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高考数学一轮复习考点探究与题型突破第32讲平面向量的数量积及应用举例(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第32讲平面向量的数量积及应用举例(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了平面向量数量积的有关概念，平面向量数量积的运算律，平面几何中的向量方法等内容，欢迎下载使用。
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up6(→))＝a，eq \(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq \(OM1,\s\up6(→))＝|a|cs θ e.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(3)夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·eq \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)).
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
考点1 数量积的计算
[名师点睛]
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
[典例]
1．(2023·江苏南京·模拟预测）在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．
2．(2023·全国·高三专题练习）已知在平行四边形中，，则值为__________．
[举一反三]
1．（2023·山东·高三开学考试）在中，AB=2，BC=3，，P为边AC上的动点，则的取值范围是（ ）
A．［0，3]B．［1，3]C．［6，9]D．［3，9]
2．(2023·北京八中高三阶段练习）在直角三角形中，，则（ ）
A．B．4C．D．8
3．(2023·江苏南京·高三开学考试）在中，记，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）若是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则的值为___________.
6．（2023·全国·高三专题练习）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.
考点2 数量积的应用
[名师点睛]
(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
[典例]
1．(2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．向量，夹角为
3．（2023·广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知非零向量满足，且，则的值为___.
4．(2023·浙江·乐清市知临中学模拟预测）平面向量满足，则与夹角最大值时为（ ）
A．B．C．D．
[举一反三]
1．(2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，若，则的值为（ ）
A．2B．
C．D．
2．(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）在△ABC中，若（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
6．（多选）(2023·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若则的值为
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
7．(2023·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．
8．(2023·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
9．(2023·广东广州·高三开学考试）已知向量，满足，，则___________.
10．（2023·湖北·高三阶段练习）已知是边长为1的等边三角形，设向量满足，则__________．
11．(2023·福建·莆田八中高三开学考试）已知向量、、满足，，，则______．
12．(2023·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习）已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为______．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是：______．
考点3 平面向量的综合应用
[名师点睛]
向量数量积综合应用的方法和思想
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
[典例]
例 (1)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
(2)(2023·天津卷)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且|eq \(MN,\s\up6(→))|＝1，则eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))的最小值为________.
(3)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，m·n＝sin 2C.
①求角C的大小；
②若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求c.
[举一反三]
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高三专题练习）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
3．(2023·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
4．(2023·全国·高三专题练习）在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
5．（多选）（2023·全国·高三专题练习）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
6．（2023·全国·高三专题练习）设点O在的内部，且，则的面积与的面积之比是___________
7．(2023·全国·高三专题练习）设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________.
第32讲 平面向量的数量积及应用举例
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up6(→))＝a，eq \(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq \(OM1,\s\up6(→))＝|a|cs θ e.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(3)夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·eq \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)).
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
考点1 数量积的计算
[名师点睛]
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
[典例]
1．(2023·江苏南京·模拟预测）在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．
答案：
分析：根据为的重心，得到，再由和，利用等面积法求得，进而得到，方法一：利用基底法求解；方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【详解】解：因为为的重心，
所以，
因为，
所以，则，
因为，所以，
即，
所以，
在中，．
方法一：因为，
，
所以，
．
方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，，
由方法一可知，，
所以．
2．(2023·全国·高三专题练习）已知在平行四边形中，，则值为__________．
答案：
分析：由向量加法的几何意义及数量积运算律有，再由结合数量积运算律，即可得结果.
【详解】由题设可得如下图：，而，
所以，
又，
所以，则，
故，可得，即.
故答案为：
[举一反三]
1．（2023·山东·高三开学考试）在中，AB=2，BC=3，，P为边AC上的动点，则的取值范围是（ ）
A．［0，3]B．［1，3]C．［6，9]D．［3，9]
答案：D
分析：结合向量数量积的定义求得正确答案.
【详解】依题意，
由于是边上的动点，所以，
所以，即，
所以.
故选：D
2．(2023·北京八中高三阶段练习）在直角三角形中，，则（ ）
A．B．4C．D．8
答案：A
分析：根据数量积的定义即可求得结果.
【详解】因为为直角三角形，且，所以,
且,
所以.
故选:A.
3．(2023·江苏南京·高三开学考试）在中，记，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据向量的减法法则得，进而根据数量积的运算绿即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：C
4．(2023·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）若是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则的值为___________.
答案：
分析：已知是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，则，，又，然后结合平面向量数量积的运算求解即可．
【详解】解：已知是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，
则，，
又，
则，
故答案为：．
6．（2023·全国·高三专题练习）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.
答案：
分析：以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得的最小值.
【详解】因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故，
以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，设点，
，，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
考点2 数量积的应用
[名师点睛]
(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
[典例]
1．(2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
答案：C
分析：利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．向量，夹角为
答案：AC
分析：先由题给条件求得，从而得到选项A判断正确，选项D判断错误；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C.
【详解】由，可得，
又，则，
即，则.则选项A判断正确；选项D判断错误；
，则选项B判断错误；
，则选项C判断正确.
故选：AC
3．（2023·广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知非零向量满足，且，则的值为___.
答案：4
分析：根据向量模的性质及数量积的运算性质求解即可.
【详解】因为，且，
所以，
即，
所以，
即.
故答案为：4
4．(2023·浙江·乐清市知临中学模拟预测）平面向量满足，则与夹角最大值时为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据条件对两边平方即可得出,从而可求出,进而即可得出然后根据基本不等式即可得出求出向量夹角的最大值,判断出，.
【详解】因为平面向量满足，所以，
所以，所以.
由夹角公式，（当且仅当，即时等号成立）.
因为，所以，即时最大.
此时.
故选：D
[举一反三]
1．(2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，若，则的值为（ ）
A．2B．
C．D．
答案：B
分析：根据向量线性运算的坐标表示与向量垂直的坐标表示求解即可
【详解】因为，，
所以，
又因为，
所以，即，
解得，
故选：B
2．(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）在△ABC中，若（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据，可得，则，从而可求得，从而可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
所以，
所以，所以，即，
又，故，
所以.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：根据向量夹角为锐角列出不等式组，求出的取值范围.
【详解】，
由题意得：且，
解得：且，
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：根据，设，，根据求出，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.
【详解】因为，所以可设，，则，，
因为，所以，即.
则，
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：设与夹角为，与所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范围，即可得解.
【详解】设与夹角为，与所成夹角为，
，
所以，，①
，②
又，③
②与③联立可得，④
①④联立可得，
当且仅当时，取等号，，，则，
故与所成夹角的最大值是，
故选：A.
6．（多选）(2023·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若则的值为
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
答案：AB
分析：根据向量的数量积、向量的模的坐标表示及向量共线的坐标表示一一判断即可；
【详解】解：对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：当时与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于D：若，则，即，即，解得，
当时，，，显然，
当时，，，此时，故D错误；
故选：AB
7．(2023·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．
答案：
分析：直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知：，解得.
故答案为：.
8．(2023·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
答案：
分析：设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
9．(2023·广东广州·高三开学考试）已知向量，满足，，则___________.
答案：
分析：先根据求出，故求出，求出
【详解】，所以，
因为，所以，所以，
，所以
故答案为：
10．（2023·湖北·高三阶段练习）已知是边长为1的等边三角形，设向量满足，则__________．
答案：
分析：方法一：由题意可知，所以，由可得，再计算的值即可；
方法二：由计算即可.
【详解】法一，则，而，
两边平方，可得，，
所以．
故答案为：.
法二：因为，
所以．
故答案为：.
11．(2023·福建·莆田八中高三开学考试）已知向量、、满足，，，则______．
答案：
【详解】由已知可得，则，
即，
因为，则，所以，，，
因此，，故.
故答案为：.
12．(2023·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习）已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为______．
答案：
【详解】因为
所以 ，即 ，
根据向量的数量积运算，则
代入化简得 ，
由 ，
所以 .
故答案为： .
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是：______．
答案：
【详解】解：与夹角为锐角时，；
解得；
当时，与分别为与同向，夹角为零，不合题意，舍去；
∴实数的取值范围为.
故答案为：.
考点3 平面向量的综合应用
[名师点睛]
向量数量积综合应用的方法和思想
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
[典例]
例 (1)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
答案 A
解析 因为(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，所以eq \(CB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，即eq \(CB,\s\up6(→))⊥(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，所以△ABC的中线和底边垂直，所以△ABC是等腰三角形.
(2)(2023·天津卷)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且|eq \(MN,\s\up6(→))|＝1，则eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))的最小值为________.
答案 eq \f(1,6) eq \f(13,2)
解析 因为eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))， 所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，
所以eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(AD,\s\up6(→))|·|eq \(AB,\s\up6(→))|·cs 120°＝－eq \f(3,2)，解得|eq \(AD,\s\up6(→))|＝1.
因为eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))同向，且BC＝6，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))，即λ＝eq \f(1,6).
在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，则BO＝AB·cs 60°＝eq \f(3,2)，AO＝AB·sin 60°＝eq \f(3\r(3),2).
以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系.
如图，设M(a，0)，不妨设点N在点M右侧，
则N(a＋1，0)，且－eq \f(3,2)≤a≤eq \f(7,2).
又Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(3),2)))，所以eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1，－\f(3\r(3),2)))，
eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，－\f(3\r(3),2)))，
所以eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))＝a2－a＋eq \f(27,4)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(13,2).
所以当a＝eq \f(1,2)时，eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))取得最小值eq \f(13,2).
(3)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，m·n＝sin 2C.
①求角C的大小；
②若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求c.
解 ①m·n＝sin A·cs B＋sin B·cs A＝sin(A＋B)，
在△ABC中，A＋B＝π－C，0所以sin(A＋B)＝sin C，
所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，cs C＝eq \f(1,2).
又因为C∈(0，π)，故C＝eq \f(π,3).
②由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，
由正弦定理得2c＝a＋b.
因为eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，
所以eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝18，
即abcs C＝18，ab＝36.
由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcs C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.
[举一反三]
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：可以点为原点，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，根据条件可求出，并设，得出，并且，然后即可计算出是关于的二次函数，利用二次函数求的最小值即可．
【详解】解：如图，以点为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，，
，，，
，
设，则，其中，
，，
，
时，取得最小值．
故选：C.
2．(2023·全国·高三专题练习）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
答案：B
分析：设的中点为，两端同时点乘，由可得答案.
【详解】设的中点为，
因为，
所以，
即，两端同时点乘，
所以
，
所以，
所以点在的垂直平分线上，即经过的外心.
故选：B.
3．(2023·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
答案：C
分析：，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上，同理证明即可求解.
【详解】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，点在的角平分线上；
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上；
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上，故是的内心.
故选：C.
4．(2023·全国·高三专题练习）在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
答案：B
分析：延长AC，使得AC=CD，则，由，得，从而可得AM平分，即可得出结论.
【详解】解：延长AC，使得AC=CD，
则，
因为，所以，
因为，所以，
所以是等腰三角形，
所以点M在BD的中垂线上，所以AM平分，
直线AM一定经过的内心.
故选：B.
5．（多选）（2023·全国·高三专题练习）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
答案：AC
分析：运用平面向量共线向量定理即可判断A选项，对于其它选项运用平面向量数量积的运算律及性质逐一判断即可.
【详解】对于A，设边、、的中点分别为、、
,则，所以
所以、、三点共线，即点在中线上，同理点在中线上，
则是的重心.故A正确
对于B，若，则，所以
所以为的外心，故B错误
对于C，设边、、的中点分别为点、、，
则,所以为线段的中垂线，
同理、分别为线段、的中垂线，所以是的外心，故C正确
对于D，由已知，，
即垂直，也即点在边的高上；同理，点也在边的高上，
所以则是的垂心，故D错误.
故选：AC
6．（2023·全国·高三专题练习）设点O在的内部，且，则的面积与的面积之比是___________
答案：5
分析：由题意可得，再根据奔驰定理即可解出．
【详解】由变形可得：，
整理可得：，
根据奔驰定理可得：，则.
故答案为：5.
7．(2023·全国·高三专题练习）设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________.
答案：C为顶角的等腰三角形
分析：取BC的中点D，设O为AB的中点，根据可得，从而可知，再由中位线定理可知，，即可解出．
【详解】取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示：
，同理，，
，设O为AB的中点，
即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形.
故答案为：C为顶角的等腰三角形．
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up6(→))＝a，eq \(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq \(OM1,\s\up6(→))＝|a|cs θ e.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(3)夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·eq \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)).
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
考点1 数量积的计算
[名师点睛]
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
[典例]
1．(2023·江苏南京·模拟预测）在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．
2．(2023·全国·高三专题练习）已知在平行四边形中，，则值为__________．
[举一反三]
1．（2023·山东·高三开学考试）在中，AB=2，BC=3，，P为边AC上的动点，则的取值范围是（ ）
A．［0，3]B．［1，3]C．［6，9]D．［3，9]
2．(2023·北京八中高三阶段练习）在直角三角形中，，则（ ）
A．B．4C．D．8
3．(2023·江苏南京·高三开学考试）在中，记，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）若是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则的值为___________.
6．（2023·全国·高三专题练习）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.
考点2 数量积的应用
[名师点睛]
(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
[典例]
1．(2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．向量，夹角为
3．（2023·广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知非零向量满足，且，则的值为___.
4．(2023·浙江·乐清市知临中学模拟预测）平面向量满足，则与夹角最大值时为（ ）
A．B．C．D．
[举一反三]
1．(2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，若，则的值为（ ）
A．2B．
C．D．
2．(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）在△ABC中，若（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
6．（多选）(2023·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若则的值为
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
7．(2023·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．
8．(2023·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
9．(2023·广东广州·高三开学考试）已知向量，满足，，则___________.
10．（2023·湖北·高三阶段练习）已知是边长为1的等边三角形，设向量满足，则__________．
11．(2023·福建·莆田八中高三开学考试）已知向量、、满足，，，则______．
12．(2023·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习）已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为______．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是：______．
考点3 平面向量的综合应用
[名师点睛]
向量数量积综合应用的方法和思想
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
[典例]
例 (1)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
(2)(2023·天津卷)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且|eq \(MN,\s\up6(→))|＝1，则eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))的最小值为________.
(3)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，m·n＝sin 2C.
①求角C的大小；
②若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求c.
[举一反三]
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高三专题练习）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
3．(2023·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
4．(2023·全国·高三专题练习）在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
5．（多选）（2023·全国·高三专题练习）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
6．（2023·全国·高三专题练习）设点O在的内部，且，则的面积与的面积之比是___________
7．(2023·全国·高三专题练习）设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________.
第32讲 平面向量的数量积及应用举例
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up6(→))＝a，eq \(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq \(OM1,\s\up6(→))＝|a|cs θ e.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(3)夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·eq \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)).
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
考点1 数量积的计算
[名师点睛]
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
[典例]
1．(2023·江苏南京·模拟预测）在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．
答案：
分析：根据为的重心，得到，再由和，利用等面积法求得，进而得到，方法一：利用基底法求解；方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【详解】解：因为为的重心，
所以，
因为，
所以，则，
因为，所以，
即，
所以，
在中，．
方法一：因为，
，
所以，
．
方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，，
由方法一可知，，
所以．
2．(2023·全国·高三专题练习）已知在平行四边形中，，则值为__________．
答案：
分析：由向量加法的几何意义及数量积运算律有，再由结合数量积运算律，即可得结果.
【详解】由题设可得如下图：，而，
所以，
又，
所以，则，
故，可得，即.
故答案为：
[举一反三]
1．（2023·山东·高三开学考试）在中，AB=2，BC=3，，P为边AC上的动点，则的取值范围是（ ）
A．［0，3]B．［1，3]C．［6，9]D．［3，9]
答案：D
分析：结合向量数量积的定义求得正确答案.
【详解】依题意，
由于是边上的动点，所以，
所以，即，
所以.
故选：D
2．(2023·北京八中高三阶段练习）在直角三角形中，，则（ ）
A．B．4C．D．8
答案：A
分析：根据数量积的定义即可求得结果.
【详解】因为为直角三角形，且，所以,
且,
所以.
故选:A.
3．(2023·江苏南京·高三开学考试）在中，记，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据向量的减法法则得，进而根据数量积的运算绿即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：C
4．(2023·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）若是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则的值为___________.
答案：
分析：已知是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，则，，又，然后结合平面向量数量积的运算求解即可．
【详解】解：已知是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，
则，，
又，
则，
故答案为：．
6．（2023·全国·高三专题练习）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.
答案：
分析：以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得的最小值.
【详解】因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故，
以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，设点，
，，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
考点2 数量积的应用
[名师点睛]
(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
[典例]
1．(2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
答案：C
分析：利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．向量，夹角为
答案：AC
分析：先由题给条件求得，从而得到选项A判断正确，选项D判断错误；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C.
【详解】由，可得，
又，则，
即，则.则选项A判断正确；选项D判断错误；
，则选项B判断错误；
，则选项C判断正确.
故选：AC
3．（2023·广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知非零向量满足，且，则的值为___.
答案：4
分析：根据向量模的性质及数量积的运算性质求解即可.
【详解】因为，且，
所以，
即，
所以，
即.
故答案为：4
4．(2023·浙江·乐清市知临中学模拟预测）平面向量满足，则与夹角最大值时为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据条件对两边平方即可得出,从而可求出,进而即可得出然后根据基本不等式即可得出求出向量夹角的最大值,判断出，.
【详解】因为平面向量满足，所以，
所以，所以.
由夹角公式，（当且仅当，即时等号成立）.
因为，所以，即时最大.
此时.
故选：D
[举一反三]
1．(2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，若，则的值为（ ）
A．2B．
C．D．
答案：B
分析：根据向量线性运算的坐标表示与向量垂直的坐标表示求解即可
【详解】因为，，
所以，
又因为，
所以，即，
解得，
故选：B
2．(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）在△ABC中，若（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据，可得，则，从而可求得，从而可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
所以，
所以，所以，即，
又，故，
所以.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：根据向量夹角为锐角列出不等式组，求出的取值范围.
【详解】，
由题意得：且，
解得：且，
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：根据，设，，根据求出，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.
【详解】因为，所以可设，，则，，
因为，所以，即.
则，
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：设与夹角为，与所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范围，即可得解.
【详解】设与夹角为，与所成夹角为，
，
所以，，①
，②
又，③
②与③联立可得，④
①④联立可得，
当且仅当时，取等号，，，则，
故与所成夹角的最大值是，
故选：A.
6．（多选）(2023·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若则的值为
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
答案：AB
分析：根据向量的数量积、向量的模的坐标表示及向量共线的坐标表示一一判断即可；
【详解】解：对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：当时与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于D：若，则，即，即，解得，
当时，，，显然，
当时，，，此时，故D错误；
故选：AB
7．(2023·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．
答案：
分析：直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知：，解得.
故答案为：.
8．(2023·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
答案：
分析：设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
9．(2023·广东广州·高三开学考试）已知向量，满足，，则___________.
答案：
分析：先根据求出，故求出，求出
【详解】，所以，
因为，所以，所以，
，所以
故答案为：
10．（2023·湖北·高三阶段练习）已知是边长为1的等边三角形，设向量满足，则__________．
答案：
分析：方法一：由题意可知，所以，由可得，再计算的值即可；
方法二：由计算即可.
【详解】法一，则，而，
两边平方，可得，，
所以．
故答案为：.
法二：因为，
所以．
故答案为：.
11．(2023·福建·莆田八中高三开学考试）已知向量、、满足，，，则______．
答案：
【详解】由已知可得，则，
即，
因为，则，所以，，，
因此，，故.
故答案为：.
12．(2023·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习）已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为______．
答案：
【详解】因为
所以 ，即 ，
根据向量的数量积运算，则
代入化简得 ，
由 ，
所以 .
故答案为： .
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是：______．
答案：
【详解】解：与夹角为锐角时，；
解得；
当时，与分别为与同向，夹角为零，不合题意，舍去；
∴实数的取值范围为.
故答案为：.
考点3 平面向量的综合应用
[名师点睛]
向量数量积综合应用的方法和思想
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
[典例]
例 (1)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
答案 A
解析 因为(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，所以eq \(CB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，即eq \(CB,\s\up6(→))⊥(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，所以△ABC的中线和底边垂直，所以△ABC是等腰三角形.
(2)(2023·天津卷)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且|eq \(MN,\s\up6(→))|＝1，则eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))的最小值为________.
答案 eq \f(1,6) eq \f(13,2)
解析 因为eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))， 所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，
所以eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(AD,\s\up6(→))|·|eq \(AB,\s\up6(→))|·cs 120°＝－eq \f(3,2)，解得|eq \(AD,\s\up6(→))|＝1.
因为eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))同向，且BC＝6，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))，即λ＝eq \f(1,6).
在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，则BO＝AB·cs 60°＝eq \f(3,2)，AO＝AB·sin 60°＝eq \f(3\r(3),2).
以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系.
如图，设M(a，0)，不妨设点N在点M右侧，
则N(a＋1，0)，且－eq \f(3,2)≤a≤eq \f(7,2).
又Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(3),2)))，所以eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1，－\f(3\r(3),2)))，
eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，－\f(3\r(3),2)))，
所以eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))＝a2－a＋eq \f(27,4)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(13,2).
所以当a＝eq \f(1,2)时，eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))取得最小值eq \f(13,2).
(3)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，m·n＝sin 2C.
①求角C的大小；
②若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求c.
解 ①m·n＝sin A·cs B＋sin B·cs A＝sin(A＋B)，
在△ABC中，A＋B＝π－C，0
所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，cs C＝eq \f(1,2).
又因为C∈(0，π)，故C＝eq \f(π,3).
②由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，
由正弦定理得2c＝a＋b.
因为eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，
所以eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝18，
即abcs C＝18，ab＝36.
由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcs C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.
[举一反三]
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：可以点为原点，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，根据条件可求出，并设，得出，并且，然后即可计算出是关于的二次函数，利用二次函数求的最小值即可．
【详解】解：如图，以点为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，，
，，，
，
设，则，其中，
，，
，
时，取得最小值．
故选：C.
2．(2023·全国·高三专题练习）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
答案：B
分析：设的中点为，两端同时点乘，由可得答案.
【详解】设的中点为，
因为，
所以，
即，两端同时点乘，
所以
，
所以，
所以点在的垂直平分线上，即经过的外心.
故选：B.
3．(2023·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
答案：C
分析：，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上，同理证明即可求解.
【详解】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，点在的角平分线上；
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上；
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上，故是的内心.
故选：C.
4．(2023·全国·高三专题练习）在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
答案：B
分析：延长AC，使得AC=CD，则，由，得，从而可得AM平分，即可得出结论.
【详解】解：延长AC，使得AC=CD，
则，
因为，所以，
因为，所以，
所以是等腰三角形，
所以点M在BD的中垂线上，所以AM平分，
直线AM一定经过的内心.
故选：B.
5．（多选）（2023·全国·高三专题练习）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
答案：AC
分析：运用平面向量共线向量定理即可判断A选项，对于其它选项运用平面向量数量积的运算律及性质逐一判断即可.
【详解】对于A，设边、、的中点分别为、、
,则，所以
所以、、三点共线，即点在中线上，同理点在中线上，
则是的重心.故A正确
对于B，若，则，所以
所以为的外心，故B错误
对于C，设边、、的中点分别为点、、，
则,所以为线段的中垂线，
同理、分别为线段、的中垂线，所以是的外心，故C正确
对于D，由已知，，
即垂直，也即点在边的高上；同理，点也在边的高上，
所以则是的垂心，故D错误.
故选：AC
6．（2023·全国·高三专题练习）设点O在的内部，且，则的面积与的面积之比是___________
答案：5
分析：由题意可得，再根据奔驰定理即可解出．
【详解】由变形可得：，
整理可得：，
根据奔驰定理可得：，则.
故答案为：5.
7．(2023·全国·高三专题练习）设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________.
答案：C为顶角的等腰三角形
分析：取BC的中点D，设O为AB的中点，根据可得，从而可知，再由中位线定理可知，，即可解出．
【详解】取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示：
，同理，，
，设O为AB的中点，
即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形.
故答案为：C为顶角的等腰三角形．
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