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人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练期末难点特训(三)与平行四边形有关的压轴题(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练期末难点特训(三)与平行四边形有关的压轴题(原卷版+解析)，共55页。试卷主要包含了问题背景，已知，正方形的边长为4，如图，已知在和中，等内容，欢迎下载使用。
1．（1）问题背景：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝DF，M为AF的中点，求证：①∠BAE＝∠DAF；②AE＝2DM．
（2）变式关联：如图2，点E在正方形ABCD内，点F在直线BC的上方，BE＝DF，BE⊥DF，M为AF的中点，求证：①CE⊥CF；②AE＝2DM．
（3）拓展应用：如图3，正方形ABCD的边长为2，E在线段BC上，F在线段BD上，BE＝DF，直接写出的最小值．
2．已知：正方形中，点在对角线上，连接，作交于点．
(1)如图（1），求证：；
(2)如图（2），作交于点，连接，求证：；
(3)如图（3），延长交于点，若，，则_________．
3．已知，在菱形中，，，、分别为、上一点．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，为中点，，线段交于，交于，，若，．
①求与之间的函数关系式；
②若，则______．
4．（1）问题背景：如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作交AB的延长线于F求证：；
（2）尝试探究：如图2，在（1）的条件下，连接DB、EF交于M，请探究DM、BM与BF之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，DB和CE交于点N，连接CM并延长交AB于点P，已知，，直接写出PB的长________．
5．正方形的边长为4．
(1)如图1，点在上，连接，作于点，于点．
①求证：；
②如图2，对角线，交于点，连接，若，求的长；
(2)如图3，点在的延长线上，，点在的延长线上，，点在上，连接，在的右侧作，，连接．点从点沿方向运动，当点运动到中点时，设的中点为，当点运动到点时，设的中点为，直接写出的长为________．
6．如图，已知四边形ABCD，∠A＝∠C＝90°，BD是四边形ABCD的对角线，O是BD的中点，BF是∠ABE的角平分线交AD于点F，DE是∠ADC的角平分线交BC于点E，连接FO并延长交DE于点G．
(1)求∠ABC+∠ADC的度数；
(2)求证：FO＝OG；
(3)当BC＝CD，∠BDA＝∠MDC＝22.5°时，求证：DM＝2AB
7．如图，已知在和中，．
(1)如图1，若，，，，，连接，求线段的长；
(2)如图2，若，，E、F分别为边上的动点，与相交于点M，，连接，点N是的中点，证明：；
(3)在（2）的条件下，G是的中点，，连接，H是所在平面内一点，连接，和关于直线成轴对称图形，连接，求的最小值．
8．在□ABCD中，对角线，且，E为CD边上一动点，连接BE交AC于点F，M为线段BE上一动点，连接AM．
(1)如图1，若，，M为BF的中点，求AM的长；
(2)如图2，若M在线段BF上，，作交BE于点N，连接AN，求证：；
(3)如图3，若M在线段EF上，将△ABM沿着AM翻折至同一平面内，得到，点B的对应点为点．当，时，请直接写出的值．
9．在菱形中，点、分别为、边上的点，连接、、．
(1)如图1，与交于点，若，，，求的长；
(2)如图2，若，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折至同一平面内，得到，连接与交于点，记、、的面积分别为、、，当为中点时，请直接写出的值．
10．在菱形ABCD中，，E为对角线BD上一动点，连接AE．
(1)如图1，点F为DE的中点，连接AF，若，求的度数；
(2)如图2，是等边三角形，连接DM，H为DM的中点，连接AH，猜想线段AH与AE之间的数量关系，并证明．
(3)在（2）的条件下，N为AD的中点，连接AM，以AM为边作等边，连接PN，若，直接写出PN的最小值．
11．问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长．
12．矩形中，将矩形沿、翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，、、三点在同一直线上．
(1)如图，求的度数；
(2)如图，当时，连接，交、于点、，若，，求的长度；
(3)如图，当，时，连接，，求的长．
13．如图，正方形中，，点E在边上运动（不与点C、D重合）．过点B作的平行线交的延长线于点F，过点D作的垂线分别交于，于点M、N．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求线段的长；
(3)点E在边上运动过程中，的大小是否改变？若不变，求出该值，若改变请说明理由．
14．（1）如图1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AE⊥DF．则AE和DF的数量关系为 ．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边AD，BC，CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．
（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．
15．已知：在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线BD上一点，且．将三角板的直角顶点与点P重合，一条直角边与直线BC交于点E，另一条直角边与射线BA交于点F（点F不与点B重合），将三角板绕点P旋转．
(1)如图，当点E、F在线段BC、AB上时，求证：PE＝PF；
(2)当∠FPB＝60°时，求△ BEP的面积；
(3)当△ BEP为等腰三角形时，直接写出线段BF的长．
16．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
(1)如图①，当点D在线段BC上时，求证：．
(2)如图②和③，当点D在线段BC的延长线上或反向延长线上时，其它条件不变，请判断CF、BC、CD三条线段之间的关系，并证明之；
(3)如图③，若连接正方形ADEF对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
17．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．
（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；
（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；
（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．
18．在菱形ABCD中，∠BAD=60°．
（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB=4，求线段EC的长；
（2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC的中点，连接DQ，MQ，求证：DM=2DQ．
八下期末难点特训（三）与平行四边形有关的压轴题
1．（1）问题背景：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝DF，M为AF的中点，求证：①∠BAE＝∠DAF；②AE＝2DM．
（2）变式关联：如图2，点E在正方形ABCD内，点F在直线BC的上方，BE＝DF，BE⊥DF，M为AF的中点，求证：①CE⊥CF；②AE＝2DM．
（3）拓展应用：如图3，正方形ABCD的边长为2，E在线段BC上，F在线段BD上，BE＝DF，直接写出的最小值．
答案：（1）①见解析；②见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）
分析：（1）问题情景：①证明△ABE≌△ADF(SAS)，由全等三角形的性质得出∠BAE=∠DAF；②由全等三角形的性质得出AE=AF，由直角三角形的性质可得出结论；
（2）变式关联：①延长BE交DF于G，BG交CD于H，证明△CBE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出∠BCE=∠DCF，则可得出结论；
②延长DM到N，使DM=MN，连接AN，证明△AMN≌△FMD(SAS)，由全等三角形的性质得出AN=DF，证明△ABE≌△DAN(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=DN=2DM；
（3）拓展应用：过点D作DP⊥DF，且使PD=AB，连接PF，PA，过点P作PQ⊥AD，交AD的延长线于点Q，证明△ABE≌△PDF(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=PF，AF+AE=AF+PF≥AP，即当A，F，P三点共线时，AE+AF的最小值为AP，求出则可得出答案．
【详解】解：（1）问题情景：
①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴∠BAE=∠DAF；
②证明：∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
∵M为AF的中点，
∴DM=AF，
∴AE=AF=2DM；
（2）变式关联：
①证明：延长BE交DF于G，BG交CD于H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，CD=CB，
∵BE⊥DF，
∴∠BGD=∠BCD=90°，
∵∠BHD=∠CBE+∠BCD，∠BHD=∠BGD+∠CDF，
∴∠CBE+∠BCD=∠BGD+∠CDF，
∴∠CBE=∠CDF，
又∵BE=DF，
∴△CBE≌△CDF(SAS)，
∴∠BCE=∠DCF，
∵∠BCD=90°，
∴∠ECF=∠ECD+∠DCF=∠ECD+∠BCE=90°，
∴CE⊥CF；
②延长DM到N，使DM=MN，连接AN，
∵M为AF的中点，
∴AM=MF，
∵MD=MN，∠AMN=∠FMD，
∴△AMN≌△FMD(SAS)，
∴AN=DF，
∵△CBE≌△CDF，
∴BE=DF=AN，∠NAM=∠DFM，
∴ANDF，
∴∠DAN+∠ADF=180°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，AB=DA，
∵∠BGD=90°，
∴∠ABE+∠ADF=180°，
∴∠ABE=∠DAN，
∴△ABE≌△DAN(SAS)，
∴AE=DN=2DM；
（3）拓展应用：
过点D作DP⊥DF，且使PD=AB，连接PF，PA，过点P作PQ⊥AD，交AD的延长线于点Q，
∴△ABE≌△PDF(SAS)，
∴AE=PF，
∵∠ADB=45°，
∴∠PDQ=45°，DQ=PQ，
∴AF+AE=AF+PF≥AP，
即当A，F，P三点共线时，AE+AF的最小值为AP，
∵AD=AB=DP=2，
∴PQ=DQ=，
∴，
∴的最小值为8+4．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．已知：正方形中，点在对角线上，连接，作交于点．
(1)如图（1），求证：；
(2)如图（2），作交于点，连接，求证：；
(3)如图（3），延长交于点，若，，则_________．
答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)
分析：（1）过点E作EH⊥BC于H，EG⊥AB于G，由“ASA”可证△ECH=△EFG，可得CE=EF；
（2）过点E作EH⊥BC于H，交AD于Q，EG⊥AB于G，交CD于P，由正方形的性质和矩形的性质可证△CEF是等腰直角三角形，从而得到，再证得四边形AGPD是矩形，四边形DQHC是矩形，四边形DQEP是矩形，从而得到DQ=QM=GF=AG，由“SAS”可证△ABM≌△BCF，可得BM=CF，可得结论；
（3）过点E作GE⊥AB于点G，EQ⊥AD于点Q，可得△EGB是等腰直角三角形，进而得到BG=EG=7，再根据四边形AGEQ是矩形，可得AQ=EG=7，从而得到QN=1，再由勾股定理列出方程可求EF的长．
（1）
证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，EG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵EG⊥AB，EH⊥BC，∠ABC=90°，
∴四边形FGBH是正方形，
∴GE=EH，∠GEH=90°，
∴∠CEF=∠GEH=90°，
∴∠CEH=∠GEF=90°-∠HEF，
在△ECH和△EFG中，
∵∠CEH=∠GEF， EH=EG，∠EHC=∠EGF=90°，
∴△ECH≌△EFG（ASA），
∴CE=EF；
（2）
证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，交AD于Q，EG⊥AB于G，交CD于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴PG⊥CD，QH⊥AD，
∵CE=EF，CE⊥EF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴，
∵PG⊥AB，QH⊥AD，
∴∠A=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，
∴四边形AGPD是矩形，四边形DQHC是矩形，四边形DQEP是矩形，
∴DQ=CH，DP=AG，
∵∠ADB=∠CDB=45°，EQ⊥AD，EP⊥CD，
∴EP=EQ，
∴四边形DPEQ是正方形，
∴DQ=DP=PE=QE=CH=AG，
∵△ECH≌△EFG，
∴GF=CH=DQ，
∵ME⊥BD，∠ADB=45°，
∴△DEM是等腰直角三角形，
∵EQ⊥AD，
∴DQ=QM，
∴DQ=QM=GF=AG，
∴DM=AF，
∵AD=AB，
∴AM=BF，
又∵AB=BC，∠A=∠CBF=90°，
∴△ABM≌△BCF（SAS），
∴BM=CF，
∴；
（3）
解：如图，过点E作GE⊥AB于点G，EQ⊥AD于点Q，
由（2）得：AG=GF=QE，
∵EG⊥AB，∠ABD=45°，
∴△EGB是等腰直角三角形，
∵，
∴BG=EG=7，
∵EQ⊥AD，EG⊥AB，∠A=90°，
∴四边形AGEQ是矩形，
∴AQ=EG=7，
∵AN=6，
∴QN=1，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．已知，在菱形中，，，、分别为、上一点．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，为中点，，线段交于，交于，，若，．
①求与之间的函数关系式；
②若，则______．
答案：(1)证明见解析
(2)①；②
分析：（1）连接DB，由菱形的性质得出∠ABD=∠BDC=60°，证出△ABD为等边三角形， AB=BD，证明△ABE≌△DBF（ASA），由全等三角形的性质可得出结论；
（2）①过点B作交EG于点I，证明四边形BMEG为平行四边形，由平行四边形的性质得出BG=EM=6-y，得出AM=y-3，同理DN=1+x，由（1）得AM=DN，得出y-3=x+1，则可得出答案； ②过点D作DM⊥AB于点M，过点F作FN⊥AB于点N，由题意求出x=1，y=5，得出BH=1，CG=5，由直角三角形的性质求出AM=3，由勾股定理求出答案即可．
（1）
证明：如图1，连接DB，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，
∴∠ABD=∠BDC=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD，
∵∠EBF=60°，
∴∠ABE=∠DBF，
在△ABE和△DBF中，
∴△ABE≌△DBF（ASA），
∴AE=DF；
（2）
解：①如图2，过点B作交EG于点I，
∵，
∴四边形BMEG为平行四边形，而
∴BG=EM=6-y，
∵是AD的中点，
∴
∴AM=y-3， 同理DN=1+x，
∵，
∴∠EOF=∠EIN=60°，
∵，
∴∠MBN=∠EIN=60°，
由（1）得，AM=DN，
∴y-3=x+1，
∴y=x+4；
②如图3，过点D作DM⊥AB于点M，过点F作FN⊥AB于点N，
由①知y=x+4，
又∵x+y=6，
∴x=1，y=5，
∴BH=1，CG=5，
∵DM⊥AB，，
∴DM⊥CD，
∴四边形MDFN为矩形，
∴DM=NF，DF=MN=1，
∵∠A=60°，AD=6，
∴AM=AD=3，
∴，
∵AB=6，
∴NH=AB-AM-MN-BH=6-3-1-1=1，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．
4．（1）问题背景：如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作交AB的延长线于F求证：；
（2）尝试探究：如图2，在（1）的条件下，连接DB、EF交于M，请探究DM、BM与BF之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，DB和CE交于点N，连接CM并延长交AB于点P，已知，，直接写出PB的长________．
答案：（1）证明见解析；（2）DM＝BM＋BF；（3）
分析：（1）由“ASA”可证△CDE≌△CBF，可得CE＝CF；
（2）由“AAS”可证△DME≌△HMF，可得DM＝MH，可得结论；
（3）由直角三角形的性质可得AF＝AE，可求AB的长，由勾股定理可求PF的长，即可求解．
【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠CBF＝180°−∠ABC＝90°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°，
∴∠DCB＝∠ECF＝90°，
∴∠DCE＝∠BCF，
在△CDE和△CBF中，
∴△CDE≌△CBF（ASA），
∴CE＝CF；
（2）DM＝BM＋BF，理由如下：
如图，过点F作FH⊥AF，交DB的延长线于H，
∵△CDE≌△CBF，
∴DE＝BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴∠FBH＝45°，
∵FH⊥AB，
∴∠FBH＝∠H＝45°，
∴BF＝FH＝DE，
∴BH＝BF，
∵∠EDM＝∠H＝45°，∠EMD＝∠HMF，DE＝FH，
∴△DME≌△HMF（AAS），
∴DM＝MH，EM＝MF，
∴DM＝MB＋BH＝MB＋BF；
（3）连接EP，
∵∠DME＝15°，∠ABD＝45°，
∴∠AFE＝30°，
∴AF＝AE，
∴AB＋BF＝（AB−DE），
∴AB＋3−，
∴AB＝，
∴AE＝，AF＝6，
∵EC＝CF，∠ECF＝90°，EM＝MF，
∴CP是EF的垂直平分线，
∴EP＝PF，
∵PE2＝AE2＋AP2，
∴PF2＝24＋（6−PF）2，
∴PF＝4，
∴PB＝，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
5．正方形的边长为4．
(1)如图1，点在上，连接，作于点，于点．
①求证：；
②如图2，对角线，交于点，连接，若，求的长；
(2)如图3，点在的延长线上，，点在的延长线上，，点在上，连接，在的右侧作，，连接．点从点沿方向运动，当点运动到中点时，设的中点为，当点运动到点时，设的中点为，直接写出的长为________．
答案：(1)①见解析；②
(2)
分析：（1）①证明△ADF≌△DCG，即可求证；②连接OG，由①得：△ADF≌△DCG，可得AF=DG，可证得△AOF≌△DOG，从而得到OG=OF，∠DOG=∠AOF，进而得到△FOG为等腰直角三角形，可得到，再由，求出，从而得到，进而得到FG= ，即可求解；
（2）取CK的中点Y，连接MY，CQ，可得，从而得到点M的运动轨迹为线段YM，然后分别计算出当点运动到中点时，当点运动到点时，YM1，YM2的长， 即可求解．
（1）
①证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠CDG=90°，
∵，，
∴∠AFD=∠CGD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠CDG，
∴△ADF≌△DCG，
∴DF=CG；
②解：如图，连接OG，
在正方形ABCD中，OA=OD，∠BAO=∠ADO=45°，∠AOD=∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠EAF=90°，∠EAF+∠OAF=∠ODG+∠ADF=45°，
由①得：△ADF≌△DCG，
∴AF=DG，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADF=∠EAF，
∴∠OAF=∠ODG，
在△AOF和△DOG中，
∵AF=DG，∠OAF=∠ODG，OA=OD，
∴△AOF≌△DOG，
∴OG=OF，∠DOG=∠AOF，
∴∠FOG=∠AOF+∠AOG=∠DOG+∠AOG=∠AOD=90°，
∴△FOG为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，AD=4，AE=3，∠DAE=90°，
∴，
∵AF⊥DE，
∴，
∴，
∴，
∴FG=DF-DG=，
∴；
（2）
解：如图，取CK的中点Y，连接MY，CQ，
∵点M为KQ的中点，
∴，YM∥CQ，
∴点M的运动轨迹为线段YM，
如图，当点运动到中点，即BP=CP=2时，过点Q作QJ⊥CN于点J，
在正方形ABCD中，∠ABC=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠APQ=90°，
∴∠APB+∠QPJ=90°，
∴∠BAP=∠QPJ，
∵∠PJQ=∠ABP=90°，AP=PQ，
∴△ABP≌△PJQ，
∴QJ=BP=2，PJ=AB=4，
∴CJ=2，
∴，
∴，
如图，当点运动到点，即BP=BC+CN=8时，过点Q作QL⊥CN交CN延长线于点L，
同理：△ABP≌△PLQ，
∴QL=BP=8，PL=AB=4，
∴CL=8，
∴，
∴，
∴的长为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识是解题的关键．
6．如图，已知四边形ABCD，∠A＝∠C＝90°，BD是四边形ABCD的对角线，O是BD的中点，BF是∠ABE的角平分线交AD于点F，DE是∠ADC的角平分线交BC于点E，连接FO并延长交DE于点G．
(1)求∠ABC+∠ADC的度数；
(2)求证：FO＝OG；
(3)当BC＝CD，∠BDA＝∠MDC＝22.5°时，求证：DM＝2AB
答案：(1)180°
(2)见解析
(3)见解析
分析：（1）在四边形ABCD中，内角和为360°，因为∠A＝∠C＝90°，所以∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）由（1）可知，∠ABF+∠CBF+∠ADE+∠CDE＝180°，根据BF、DE分别是∠ABE、∠ADC的角平分线，得到∠ABF+∠ADE＝90°，由∠ABF+∠AFB＝90°，得∠ADE＝∠AFB，求出BF∥ED，所以∠BFG＝∠FGD，得证≌，由此得出结论；
（3）证法一：过D点作CD的垂线，延长BA相交于点N，过B点作BK垂直DN，易证，所以BK＝CD，可证，所以，由，可证，所以；
证法二：延长DM，延长DC，过B点作MD的垂线，垂足为N，交DC的延长线于点L，可得，所以，再由得，所以，易证，则，所以．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD的内角和为360°，
∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°．
（2）证明：由（1）可知，∠ABF+∠CBF+∠ADE+∠CDE＝180°，
∵BF、DE分别是∠ABE、∠ADC的角平分线
∴∠ABF＝∠CBF；∠ADE＝∠CDE，
∴2∠ABF+2∠ADE＝180°，
∴∠ABF+∠ADE＝90°，
又∵∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠ADE＝∠AFB，
∴BF∥ED，
∴∠BFG＝∠FGD．
在和中
，
∴，
∴；
（3）证法一：过D点作CD的垂线，延长BA相交于点N，过B点作BK垂直DN，
∴四边形BCDK是矩形，
∵BC=CD，
∴四边形BCDK是正方形，
∴，
∴BK＝CD，
∵∠BDA＝∠MDC＝22.5°，∠BDK＝45°，
∴∠ADN＝22.5°=∠BDA，
在△BAD和△NAD中
∴（ASA）
∴，
∵，
在△BKN和△MCD中
∴（ASA）
∴；
解法二：
延长DM，延长DC，过B点作MD的垂线，垂足为N，交DC的延长线于点L．
∵BC=CD，∠BCD＝90°，
∴∠CBD＝∠BDC＝45°，
∵∠BDA＝∠MDC＝22.5°，
∴∠BDM＝22.5°，
在△BAD和△BND中
，
（ASA），
，
在△LND和△BND中
，
（ASA），
，
，
∴，
在△LCB和△MCD中
，
（ASA），
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，第（2）问作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．如图，已知在和中，．
(1)如图1，若，，，，，连接，求线段的长；
(2)如图2，若，，E、F分别为边上的动点，与相交于点M，，连接，点N是的中点，证明：；
(3)在（2）的条件下，G是的中点，，连接，H是所在平面内一点，连接，和关于直线成轴对称图形，连接，求的最小值．
答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
分析：（1）先证明，，再证明，得到，，则，求出
，即可利用勾股定理求出；
（2）如图所示，延长到Q使得，延长到使得，连接，先求出，再由已知条件得到
，即可证明都是等边三角形，得到，由全等三角形的性质得到
，即可证明，推出是等边三角形，则，证明得到，再证明是
的中位线，得到，即可证明；
（3）如图所示，连接，，根据轴对称的性质得到，则，由三角形三边的关系得到，则当
三点共线时，最小，最小值为，过点G作交延长线于T，求出，，，即可求出，则
．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，延长到Q使得，延长到使得，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵N是的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：如图所示，连接，，
∵和关于直线成轴对称图形，
∴，
∵G是的中点，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，最小值为，
过点G作交延长线于T，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称图形的性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．
8．在□ABCD中，对角线，且，E为CD边上一动点，连接BE交AC于点F，M为线段BE上一动点，连接AM．
(1)如图1，若，，M为BF的中点，求AM的长；
(2)如图2，若M在线段BF上，，作交BE于点N，连接AN，求证：；
(3)如图3，若M在线段EF上，将△ABM沿着AM翻折至同一平面内，得到，点B的对应点为点．当，时，请直接写出的值．
答案：(1)5；
(2)证明过程见解析；
(3)．
分析：（1）先根据已知条件求出AF的长度，再用勾股定理求出BF的长度，最后根据直角三角形斜边中线定理求出AM的长度即可；
（2）过点A作AG⊥AM，交BE于点G，连接CG，先证出△ABM和△ACG全等，再证出BG⊥CG，再证出△ACG和△ANG全等，得到AC=AN，即可得到结论；
（3）根据已知条件使用勾股定理、等腰直角三角形的性质和直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，用含有字母的代数式表示出NF、AN、MN、AB、AM的长度，然后表示出BM、EM的长度，最后求出答案即可．
（1）∵，，∴，∵，∴在中由勾股定理得：，∵M为的中点，∴．
（2）作交于点，连接，∵，，∴，，∴．∵，∴为等腰直角三角形，∴．在和中，∵，∴≌（），∴．∵，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴．在和中，∵，∴≌（），∴，∴．
（3）．解析：作于点，设，∵，，∴根据折叠知，又AN⊥BE，∴，，∴，在Rt△AFN中根据勾股定理得，∴，同理，，同理，．∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、全等三角形的判定和性质；考查的内容比较多，按照阶梯难度逐级上升，熟练掌握那些定理并能画出辅助线是解决本题的关键．
9．在菱形中，点、分别为、边上的点，连接、、．
(1)如图1，与交于点，若，，，求的长；
(2)如图2，若，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折至同一平面内，得到，连接与交于点，记、、的面积分别为、、，当为中点时，请直接写出的值．
答案：(1)4
(2)证明见解析
(3)
分析：（1）根据等腰三角形三线合一可知，，可得，根据勾股定理即可求出AG的长；
（2）在上截取，连接，则，因为，所以，则可证≌（），所以，又因为BC=CD，所以；
（3）延长交于点，连接，则△BOI≌△FOC，所以BI=CF，又因为BI∥CF，所以四边形ACFI是平行形，，由，，设，则，，代入计算可得．
(1)
解：∵在菱形中，平分， ，
∴，．
∵，
∴
在中，，，
∴．
(2)
证明：在上截取，连接．
∵在菱形中，，
∴，
即．
∵，
∴．
∴为等边三角形．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∵，
∴≌（）．
∴．
∵，
∴，
即．
(3)
．
解析：延长交于点，连接．
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠BFC，
∵点O是BF的中点，
∴BO=FO，
∵∠BOI=∠FOC，
∴△BOI≌△FOC，
∴BI=FC，
∴四边形ACFI是平行形，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵沿翻折至同一平面内得到，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查了菱形，熟练运用菱形的性质，结合三角形的相关知识（等腰三角形、等边三角形、全等三角形等）是解题的关键．
10．在菱形ABCD中，，E为对角线BD上一动点，连接AE．
(1)如图1，点F为DE的中点，连接AF，若，求的度数；
(2)如图2，是等边三角形，连接DM，H为DM的中点，连接AH，猜想线段AH与AE之间的数量关系，并证明．
(3)在（2）的条件下，N为AD的中点，连接AM，以AM为边作等边，连接PN，若，直接写出PN的最小值．
答案：(1)30°；
(2)AE＝2AH，证明见解析；
(3)
分析：（1）根据菱形的性质以及等腰三角形的性质可得∠ABD＝∠ADB＝30°，∠EAD＝∠BAD−∠BAE＝90°，根据直角三角形斜边上的中线得AF＝DF，即可得∠FAD＝∠ADB＝30°；
（2）延长DA至F点，使得AF＝DA，连接AM，CE，FM，证明△AMB≌△CEB（SAS），根据全等三角形的性质得AM＝CE，∠MAB＝∠ECB，可得出∠FAM＝∠ECA，再证△FAM≌△ACE（SAS），可得MF＝AE，根据三角形中位线定理即可得出结论；
（3）连接NC、PC、NP，证明△AMB≌△APC（SAS），可得PC＝BM＝BE，∠PCA＝∠BMA＝30°，根据等边三角形的性质得CN⊥AD，∠ACN＝∠DCN＝30°，则∠PCN＝∠PCA＋∠ACN＝60°，在点E运动过程中，当NP⊥PC时，PN长度最短，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．
（1）
解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝AD，∠ABD＝∠ADB＝30°，∠BAD＝120°，
∵BE＝AE，
∴∠ABE＝∠BAE＝30°，
∴∠EAD＝∠BAD−∠BAE＝90°，
∵点F为DE的中点，
∴AF＝DF＝DE，
∴∠FAD＝∠ADB＝30°；
（2）
AE＝2AH，
证明：延长DA至F点，使得AF＝DA，连接AM，CE，FM，
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵△BEM是等边三角形，
∴∠ABM十∠ABE＝∠ABE＋∠EBC＝60°，MB＝BE，
∴∠ABM＝∠EBC，
∴△AMB≌△CEB（SAS），
∴AM＝CE，∠MAB＝∠ECB，
∵AD＝DC，且∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴AD＝AC，
∵AD＝AF，
∴AF＝AC，
∵∠FAB＝180°−∠BAD＝60°，
∴∠FAB＝∠ACB＝60°，
∴∠FAM＝∠FAB−∠MAB＝∠ACB−∠ECB＝∠ECA，
∴△FAM≌△ACE（SAS），
∴MF＝AE，
∵FA＝AD，H为DM的中点，
∴AH＝MF，
∴AE＝MF＝2AH；
（3）
连接NC、PC、NP，
∵△AMP为等边三角形，
∴∠MAP＝60°，AM＝AP，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴△ABC为等边三角形，△ADC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝CD，∠ACD＝60°，
∴∠MAB＝∠MAP−∠BAP＝∠BAC−∠BAP＝∠PAC，
∴△AMB≌△APC（SAS），
∴PC＝BM＝BE，∠PCA＝∠BMA＝30°，
∵AC＝CD，N为AD的中点，
∴CN⊥AD，∠ACN＝∠DCN＝30°，
∴∠PCN＝∠PCA＋∠ACN＝60°，
在点E运动过程中，当NP⊥PC时，PN长度最短，
∵AD＝，
∴DN＝AD＝，
∴NC＝DN＝3，
∵∠PCN＝60°，NP⊥PC，
∴∠PNC＝30°，
∴PC＝NC＝，
∴PN＝PC＝，即PN的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长．
答案：问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8
分析：问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合和可知，再利用矩形的边角性质即可证明，即，即可求解；
（2）由（1）中结论可知，再结合已知，即可证明，从而求得是等腰三角形；
类比迁移：由前面问题的结论想到延长到点，使得，结合菱形的性质，可以得到，再结合已知可得等边，最后利用线段BF长度即可求解．
【详解】解：问题解决：
（1）证明：如图1，∵四边形是矩形，
．
．
．
．
又．
∴矩形是正方形．
（2）是等腰三角形．理由如下：
，
．
又，即是等腰三角形．
类比迁移：
如图2，延长到点，使得，连接．
∵四边形是菱形，
．
．
．
又．
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．
12．矩形中，将矩形沿、翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，、、三点在同一直线上．
(1)如图，求的度数；
(2)如图，当时，连接，交、于点、，若，，求的长度；
(3)如图，当，时，连接，，求的长．
答案：(1)45°
(2)5
(3)4
分析：（1）由折叠的性质得，则；
（2）连接，，，，由折叠的性质知垂直平分，垂直平分，则，，再求出，利用勾股定理可得答案；
（3）设，则，，，过点作垂直交的延长线于，证明四边形是矩形，求出EH，在中，利用勾股定理列方程求解可得答案．
【详解】（1）解：由折叠的性质可知：，，
四边形是矩形，
，
，
，
；
（2）如图，连接，，，，
若，则四边形是正方形，由题意可知点与点重合，
由折叠的性质可知：点与点关于对称，点与点关于对称，
垂直平分，垂直平分，
，，
为正方形的对角线，
，，
，
在中，由勾股定理得：．
（3）设，
由题意可知：，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
在矩形中，，，
，
，，
，
由折叠的性质可知：，，，，，，
，
如图，过点作垂直交的延长线于，则，
四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得或舍去，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了翻折的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键，同时注意方程思想的运用．
13．如图，正方形中，，点E在边上运动（不与点C、D重合）．过点B作的平行线交的延长线于点F，过点D作的垂线分别交于，于点M、N．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求线段的长；
(3)点E在边上运动过程中，的大小是否改变？若不变，求出该值，若改变请说明理由．
答案：(1)见解析
(2)
(3)点E在边上运动过程中，的大小不改变，且
分析：（1）根据正方形的性质，得出，再根据，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据正方形的性质，结合勾股定理，求出，再根据平行四边形的面积求出EF的长即可；
（3）在DN上截取DG=BN，连接CG，根据“SAS”证明，得出CG=NC，，说明△GCN为等腰直角三角形，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴，
即，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴在Rt△ADE中根据勾股定理得：
，
∵，
∴．
（3）解：点E在边上运动过程中，的大小不改变；
在DN上截取DG=BN，连接CG，如图所示：
∵DN⊥AE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在△DGC和△BNC中，
∴（SAS），
∴CG=NC，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
14．（1）如图1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AE⊥DF．则AE和DF的数量关系为 ．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边AD，BC，CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．
（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．
答案：（1）AE＝DF；（2）见解析；（3）CN的长度为3
分析：（1）证明∠BAE=∠ADF，则△ABE≌△DAF（AAS），即可求解；
（2）由正方形的性质得出∠CBG=∠MEF，证明△BCG≌△EMF（ASA），即可求解；
（3）证明△EHF≌△MGN（ASA），则NG=HF，而AE=2，BF=4，故NG=HF=4-2=2，进而求解．
【详解】解：（1）∵∠DAO+∠BAE=90°，∠DAO+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE=DF，
故答案为：AE=DF；
（2）如图1，过点E作EM⊥BC于点M，则四边形ABME为矩形，
则AB=EM，
在正方形ABCD中，AB=BC，
∴EM=BC，
∵EM⊥BC，
∴∠MEF+∠EFM=90°，
∵BG⊥EF，
∴∠CBG+∠EFM=90°，
∴∠CBG=∠MEF，
在△BCG和△EMF中，
，
∴△BCG≌△EMF（ASA），
∴EF=BG；
（3）如图2，连接MN，
∵M、N关于EF对称，
∴MN⊥EF，过点E作EH⊥BC于点H，
过点M作MG⊥CD于点G，则EH⊥MG，
由（2）同理可得：△EHF≌△MGN（ASA），
∴NG=HF，
∵AE=2，BF=4，
∴NG=HF=4-2=2，
又∵GC=MB=1，
∴NC=NG+CG=2+1=3．
【点睛】本题为四边形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
15．已知：在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线BD上一点，且．将三角板的直角顶点与点P重合，一条直角边与直线BC交于点E，另一条直角边与射线BA交于点F（点F不与点B重合），将三角板绕点P旋转．
(1)如图，当点E、F在线段BC、AB上时，求证：PE＝PF；
(2)当∠FPB＝60°时，求△ BEP的面积；
(3)当△ BEP为等腰三角形时，直接写出线段BF的长．
答案：(1)见解析
(2)
(3)的长为4、或
分析：（1）如图1，过点作，，垂足分别为点、．由正方形的性质可证，即可证明；
（2）如图2，过点作于点，当时，，在中和中，中，设ME＝a，则EP＝2a，．表示出，．最后再求△ BEP的面积；
（3）分两大类情况讨论：Ⅰ：当点在射线上时，只有，Ⅱ：当点在射线上时，又可再分三小类情况，①当时；②当时；③当时，进而求得结果．
（1）
如图1，过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，垂足分别为点G、H．
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD平分∠ABC，∠ABC＝90°
∴PH＝PG．
∴四边形GBHP为正方形．
∴∠GPH＝90°，
∵，
∴，
即．
在和中，
，
∴．
∴．
（2）
如图2，过点E作EM⊥BD于点M，
当∠FPB＝60°时，∠EPB＝30°，
在中，设ME＝a，则EP＝2a，．
在中，∠DBC＝45°，
∴EM＝BM＝a，
∴，
解得：．
∴．
（3）
当点在线段上时，
①如图3，当，
∴，
∴，
∵，
∴．
②当时，则，
∴为等腰直角三角形，与重合，舍去．
③如图4，当时，
同理可证，
∵，
∴，
∴，
∴．
Ⅱ：当点在延长线上时，
∵，∴只有，如图5，
同理可证：，
∴．
∵，
∴，
∴．
综上所述，的长为4、或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形面积计算、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及分类讨论的数学思想的运用，综合运用这些性质、判定进行推理是解题的关键．
16．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
(1)如图①，当点D在线段BC上时，求证：．
(2)如图②和③，当点D在线段BC的延长线上或反向延长线上时，其它条件不变，请判断CF、BC、CD三条线段之间的关系，并证明之；
(3)如图③，若连接正方形ADEF对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
答案：(1)证明见解析；
(2)当点D在线段BC的延长线上时，；当点D在线段BC的反向延长线上时，，证明见解析；
(3)△AOC是等腰三角形，理由见解析．
分析：（1）证明△BAD≌△CAF（SAS），得到BD＝CF，再利用，即可得到；
（2）分情况讨论：当点D在线段BC的延长线上时，，证明△BAD≌△CAF（SAS），得到BD＝CF，再利用，证明；当点D在线段BC的反向延长线上时，，证明△BAD≌△CAF（SAS），得到BD＝CF，再利用即可证明；
（3）证明△FCD为直角三角形，进一步可得，再根据OA＝AE，AE＝DF，即可证明OC＝OA．
【详解】（1）证明：如图①：
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠CAF+∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∵，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，
∵，
∴．
（2）解：如图②：
当点D在线段BC的延长线上时，．
理由如下：
∵∠BAC＝∠DAF=90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAF+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，
∵，
∴；
如图③：
当点D在线段BC的反向延长线上时，．
理由如下：
∵∠CAF+∠BAF＝∠BAC＝90°，
∠BAD+∠BAF＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∵，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，
∵，
∴．
（3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
由（2）可知：△BAD≌△CAF，
∴∠ACF＝∠ABD＝135°，
∴∠FCD＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°=90°，
∴△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF的中点，
∴
∵在正方形ADEF中，OA＝AE，AE＝DF，
∴OC＝OA，
∴△AOC是等腰三角形．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定．解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，结合图形分析．
17．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．
（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；
（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；
（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．
答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）DQ=AD+DP.
分析：（1）由直角三角形的性质得出∠ABC=60°，由角平分线的定义得出∠A=∠DBA，证出AD=BD，由线段垂直平分线的性质得出AE=BE，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=AB=BE，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得出BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，证出∠CBM=∠EBN，由SAS证明△CBM≌△EBN，得出∠BEN=∠BCM=60°，得出∠BEN=∠EBC，即可得出结论；
（3）延长BD至F，使DF=PD，连接PF，证出△PDF为等边三角形，得出PF=PD=DF，∠F=∠PDQ=60°，得到∠F=∠PDQ=60°，证出∠Q=∠PBF，由AAS证明△PFB≌△PDQ，得出DQ=BF=BD+DF=BD+DP，证出AD=BD，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBA=∠ABC=30°，
∴∠A=∠DBA，
∴AD=BD，
∵DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴CE=AB=BE，
∴△BCE是等边三角形；
（2）证明：∵△BCE与△MNB都是等边三角形，
∴BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，
∴∠CBM=∠EBN，
在△CBM和△EBN中，
∴△CBM≌△EBN（SAS），
∴∠BEN=∠BCM=60°，
∴∠BEN=∠EBC，
∴EN∥BC；
（3）解：DQ=AD+DP；理由如下：
延长BD至F，使DF=PD，连接PF，如图所示：
∵∠PDF=∠BDC=∠A+∠DBA=30°+30°=60°，
∴△PDF为等边三角形，
∴PF=PD=DF，∠F=60°，
∵∠PDQ=90°-∠A=60°，
∴∠F=∠PDQ=60°，
∴∠BDQ=180°-∠BDC-∠PDQ=60°，
∴∠BPQ=∠BDQ=60°，
∴∠Q=∠PBF，
在△PFB和△PDQ中，
∴△PFB≌△PDQ，
∴DQ=BF=BD+DF=BD+DP，
∵∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∴DQ=AD+DP．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明等边三角形和三角形全等才能得出结论．
18．在菱形ABCD中，∠BAD=60°．
（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB=4，求线段EC的长；
（2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC的中点，连接DQ，MQ，求证：DM=2DQ．
答案：（1）2 （2）证明见解析
【详解】试题分析：（1）如图1，连接对角线BD，先证明△ABD是等边三角形，根据E是AB的中点，由等腰三角形三线合一得：DE⊥AB，利用勾股定理依次求DE和EC的长；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明△ADH是等边三角形，再由△AMN是等边三角形，得条件证明△ANH≌△AMD（SAS），则HN=DM，根据DQ是△CHN的中位线，得HN=2DQ，由等量代换可得结论．
试题解析：解：（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，∵∠A=60°，∴∠ABC=120°，∴∠ABD=∠ABC=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AD=4，∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，由勾股定理得：DE==，∵DC∥AB，∴∠EDC=∠DEA=90°，在Rt△DEC中，DC=4，EC===；
（2）如图2，延长CD至H，使CD=DH，连接NH、AH，∵AD=CD，∴AD=DH，∵CD∥AB，∴∠HDA=∠BAD=60°，∴△ADH是等边三角形，∴AH=AD，∠HAD=60°，∵△AMN是等边三角形，∴AM=AN，∠NAM=60°，∴∠HAN+∠NAG=∠NAG+∠DAM，∴∠HAN=∠DAM，在△ANH和△AMD中，∵AH=AD，∠HAN=∠DAM，AN=AM，∴△ANH≌△AMD（SAS），∴HN=DM，∵D是CH的中点，Q是NC的中点，∴DQ是△CHN的中位线，∴HN=2DQ，∴DM=2DQ．
点睛：本题考查了菱形的性质、三角形的中位线、三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质和判定，本题证明△ANH≌△AMD是关键，并与三角形中位线相结合，解决问题；第二问有难度，注意辅助线的构建．
1．（1）问题背景：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝DF，M为AF的中点，求证：①∠BAE＝∠DAF；②AE＝2DM．
（2）变式关联：如图2，点E在正方形ABCD内，点F在直线BC的上方，BE＝DF，BE⊥DF，M为AF的中点，求证：①CE⊥CF；②AE＝2DM．
（3）拓展应用：如图3，正方形ABCD的边长为2，E在线段BC上，F在线段BD上，BE＝DF，直接写出的最小值．
2．已知：正方形中，点在对角线上，连接，作交于点．
(1)如图（1），求证：；
(2)如图（2），作交于点，连接，求证：；
(3)如图（3），延长交于点，若，，则_________．
3．已知，在菱形中，，，、分别为、上一点．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，为中点，，线段交于，交于，，若，．
①求与之间的函数关系式；
②若，则______．
4．（1）问题背景：如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作交AB的延长线于F求证：；
（2）尝试探究：如图2，在（1）的条件下，连接DB、EF交于M，请探究DM、BM与BF之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，DB和CE交于点N，连接CM并延长交AB于点P，已知，，直接写出PB的长________．
5．正方形的边长为4．
(1)如图1，点在上，连接，作于点，于点．
①求证：；
②如图2，对角线，交于点，连接，若，求的长；
(2)如图3，点在的延长线上，，点在的延长线上，，点在上，连接，在的右侧作，，连接．点从点沿方向运动，当点运动到中点时，设的中点为，当点运动到点时，设的中点为，直接写出的长为________．
6．如图，已知四边形ABCD，∠A＝∠C＝90°，BD是四边形ABCD的对角线，O是BD的中点，BF是∠ABE的角平分线交AD于点F，DE是∠ADC的角平分线交BC于点E，连接FO并延长交DE于点G．
(1)求∠ABC+∠ADC的度数；
(2)求证：FO＝OG；
(3)当BC＝CD，∠BDA＝∠MDC＝22.5°时，求证：DM＝2AB
7．如图，已知在和中，．
(1)如图1，若，，，，，连接，求线段的长；
(2)如图2，若，，E、F分别为边上的动点，与相交于点M，，连接，点N是的中点，证明：；
(3)在（2）的条件下，G是的中点，，连接，H是所在平面内一点，连接，和关于直线成轴对称图形，连接，求的最小值．
8．在□ABCD中，对角线，且，E为CD边上一动点，连接BE交AC于点F，M为线段BE上一动点，连接AM．
(1)如图1，若，，M为BF的中点，求AM的长；
(2)如图2，若M在线段BF上，，作交BE于点N，连接AN，求证：；
(3)如图3，若M在线段EF上，将△ABM沿着AM翻折至同一平面内，得到，点B的对应点为点．当，时，请直接写出的值．
9．在菱形中，点、分别为、边上的点，连接、、．
(1)如图1，与交于点，若，，，求的长；
(2)如图2，若，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折至同一平面内，得到，连接与交于点，记、、的面积分别为、、，当为中点时，请直接写出的值．
10．在菱形ABCD中，，E为对角线BD上一动点，连接AE．
(1)如图1，点F为DE的中点，连接AF，若，求的度数；
(2)如图2，是等边三角形，连接DM，H为DM的中点，连接AH，猜想线段AH与AE之间的数量关系，并证明．
(3)在（2）的条件下，N为AD的中点，连接AM，以AM为边作等边，连接PN，若，直接写出PN的最小值．
11．问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长．
12．矩形中，将矩形沿、翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，、、三点在同一直线上．
(1)如图，求的度数；
(2)如图，当时，连接，交、于点、，若，，求的长度；
(3)如图，当，时，连接，，求的长．
13．如图，正方形中，，点E在边上运动（不与点C、D重合）．过点B作的平行线交的延长线于点F，过点D作的垂线分别交于，于点M、N．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求线段的长；
(3)点E在边上运动过程中，的大小是否改变？若不变，求出该值，若改变请说明理由．
14．（1）如图1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AE⊥DF．则AE和DF的数量关系为 ．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边AD，BC，CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．
（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．
15．已知：在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线BD上一点，且．将三角板的直角顶点与点P重合，一条直角边与直线BC交于点E，另一条直角边与射线BA交于点F（点F不与点B重合），将三角板绕点P旋转．
(1)如图，当点E、F在线段BC、AB上时，求证：PE＝PF；
(2)当∠FPB＝60°时，求△ BEP的面积；
(3)当△ BEP为等腰三角形时，直接写出线段BF的长．
16．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
(1)如图①，当点D在线段BC上时，求证：．
(2)如图②和③，当点D在线段BC的延长线上或反向延长线上时，其它条件不变，请判断CF、BC、CD三条线段之间的关系，并证明之；
(3)如图③，若连接正方形ADEF对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
17．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．
（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；
（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；
（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．
18．在菱形ABCD中，∠BAD=60°．
（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB=4，求线段EC的长；
（2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC的中点，连接DQ，MQ，求证：DM=2DQ．
八下期末难点特训（三）与平行四边形有关的压轴题
1．（1）问题背景：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝DF，M为AF的中点，求证：①∠BAE＝∠DAF；②AE＝2DM．
（2）变式关联：如图2，点E在正方形ABCD内，点F在直线BC的上方，BE＝DF，BE⊥DF，M为AF的中点，求证：①CE⊥CF；②AE＝2DM．
（3）拓展应用：如图3，正方形ABCD的边长为2，E在线段BC上，F在线段BD上，BE＝DF，直接写出的最小值．
答案：（1）①见解析；②见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）
分析：（1）问题情景：①证明△ABE≌△ADF(SAS)，由全等三角形的性质得出∠BAE=∠DAF；②由全等三角形的性质得出AE=AF，由直角三角形的性质可得出结论；
（2）变式关联：①延长BE交DF于G，BG交CD于H，证明△CBE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出∠BCE=∠DCF，则可得出结论；
②延长DM到N，使DM=MN，连接AN，证明△AMN≌△FMD(SAS)，由全等三角形的性质得出AN=DF，证明△ABE≌△DAN(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=DN=2DM；
（3）拓展应用：过点D作DP⊥DF，且使PD=AB，连接PF，PA，过点P作PQ⊥AD，交AD的延长线于点Q，证明△ABE≌△PDF(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=PF，AF+AE=AF+PF≥AP，即当A，F，P三点共线时，AE+AF的最小值为AP，求出则可得出答案．
【详解】解：（1）问题情景：
①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴∠BAE=∠DAF；
②证明：∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
∵M为AF的中点，
∴DM=AF，
∴AE=AF=2DM；
（2）变式关联：
①证明：延长BE交DF于G，BG交CD于H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，CD=CB，
∵BE⊥DF，
∴∠BGD=∠BCD=90°，
∵∠BHD=∠CBE+∠BCD，∠BHD=∠BGD+∠CDF，
∴∠CBE+∠BCD=∠BGD+∠CDF，
∴∠CBE=∠CDF，
又∵BE=DF，
∴△CBE≌△CDF(SAS)，
∴∠BCE=∠DCF，
∵∠BCD=90°，
∴∠ECF=∠ECD+∠DCF=∠ECD+∠BCE=90°，
∴CE⊥CF；
②延长DM到N，使DM=MN，连接AN，
∵M为AF的中点，
∴AM=MF，
∵MD=MN，∠AMN=∠FMD，
∴△AMN≌△FMD(SAS)，
∴AN=DF，
∵△CBE≌△CDF，
∴BE=DF=AN，∠NAM=∠DFM，
∴ANDF，
∴∠DAN+∠ADF=180°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，AB=DA，
∵∠BGD=90°，
∴∠ABE+∠ADF=180°，
∴∠ABE=∠DAN，
∴△ABE≌△DAN(SAS)，
∴AE=DN=2DM；
（3）拓展应用：
过点D作DP⊥DF，且使PD=AB，连接PF，PA，过点P作PQ⊥AD，交AD的延长线于点Q，
∴△ABE≌△PDF(SAS)，
∴AE=PF，
∵∠ADB=45°，
∴∠PDQ=45°，DQ=PQ，
∴AF+AE=AF+PF≥AP，
即当A，F，P三点共线时，AE+AF的最小值为AP，
∵AD=AB=DP=2，
∴PQ=DQ=，
∴，
∴的最小值为8+4．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．已知：正方形中，点在对角线上，连接，作交于点．
(1)如图（1），求证：；
(2)如图（2），作交于点，连接，求证：；
(3)如图（3），延长交于点，若，，则_________．
答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)
分析：（1）过点E作EH⊥BC于H，EG⊥AB于G，由“ASA”可证△ECH=△EFG，可得CE=EF；
（2）过点E作EH⊥BC于H，交AD于Q，EG⊥AB于G，交CD于P，由正方形的性质和矩形的性质可证△CEF是等腰直角三角形，从而得到，再证得四边形AGPD是矩形，四边形DQHC是矩形，四边形DQEP是矩形，从而得到DQ=QM=GF=AG，由“SAS”可证△ABM≌△BCF，可得BM=CF，可得结论；
（3）过点E作GE⊥AB于点G，EQ⊥AD于点Q，可得△EGB是等腰直角三角形，进而得到BG=EG=7，再根据四边形AGEQ是矩形，可得AQ=EG=7，从而得到QN=1，再由勾股定理列出方程可求EF的长．
（1）
证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，EG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵EG⊥AB，EH⊥BC，∠ABC=90°，
∴四边形FGBH是正方形，
∴GE=EH，∠GEH=90°，
∴∠CEF=∠GEH=90°，
∴∠CEH=∠GEF=90°-∠HEF，
在△ECH和△EFG中，
∵∠CEH=∠GEF， EH=EG，∠EHC=∠EGF=90°，
∴△ECH≌△EFG（ASA），
∴CE=EF；
（2）
证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，交AD于Q，EG⊥AB于G，交CD于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴PG⊥CD，QH⊥AD，
∵CE=EF，CE⊥EF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴，
∵PG⊥AB，QH⊥AD，
∴∠A=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，
∴四边形AGPD是矩形，四边形DQHC是矩形，四边形DQEP是矩形，
∴DQ=CH，DP=AG，
∵∠ADB=∠CDB=45°，EQ⊥AD，EP⊥CD，
∴EP=EQ，
∴四边形DPEQ是正方形，
∴DQ=DP=PE=QE=CH=AG，
∵△ECH≌△EFG，
∴GF=CH=DQ，
∵ME⊥BD，∠ADB=45°，
∴△DEM是等腰直角三角形，
∵EQ⊥AD，
∴DQ=QM，
∴DQ=QM=GF=AG，
∴DM=AF，
∵AD=AB，
∴AM=BF，
又∵AB=BC，∠A=∠CBF=90°，
∴△ABM≌△BCF（SAS），
∴BM=CF，
∴；
（3）
解：如图，过点E作GE⊥AB于点G，EQ⊥AD于点Q，
由（2）得：AG=GF=QE，
∵EG⊥AB，∠ABD=45°，
∴△EGB是等腰直角三角形，
∵，
∴BG=EG=7，
∵EQ⊥AD，EG⊥AB，∠A=90°，
∴四边形AGEQ是矩形，
∴AQ=EG=7，
∵AN=6，
∴QN=1，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．已知，在菱形中，，，、分别为、上一点．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，为中点，，线段交于，交于，，若，．
①求与之间的函数关系式；
②若，则______．
答案：(1)证明见解析
(2)①；②
分析：（1）连接DB，由菱形的性质得出∠ABD=∠BDC=60°，证出△ABD为等边三角形， AB=BD，证明△ABE≌△DBF（ASA），由全等三角形的性质可得出结论；
（2）①过点B作交EG于点I，证明四边形BMEG为平行四边形，由平行四边形的性质得出BG=EM=6-y，得出AM=y-3，同理DN=1+x，由（1）得AM=DN，得出y-3=x+1，则可得出答案； ②过点D作DM⊥AB于点M，过点F作FN⊥AB于点N，由题意求出x=1，y=5，得出BH=1，CG=5，由直角三角形的性质求出AM=3，由勾股定理求出答案即可．
（1）
证明：如图1，连接DB，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，
∴∠ABD=∠BDC=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD，
∵∠EBF=60°，
∴∠ABE=∠DBF，
在△ABE和△DBF中，
∴△ABE≌△DBF（ASA），
∴AE=DF；
（2）
解：①如图2，过点B作交EG于点I，
∵，
∴四边形BMEG为平行四边形，而
∴BG=EM=6-y，
∵是AD的中点，
∴
∴AM=y-3， 同理DN=1+x，
∵，
∴∠EOF=∠EIN=60°，
∵，
∴∠MBN=∠EIN=60°，
由（1）得，AM=DN，
∴y-3=x+1，
∴y=x+4；
②如图3，过点D作DM⊥AB于点M，过点F作FN⊥AB于点N，
由①知y=x+4，
又∵x+y=6，
∴x=1，y=5，
∴BH=1，CG=5，
∵DM⊥AB，，
∴DM⊥CD，
∴四边形MDFN为矩形，
∴DM=NF，DF=MN=1，
∵∠A=60°，AD=6，
∴AM=AD=3，
∴，
∵AB=6，
∴NH=AB-AM-MN-BH=6-3-1-1=1，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．
4．（1）问题背景：如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作交AB的延长线于F求证：；
（2）尝试探究：如图2，在（1）的条件下，连接DB、EF交于M，请探究DM、BM与BF之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，DB和CE交于点N，连接CM并延长交AB于点P，已知，，直接写出PB的长________．
答案：（1）证明见解析；（2）DM＝BM＋BF；（3）
分析：（1）由“ASA”可证△CDE≌△CBF，可得CE＝CF；
（2）由“AAS”可证△DME≌△HMF，可得DM＝MH，可得结论；
（3）由直角三角形的性质可得AF＝AE，可求AB的长，由勾股定理可求PF的长，即可求解．
【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠CBF＝180°−∠ABC＝90°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°，
∴∠DCB＝∠ECF＝90°，
∴∠DCE＝∠BCF，
在△CDE和△CBF中，
∴△CDE≌△CBF（ASA），
∴CE＝CF；
（2）DM＝BM＋BF，理由如下：
如图，过点F作FH⊥AF，交DB的延长线于H，
∵△CDE≌△CBF，
∴DE＝BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴∠FBH＝45°，
∵FH⊥AB，
∴∠FBH＝∠H＝45°，
∴BF＝FH＝DE，
∴BH＝BF，
∵∠EDM＝∠H＝45°，∠EMD＝∠HMF，DE＝FH，
∴△DME≌△HMF（AAS），
∴DM＝MH，EM＝MF，
∴DM＝MB＋BH＝MB＋BF；
（3）连接EP，
∵∠DME＝15°，∠ABD＝45°，
∴∠AFE＝30°，
∴AF＝AE，
∴AB＋BF＝（AB−DE），
∴AB＋3−，
∴AB＝，
∴AE＝，AF＝6，
∵EC＝CF，∠ECF＝90°，EM＝MF，
∴CP是EF的垂直平分线，
∴EP＝PF，
∵PE2＝AE2＋AP2，
∴PF2＝24＋（6−PF）2，
∴PF＝4，
∴PB＝，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
5．正方形的边长为4．
(1)如图1，点在上，连接，作于点，于点．
①求证：；
②如图2，对角线，交于点，连接，若，求的长；
(2)如图3，点在的延长线上，，点在的延长线上，，点在上，连接，在的右侧作，，连接．点从点沿方向运动，当点运动到中点时，设的中点为，当点运动到点时，设的中点为，直接写出的长为________．
答案：(1)①见解析；②
(2)
分析：（1）①证明△ADF≌△DCG，即可求证；②连接OG，由①得：△ADF≌△DCG，可得AF=DG，可证得△AOF≌△DOG，从而得到OG=OF，∠DOG=∠AOF，进而得到△FOG为等腰直角三角形，可得到，再由，求出，从而得到，进而得到FG= ，即可求解；
（2）取CK的中点Y，连接MY，CQ，可得，从而得到点M的运动轨迹为线段YM，然后分别计算出当点运动到中点时，当点运动到点时，YM1，YM2的长， 即可求解．
（1）
①证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠CDG=90°，
∵，，
∴∠AFD=∠CGD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠CDG，
∴△ADF≌△DCG，
∴DF=CG；
②解：如图，连接OG，
在正方形ABCD中，OA=OD，∠BAO=∠ADO=45°，∠AOD=∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠EAF=90°，∠EAF+∠OAF=∠ODG+∠ADF=45°，
由①得：△ADF≌△DCG，
∴AF=DG，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADF=∠EAF，
∴∠OAF=∠ODG，
在△AOF和△DOG中，
∵AF=DG，∠OAF=∠ODG，OA=OD，
∴△AOF≌△DOG，
∴OG=OF，∠DOG=∠AOF，
∴∠FOG=∠AOF+∠AOG=∠DOG+∠AOG=∠AOD=90°，
∴△FOG为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，AD=4，AE=3，∠DAE=90°，
∴，
∵AF⊥DE，
∴，
∴，
∴，
∴FG=DF-DG=，
∴；
（2）
解：如图，取CK的中点Y，连接MY，CQ，
∵点M为KQ的中点，
∴，YM∥CQ，
∴点M的运动轨迹为线段YM，
如图，当点运动到中点，即BP=CP=2时，过点Q作QJ⊥CN于点J，
在正方形ABCD中，∠ABC=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠APQ=90°，
∴∠APB+∠QPJ=90°，
∴∠BAP=∠QPJ，
∵∠PJQ=∠ABP=90°，AP=PQ，
∴△ABP≌△PJQ，
∴QJ=BP=2，PJ=AB=4，
∴CJ=2，
∴，
∴，
如图，当点运动到点，即BP=BC+CN=8时，过点Q作QL⊥CN交CN延长线于点L，
同理：△ABP≌△PLQ，
∴QL=BP=8，PL=AB=4，
∴CL=8，
∴，
∴，
∴的长为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识是解题的关键．
6．如图，已知四边形ABCD，∠A＝∠C＝90°，BD是四边形ABCD的对角线，O是BD的中点，BF是∠ABE的角平分线交AD于点F，DE是∠ADC的角平分线交BC于点E，连接FO并延长交DE于点G．
(1)求∠ABC+∠ADC的度数；
(2)求证：FO＝OG；
(3)当BC＝CD，∠BDA＝∠MDC＝22.5°时，求证：DM＝2AB
答案：(1)180°
(2)见解析
(3)见解析
分析：（1）在四边形ABCD中，内角和为360°，因为∠A＝∠C＝90°，所以∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）由（1）可知，∠ABF+∠CBF+∠ADE+∠CDE＝180°，根据BF、DE分别是∠ABE、∠ADC的角平分线，得到∠ABF+∠ADE＝90°，由∠ABF+∠AFB＝90°，得∠ADE＝∠AFB，求出BF∥ED，所以∠BFG＝∠FGD，得证≌，由此得出结论；
（3）证法一：过D点作CD的垂线，延长BA相交于点N，过B点作BK垂直DN，易证，所以BK＝CD，可证，所以，由，可证，所以；
证法二：延长DM，延长DC，过B点作MD的垂线，垂足为N，交DC的延长线于点L，可得，所以，再由得，所以，易证，则，所以．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD的内角和为360°，
∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°．
（2）证明：由（1）可知，∠ABF+∠CBF+∠ADE+∠CDE＝180°，
∵BF、DE分别是∠ABE、∠ADC的角平分线
∴∠ABF＝∠CBF；∠ADE＝∠CDE，
∴2∠ABF+2∠ADE＝180°，
∴∠ABF+∠ADE＝90°，
又∵∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠ADE＝∠AFB，
∴BF∥ED，
∴∠BFG＝∠FGD．
在和中
，
∴，
∴；
（3）证法一：过D点作CD的垂线，延长BA相交于点N，过B点作BK垂直DN，
∴四边形BCDK是矩形，
∵BC=CD，
∴四边形BCDK是正方形，
∴，
∴BK＝CD，
∵∠BDA＝∠MDC＝22.5°，∠BDK＝45°，
∴∠ADN＝22.5°=∠BDA，
在△BAD和△NAD中
∴（ASA）
∴，
∵，
在△BKN和△MCD中
∴（ASA）
∴；
解法二：
延长DM，延长DC，过B点作MD的垂线，垂足为N，交DC的延长线于点L．
∵BC=CD，∠BCD＝90°，
∴∠CBD＝∠BDC＝45°，
∵∠BDA＝∠MDC＝22.5°，
∴∠BDM＝22.5°，
在△BAD和△BND中
，
（ASA），
，
在△LND和△BND中
，
（ASA），
，
，
∴，
在△LCB和△MCD中
，
（ASA），
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，第（2）问作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．如图，已知在和中，．
(1)如图1，若，，，，，连接，求线段的长；
(2)如图2，若，，E、F分别为边上的动点，与相交于点M，，连接，点N是的中点，证明：；
(3)在（2）的条件下，G是的中点，，连接，H是所在平面内一点，连接，和关于直线成轴对称图形，连接，求的最小值．
答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
分析：（1）先证明，，再证明，得到，，则，求出
，即可利用勾股定理求出；
（2）如图所示，延长到Q使得，延长到使得，连接，先求出，再由已知条件得到
，即可证明都是等边三角形，得到，由全等三角形的性质得到
，即可证明，推出是等边三角形，则，证明得到，再证明是
的中位线，得到，即可证明；
（3）如图所示，连接，，根据轴对称的性质得到，则，由三角形三边的关系得到，则当
三点共线时，最小，最小值为，过点G作交延长线于T，求出，，，即可求出，则
．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，延长到Q使得，延长到使得，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵N是的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：如图所示，连接，，
∵和关于直线成轴对称图形，
∴，
∵G是的中点，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，最小值为，
过点G作交延长线于T，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称图形的性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．
8．在□ABCD中，对角线，且，E为CD边上一动点，连接BE交AC于点F，M为线段BE上一动点，连接AM．
(1)如图1，若，，M为BF的中点，求AM的长；
(2)如图2，若M在线段BF上，，作交BE于点N，连接AN，求证：；
(3)如图3，若M在线段EF上，将△ABM沿着AM翻折至同一平面内，得到，点B的对应点为点．当，时，请直接写出的值．
答案：(1)5；
(2)证明过程见解析；
(3)．
分析：（1）先根据已知条件求出AF的长度，再用勾股定理求出BF的长度，最后根据直角三角形斜边中线定理求出AM的长度即可；
（2）过点A作AG⊥AM，交BE于点G，连接CG，先证出△ABM和△ACG全等，再证出BG⊥CG，再证出△ACG和△ANG全等，得到AC=AN，即可得到结论；
（3）根据已知条件使用勾股定理、等腰直角三角形的性质和直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，用含有字母的代数式表示出NF、AN、MN、AB、AM的长度，然后表示出BM、EM的长度，最后求出答案即可．
（1）∵，，∴，∵，∴在中由勾股定理得：，∵M为的中点，∴．
（2）作交于点，连接，∵，，∴，，∴．∵，∴为等腰直角三角形，∴．在和中，∵，∴≌（），∴．∵，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴．在和中，∵，∴≌（），∴，∴．
（3）．解析：作于点，设，∵，，∴根据折叠知，又AN⊥BE，∴，，∴，在Rt△AFN中根据勾股定理得，∴，同理，，同理，．∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、全等三角形的判定和性质；考查的内容比较多，按照阶梯难度逐级上升，熟练掌握那些定理并能画出辅助线是解决本题的关键．
9．在菱形中，点、分别为、边上的点，连接、、．
(1)如图1，与交于点，若，，，求的长；
(2)如图2，若，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折至同一平面内，得到，连接与交于点，记、、的面积分别为、、，当为中点时，请直接写出的值．
答案：(1)4
(2)证明见解析
(3)
分析：（1）根据等腰三角形三线合一可知，，可得，根据勾股定理即可求出AG的长；
（2）在上截取，连接，则，因为，所以，则可证≌（），所以，又因为BC=CD，所以；
（3）延长交于点，连接，则△BOI≌△FOC，所以BI=CF，又因为BI∥CF，所以四边形ACFI是平行形，，由，，设，则，，代入计算可得．
(1)
解：∵在菱形中，平分， ，
∴，．
∵，
∴
在中，，，
∴．
(2)
证明：在上截取，连接．
∵在菱形中，，
∴，
即．
∵，
∴．
∴为等边三角形．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∵，
∴≌（）．
∴．
∵，
∴，
即．
(3)
．
解析：延长交于点，连接．
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠BFC，
∵点O是BF的中点，
∴BO=FO，
∵∠BOI=∠FOC，
∴△BOI≌△FOC，
∴BI=FC，
∴四边形ACFI是平行形，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵沿翻折至同一平面内得到，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查了菱形，熟练运用菱形的性质，结合三角形的相关知识（等腰三角形、等边三角形、全等三角形等）是解题的关键．
10．在菱形ABCD中，，E为对角线BD上一动点，连接AE．
(1)如图1，点F为DE的中点，连接AF，若，求的度数；
(2)如图2，是等边三角形，连接DM，H为DM的中点，连接AH，猜想线段AH与AE之间的数量关系，并证明．
(3)在（2）的条件下，N为AD的中点，连接AM，以AM为边作等边，连接PN，若，直接写出PN的最小值．
答案：(1)30°；
(2)AE＝2AH，证明见解析；
(3)
分析：（1）根据菱形的性质以及等腰三角形的性质可得∠ABD＝∠ADB＝30°，∠EAD＝∠BAD−∠BAE＝90°，根据直角三角形斜边上的中线得AF＝DF，即可得∠FAD＝∠ADB＝30°；
（2）延长DA至F点，使得AF＝DA，连接AM，CE，FM，证明△AMB≌△CEB（SAS），根据全等三角形的性质得AM＝CE，∠MAB＝∠ECB，可得出∠FAM＝∠ECA，再证△FAM≌△ACE（SAS），可得MF＝AE，根据三角形中位线定理即可得出结论；
（3）连接NC、PC、NP，证明△AMB≌△APC（SAS），可得PC＝BM＝BE，∠PCA＝∠BMA＝30°，根据等边三角形的性质得CN⊥AD，∠ACN＝∠DCN＝30°，则∠PCN＝∠PCA＋∠ACN＝60°，在点E运动过程中，当NP⊥PC时，PN长度最短，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．
（1）
解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝AD，∠ABD＝∠ADB＝30°，∠BAD＝120°，
∵BE＝AE，
∴∠ABE＝∠BAE＝30°，
∴∠EAD＝∠BAD−∠BAE＝90°，
∵点F为DE的中点，
∴AF＝DF＝DE，
∴∠FAD＝∠ADB＝30°；
（2）
AE＝2AH，
证明：延长DA至F点，使得AF＝DA，连接AM，CE，FM，
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵△BEM是等边三角形，
∴∠ABM十∠ABE＝∠ABE＋∠EBC＝60°，MB＝BE，
∴∠ABM＝∠EBC，
∴△AMB≌△CEB（SAS），
∴AM＝CE，∠MAB＝∠ECB，
∵AD＝DC，且∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴AD＝AC，
∵AD＝AF，
∴AF＝AC，
∵∠FAB＝180°−∠BAD＝60°，
∴∠FAB＝∠ACB＝60°，
∴∠FAM＝∠FAB−∠MAB＝∠ACB−∠ECB＝∠ECA，
∴△FAM≌△ACE（SAS），
∴MF＝AE，
∵FA＝AD，H为DM的中点，
∴AH＝MF，
∴AE＝MF＝2AH；
（3）
连接NC、PC、NP，
∵△AMP为等边三角形，
∴∠MAP＝60°，AM＝AP，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴△ABC为等边三角形，△ADC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝CD，∠ACD＝60°，
∴∠MAB＝∠MAP−∠BAP＝∠BAC−∠BAP＝∠PAC，
∴△AMB≌△APC（SAS），
∴PC＝BM＝BE，∠PCA＝∠BMA＝30°，
∵AC＝CD，N为AD的中点，
∴CN⊥AD，∠ACN＝∠DCN＝30°，
∴∠PCN＝∠PCA＋∠ACN＝60°，
在点E运动过程中，当NP⊥PC时，PN长度最短，
∵AD＝，
∴DN＝AD＝，
∴NC＝DN＝3，
∵∠PCN＝60°，NP⊥PC，
∴∠PNC＝30°，
∴PC＝NC＝，
∴PN＝PC＝，即PN的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长．
答案：问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8
分析：问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合和可知，再利用矩形的边角性质即可证明，即，即可求解；
（2）由（1）中结论可知，再结合已知，即可证明，从而求得是等腰三角形；
类比迁移：由前面问题的结论想到延长到点，使得，结合菱形的性质，可以得到，再结合已知可得等边，最后利用线段BF长度即可求解．
【详解】解：问题解决：
（1）证明：如图1，∵四边形是矩形，
．
．
．
．
又．
∴矩形是正方形．
（2）是等腰三角形．理由如下：
，
．
又，即是等腰三角形．
类比迁移：
如图2，延长到点，使得，连接．
∵四边形是菱形，
．
．
．
又．
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．
12．矩形中，将矩形沿、翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，、、三点在同一直线上．
(1)如图，求的度数；
(2)如图，当时，连接，交、于点、，若，，求的长度；
(3)如图，当，时，连接，，求的长．
答案：(1)45°
(2)5
(3)4
分析：（1）由折叠的性质得，则；
（2）连接，，，，由折叠的性质知垂直平分，垂直平分，则，，再求出，利用勾股定理可得答案；
（3）设，则，，，过点作垂直交的延长线于，证明四边形是矩形，求出EH，在中，利用勾股定理列方程求解可得答案．
【详解】（1）解：由折叠的性质可知：，，
四边形是矩形，
，
，
，
；
（2）如图，连接，，，，
若，则四边形是正方形，由题意可知点与点重合，
由折叠的性质可知：点与点关于对称，点与点关于对称，
垂直平分，垂直平分，
，，
为正方形的对角线，
，，
，
在中，由勾股定理得：．
（3）设，
由题意可知：，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
在矩形中，，，
，
，，
，
由折叠的性质可知：，，，，，，
，
如图，过点作垂直交的延长线于，则，
四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得或舍去，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了翻折的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键，同时注意方程思想的运用．
13．如图，正方形中，，点E在边上运动（不与点C、D重合）．过点B作的平行线交的延长线于点F，过点D作的垂线分别交于，于点M、N．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求线段的长；
(3)点E在边上运动过程中，的大小是否改变？若不变，求出该值，若改变请说明理由．
答案：(1)见解析
(2)
(3)点E在边上运动过程中，的大小不改变，且
分析：（1）根据正方形的性质，得出，再根据，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据正方形的性质，结合勾股定理，求出，再根据平行四边形的面积求出EF的长即可；
（3）在DN上截取DG=BN，连接CG，根据“SAS”证明，得出CG=NC，，说明△GCN为等腰直角三角形，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴，
即，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴在Rt△ADE中根据勾股定理得：
，
∵，
∴．
（3）解：点E在边上运动过程中，的大小不改变；
在DN上截取DG=BN，连接CG，如图所示：
∵DN⊥AE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在△DGC和△BNC中，
∴（SAS），
∴CG=NC，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
14．（1）如图1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AE⊥DF．则AE和DF的数量关系为 ．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边AD，BC，CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．
（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．
答案：（1）AE＝DF；（2）见解析；（3）CN的长度为3
分析：（1）证明∠BAE=∠ADF，则△ABE≌△DAF（AAS），即可求解；
（2）由正方形的性质得出∠CBG=∠MEF，证明△BCG≌△EMF（ASA），即可求解；
（3）证明△EHF≌△MGN（ASA），则NG=HF，而AE=2，BF=4，故NG=HF=4-2=2，进而求解．
【详解】解：（1）∵∠DAO+∠BAE=90°，∠DAO+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE=DF，
故答案为：AE=DF；
（2）如图1，过点E作EM⊥BC于点M，则四边形ABME为矩形，
则AB=EM，
在正方形ABCD中，AB=BC，
∴EM=BC，
∵EM⊥BC，
∴∠MEF+∠EFM=90°，
∵BG⊥EF，
∴∠CBG+∠EFM=90°，
∴∠CBG=∠MEF，
在△BCG和△EMF中，
，
∴△BCG≌△EMF（ASA），
∴EF=BG；
（3）如图2，连接MN，
∵M、N关于EF对称，
∴MN⊥EF，过点E作EH⊥BC于点H，
过点M作MG⊥CD于点G，则EH⊥MG，
由（2）同理可得：△EHF≌△MGN（ASA），
∴NG=HF，
∵AE=2，BF=4，
∴NG=HF=4-2=2，
又∵GC=MB=1，
∴NC=NG+CG=2+1=3．
【点睛】本题为四边形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
15．已知：在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线BD上一点，且．将三角板的直角顶点与点P重合，一条直角边与直线BC交于点E，另一条直角边与射线BA交于点F（点F不与点B重合），将三角板绕点P旋转．
(1)如图，当点E、F在线段BC、AB上时，求证：PE＝PF；
(2)当∠FPB＝60°时，求△ BEP的面积；
(3)当△ BEP为等腰三角形时，直接写出线段BF的长．
答案：(1)见解析
(2)
(3)的长为4、或
分析：（1）如图1，过点作，，垂足分别为点、．由正方形的性质可证，即可证明；
（2）如图2，过点作于点，当时，，在中和中，中，设ME＝a，则EP＝2a，．表示出，．最后再求△ BEP的面积；
（3）分两大类情况讨论：Ⅰ：当点在射线上时，只有，Ⅱ：当点在射线上时，又可再分三小类情况，①当时；②当时；③当时，进而求得结果．
（1）
如图1，过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，垂足分别为点G、H．
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD平分∠ABC，∠ABC＝90°
∴PH＝PG．
∴四边形GBHP为正方形．
∴∠GPH＝90°，
∵，
∴，
即．
在和中，
，
∴．
∴．
（2）
如图2，过点E作EM⊥BD于点M，
当∠FPB＝60°时，∠EPB＝30°，
在中，设ME＝a，则EP＝2a，．
在中，∠DBC＝45°，
∴EM＝BM＝a，
∴，
解得：．
∴．
（3）
当点在线段上时，
①如图3，当，
∴，
∴，
∵，
∴．
②当时，则，
∴为等腰直角三角形，与重合，舍去．
③如图4，当时，
同理可证，
∵，
∴，
∴，
∴．
Ⅱ：当点在延长线上时，
∵，∴只有，如图5，
同理可证：，
∴．
∵，
∴，
∴．
综上所述，的长为4、或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形面积计算、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及分类讨论的数学思想的运用，综合运用这些性质、判定进行推理是解题的关键．
16．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
(1)如图①，当点D在线段BC上时，求证：．
(2)如图②和③，当点D在线段BC的延长线上或反向延长线上时，其它条件不变，请判断CF、BC、CD三条线段之间的关系，并证明之；
(3)如图③，若连接正方形ADEF对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
答案：(1)证明见解析；
(2)当点D在线段BC的延长线上时，；当点D在线段BC的反向延长线上时，，证明见解析；
(3)△AOC是等腰三角形，理由见解析．
分析：（1）证明△BAD≌△CAF（SAS），得到BD＝CF，再利用，即可得到；
（2）分情况讨论：当点D在线段BC的延长线上时，，证明△BAD≌△CAF（SAS），得到BD＝CF，再利用，证明；当点D在线段BC的反向延长线上时，，证明△BAD≌△CAF（SAS），得到BD＝CF，再利用即可证明；
（3）证明△FCD为直角三角形，进一步可得，再根据OA＝AE，AE＝DF，即可证明OC＝OA．
【详解】（1）证明：如图①：
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠CAF+∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∵，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，
∵，
∴．
（2）解：如图②：
当点D在线段BC的延长线上时，．
理由如下：
∵∠BAC＝∠DAF=90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAF+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，
∵，
∴；
如图③：
当点D在线段BC的反向延长线上时，．
理由如下：
∵∠CAF+∠BAF＝∠BAC＝90°，
∠BAD+∠BAF＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∵，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，
∵，
∴．
（3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
由（2）可知：△BAD≌△CAF，
∴∠ACF＝∠ABD＝135°，
∴∠FCD＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°=90°，
∴△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF的中点，
∴
∵在正方形ADEF中，OA＝AE，AE＝DF，
∴OC＝OA，
∴△AOC是等腰三角形．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定．解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，结合图形分析．
17．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．
（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；
（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；
（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．
答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）DQ=AD+DP.
分析：（1）由直角三角形的性质得出∠ABC=60°，由角平分线的定义得出∠A=∠DBA，证出AD=BD，由线段垂直平分线的性质得出AE=BE，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=AB=BE，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得出BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，证出∠CBM=∠EBN，由SAS证明△CBM≌△EBN，得出∠BEN=∠BCM=60°，得出∠BEN=∠EBC，即可得出结论；
（3）延长BD至F，使DF=PD，连接PF，证出△PDF为等边三角形，得出PF=PD=DF，∠F=∠PDQ=60°，得到∠F=∠PDQ=60°，证出∠Q=∠PBF，由AAS证明△PFB≌△PDQ，得出DQ=BF=BD+DF=BD+DP，证出AD=BD，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBA=∠ABC=30°，
∴∠A=∠DBA，
∴AD=BD，
∵DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴CE=AB=BE，
∴△BCE是等边三角形；
（2）证明：∵△BCE与△MNB都是等边三角形，
∴BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，
∴∠CBM=∠EBN，
在△CBM和△EBN中，
∴△CBM≌△EBN（SAS），
∴∠BEN=∠BCM=60°，
∴∠BEN=∠EBC，
∴EN∥BC；
（3）解：DQ=AD+DP；理由如下：
延长BD至F，使DF=PD，连接PF，如图所示：
∵∠PDF=∠BDC=∠A+∠DBA=30°+30°=60°，
∴△PDF为等边三角形，
∴PF=PD=DF，∠F=60°，
∵∠PDQ=90°-∠A=60°，
∴∠F=∠PDQ=60°，
∴∠BDQ=180°-∠BDC-∠PDQ=60°，
∴∠BPQ=∠BDQ=60°，
∴∠Q=∠PBF，
在△PFB和△PDQ中，
∴△PFB≌△PDQ，
∴DQ=BF=BD+DF=BD+DP，
∵∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∴DQ=AD+DP．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明等边三角形和三角形全等才能得出结论．
18．在菱形ABCD中，∠BAD=60°．
（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB=4，求线段EC的长；
（2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC的中点，连接DQ，MQ，求证：DM=2DQ．
答案：（1）2 （2）证明见解析
【详解】试题分析：（1）如图1，连接对角线BD，先证明△ABD是等边三角形，根据E是AB的中点，由等腰三角形三线合一得：DE⊥AB，利用勾股定理依次求DE和EC的长；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明△ADH是等边三角形，再由△AMN是等边三角形，得条件证明△ANH≌△AMD（SAS），则HN=DM，根据DQ是△CHN的中位线，得HN=2DQ，由等量代换可得结论．
试题解析：解：（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，∵∠A=60°，∴∠ABC=120°，∴∠ABD=∠ABC=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AD=4，∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，由勾股定理得：DE==，∵DC∥AB，∴∠EDC=∠DEA=90°，在Rt△DEC中，DC=4，EC===；
（2）如图2，延长CD至H，使CD=DH，连接NH、AH，∵AD=CD，∴AD=DH，∵CD∥AB，∴∠HDA=∠BAD=60°，∴△ADH是等边三角形，∴AH=AD，∠HAD=60°，∵△AMN是等边三角形，∴AM=AN，∠NAM=60°，∴∠HAN+∠NAG=∠NAG+∠DAM，∴∠HAN=∠DAM，在△ANH和△AMD中，∵AH=AD，∠HAN=∠DAM，AN=AM，∴△ANH≌△AMD（SAS），∴HN=DM，∵D是CH的中点，Q是NC的中点，∴DQ是△CHN的中位线，∴HN=2DQ，∴DM=2DQ．
点睛：本题考查了菱形的性质、三角形的中位线、三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质和判定，本题证明△ANH≌△AMD是关键，并与三角形中位线相结合，解决问题；第二问有难度，注意辅助线的构建．
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