或.
变式38．(2023·广西梧州·高一苍梧中学校考阶段练习)已知函数.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【解析】(1)
，
(2)
当时，，解得，不成立；
当时，，解得或，成立；
当时，，解得成立.
综上，的值为或2.
变式39．(2023·广东佛山·高一校考阶段练习)已知函数.
(1)求，的值；
(2)作出函数的简图；
(3)由简图指出函数的值域；
【解析】(1)由，
∴， .
(2)简图如图所示：
(3)简图可知函数的值域为
变式40．(2023·重庆江津·高一校考期中)已知函数的解析式，
(1)求；
(2)若，求a的值；
【解析】(1)，
,
故.
(2)当时,,解得,成立;
当时,,解得或(舍);
当时,,解得,不成立，
的值为0或.
变式41．(2023·甘肃兰州·高一校考期末)已知函数.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【解析】(1)，
.
(2)当时，，解得或(舍)；
当时，，无解.
.
题型十： 区间的表示与定义
例28．(2023·高一课时练习)用区间表示集合__________．
【答案】
【解析】集合用区间表示为.
故答案为：
例29．(2023·高一课时练习)集合用区间形式表示应为______．
【答案】
【解析】，
故答案为: .
例30．(2023·高一课时练习)若为一确定区间，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得：，所以a的取值范围是．
故答案为：
变式42．(2023·高一课时练习)将集合用区间表示为___________.
【答案】/
【解析】根据题意，集合表示大于等于1小于5，且不等于3的实数的集合.
故可用区间表示为：
故答案为：.
变式43．(2023·高一课时练习)用区间表示下列集合．
(1)：______；
(2)：______；
(3)：______；
(4)R：______．
【答案】 /
【解析】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
故答案为：；；；
变式44．(2023·上海·高一专题练习)集合且用区间表示为__________________．
【答案】
【解析】集合且用区间表示为．
故答案为：．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中)十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集.(Cantr)”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下去.以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】第一次操作剩下：；
第二次操作剩下：；
第三次操作剩下：；
即从左到右第四个区间为.
故选：C.
2．(2023·高一单元测试)已知函数的定义域为,求实数的取值范围( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意函数的定义域为，
则当时，函数，其定义域为；
当时，需满足对一切实数都成立，
即，，
综上可知：.
故选：D.
3．(2023·江苏苏州·高一统考期中)已知函数，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在等式中，令可得.
故选：D.
4．(2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习)已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，，则，
即的定义域为，取，解得，
故函数的定义域为.
故选：D
5．(2023·全国·高一专题练习)下列函数中，值域是的是( )
A．B．，
C．，D．
【答案】D
【解析】对选项A：，即函数的值域为，错误；
对选项B：，则函数在上为减函数，则，即函数的值域为，错误；
对选项C：函数的定义域为，函数的，值域不连续，错误；
对选项D：，函数的值域为.
故选：D
6．(2023·高一课时练习)已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为( )
A．2，3B．3，4C．3，5D．2，5
【答案】D
【解析】函数的定义域为A，值域为B，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，；
所以，又，
所以若，解得或，因为，所以.
此时，所以，则；
若，又，所以不成立.
综上，.
故选：D.
7．(2023·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中)定义：称为区间的长度，若函数的定义域与值域区间长度相等，则的值为( )
A．B．C．4或D．与的取值有关
【答案】A
【解析】函数的值域为，所以区间的长度为.
设的解集为，所以.
因为，且，
所以，解得.
故选：A
8．(2023·山东青岛·高一青岛市即墨区第一中学校考期中)若函数的最大值为，最小值为，则( )
A．3B．2C．1D．0.5
【答案】C
【解析】由题意，，
①当时，；
②当时，，
因为，当且仅当时，即时，不等式取等号，
所以，
则在的值域为，
③当时，
由基本不等式可知，，即，
当且仅当时，即时，不等式取等号，
故，
则在的值域为，
综上所述，在上的值域为，
从而.
故选：C.
二、多选题
9．(2023·广东深圳·高一翠园中学校考期中)下列各组函数不是同一个函数的是( )
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】ABD
【解析】对于A，的定义域是，的定义域是R，定义域不同，故不是同一函数，A错；
对于B，与的对应关系不同，故不是同一函数，B错；
对于C，经过化简可知两函数的解析式与定义域都一样，所以为同一函数，C对；
对于D，的定义域是，的定义域是，定义域不同，故不是同一函数，D错.
故选：ABD
10．(2023·高一单元测试)下列集合不能用区间形式表示的是( )
A．B．
C．或D．
【答案】ABD
【解析】区间形式可以表示连续数集，是无限集
A,D是自然数集的子集，都不能用区间形式表示，
B选项，Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，
故只有C可以，区间形式为，
故选：ABD.
11．(2023·安徽合肥·高一校考阶段练习)函数的图象如图，则( )
A．函数的定义域为B．函数的值域为
C．D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应
【答案】BCD
【解析】由函数图象可知函数定义域为，故A错误；
由函数图象可知函数值域为，故B正确；
由图象可知，，，故，C正确；
由图象可知对于任意的时,x与y是一一对应关系，故此时都有唯一的自变量x与之对应，D正确，
故选：
12．(2023·高一课时练习)下面结论正确的是( )
A．若，则的最大值是
B．函数的最小值是2
C．函数()的值域是
D．，且，则的最小值是3
【答案】ACD
【解析】时，．，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，
从而的最大值是，A正确；
，当且仅当时等号成立，但无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，B错；
时，，，
因为，所以时，，时，，
时，．
所以值域是，C正确；
，且，，
，
则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4－1＝3，D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．(2023·高一课时练习)函数的最大值与最小值分别为M和m，则的值为__________．
【答案】2
【解析】依题意可得函数的定义域为，
即，则，所以，
所以，，即．
故答案为：2．
14．(2023·陕西西安·高一长安一中校考期末)已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】因为，即，所以，所以，所以.
故答案为：.
15．(2023·安徽滁州·高一安徽省定远县第三中学校联考期末)设二次函数(，)的值域是，则的最小值是____________．
【答案】
【解析】当二次函数的图象开口向上，且与轴有且只有一个交点时，其值域为，
∴，∴，，.
∴由基本不等式，，
当且仅当时等号成立．
∴的最小值是．
故答案为：.
16．(2023·河南信阳·高一校考阶段练习)已知函数的定义域为，则实数的取值范围______.
【答案】
【解析】当时，，则，得，即定义域为，舍去；
当时，，定义域为，符合；
当时，函数的定义域为，
则，解得或，
综合得实数的取值范围是
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·高一课时练习)求下列函数的定义域：
(1)；
(2).
【解析】(1)函数中，，解得且，
所以原函数的定义域为.
(2)函数中，，解得：，
解，即，，整理得，解得，
所以原函数的定义域为.
18．(2023·海南儋州·高一校考期末)已知函数，且.
(1)求a的值；
(2)当x>1时，求函数f(x)的最小值．
【解析】(1)由题意可得：，解得.
(2)由(1)可得：，
∵，则，
∴，当且仅当，即时等号成立，
所以，函数f(x)的最小值为5.
19．(2023·河南·高一校联考期中)已知函数．
(1)求；
(2)判断是否为定值，并求出的值．
【解析】(1)，，
故；
(2)，
故是定值3，
20．(2023·福建泉州·高一校考阶段练习)在“①，② A恰有两个子集，③”这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题.
已知集合.
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若集合A满足__________，求实数m的取值范围.
【解析】(1)若，则，，
，实数的取值范围为：；
(2)选①：若，则关于x的方程没有实数解，
所以，且，
所以；
选②：若A恰有两个子集，则A为单元素集，
所以关于x的方程恰有一个实数解，
讨论：①当时，，满足题意；
②当时，，所以.
综上所述，m的集合为；
选③：若，
则关于x的方程在区间内有解，
等价于当时，求的值域，
而
所以.
21．(2023·山东·高一统考期中)已知函数的定义域为集合A，集合．
(1)求集合A；
(2)请在下面这两个条件中任选一个，补充在横线处，并给出问题的解答．
①充分条件，②必要条件．
是否存在实数m，使得是的______？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】(1)函数有意义，，解得，
所以集合.
(2)选择①：是的充分条件，则，由(1)知，，解得，
所以实数m的取值范围为.
选择②：是的必要条件，则，由(1)知，，解得，
所以实数m的取值范围为．
22．(2023·广东韶关·高一校考阶段练习)已知函数．
(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；
(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)由题意，为方程的两个不等实数根，
，所以不等式为
，
解得或，所以不等式解集为.
(2)对恒成立，
令，即对恒成立，
因为函数开口向上，故只需满足，
解得，所以的取值范围为
(3)当时，，开口向上，对称轴为
当时，，，，
时，，由题意，
对任意，总存在，使成立，
即函数的值域是函数的值域的子集，
即，，
解得，所以的取值范围为.
1
2
3
1
3
1
3
2
1