2023-2024学年上海财经大学附属北郊高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年上海财经大学附属北郊高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设z1、z2为复数，下列命题一定成立的是( )
A. 如果z12+z22=0，那么z1=z2=0
B. 如果|z1|=|z2|，那么z1=±z2
C. 如果|z1|≤a，a是正实数，那么−a≤z1≤a
D. 如果z=z−，那么z为实数
2.用数学归纳法证“1−12+13−14+…+12n−1−12n=1n+1+1n+2+…+12n(n∈N∗)”的过程中，当n=k到n=k+1时，左边所增加的项为( )
A. −12k+2B. 12k+1C. 12k+1−12k+2D. −1k+1或1k+1
3.如图，复数z对应的向量为OZ，且|z−i|=5，则向量OZ在向量OP上的投影向量的坐标为( )
A. (15,25)
B. (25,45)
C. (35,65)
D. (45,85)
4.定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差．已知向量列{an}是以a1=(1,3)为首项，公差d=(1,0)的等差向量列．若向量an与非零向量bn=(xn,xn+1)(n∈N∗)垂直，则x10x1=( )
A. 44800729B. 4480243C. −44800729D. −4480243
二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.已知复数z=1+2i(其中i为虚数单位)，则Imz= ______．
6.若3+a与a的等差中项为18，则实数a的值为______．
7.在平面直角坐标系内，已知点A(−1,1)，向量AB=(1,−2)，则OB= ______．
8.已知复数z1=1+i，z2=i⋅z1(i是虚数单位)，则|z2|= ______．
9.已知等差数列−1，−3，−5，…，若Sn=−196，则n= ______．
10.已知复数1+i与3i在复平面内用向量OA和OB表示(其中i是虚数单位，O为坐标原点)，则OA与OB夹角为______．
11.设公比为2的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2024−S2022=6，则a2024= ______．
12.已知等比数列{an}是严格减数列，其前n项和为Sn，a1=2，若a1，2a2，3a3，成等差数列，则i=1+∞ai= ______．
13.在数列{an}中，已知a1=1，且an+1=an+1(2n−1)(2n+1)，则an= ______．
14.如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若AF=xAB+13AD，则x= ______．
15.设α和β是关于x的方程x2−4x+m=0的两个虚数根，若α、β、−1在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数m= ______．
16.如图，已知点P为△ABC所在平面内一点，|AB−AC|=8，|AC|=3|AB|，定义点集D={P|AP=3λAB+1−λ3AC,λ∈R}，若存在点P0∈D，使得对任意P∈D，有|AP|≥|AP0|恒成立，那么当△ABC的面积取得最大值12时，|AP0|= ______．
三、解答题：本题共4小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知向量a=(3,1)，b=(1,λ).(λ∈R)
(1)若a//b，求λ的值；
(2)若a⊥b，求b的值．
18.(本小题10分)
已知复数z1=a+i，z2=1−ai(a∈R,i是虚数单位)
(1)若z1−z2在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围：
(2)若z2是实系数一元二次方程x2−(a+1)x+n=0的根，且z12+mz1(m∈R)是实数，记z=1z1+1z2+i2025m+ni，求|z−1|的值．
19.(本小题12分)
已知某企业今年(2024年)第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%．
(1)求2024年起前20季度营业额的总和；
(2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？
20.(本小题14分)
如果有穷数列a1，a2，a3，…，an(m为正整数)满足条件a1=am，a2=am−1，am=a1，即ai=am−i+1(i=1,2,…,m)，我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”
(1)若{an}是项数为7的“对称数列”，其中a1，a2，a3，a4是等差数列，且a1=2，a4=11，依次写出{an}的每一项；
(2)若{an}是49项的“对称数列”，其中a25，a26，…，a49是首项为1，公比为2的等比数列，求{an}各项的和S；
(3)设{an}的前n项和为Sn，且满足an=1−Sn，其中S1，S2，…，S50是项数为100的“对称数列”{bn}的前50项，求{bn}的前n项和Tn．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.D
5.2
6.332
7.(0,−1)
8. 2
9.14
10.π4
11.4
12.3
13.3n−22n−1
14.56
15.13
16.3
17.解：(1)由题意知3λ=1⇒λ=13；
(2)∵a⊥b，∴a⋅b=3+λ=0⇒λ=−3，∴b=(1,−3)．
18.解：(1)复数z1=a+i，z2=1−ai，
则z1−z2=a−1+(a+1)i，
z1−z2在复平面内对应的点落在第二象限，
则a−10，解得−1