[数学][三模]黑龙江省佳木斯市2024年中考试题（解析版）

这是一份[数学][三模]黑龙江省佳木斯市2024年中考试题（解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求，请迭出并在答题卡上将选项涂黑）
1. 下列运算正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；故选：D．
2. 设计师石昌鸿耗时两年，将34个省市的风土人情、历史典故转化为形象生动的符号，别具一格．石昌鸿设计的以下省市的简称标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、该图不是轴对称图形，故不符合题意；
B、该图不是轴对称图形，故不符合题意；
C、该图不是轴对称图形，故不符合题意；
D、该图是轴对称图形，故符合题意；
故选：D．
3. 如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最少是（ ）
A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个
【答案】A
【解析】由题中所给出的主视图知物体共2列，且都是最高两层；由左视图知共行，所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列第一行1个小正方体，第一列第二行2个小正方体，第二列第三行2个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：1+2+2=5个．
故选A．
4. 2024年“五四”青年节到来之际，为鼓励学生“牢记使命，努力学习”，某校举办了演讲比赛，根据七位评委给小明的打分绘制了如下统计表：
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中的数据一定不发生变化的是（ ）
A. 平均数B. 方差C. 众数D. 中位数
【答案】D
【解析】由于中位数是将一组数据按照从小到大的顺序排列之后处在数列中点位置的数值，是典型的位置平均数，不受极端变量值的影响，
去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中的数据一定不发生变化的是中位数，
故选：D．
5. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ）
A. 45B. 50C. 55D. 60
【答案】B
【解析】设设每件售价应定为x元，根据题意，得
解得：，，
∵商家想尽快销售完该款商品，
∴，
∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元．
故选：B．
6. 若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D. 以上都不是
【答案】C
【解析】，
分式方程两边同乘以（3－x）得：
，
，
要使原分式方程无解，则有以下两种情况：
当时，即，整式方程无解，原分式方程无解．
当时，则，
令最简公分母为0，即
解得，
∴当，即时，原分式方程产生增根，无解．
综上所述可得：或时，原分式方程无解．
故选：C．
7. 小明准备用25元钱去文教用品商店购买价格分别为2元和3元的两种型号的考试中性笔，则小明选择的购买方案有（ ）
A. 6种B. 5种C. 4种D. 3种
【答案】C
【解析】设可以购买2元的中性笔x支，3元的中性笔y支，
依题意得：，
∴，
∵x，y均为非负整数，
∴或或或，
∴可供班委会选择的购买方案有4种．故选：C．
8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分，反比例函数的图象经过AE上的两点A，F，且，的面积为18，则k的值为（ ）
A. 6B. 12C. 18D. 24
【答案】B
【解析】如图，连接BD，
∵四边形ABCD为矩形，O为对角线，
∴AO=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
又∵AD为∠DAE的平分线，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OB∥AE，
∵S△ABE=18，
∴S△OAE=18，
设A的坐标为（a，），
∵AF=EF，
∴F点的纵坐标为，
代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a，），
∴E点的坐标为（3a，0），
S△OAE=×3a×=18，
解得k=12，
故选：B．
9. 如图，在四边形中，，，，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，取的中点，连接、，延长交于点，
∵，，，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选∶．
10. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，
②AP＝FP，
③AE＝AO，
④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，
⑤CE•EF＝EQ•DE．
其中正确的结论有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】B
【解析】①正确：如图，连接OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD，
∴∠BOC=90°，
∵BE=EC，
∴∠EOB=∠EOC=45°，
∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC=∠EAC+∠AEO，
∴∠AED+∠EAC+∠EDO=∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB=90°，故①正确；
②正确：如图，连接AF，
∵PF⊥AE，
∴∠APF=∠ABF=90°，
∴A，P，B，F四点共圆，
∴∠AFP=∠ABP＝45°，
∴∠PAF=∠PFA＝45°，
∴PA=PF，故②正确；
③正确：设BE=EC=a，则AE＝a，OA＝OC＝OB＝OD＝a，
∴，即AE＝AO，故③正确；
④错误：根据对称性可知，，
∴==2，
∵OB=OD，BE=EC，
∴CD=2OE，OE⊥CD，
∴ ， ，
∴， ，
∴，
∴，故④错误；
⑤正确：∵∠EPF=∠DCE=90°，∠PEF=∠DEC，
∴，
∴，
∴EQ=PE，
∴CE•EF=EQ•DE，故⑤正确；
综上所诉一共有4个正确，故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
11. 5月16日至21日在哈尔滨举办的第八届中国—罗斯博览会落下帷幕．博览会自2014年举办首届以来，累计签约4468亿元人民币．数据4468亿用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】4468亿，
故答案为：．
12. 函数中，自变量x的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】要使在实数范围内有意义，
必须且．
故答案为x≥-1且x≠2
13. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，不添加任何辅助线，请你添加一个条件__________，使四边形是正方形（填一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】四边形为菱形，
当时，四边形为正方形．
故答案为：．
14. 如图，电路图上有3个开关，，和2个小灯泡，，任意闭合其中的2个开关可以使小灯泡发亮的概率是____．
【答案】
【解析】画出树状图如下：
共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有③②，①③，②③，③①4种，
∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：．
15. 若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x<，
∴不等式组的解集是1＜x＜，
∵x的一元一次不等式组有2个整数解，
∴x只能取2和3，
∴，
解得：
故答案为：．
16. 常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是_______．

【答案】1
【解析】连接，，过点O作于点G，交一点E，交于点F．

∵，，
∴.
∵，
∴四边形是平行四边形.
∵，
∴四边形是矩形，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴圆盘离桌面最近的距离是1cm，
故答案为：1．
17. 用一个半径为4cm，面积为12πcm2的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 _____．
【答案】3cm
【解析】∵S•l•R，
∴•l•4＝12π，解得l＝6π，
设圆锥的底面半径为r，
∴2π•r＝6π，
∴r＝3（cm）．
故答案为：3cm．
18. 在矩形中，，，，，连接，则的最小值是_______．

【答案】
【解析】如图，连接交于，
∵矩形，，，
∴，，
∴，而，
∴，
∴，，
在上取点，且，连接，过作于，连接交于，
∴，而，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴在以为圆心，为半径是圆弧上，
∴当三点共线时，最短，
过作于，交于，则，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为：；
故答案为：
19. 在腰长为的等腰三角形纸片中，，，点为上一动点，将纸片沿对折，使点落在点处，当中有一条边垂直于时，的长为_______．
【答案】或或或
【解析】由折叠的性质得：，；
当时，如图，

∵，，
∴，
∴；
当，在下方时，过点作于点，则，如图，
∵，，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴；
当，在上方时，过点作于点，则，如图，
由得
∵，
∴，
∴
∴
∴；

当于点时，

由得
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴

综上，的长为或或或；
故答案为：或或或．
20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在轴上，顶点，，，，…都在正比例函数（）的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…．若，，，则的面积为______________．

【答案】
【解析】∵，，，
∴点与点的横坐标相同，，，，，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形，，，，…都是平行四边形，
∴，，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，，，，，，
∴，，
∴，
∵在上，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共60分，答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 先化简，再求值：，其中．
解：，
∵，∴，∴原式.
22. 如图，平面直角坐标系内，的顶点A的坐标为．
（1）画出关于y轴的对称图形；
（2）画出将绕原点O逆时针旋转得到的；
（3）求出（2）中点A所经过的路径长．
解：（1）如图所示，即为所求．
（2）∵绕O点逆时针旋转后的，
同理可知：，，
如图所示，即为所求，
（3）根据弧长公式可知：点A所经过的路径长为，
23. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点是直线上一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将线段绕点旋转，得到线段，点的对应点为点，当点在抛物线上时，直接写出点的坐标．
解：（1）∵抛物线与轴交于，两点，
∴，解得：，
抛物线的解析式为：．
（2），．
如图，当点直线左侧时，
抛物线与轴交于，两点，
对称轴为直线，
将线段绕点旋转，得到线段，
，，
与关于直线对称，
，
，
，
；
如图，当点在直线的右侧时，
过点作于，于，
由旋转知，，，
，
，
，
，
，，
设，则，
点的坐标为，
代入中，
解得，或舍，
的坐标为，
综上，点的坐标为和．
24. 2024年是中国航天的重要一年，也是中国航天继续迈向辉煌的一年！其中，神舟十八号载人飞船预计将于2024年4月下旬发射，将接任神舟十七号继续执行空间站任务．某校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛；现从该校七、八年级中各随机抽取n名学生的竞赛成绩（百分制，单位：分），并将竞赛成绩进行收集与整理，下面给出了部分信息．
信息一：将每个年级学生的竞赛成绩数据分成6组：A：，B：，C：，D：，E：，F：．
信息二：七年级竞赛成绩频数分布直方图和八年级竞赛成绩扇形统计图
信息三：八年级竞赛成绩的众数落在D组，八年级竞赛成绩D组和F组的数据为：
D组：85，86，86，86，87，88，89；F组：95，98，99．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，七年级竞赛成绩的中位数落在______组，八年级竞赛成绩的众数是______分；
（2）若把频数分布直方图中每组学生平均成绩用这组数据的组中值代替（如的组中值为72.5），请求出七年级此次所抽取学生的平均成绩；
（3）若七、八年级各有600名学生参加此次竞赛，试估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数．
解：（1）八年级D组有7人，占总人数的，
∴；
总人数是20人，
∴B组人数有
∴中位数是第10，11人
∴七年级竞赛成绩的中位数落在C组；
∵八年级竞赛成绩的众数落在D组，
∴众数是86；
（2）由题意得：
（3）由题意得：人，
∴估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数为120人.
25. 甲、乙两车从地到千米的地，甲车比乙车晚出发小时，乙车途中因故停车检修，图中线段、折线分别表示甲、乙两车所行路程（千米）与时间（小时）之间的函数图象，请椴据图象所提供的信息，解决如下问题：
（1）甲车的速度是 千米/小时，乙车停车检修后再出发的速度是 米/小时，
（2）求出乙车停车检修后再出发后（线段）的函数关系式．
（3）在乙车出发小时至到达目的地这段时间内，为何值时两车相距千米？请直接写出答案．
解：（1）设甲车所行驶路程与时间的函数关系式为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴甲车的速度是千米/小时，
当时，，
∴，
∴乙车停车检修后再出发的速度是千米/小时，
故答案为：；
（2）乙车停车检修后再出发的对应的路程与时间的函数关系式为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴乙车停车检修后再出发后（线段）的函数关系式为：
（3）∵，，则：
甲车在前，乙车在后，两车相距千米，
，
解得：，
∴当时，两车相距千米．
乙车在前，甲车在后，两车相距千米，
，
解得：，
∴当时，两车相距千米．
∴为、时，两车相距千米
26. 已知，如图，在矩形中，，点是线段的中点，连接，直线上有一点，连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．

（1）如图1，当点在直线上时，的值为______；
（2）如图2、3，当点不在直线上时，请写出的值，并证明图结论；
解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
由转转可得，，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴为中点，
∴，
∵，点是线段的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下，
如图，∵，点是线段的中点，
∴，
∵，
∴，，
由转转可得，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
如图，
∵，点是线段的中点，
∴，
∵，
∴，，
由转转可得，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上．
27. 吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，身穿冬季运动服，戴着红围巾、蓝手套，脚穿冰刀在快乐地滑冰．滑单板的“妮妮”是代表雪上运动的吉祥物，身穿中国民间传统毛领节庆红袄．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个元，售价每个元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个元，售价每个元．
（1）该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件个和“妮妮”造型钥匙扣挂件个需要共元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件个和“妮妮”造型钥匙扣挂件个共需要元，求，的值．
（2）该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共个，且投入资金不少于元又不多于元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市决定将售出的钥匙扣挂件每个捐出元给当地福利院，用捐款后的利润再次同时购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件．请直接写出再次购进两种钥匙扣挂件最多的方案．
解：（1）购进”滨滨”造型钥匙扣挂件个和”妮妮”造型钥匙扣挂件个需要共元；购进”滨滨”造型钥匙扣挂件个和”妮妮”造型钥匙扣挂件个共需要元，
，
解得，
答：的值是，的值是；
（2）根据题意得：，
解得，
为整数，
可取，，，
有种购买方案：
①购买”滨滨”造型钥匙扣挂件个，购买”妮妮”造型钥匙扣挂个，
②购买”滨滨”造型钥匙扣挂件个，购买”妮妮”造型钥匙扣挂个，
③购买”滨滨”造型钥匙扣挂件个，购买”妮妮”造型钥匙扣挂个；
（3）设在（）的条件下，将售出的钥匙扣挂件每个捐出元当地福利院，所剩利润为元，购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，，
，
随增大而增大，
时，（元），
令用元购进了购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，购买“妮妮”造型钥匙扣挂件个，则
，
∴，
∴，
∴随的增大而减小，
∵b，c均为非负整数，
∴当时，最大，此时
∴再次购进两种钥匙扣挂件最多的方案是购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，购买““妮妮”造型钥匙扣挂件个．
28. 平面直角坐标系内如图放矩形已知点，．将矩形沿折叠，使点与点重合．折痕交于点，交于点．
（1）求点的坐标；
（2）若动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度的速度向点运动，点以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，当点运动到点时停止运动，点也同时停止运动．设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是射线上的一点，点为平面内一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由折叠可得，
∵点，点，四边形为矩形，
∴，，，，
设，则，
∴在中，由勾股定理可得，
即，解得，
∴，
∴点的坐标为；
（2）①如下图，当点在点右侧时，

根据题意，，，
∴，
∴；
②如下图，当点在点左侧时，

根据题意，，，
∴，
∴．
综上所述，；
（3）若以，，，为顶点的四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，
可分情况讨论：
①如下图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴即；
②如下图，过点作于点，则四边形、均为矩形，

∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴即，，
∴即，
∵四边形是正方形，
∴即；
③如下图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴
∵四边形是正方形，
∴即．
综上所述，存在或或时，，，，为顶点的四边形是正方形．平均数
中位数
众数
方差
9.3
9.2
9.2
0.2