[数学][二模]黑龙江省大庆市杜尔伯特蒙古族自治县2024年中考试题（解析版）

这是一份[数学][二模]黑龙江省大庆市杜尔伯特蒙古族自治县2024年中考试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级的学生投稿情况进行调查．等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1. 计算的结果是（ ）
A. 6B. -6C. 8D. -8
【答案】D
【解析】=-8，故选择D.
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为，
故的结果是，
故选A．
3. 下列新能源汽车车标中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】原式，
，
故选：．
5. 在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据黄金分割点的概念，可知AP=BQ=，
则PQ=AP+BQ-AB=
故选C．
6. 沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】该几何体的主视图是，
故选：D．
7. 如图，是楷书“欧柳颜赵”四大家的书法碑帖．若从中随机取两本，则抽取的两本字帖恰好是“柳体”和“颜体”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将颜体记作，欧体记作，柳体记作，赵体记作，
列表如下：
共有12种等可能结果，其中恰好抽到和有2种结果，
所以抽取的两本字帖恰好是“柳体”和“颜体”的概率是，
故选：C．
8. 已知二次函数图象上的两点和，若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
∵，
∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，
又两点分别为和，且，
所以，可得关于对称轴对称的点的横坐标为，
∴开口向上，且，
∴的取值范围是，
故选：C
9. 如图，四边形内接于，，，，C为的中点，则的长为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】C
【解析】 C为的中点，
，
，
，
四边形内接于，，
，
，
，
，
，
，
；故选：C．
10. 如图在平面直角坐标系中，抛物线的图像交轴于，，于轴交于，点为轴上一动点，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】B
【解析】作直线，过B作于，交y轴于P ， 如图，
此时，最小，
令，解得或，
∴，
，，
∴，
令，，
∴，
，
中，，，
∴
∴，
，
在中，，
在中，，，
．
，
的最小值为．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题共3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 有理数8的算术平方根为______．
【答案】
【解析】有理数8的算术平方根为．
故答案为：．
12. 函数的自变量x的取值范围是________．
【答案】
【解析】根据题意得到：x-1＞0，
解得x＞1．
13. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】，
故答案为．
14. 在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是______．
【答案】
【解析】如图所示，
轴，
点坐标为，
∴点坐标为
当，则，
点坐标为．
则，
是等腰直角三角形，
，
．
又点和点关于直线对称，
，，
，
轴．
又点坐标为，
点的坐标为．
故答案为：．
15. 归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为_______．
【答案】3n+2
【解析】由图可得，
图①中棋子的个数为：3+2=5，
图②中棋子的个数为：5+3=8，
图③中棋子的个数为：7+4=11，
……
则第n个“T”字形需要的棋子个数为：（2n+1）+（n+1）=3n+2，
故答案为3n+2．
16. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】由题意知，，，
解得，，，
∴k的取值范围是且，
故答案为：且．
17. 兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，高度为 __m．

【答案】4
【解析】根据题意得，在中，，半径，
∴，，，
∴，
故答案是：．
18. 在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是______．

【答案】
【解析】在中，，，则，
当时，，解得：（负值已舍去），
∴，
∴抛物线经过点，
∵抛物线顶点为：，
设抛物线解析式为：，
将代入，得：，解得：，
∴，
当时，，（舍）或，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19 计算：．
解：
20. 先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
解：原式
，
∵，
当时
原式．
21. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．

（1）求证：；
（2）连接，若，求证：四边形是矩形．
（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，，
∴；
∴，
∵，
∴；
（2）证明：，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
22. 如图，已知，点M是上的一个定点．

（1）尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________．
解：（1）如图，为所作；

（2）∵和为的切线，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴的劣弧与所围成图形的面积
．
故答案为：．
23. 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表．
【数据的描述与分析】
（1）求扇形统计图中圆心角的度数，并补全频数直方图．

（2）根据频数分布表分别计算有关统计量：
直接写出表格中m、n的值，并求出．
【数据的应用与评价】
（3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价．
解：（1）两个年级随机抽取的学生数量为（人），
则．
补全频数直方图如下：

（2），
将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为其中位数，
，，
中位数，
∵在八年级学生的投稿篇数中，投稿篇数4出现的次数最多，
∴众数．
（3）从中位数、众数、平均数来看，八年级学生的均高于七年级学生的，而且从方差来看，八年级学生的小于七年级学生的，所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好．
24. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H．经测量，点A距地面，到树的距离，．求树的高度（结果精确到）．
解：由题意可知，，，
则，∴，
∵，，则，
∴，
∵，则，∴，∴，
答：树的高度为．
25. 如图，点A的坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到．

（1）反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图像经过A、两点，求该一次函数的表达式．
解：（1）∵点B的坐标是，点C为中点，
∴，，
由旋转可得：，，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）如图，过作于，
则，而，，

∴，
∴，
∴，∴，，
∴，∴，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为．
26. 期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．
（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．
解：（1）设购买一个甲种笔记本x元，一个乙种笔记本y元，
由题意得：，解得：，
答：购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元．
（2）设需要购买a个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w，
调价之后，甲种笔记本的单价为：10-2=8（元），
乙种笔记本的单价为：5×0.8=4（元），
8a+4（35-a）≤250×90%，
解得：，
至多需要购买21个甲种笔记本，
，
当a=21时，w=224，
答：购买两种笔记本总费用的最大值为224元．
27. 如图，在中，，以为直径的交于点，连接，过点作，垂足为，、的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
解：（1）如图，连接OD，
∵AB为的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，点D为BC的中点，
又∵AO=BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵，
∴OD⊥MN，
故是的切线．
（2）∵∠ADB=90°，
∠1+∠3=90°，
∵，
∴∠3+∠5=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠5，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠4=∠5，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠4，
∵∠N=∠N，
∴△BND∽△DNA，
∴，
∵AB=AC，
∴，
∴.
（3）∵，
∴BD=CD=3，
∵，
∴AC=，
∴AB=5，
由勾股定理可得AD=4，,
由（2）可得，△BND∽△DNA，
∴
∴，
∵，
∴，即，
解得：．
28. 如图，某一次函数与二次函数的图象交点为，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，求点的坐标；
（3）在（2）条件下，点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点，，，为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标．
解：（1）将，代入得，
，
抛物线的解析式为．
（2）设直线的函数解析式为，
，，
直线的解析式为．
，
当点、三点共线时，的最小值为的长，
抛物线的对称轴为，
当时，，

（3）当为对角线时，此时四边形是正方形，如图，
令，则，
∴，
∵四边形是正方形，点为轴上一点，
∴轴，
∵，
；
当为边时，若点在上方，四边形是正方形，如图，
此时 ，
轴
是等腰直角三角形，
，
；
当点在点的下方时，四边形是正方形，如图，
是等腰直角三角形，
∴点F在的垂直平分线上，
∵点轴上一点，，
∴点F的横坐标为，
把代入，得，
∴
∵四边形是正方形，
∴点F与点N关于对称，
∴；
当点在点的下方时，如图，四边形是正方形，
∵四边形是正方形，点为轴上一点，∴点N与点C关于y轴对称，
∵，∴；
综上：点的坐标为或或或．投稿篇数（篇）
1
2
3
4
5
七年级频数（人）
7
10
15
12
6
八年级频数（人）
2
10
13
21
4
统计量
中位数
众数
平均数
方差
七年级
3
3
1.48
八年级
m
n
3.3
1.01