专题17 二次函数与一元二次方程、不等式-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点一：一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．
知识点二：二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.
知识点三：一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
知识点诠释：
(1)一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
(2)表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
(3)解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.
知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的字母表示题中的未知数；
(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案．
知识点六：一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
知识点七：简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
【题型归纳目录】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
题型四：一次分式不等式的解法
题型五：实际问题中的一元二次不等式问题
题型六：不等式的恒成立与有解问题
题型七：一元二次方程根的分布问题
【典例例题】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
例1．(2023·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试)解不等式：
(1)；
(2).
【解析】(1)由得，即，
，
，
即不等式的解集为；
(2)由得，
即，不可能成立，
即不等式的解集为.
例2．(2023·全国·高一专题练习)求解下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
【解析】(1)由可得，解得或，
故原不等式的解集为或.
(2)由可得，解得，
故原不等式的解集为.
(3)由可得，即，解得，
故原不等式的解集为.
(4)由可得，解得，
故原不等式的解集为.
(5)由可得，解得，
故原不等式的解集为.
例3．(2023·高一课时练习)不等式的解集是___________________.
【答案】
【解析】整理得，
∵抛物线开口向上， ，
所以原不等式的解集为．
故答案为：
变式1．(2023·高一课时练习) 的解集为___________________.
【答案】或
【解析】因为，
所以，
即，
所以或.
所以不等式的解集为或.
故答案为：或
变式2．(2023·高一课时练习)不等式的解集为___________________.
【答案】或
【解析】原不等式等价于,
所以，
即或，
故原不等式的解集为或.
故答案为：或
变式3．(2023·高一课时练习)不等式2x2＋x－15<0的解集为________．
【答案】
【解析】由2x2＋x－15＝(2x－5)(x＋3)<0，得，
∴原不等式的解集为.
故答案为：.
题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
例4．(2023·高一课时练习)已知不等式的解集为，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】因为不等式的解集为，
所以，可得，
所以可化为，
因为，所以可化为，
即，解得：或，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
例5．(2023·上海虹口·高一上外附中校考阶段练习)已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为___．
【答案】
【解析】由已知得，和2是的两个解，且a<0.则由韦达定理知，
解得，
则可化为
∵a<0 ∴不等式化为
解得，或
所以，不等式的解集为
故答案为：.
例6．(2023·青海海东·高一校考期中)已知是关于的二次方程的两根，则的大小关系是___________.
【答案】
【解析】如图是函数的图象(图中隐去了轴)，
为的两根，为与轴交点的横坐标.为的根，为与交点的横坐标，.
故答案为：.
变式4．(2023·高一课时练习)已知不等式的解集是，，则不等式的解集是____________.
【答案】
【解析】由不等式的解集是，可知：
，是一元二次方程的实数根，且；
由根与系数的关系可得：， ，
所以不等式化为 ，即：；
化为；
又，；
不等式的解集为：|}，
故答案为：
变式5．(2023·高一单元测试)若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】由已知得抛物线的开口向下，与x轴交于点，
故不等式的解集为．
故答案为：
变式6．(2023·高一课时练习)若一元二次不等式的解集是，则的值是_____.
【答案】
【解析】一元二次不等式的解集是,
则和是一元二次方程的实数根,
∴, 解得.
故答案为：
变式7．(2023·高一课时练习)若不等式的解集为或，则的值为________．
【答案】－3
【解析】原不等式可化为，
由已知，可得，且和是方程的两个实根，
即和是方程的两个实根，
所以，解得.
故答案为：.
变式8．(2023·安徽滁州·高一校考开学考试)已知不等式的解集为，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】由题意可得：，是方程的两根，且，
则由韦达定理可得：，解得，
所以不等式化为：，解得，
故所求不等式的解集为.
故答案为：．
题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
例7．(2023·高一单元测试)解关于x的不等式.
【解析】原不等式变为，
①当时，原不等式可化为，
所以当时，解得；
当时，解集为；
当时，解得
②当时，原不等式等价于，即.
③当时，，原不等式可化为，
解得或.
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或.
例8．(2023·高一课时练习)已知.
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)当时，解关于x的不等式.
【解析】(1)当时，，
解不等式，即，
解得，故不等式的解集为.
(2)不等式变形为.
①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为；
④当时，不等式的解集为
例9．(2023·高一课时练习)解关于x的不等式.
【解析】不等式对应方程的判别式，
(1)当，即或时，
由于方程的根是，
所以不等式的解集是或}；
(2)当，即时，不等式的解集为且；
(3)当，即时，不等式的解集为R，
故或时，不等式的解集是或}；
时，不等式的解集为且；
时，不等式的解集为R.
变式9．(2023·全国·高一专题练习)解下列关于的不等式．
【解析】方程： 且
解得方程两根：；
当时，原不等式的解集为：
当时，原不等式的解集为：
综上所述, 当时，原不等式的解集为：
当时，原不等式的解集为：
变式10．(2023·全国·高一专题练习)解下列关于的不等式．
【解析】当时，原不等式为，解集为；
当时，原不等式为，解集为；
当时，原不等式为，
若，即时，解集为或；
若，即时，解集为；
若，即时，解集为或；
综上，解集为；
解集为；
解集为或；
解集为；
解集为或.
变式11．(2023·全国·高一专题练习)解下列关于的不等式：．
【解析】由得或.
当，即时，不等式解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为．
综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为．
题型四：一次分式不等式的解法
例10．(2023·全国·高三专题练习)不等式的解集为________.
【答案】
【解析】原不等式可化为，
即，
即，即，
解得，
∴原不等式的解集为，
故答案为：
例11．(2023·全国·高一专题练习)不等式的解集为_________．
【答案】或
【解析】根据分式不等式解法可知等价于，
由一元二次不等式解法可得或；
所以不等式的解集为或.
故答案为：或
例12．(2023·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习)不等式的解集是___________.
【答案】
【解析】不等式即，
故不等式的解集是，
故答案为：
变式12．(2023·上海长宁·高三上海市延安中学校考开学考试)不等式的解集是________．
【答案】或}
【解析】，所以，解得或，
所以不等式的解集是或}.
故答案为：或}
变式13．(2023·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习)不等式的解集是________．
【答案】或
【解析】不等式可化为，故等价于，
利用数轴标根法解得或，
即不等式的解集是或.
故答案为：或.
题型五：实际问题中的一元二次不等式问题
例13．(2023·高一课时练习)某商品在最近天内的价格与时间 (单位：天)的函数关系是；销售量与时间的函数关系是，则使这种商品日销售金额不小于元的的范围为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由日销售金额为，即，
解得.
故选：B
例14．(2023·高一课时练习)某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为，生产x件所需成本为C(元)，其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是( )
A．20≤x≤30B．20≤x≤45
C．15≤x≤30D．15≤x≤45
【答案】B
【解析】设该厂每天获得的利润为y元，
则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)．
由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45，
所以日销量x的取值范围是20≤x≤45．
故选：B．
例15．(2023·浙江温州·高一校考阶段练习)某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位：)和汽车刹车前的车速(单位：)之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为( )(精确到1)
A．76B．77C．78D．80
【答案】B
【解析】设这辆汽车刹车前的车速为，
根据题意，有，
移项整理，得，
解得．
所以这辆汽车刹车前的速度至少为77．
故选：B
变式14．(2023·天津滨海新·高一校考期中)某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】结合题意易知，,即，解得，
因为，所以，
这批台灯的销隹单价的取值范围是，
故选：A.
变式15．(2023·江苏连云港·高一校考阶段练习)某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设且，整理得，可得.
故选：B
题型六：不等式的恒成立与有解问题
例16．(2023·全国·高一期末)已知不等式.
(1)若不等式的解集是或，求的值；
(2)若不等式的解集是，求的取值范围.
【解析】(1)由题意可知关于的二次方程的两根分别为、，
所以，解得；
(2)若不等式的解集为，即恒成立，
则满足，解得.
例17．(2023·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末)(1)，求实数a的取值范围;
(2)，求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为，
所以，即，
解得.
(2)因为，
所以，即，
解得或.
例18．(2023·云南楚雄·高一校考阶段练习)设.
(1)若，求的解集；
(2)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(3)解关于x的不等式.
【解析】(1)若，则，对应函数开口向下，
，
所以不等式的解集为
(2)由题意可得对一切实数成立，
当时，不满足题意；
当时，得
所以实数a的取值范围为
(3)由题意可得，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，
当时，，
当时，，
①当，解集，
②当，解集为或，
③当，解集为或.
综上所述，
当，不等式的解集为或，
当，不等式的解集为，
当，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
变式16．(2023·全国·高一专题练习)已知函数．
(1)若，解关于x的不等式(结果用含m式子表示)；
(2)若存在实数m，使得当时，不等式恒成立，求负数n的最小值．
【解析】(1)由题得：，即；
①时可得；
②时，，可得不等式的解集为或；
③时，，可得不等式的解集为或．
(2)时，恒成立，
即为对恒成立，
即存在实数m，使得对恒成立，
所以，因此
由于时，，在上均为单调递减的函数，故在上单调递减，
所以，即，所以负数的最小值为．
变式17．(2023·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习)已知不等式：①，②，③．
(1)分别求出不等式①与②的解集；
(2)若同时满足①②的值也满足③，求实数的取值范围．
【解析】(1)由①得，即，故解集为，
由②得，即，
解得解集或，
(2)或，
由题意得不等式的解集包含，
令，只需，
解得．
变式18．(2023·四川·高一校考阶段练习)已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，若对任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立.则t的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，
所以，解得，
因为对任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立，
所以为对任意﹣1≤x≤0，不等式恒成立，
令，
，
所以 ，
故答案为：
变式19．(2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中)设，若关于x的不等式对任意的恒成立，则的最大值为_________．
【答案】3.
【解析】因为对任意的恒成立，
所以，或，，
①若对任意的恒成立，则即，
当时，不成立，
②若对任意的恒成立，则，即，
若对任意的恒成立，则，得，
所以的最大值为，
故答案为：3.
变式20．(2023·黑龙江大庆·高一大庆市东风中学校考阶段练习)已知当时,不等式恒成立.求a的取值范围_______(集合形式作答).
【答案】
【解析】转化为当时,恒成立,
设,则.
函数的对称轴为,
函数的最小值为.
a的取值范围为.
故答案为:.
题型七：一元二次方程根的分布问题
例19．(2023·高一课时练习)关于的方程的两根均大于，则实数的取值集合为__________.
【答案】
【解析】不妨设关于的方程的两实数根为，，则，
若两根均大于，则，矛盾，
故不存在实数，使得关于的方程的两根均大于，
即实数的取值集合为.
故答案为：
例20．(2023·内蒙古·高一包钢一中校考阶段练习)关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件是__________.
【答案】或.
【解析】设、是方程的两根，则由题意知，
或.
故答案为：或.
例21．(2023·高一课时练习)已知函数的图像如图所示，求不等式的解集．
【解析】由图像可知，方程的根为1和2，
故，，即，，
所以不等式即，即，
等价于，解集为．
故答案为:
变式21．(2023·湖北武汉·高一校考期中)已知一元二次方程．
(1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件；
(2)写出“方程有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明．
【解析】(1)若方程有一个正根和一个负根，
则，即，．
方程有一个正根和一个负根的充要条件是．
(2)方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件是，
证明：若方程有一个正根和一个负根，
则由(1)知其充要条件为，
从而，故必要性成立．
若，则方程中，，，
方程有两个同号根，充分性不成立，
故是方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件．
变式22．(2023·上海宝山·高一上海市行知中学校考期中)已知关于的一元二次方程，
(1)若，求证：；
(2)若时方程有两个不相等的正实数根，求实数的取值范围.
【解析】(1)，，
，，．
(2)关于的方程有两个不相等的正实数根，
则，且，
，，
解得：．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·高一课时练习)关于x的方程至少有一个负根的充要条件是( )
A．B．C．或D．
【答案】B
【解析】当方程没有根时，，即，
解得；
当方程有根，且根都不为负根时，，
解得，
综上，，
即关于x的方程没有一个负根时，，
所以关于x的方程至少有一个负根的充要条件是，
故选:B.
2．(2023·高一课时练习)关于x的方程的解集不可能是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A，当时，原方程的解集为，A对；
对于B，把代人方程，可得，，
当时，原方程的解集为，
当时，原方程的解集为，B错；
对于C，把代人方程，可得或，当时, 原方程的解集为，C对；
对于D，当时，原方程的解集为空集，D对.
故选：B
3．(2023·浙江·高一校联考期中)已知，则是成立的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由可得：，
因为推不出，而能推出，
所以是成立的必要不充分条件
故选：B.
4．(2023·高一课时练习)若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为( )
A．和B．
C．D．和
【答案】A
【解析】若不等式的解集为，
则方程的两个根为且，
，解得，
则函数，
令，解得或，
故函数的图象与轴的交点为和.
故选：A.
5．(2023·高一单元测试)若集合，，则( )
A．
B．
C．R
D．或
【答案】D
【解析】或，，
∴或.
故选：D.
6．(2023·高一课时练习)已知不等式和不等式的解集相同，则实数的值分别为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，解得，
因为，不等式和不等式的解集相同，
故的两根为-2或，且，
由韦达定理得：，解得：，
故选：B.
7．(2023·高一课时练习)若，则等于( )
A．B．或C．D．或
【答案】B
【解析】∵，∴只有一个实数根.
当时，，此时；
当时，，所以，此时.
∴.故或.
故选：B.
8．(2023·湖南·高一校联考期中)若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是( )
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【解析】解不等式可得，
由可得，
①当时，即当时，不等式即为，解得，
此时，“”“”，不合乎题意；
②当时，即当时，解不等式可得或，
由题意可知，或，
所以，或，解得或，所以，；
③当时，即当时，解不等式可得或，
由题意可得或，
所以，或，解得或，此时.
综上所述，实数的取值范围是或.
故选：A.
二、多选题
9．(2023·高一课时练习)有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积可能为( )
A．7B．9C．11D．13
【答案】BC
【解析】设桶的容积为x，
根据题意可得关于x的一元二次不等式：，且，
化简可得，
，
故选：BC
10．(2023·江西·高一统考阶段练习)设，则函数的图象可能是( )
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】函数的图象的对称轴为，与轴的交点的坐标分别为，则，
A中，，则，，，∴，符合题意；
B中，，则，，，∴，符合题意；
C中，，则，，，∴，不符合题意；
D中，，则，，，∴，符合题意，
故选：ABD.
11．(2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中)已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是( )
A．B．的解集为
C．D．的解集为
【答案】ABD
【解析】关于的不等式的解集为或，
故，且，整理得到，，
对选项A： ，正确；
对选项B：，即，解得，正确；
对选项C：，错误；
对选项D：，即，即，
解得，正确.
故选：ABD
12．(2023·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习)下列命题不正确的是( )
A．集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的值为
B．若一元二次方程的解集为R，则k的取值范围为
C．设集合，，则“”是“”的充分不必要条件
D．正实数满足，则
【答案】AB
【解析】对于A，因集合有且仅有2个子集，则集合中只有一个元素，
当，，符合题意；当，，
综上所述，可得，，故A选项不正确；
对于B，因为一元二次不等式的解集为，可知，
可得且，故B选项不正确；
对于C，当时，，
当时，或，则或，
所以“”是“”的充分不必要条件，故C选项正确；
对于D，因正实数满足，
则，
当且仅当，即时取等号，故D选项正确.
故选：AB.
三、填空题
13．(2023·高一课时练习)当时，关于x的不等式的解集是__________．
【答案】或
【解析】∵，∴，
由得或，
故不等式的解集是或，
故答案为：或
14．(2023·陕西渭南·高一校考阶段练习)如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是__________．
【答案】①④
【解析】对于①，由图象可知，函数图象与轴有两个交点，
所以有两个不相等的实根，
所以，即，故①正确；
对于②，因为二次函数的对称轴为，
所以，即，故②错误；
对于③，由图象可知，，即，故③错误；
对于④，由图可知，，即.
由二次函数的对称性可知，，
所以，
由，得，即，于是有，故④正确.
故答案为：①④.
15．(2023·辽宁·高一校联考阶段练习)若集合，，则______．
【答案】
【解析】因为，所以，得，所以，
又因为，所以，得或，所以，
所以.
故答案为：
16．(2023·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末)若关于的不等式的解集中只有一个元素，则实数的取值集合为__.
【答案】
【解析】当时，原不等式即为，原不等式的解集中有无数个元素，不合乎题意；
当时，不等式等价于，因为不等式组的解集中只有一个元素，
则恒成立且方程有两个相等的实数根，
即，解得；
当时，不等式等价于，因为不等式组的解集中只有一个元素，
则恒成立且方程有两个相等的实数根，
即，解得.
综上所述，实数的取值集合为.
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·高一课时练习)已知等式对任意实数m恒成立，求所有满足条件的实数对的集合.
【解析】由于对任意实数m恒成立，
则对任意实数m恒成立，因此且，
所以，
当，当，
故满足条件的实数对的集合为
18．(2023·湖北宜昌·高一校考阶段练习)求解下列问题：
(1)已知都是正数．若，求的最小值．
(2)已知不等式的解集为或．求实数的值．
【解析】(1)(1)，
当且仅当即时，取等号．
所以的最小值为．
(2)因为不等式的解集为或．
所以与是方程的两个实数根，且，．
由根与系数的关系，可得，．
解得：，．
19．(2023·高一课时练习)已知，不等式的解集为A，且满足，求实数a的取值范围.
【解析】由得，
由于，所以，因此不等式的解为，
由可得且，解得，
20．(2023·高一课时练习)某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为元/个，出厂价为元/个，日销售量为个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为，同时预计日销售量增加的百分率为，为使日利润有所增加，求的取值范围．
【解析】设增加成本后的日利润为元．
.
要保证日利润有所增加，则，且，
即，解得.
所以为保证日利润有所增加，的取值范围是．
21．(2023·高一单元测试)已知，(其中实数).
(1)分别求出p，q中关于x的不等式的解集M和N；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【解析】(1)由，得；
，
∵，∴，
∴.
(2)∵p是q的必要不充分条件，∴，
∴或
解得，
又，∴，
即实数m的取值范围为.
22．(2023·高一课时练习)已知关于x的不等式，其中．
(1)求上述不等式的解；
(2)是否存在实数k，使得上述不等式的解集A中只有有限个整数？若存在，求出使得A中整数个数最少的k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)设不等式的解集A，
(ⅰ)当时，则不等式为，解得，
所以不等式的解集为；
(ⅱ)当时，令，解得或，
①当且时，原不等式化为，
因为，解得或，
所以不等式的解集为；
②当时，原不等式化为，解得，
所以不等式的解集为；
③当时，原不等式化为，
因为，解得，
所以不等式的解集为；
综上所述：当时，不等式的解集为；
当且时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
(2)存在，理由如下：
由(1)知：当时，A中整数的个数为无限个；
当时，A中整数的个数为有限个，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可得，所以当时，A中整数的个数最少；
综上所述：当时，A中整数的个数为有限个， 当时，A中整数的个数最少．
二次函数
()的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根