中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题三十七双曲线(原卷版+解析)

这是一份中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题三十七双曲线(原卷版+解析)，共19页。试卷主要包含了双曲线的定义，双曲线的标准方程和几何性质等内容，欢迎下载使用。


知识要点
1．双曲线的定义
平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
2．双曲线的标准方程和几何性质
典例解析
【例1】 已知点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，求点P的轨迹方程．
【变式训练1】
求平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于6的点P的轨迹方程．
【例2】 (1)求与椭圆共焦点且过点(5，－2)的双曲线的标准方程；
(2)已知等轴双曲线经过点M(5，－4)，求双曲线的标准方程；
(3)已知双曲线的焦距为2，离心率为，求双曲线的标准方程．
【变式训练2】
已知双曲线(a>0，b>0)和椭圆 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求双曲线的方程．
【例3】双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
【变式训练3】
已知双曲线的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为______.
【例4】 若双曲线上的点P到点(5，0)的距离为15，则点P到点(－5，0)的距离为( )
A．7 B．23 C．5或25 D．7或23
【变式训练4】
若双曲线上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是( )
A．4 B．12 C．4或12 D．6
【例5】 与双曲线有共同的渐近线，且经过点A(，2)的双曲线方程为( )
A. B． C. D.
【变式训练5】
与双曲线x2−2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为________．
【例6】 设F1，F2是双曲线 的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
【变式训练6】
设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8 C．24 D．48
高考链接
1．(四川省2016年对口升学考试试题)若为双曲线方程，则m的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(2，＋∞) C．(1，2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
2．(四川省2018年对口升学考试试题)双曲线的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
3．(四川省2015年对口升学考试试题)已知双曲线 (a>0，b>0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为2，则a＝________.
4．(四川省2019年对口升学考试试题)双曲线的离心率是________．
同步精练
选择题
1．动点P到点M(1，0)及点N(3，0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
2．已知双曲线my2−x2＝1(m∈R)与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝± x C．y＝±x D．y＝±3x
3．已知等轴双曲线经过点M(5，－4)，则它的标准方程为( )
A. B. C. D.
4．已知双曲线 的离心率为2，则a的值为( )
A．2 B. C. D．1
5．已知双曲线8kx2−ky2＝8的一个焦点是(0，3)，则k＝_______.
6．已知双曲线过点(4，)且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是________．
7．以的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程为_______．
已知焦点在x上的双曲线的焦距是实轴长的2倍，则该双曲线的渐近线方程是_______.
求双曲线9y2－4x2＝－36的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．
已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为6，离心率为3，求双曲线的标准方程．
11．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，求该双曲线的标准方程
12．求与双曲线 共渐近线且焦点在圆x2+y2＝100上的双曲线的标准方程
13．已知双曲线关于纵坐标轴对称，且与圆x2+y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．
标准方程
(a>0，b>0)
(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≤-a或x≥a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y=x y =x
离心率
e=,e∈(1,+∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;
线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;
a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
专题三十七 双曲线
思维导图
知识要点
1．双曲线的定义
平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
2．双曲线的标准方程和几何性质
典例解析
【例1】 已知点F1 (－3，0)和F2 (3，0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，求点P的轨迹方程．
答案： 解：由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴正半轴的双曲线的右支，
设其方程为，(x＞0)(a＞0，b＞0)，
由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，
∴点P的轨迹方程为(x＞0)．
【思路点拨】 由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴正半轴的双曲线的右支，设其方程为由题设知c＝3，a＝2，由此能求出点P的轨迹方程．
【变式训练1】
求平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于6的点P的轨迹方程．
解：由双曲线的定义知，点P的轨迹为焦点在y轴的双曲线，
方程为
其中c＝4，2a＝6，
∴a＝3，b2=c2−a2＝7，
∴其方程为
【例2】 (1)求与椭圆共焦点且过点(5，－2)的双曲线的标准方程；
答案： 解：(1)由题意可设双曲线的标准方程为，半焦距为c.
∵与椭圆共焦点，∴c2＝10－4＝6.
又双曲线过点(5，－2)，∴
联立 解得
∴双曲线的标准方程为
【思路点拨】 根据双曲线的定义及已知条件，设出简便的方程，代入数据求出所需方
【例2】 (2)已知等轴双曲线经过点M(5，－4)，求双曲线的标准方程；
(3)已知双曲线的焦距为2，离心率为，求双曲线的标准方程．
答案： 解：(2)设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为x2−y2＝λ(λ≠0)，
将点M(5，－4)，代入可得25－16＝λ，∴λ＝9，
∴双曲线方程为x2−y2＝9，即
由题知2c＝2，e＝⇒a＝1，b＝，
这样的双曲线标准方程有两个，即为＝1或
【思路点拨】 根据双曲线的定义及已知条件，设出简便的方程，代入数据求出所需方
【变式训练2】
已知双曲线(a>0，b>0)和椭圆 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求双曲线的方程．
解：椭圆的焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，离心率为，
由于双曲线与椭圆有相同的焦点，因此a2＋b2＝7.
又双曲线的离心率∴
∴a＝2，b2=c2−a2＝3，
故双曲线的方程为
【例3】双曲线的渐近线方程为( B )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
【思路点拨】 双曲线的渐近线方程为整理得4y2＝5x2，解得y＝±x
【变式训练3】
已知双曲线的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为__2x±3y＝0______
【提示】 由题意得c＝，∴9＋a＝c2＝13，∴a＝4.即双曲线方程为
∴双曲线的渐近线为2x±3y＝0.
【例4】 若双曲线上的点P到点(5，0)的距离为15，则点P到点(－5，0)的距离为( D )
A．7 B．23 C．5或25 D．7或23
【思路点拨】 先根据双曲线的标准方程，写出实轴长和焦点坐标，再根据双曲线的定义得到结果．
【变式训练4】
若双曲线上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是( C )
A．4 B．12 C．4或12 D．6
【提示】 由题意知c＝＝4，设双曲线的左焦点为F1 (－4，0)，右焦点为F2(4，0)，且|PF2|＝8.当P点在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝4，解得|PF1|＝12；当P点在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝4，解得|PF1|＝4，∴|PF1|＝4或12，即P到它的左焦点的距离为4或12.
【例5】 与双曲线有共同的渐近线，且经过点A(，2)的双曲线方程为( C )
A. B． C. D.
【思路点拨】 由题意设所求的双曲线方程为，∵经过点A(，2 )，
∴ ，即λ＝－9，代入方程化简得
【变式训练5】
与双曲线x2−2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为________．
【提示】设与双曲线，有公共渐近线的双曲线方程为，将点(2，－2)代入，得k＝－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为
【例6】 设F1，F2是双曲线 的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解：∵双曲线，∴a＝3，c＝5，则||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
由余弦定理知|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs60°，而|F1F2|＝2c＝10，
得|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝100，
|PF1|·|PF2|＝64，S＝|PF1|·|PF2|sin60°＝16
【思路点拨】 本题考查双曲线的定义和标准方程，余弦定理以及双曲线的简单性质的应用，求出PF1·PF2的值，是解题的关键．
【变式训练6】
设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( C )
A．4 B．8 C．24 D．48
【提示】由解得又|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.
高考链接
1．(四川省2016年对口升学考试试题)若为双曲线方程，则m的取值范围是( D )
A．(－∞，1) B．(2，＋∞) C．(1，2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
【提示】 由(2－m)(m－1)＜0可解得．
2．(四川省2018年对口升学考试试题)双曲线的渐近线方程是( D )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
【提示】 由渐近线方程y＝±x可得y＝±x.
3．(四川省2015年对口升学考试试题)已知双曲线 (a>0，b>0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为2，则a＝___1_____.
【提示】 由题意知，c＝2，＝2，∴a＝1.
4．(四川省2019年对口升学考试试题)双曲线的离心率是___2_____．
【提示】 由离心率e＝得e＝2.
同步精练
选择题
1．动点P到点M(1，0)及点N(3，0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( D )
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
【提示】 ∵|PM|－|PN|＝2＝|MN|，∴P在线段MN的延长线上．
2．已知双曲线my2−x2＝1(m∈R)与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( A )
A．y＝±x B．y＝± x C．y＝±x D．y＝±3x
【提示】 椭圆＋x2＝1中a2＝5，b2＝1，∴c2＝4，c＝2，∴my2−x2＝1(m∈R)变形为－x2＝1，∴ ＋1＝4，∴m＝，∴ －x2＝1，∴渐近线为y＝±x.
3．已知等轴双曲线经过点M(5，－4)，则它的标准方程为( A )
A. B. C. D.
【提示】 设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为x2−y2＝λ(λ≠0)，将点M(5，－4)代入可得25－16＝λ，∴λ＝9，∴双曲线方程为x2－y2＝9，即
4．已知双曲线 的离心率为2，则a的值为( D )
A．2 B. C. D．1
【提示】 ∵e2＝ ，解得a＝1.
5．已知双曲线8kx2−ky2＝8的一个焦点是(0，3)，则k＝___-1_____.
【提示】由已知，得 ＝9，解得k＝－1.
6．已知双曲线过点(4，)且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是________．
【提示】 设双曲线方程为y2-＝λ，代入点(4，) ，可得3－×16＝λ，∴λ＝－1，∴双曲线的标准方程是－y2＝1.
7．以的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程为________．
【提示】 ∵双曲线以 的顶点为焦点，焦点为顶点，∴所求双曲线的焦点为(－3，0)，(3，0)，顶点为(-，0)，(，0)．设双曲线方程为 (a＞b＞0)，由已知得a＝，c＝3，∴b2＝9－5＝4，∴双曲线方程为
已知焦点在x上的双曲线的焦距是实轴长的2倍，则该双曲线的渐近线方程是__y＝±x_____.
【提示】 由条件可设所求双曲线的渐近线方程为y＝±x，由条件有c＝2a，即c2＝4a2＝a2＋b2，∴b2＝3a2，∴ ∴所求渐近线方程为y＝±x.
9．求双曲线9y2－4x2＝－36的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．
解：∵双曲线9y2－4x2＝－36可化为
∴a＝3，b＝2，c＝
∴实轴长为6，虚轴长为4，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率e
渐近线方程为y＝±x＝±x.
10．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为6，离心率为3，求双曲线的标准方程．
解：由题意可得2c＝6，e＝3，
即有c＝3，＝3，a2+b2=c2，
解得a＝1，b＝∴双曲线的方程为x2-＝1或y2-＝1.
11．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，求该双曲线的标准方程
解：由双曲线渐近线方程可知，双曲线方程可设为x2－y2＝λ，
代入点(4,)得λ＝1，
∴双曲线方程为－y2＝1.
12．求与双曲线 共渐近线且焦点在圆x2＋y2＝100上的双曲线的标准方程
解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，
当焦点在x轴上时，
设所求双曲线的方程为(m＞0)，
由焦点在圆x2＋y2＝100上，
可得焦点坐标为(±10，0)，
即c＝10＝，解得m＝4，
∴双曲线的方程为
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的方程为(m＞0)，
由焦点在圆x2＋y2＝100上，可得焦点坐标为(0，±10)，
即c＝10＝，解得m＝4，
可得双曲线的方程为
综上可得，所求双曲线的标准方程为或
13．已知双曲线关于纵坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．
解：切点为P(3，－1)的圆x2＋y2＝10的切线方程为3x－y＝10.
∵双曲线的一条渐近线与此切线平行．
∴一条渐近线方程为3x－y＝0，设双曲线方程为9x2－y2＝λ
∵点P(3，－1)在双曲线上，
∴λ＝80.
∴所求双曲线方程为
标准方程
(a>0，b>0)
(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≤-a或x≥a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y=x y =x
离心率
e=,e∈(1,+∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;
线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;
a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)