高考数学一轮复习考点探究与题型突破第52讲双曲线(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第52讲双曲线(原卷版+解析)，共15页。试卷主要包含了双曲线的定义，双曲线的标准方程和简单几何性质等内容，欢迎下载使用。


1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a).
(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.
(5)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
考点1 双曲线的定义及应用
[名师点睛]
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
[典例]
1.(2023·滨州质检)eq \r(x2＋（y－3）2)－eq \r(x2＋（y＋3）2)＝4表示的曲线方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≤－2) B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥2)
C.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(y≤－2) D.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(y≥2)
2.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.
[举一反三]
1.(2023·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C的离心率为eq \r(3)，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为eq \r(2)，则双曲线C的实轴长为( )
A．1 B．2 C．3 D．6
2.已知F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
3.(2023·广州模拟)过双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________.
考点2 双曲线的标准方程
[名师点睛]
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
[典例]
1.(2023·北京)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1过点(eq \r(2)，eq \r(3))，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )
A．x2－eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)－y2＝1
C．x2－eq \f(\r(3)y2,3)＝1 D.eq \f(\r(3)x2,3)－y2＝1
2.若双曲线经过点(3，eq \r(2))，且渐近线方程是y＝±eq \f(1,3)x，则双曲线的标准方程是________．
[举一反三]
1.(2023·佛山调研)已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2eq \r(2)，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1
2.与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是________.
3.已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x，且其右焦点为(5，0)，则双曲线C的标准方程为________.
考点3 双曲线的几何性质
[名师点睛]
1.求双曲线离心率或其取值范围的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
2.双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.
[典例]
1.(2023·杭州模拟)设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A.eq \r(3)x±y＝0 B.2x±eq \r(7)y＝0
C.eq \r(3)x±2y＝0 D.2x±eq \r(3)y＝0
2.(2023·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(7),2) B.eq \f(\r(13),2) C.eq \r(7) D.eq \r(13)
3.(2023·滨州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
[举一反三]
1.(2023·济南模拟)已知双曲线eq \f(x2,m＋1)－eq \f(y2,m)＝1(m>0)的渐近线方程为x±eq \r(3)y＝0，则m等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \r(3)－1
C.eq \f(\r(3)＋1,2) D．2
2.(2023·石家庄模拟)已知点F是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.(1，2)
C.(1，1＋eq \r(2)) D.(2，1＋eq \r(2))
3.(2023·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
4.(多选)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \f(2\r(3),3)，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则( )
A.渐近线方程为y＝±eq \r(3)x
B.渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x
C.∠MAN＝60°
D.∠MAN＝120°
5.(2023·湖北七市(州)联考)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线存在一点P使eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(a,c)，则该双曲线的离心率的取值范围是________.
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
第52讲 双曲线
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a).
(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.
(5)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
考点1 双曲线的定义及应用
[名师点睛]
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
[典例]
1.(2023·滨州质检)eq \r(x2＋（y－3）2)－eq \r(x2＋（y＋3）2)＝4表示的曲线方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≤－2) B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥2)
C.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(y≤－2) D.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(y≥2)
答案 C
解析 eq \r(x2＋（y－3）2)的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离，eq \r(x2＋（y＋3）2)的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，－3)的距离，则eq \r(x2＋（y－3）2)－eq \r(x2＋（y＋3）2)＝4表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与到点F2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，则eq \r(x2＋（y－3）2)－eq \r(x2＋（y＋3）2)＝4表示的曲线方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(y≤－2).
2.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.
答案 2eq \r(3)
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(1,2)，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2eq \r(3).
[举一反三]
1.(2023·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C的离心率为eq \r(3)，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为eq \r(2)，则双曲线C的实轴长为( )
A．1 B．2 C．3 D．6
答案 B
解析 由题意知，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a，
又离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，|F1F2|＝2c＝2eq \r(3)a，
所以cs∠F1PF2＝eq \f(9a2＋a2－12a2,2·3a·a)＝eq \f(－2a2,6a2)＝－eq \f(1,3)，
sin∠F1PF2＝eq \f(2\r(2),3)，
所以＝eq \f(1,2)·a·3a·eq \f(2\r(2),3)＝eq \r(2)a2＝eq \r(2)，
所以a＝1，实轴长2a＝2.
2.已知F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
答案 9
解析 设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，
所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．
由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，
满足|PF1|＋|PA|最小，
|AF1|＋4即|PF|＋|PA|的最小值．
又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.
3.(2023·广州模拟)过双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________.
答案 24
解析 由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.
∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10，
∴|PF2|＋|QF2|－10＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝14.
∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24.
考点2 双曲线的标准方程
[名师点睛]
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
[典例]
1.(2023·北京)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1过点(eq \r(2)，eq \r(3))，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )
A．x2－eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)－y2＝1
C．x2－eq \f(\r(3)y2,3)＝1 D.eq \f(\r(3)x2,3)－y2＝1
答案 A
解析 ∵e＝eq \f(c,a)＝2，则c＝2a，b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(3)a，则双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3a2)＝1，
将点(eq \r(2)，eq \r(3))的坐标代入双曲线的方程可得eq \f(2,a2)－eq \f(3,3a2)＝eq \f(1,a2)＝1，解得a＝1，故b＝eq \r(3)，因此，双曲线的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
2.若双曲线经过点(3，eq \r(2))，且渐近线方程是y＝±eq \f(1,3)x，则双曲线的标准方程是________．
答案 y2－eq \f(x2,9)＝1
解析 设双曲线的方程是y2－eq \f(x2,9)＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，eq \r(2))，
所以λ＝2－eq \f(9,9)＝1，
故双曲线的标准方程为y2－eq \f(x2,9)＝1.
[举一反三]
1.(2023·佛山调研)已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2eq \r(2)，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1
答案 D
解析 由题意可知|PF1|＝eq \f(4\r(3)c,3)，|PF2|＝eq \f(2\r(3)c,3)，2b＝2eq \r(2)，
由双曲线的定义可得eq \f(4\r(3)c,3)－eq \f(2\r(3)c,3)＝2a，即c＝eq \r(3)a.
又b＝eq \r(2)，c2＝a2＋b2，
∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,2)＝1.
2.与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是________.
答案 eq \f(x2,2)－y2＝1
解析 法一 椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的焦点坐标是(±eq \r(3)，0).设双曲线标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线过点P(2，1)，所以eq \f(4,a2)－eq \f(1,b2)＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线的标准方程是eq \f(x2,2)－y2＝1.
法二 设所求双曲线标准方程为eq \f(x2,4－λ)＋eq \f(y2,1－λ)＝1(1<λ<4)，
将点P(2，1)的坐标代入可得eq \f(4,4－λ)＋eq \f(1,1－λ)＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，
所以所求双曲线标准方程为eq \f(x2,2)－y2＝1.
3.已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x，且其右焦点为(5，0)，则双曲线C的标准方程为________.
答案 eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
解析 由题意得eq \f(b,a)＝eq \f(3,4)，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
考点3 双曲线的几何性质
[名师点睛]
1.求双曲线离心率或其取值范围的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
2.双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.
[典例]
1.(2023·杭州模拟)设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A.eq \r(3)x±y＝0 B.2x±eq \r(7)y＝0
C.eq \r(3)x±2y＝0 D.2x±eq \r(3)y＝0
答案 C
解析 ∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，
点P在双曲线右支上，
∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，
又知|PF1|＋|PF2|＝4a，
∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得
cs 60°＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)，
即eq \f(1,2)＝eq \f(（3a）2＋a2－4c2,2×3a×a)，∴3a2＝10a2－4c2，
即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),2)x，
即eq \r(3)x±2y＝0.
2.(2023·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(7),2) B.eq \f(\r(13),2) C.eq \r(7) D.eq \r(13)
答案 A
解析 设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，
在△F1PF2中，
|F1F2|＝eq \r(m2＋9m2－2×3m×m×cs 60°)＝eq \r(7)m，
所以C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq \f(\r(7)m,2m)＝eq \f(\r(7),2).
3.(2023·滨州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
答案 A
解析 在△PF1F2中，
sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，
由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，
又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，
在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，
得3a＋a>2c，即2a>c，
所以e＝eq \f(c,a)<2，
又e>1，所以1[举一反三]
1.(2023·济南模拟)已知双曲线eq \f(x2,m＋1)－eq \f(y2,m)＝1(m>0)的渐近线方程为x±eq \r(3)y＝0，则m等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \r(3)－1
C.eq \f(\r(3)＋1,2) D．2
答案 A
解析 由渐近线方程y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(\r(3),3)x，所以eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，
则eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，即eq \f(m,m＋1)＝eq \f(1,3)，m＝eq \f(1,2).
2.(2023·石家庄模拟)已知点F是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.(1，2)
C.(1，1＋eq \r(2)) D.(2，1＋eq \r(2))
答案 B
解析 由题意易知点F的坐标为(－c，0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，－\f(b2,a)))，E(a，0)，因为△ABE是锐角三角形，所以eq \(EA,\s\up6(→))·eq \(EB,\s\up6(→))＞0，即eq \(EA,\s\up6(→))·eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c－a，\f(b2,a)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c－a，－\f(b2,a)))＞0，整理得3e2＋2e＞e4，∴e(e3－3e－3＋1)＜0，∴e(e＋1)2(e－2)＜0，解得e∈(0，2)，又e＞1，∴e∈(1，2).
3.(2023·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 B
解析 不妨设D位于第一象限，双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，分别与x＝a联立，可得D(a，b)，E(a，－b)，则|DE|＝2b.
∴S△ODE＝eq \f(1,2)×a×|DE|＝eq \f(1,2)a×2b＝ab＝8，
∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16.
当且仅当a＝b＝2eq \r(2)时，等号成立.
∴c2的最小值为16，∴c的最小值为4，
∴C的焦距的最小值为2×4＝8.
4.(多选)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \f(2\r(3),3)，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则( )
A.渐近线方程为y＝±eq \r(3)x
B.渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x
C.∠MAN＝60°
D.∠MAN＝120°
答案 BC
解析 由题意可得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(3),3)，设c＝2t，a＝eq \r(3)t，t＞0，则b＝eq \r(c2－a2)＝t，
所以圆A的圆心为(eq \r(3)t，0)，半径长为t，
双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
即y＝±eq \f(\r(3),3)x，
圆心A到渐近线的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)×\r(3)t)),\r(1＋\f(1,3)))＝eq \f(\r(3),2)t，
所以弦长|MN|＝2eq \r(t2－d2)＝2eq \r(t2－\f(3,4)t2)＝t＝b，
可得△MNA是边长为b的等边三角形，即有∠MAN＝60°.故选BC.
5.(2023·湖北七市(州)联考)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线存在一点P使eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(a,c)，则该双曲线的离心率的取值范围是________.
答案 (1，1＋eq \r(2))
解析 在△PF1F2中，由正弦定理知
eq \f(|PF2|,sin∠PF1F2)＝eq \f(|PF1|,sin∠PF2F1)，又eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(a,c)，
∴eq \f(|PF2|,|PF1|)＝eq \f(a,c)，
所以P在双曲线右支上，设P(x0，y0)，如图，
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝eq \f(2a2,c－a).
由双曲线几何性质知|PF2|＞c－a，
则eq \f(2a2,c－a)＞c－a，即e2－2e－1＜0，
∴1＜e＜1＋eq \r(2).
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)