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人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练期末难点特训(一)选填压轴50道(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练期末难点特训(一)选填压轴50道(原卷版+解析)，共76页。试卷主要包含了某组数据方差计算公式为，下列命题等内容，欢迎下载使用。
1．如图所示，点B，C分别在y＝2x和y＝kx－2a上，A，D为x轴上两点，点B的纵坐标为a，若四边形ABCD为矩形，且，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系xOy中，直线过定点P，过点A（6，m）作直线轴交直线于点B，连接OB，若BP平分，则k的值是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，点E是菱形ABCD对角线BD上任一点，点F是CD上任一点，连接CE，EF，当，时，的最小值是（ ）
A．B．10C．D．5
4．如图，AB，BC，CD，DE是四根长度均为5cm的小木棒，点A、C、E共线．若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．7cmB．6cmC．8cmD．8cm
5．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点和点分别是线段，的中点，点为线段上的一动点，则值最小时点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．某组数据方差计算公式为：，由公式提供的信息，下列说法错误（ ）
A．样本的容量是3B．样本的中位数是3
C．样本的众数是3D．样本的平均数是3
7．已知非负数、、满足，设，则的最大值和最小值的和为（ ）
A．B．C．D．
8．下列命题：①若是整数，则正整数的最小值是12；②“”与“”均一定成立；③“如果，，（是正整数）是一组勾股数，那么正整数，，也是一组勾股数”的逆命题是真命题；④四条边相等的四边形是菱形，四个角相等的四边形是正方形，不正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，在四边形ACBD中，AD=BD，∠ADB=120°，点C为动点，∠ACB=90°，E是BD的中点，连接CE，当CE的长度最大时，此时∠CAB的大小是（ ）．
A．30°B．45°C．60°D．75°
10．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE＝CD；
②∠DGF＝135°；
③∠ABG＋∠ADG＝180°；
④若，则．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
11．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．请用这句话提到的数学思想方法解决下面的问题，已知函数，且关于，的二元一次方程有两组解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．定义表示不大于x的最大整数，如：、，．则方程所有解的和为（ ）
A．B．C．D．
13．如图，过点作轴的垂线，交直线：于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，…，依次这样作图，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
14．直线y＝x+n与直线y＝mx+3n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，当n的值发生变化时，点A到直线y＝x﹣3的距离总是一个定值，则m的值是（ ）
A．3B．2C．D．
15．小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的陌数关系，下列结论错误的是（ ）
A．小王骑车的速度为10km/h
B．小李骑车的速度为20km/h
C．a的值为15
D．走完全程，小李所用的时间是小王的
16．如图，已知在中，，点是延长线上的一点，，点是上一点，，连接，、分别是、的中点，则的值为（ ）
A．6B．8C．D．
17．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
18．我们把、、三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则的值为（ ）
A．或或1B．或C．或或1D．2或
19．著名数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用这句话提到的思想方法，判断若函数的图象与直线（k是常数）有两个交点，则符合条件的k值可能是（ ）
A．B．C．3D．7
20．甲、乙两车沿同一条路从A地出发前往B地，如图所示，，分别表示甲、乙两车离开A地的距高s（km）与时间t（h）之间的关系．对于以下说法：①甲车的平均速度是40km/h；②乙车比甲车早出发0.8h；③两车相遇时，甲车出发了0.5h；④两车相距10km时，乙车出发或小时．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
21．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，四边形、、、…都是正方形．如果点，那么点的纵坐标是（ ）
A．无法确定B．C．D．
22．在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数关系的图像．下列结论中：①乙先出发的时间为0.5h；②甲的速度是80km/h；③乙出发1h后两车相遇；④甲到B地比乙到A地晚，正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
23．如图，中，，于点，，为斜边的中点，则（ ）
A．B．C．D．
24．我们把两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．下列四个结论：①若三角形是等边三角形，则它必是奇异三角形；②若一个奇异三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为；③若一个奇异三角形是直角三角形，则它三条边长之比为；④已知，，在AC下方存在点E，使得为奇异三角形，若是直角三角形，且，则或．其中结论正确的序号为（ ）
A．①③B．②④C．①③④D．①②③④
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
25．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC与BD交于点O，点F为DC延长线上的一点，AF与OB，BC分别交于点E，H，且∠BAF＝45°，连接OH和CE，则下列结论中一定成立的是______．
①AD＝DE；②；③；④△ABH≌△FBE．
26．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为对角线BD上任意一点（不与B，D重合），连接AE，过点E作，交线段BC于点F，以AE，EF为邻边作矩形AEFG，连接BG．给出下列四个结论：
①；②；
③设四边形AGBE的周长为m，则；
④当时，的面积为3．
其中正确的结论有____________．（填写所有正确结论的序号）
27．已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；
④四边形OECF的面积是1．
所有正确结论的序号是_________________________
28．如图，在口ABCD中，CD=2AD，F为DC的中点，BE⊥AD于点E，连接EF，BF，下列结论：
①∠ABC＝2∠ABF；
②EF＝BF；
③S△ABE：S△EFB＝2：3；
④∠CFE＝3∠DEF．
其中正确结论的序号是 _____．
29．如图①是第七届国际数学教育大会（ICME－7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．如果图②中的，那么的长是______．
30．已知，在□ABCD中，，点F为AD的中点，过点C作，垂足为点E，以下结论中，正确的是______．
①CF是的角平分线；②连接BF，则；③若，则；④连接EF，则．
31．如图，已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC长的最大值是 ．
32．如图，在正方形ABCD中，点E是直线BC上一点，，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．下列说法正确的是______．（填序号）
①若点E是BC的中点，则；
②若点E是BC边上的任意一点（中点除外），则；
③若点E是BC延长线上任意一点，则；
④若点E是BC反向延长线上任意一点，则．
33．如图，四边形是菱形，，是边上的动点，交边于点．当线段最短时，．此时点到直线的距离是______．
34．如图，在7×7的正方形网格中，A，B两点是格点，如果点C也是格点，且△ABC是等腰三角形，这样的C点有______个．
35．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是______．
36．如图，在平面直角坐标系中直线与轴、轴分别交于点、，为上一点，且，点是线段上一点，连接并延长交于点，若时，则的长是______．
37．把、、三个数中最大那个数记为，如，，，在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像有且只有2个交点，则的取值范围是______．
38．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（k是常数，且）上两点和，则下列结论：
①若，则；
②直线AB向右平移1个单位的解析式为；
③若直线AB不经过第三象限，则；
④若原点O到直线AB的距离最大时，则直线AB的解析式为．
其中正确的是______（填写正确结论的序号）．
39．如图，在矩形ABCD中点E为AD上一点，将△CDE沿CE翻折至△CFE，EF交AB于G点，且GA＝GF，若CD＝10，BC＝6，则AE的值是_____．
40．如图（1），点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）的变化关系图象如图（2），则a的值是______．
41．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点F为CD上一点，E是AD的中点，且DF＝2．在BC上找点G，使EG＝AF，则BG的长是___________
42．甲、乙两车从A地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶，乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是；②；③点的坐标是；④，其中正确的有________（填序号）．
43．把a，b，c三个数中最大那个数记为，如：、、．在平面直角坐标系xOy中，若直线与函数的图像有且只有2个交点，则k的取值范围是______．
44．如图，矩形中，，，为上一点，以为边构造等边（A、、按逆时针方向排列），连接、，则的最小值为______．
45．已知一次函数的图象与轴正半轴交于点A，且，则下列结论：
①函数图象经过一、二、四象限；
②函数图象一定经过定点；
③不等式的解集为；
④直线与直线交于点，与轴交于点，则的面积为2．
其中正确的结论是______．（请填写序号）
46．如图，在中，，，，D是斜边AB上一点．连接CD，将沿直线CD折叠，点A落在E处，当点E在的内部（不含边界）时，AD长度的取值范围是________．
47．已知一次函数的图象为直线l，下列结论：①直线l过定点；②若直线l上有两点和，且，则；③若直线l平行于直线，则直线l与y轴交于点；④若，则关于x的不等式的解集是．其中正确的是________．
48．如图，正方形ABCD的边长为8，M为BC边上的中点，线段EF在边AD上滑动，，且∠EGF＝90°，则MG＋MF的最小值是______．
49．如图，在平行四边形中，点在边上，将沿着翻折得到，已知，，，设，当点落在内部（含边上）时，的取值范围________．
50．中华民族有一种折纸玩具叫“东南西北”，此玩具制作方法为：用一张正方形纸片按图1步骤折叠得到图2所示折纸，然后在外侧四面标上东、南、西、北，内侧写上有趣的游戏任务．现将图1中的折纸④放大后用图3表示，此时正方形边长为10，把它沿直线l对折，将点重合后记为点A，点重合后记为点B，得到图4、连接，取中点M，如图5所示，若，则点O与点M之间的距离为_________，点C与点D之间的距离为_________．
八下期末难点特训（一）选填压轴50道
1．如图所示，点B，C分别在y＝2x和y＝kx－2a上，A，D为x轴上两点，点B的纵坐标为a，若四边形ABCD为矩形，且，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据点B在y＝2x上，点B的纵坐标为a，得到点B的横坐标为x=，求出AD得到OD的长，进而得到点C的坐标，即可代入解析式求出k．
【详解】解：∵点B在y＝2x上，点B的纵坐标为a，
∴2x=a，AB=a，
解得x=，
∵，
∴AD=2a，
∴OD=OA+AD=+2a=
∴C（，a），
∴k－2a=a，
解得k=，
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特点，正确利用解析式求出点的坐标是解题的关键．
2．在平面直角坐标系xOy中，直线过定点P，过点A（6，m）作直线轴交直线于点B，连接OB，若BP平分，则k的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据题意证明∠OBH=∠OHB，则OB=OH，即可根据勾股定理得到关于k的方程，解方程即可．
【详解】解：∵过点A（6，m）作直线AB∥y轴交直线y=kx-3k+4于点B，
∴点B（6，3k+4），
设直线y=kx-3k+4与y轴交于点H，令x=0，则y=-3k+4，即点H（0，-3k+4），如图，
∵BP平分∠OBA，
∴∠ABH=∠OBH，
∵AB∥y，
∴∠ABH=∠OHB，
∴∠OBH=∠OHB，
则OB=OH，
即36+（3k+4）2=（4-3k）2，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理的应用等，表示出B、H的坐标是解题的关键．
3．如图，点E是菱形ABCD对角线BD上任一点，点F是CD上任一点，连接CE，EF，当，时，的最小值是（ ）
A．B．10C．D．5
答案：C
分析：过A作AF⊥CD交BD于E，则此时，CE+EF的值最小，CE+EF的最小值=AF，根据已知条件得到△ADF是等腰直角三角形，于是得到结论．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点A与点C关于BD对称，
过A作AF⊥CD交BD于E，则此时，CE+EF的值最小，
∴CE+EF的最小值为AF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ADC=∠ABC=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∵AD=BC=10，
∴AF=AD=，
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
4．如图，AB，BC，CD，DE是四根长度均为5cm的小木棒，点A、C、E共线．若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．7cmB．6cmC．8cmD．8cm
答案：C
分析：过点作于点，过点作于点，先根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，利用勾股定理可得，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
（等腰三角形的三线合一），
，
，
又，
（等腰三角形的三线合一），
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一、勾股定理，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
5．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点和点分别是线段，的中点，点为线段上的一动点，则值最小时点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，结合点C、D分别为线段OB、AB的中点，可得出点C，D的坐标，取点C关于x轴对称的点E，连接DE交x轴于点P，此时PC+PD值取最小值，由点C的坐标可得出点E的坐标，由点D，E的坐标，利用待定系数法可求出直线DE的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P的坐标．
【详解】解：当x＝0时，y0+2＝2，
∴点B的坐标为（0，2）；
当y＝0时，x+2＝0，
解得：x＝4，
∴点A的坐标为（4，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C的坐标为（0，1），点D的坐标为（2，1）．
取点C关于x轴对称的点E，连接DE交x轴于点P，此时PC+PD值取最小值，如图所示．
∵点C的坐标为（0，1），
∴点E的坐标为（0，﹣1）．
设直线DE的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将D（2，1），E（0，﹣1）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣1．
当y＝0时，x﹣1＝0，
解得：x＝1，
∴点P的坐标为（1，0）．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称﹣最短路线问题，利用两点之间线段最短，找出点P的位置．
6．某组数据方差计算公式为：，由公式提供的信息，下列说法错误（ ）
A．样本的容量是3B．样本的中位数是3
C．样本的众数是3D．样本的平均数是3
答案：A
分析：根据方差公式，其中n是这个样本的容量， 是样本的平均数，利用此公式直接求解．
【详解】解：根据方差公式，
则由中，
可得到原数据为：2，2，3，3，3，4，4．
∴样本容量为：7，故A错；
样本中位数为：3，故B对；
样本众数为：3，故C对；
样本平均数为：；故D对．
故选：A．
【点睛】本题考查了方差，样本容量，平均数，熟记方差的公式中各个字母所代表的含义是解题的关键．
7．已知非负数、、满足，设，则的最大值和最小值的和为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：先设，用表示出、、的值，再由，，为非负数即可求出的取值范围，把所求代数式用的形式表示出来，根据的取值范围即可求解．
【详解】解：设，
则，，，
；；，
；；；
解得；；；
，
，把，，，代入得：
，
，
解得，．
的最大值是；最小值是19，
最大值和最小值的和为：．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，解题的关键是通过设参数的方法求出的取值范围．
8．下列命题：①若是整数，则正整数的最小值是12；②“”与“”均一定成立；③“如果，，（是正整数）是一组勾股数，那么正整数，，也是一组勾股数”的逆命题是真命题；④四条边相等的四边形是菱形，四个角相等的四边形是正方形，不正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：C
分析：根据二次根式的性质、勾股定理和勾股数、菱形和正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：①若是整数，而
则正整数n的最小值是3，故原说法不正确；
②当a≥0时，“ ”与“”一定成立，故原说法不正确；
③“如果na，nb，nc（n是正整数）是一组勾股数，那么正整数a，b，c也是一组勾股数”的逆命题是“如果正整数a，b，c是一组勾股数，那么正整数na，nb，nc（n是正整数）也是一组勾股数”，
所以逆命题是真命题，故原说法正确；
④四条边相等的四边形是菱形，四个角相等的四边形是矩形，故原说法不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，同时考查了勾股定理，二次根式的性质，菱形与正方形的判定．
9．如图，在四边形ACBD中，AD=BD，∠ADB=120°，点C为动点，∠ACB=90°，E是BD的中点，连接CE，当CE的长度最大时，此时∠CAB的大小是（ ）．
A．30°B．45°C．60°D．75°
答案：D
分析：取AB的中点O，则OC+OE≤CE，当C、O、E三点共线时，CE的长度取得最大值，推出OE是△ABD的中位线，OC是Rt△ABC斜边的中线，利用平行线的性质以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：取AB的中点O，连接OC、OE，如图甲所示，
∴OC+OE≤CE，
∴当C、O、E三点共线时，CE的长度取得最大值，如图乙所示，
∵O是AB的中点，E是BD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AD，
在四边形ACBD中，AD=BD，∠ADB=120°，
∴∠ABD=∠BAD=30°，
∴∠ABD=∠COA=30°，
∵∠ACB=90°，O是AB的中点，
∴OC=OA=OB，
∴∠CAB=∠OCA=(180°-∠COA) =(180°-30°)=75°
故选：D．
图甲 图乙
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线定理，判定当C、O、E三点共线时，CE的长度取得最大值是解题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE＝CD；
②∠DGF＝135°；
③∠ABG＋∠ADG＝180°；
④若，则．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
答案：C
分析：只需要证明∠AEB＝45°＝∠BAE，即可判断①；先证明△CEF为等腰直角三角形，再由点G为EF的中点，得到CG⊥EF，∠CGF＝90°，∠FCG＝45°，由三角形外角的性质得到∠FCG＝∠CGD＋∠CDG＝45°，则∠CGD＜45°，即可判断②；证明，∠EBG＝∠CDG，再由∠ABG＝∠ABC＋∠EBG，∠ADG＝∠ADC−∠CDG，即可判断③；过点G作GM⊥DF于点M，如图所示，设AB＝2a（a＞0），则AD＝3a．证明△ADF为等腰直角三角形，得到DF＝AD＝3a．根据△CGF为等腰直角三角形，得到，则，然后求出，即可判断④．
【详解】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝90°−∠BAE＝45°＝∠BAE，
∴BE＝AB＝CD，①正确；
②∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠BAE＝45°，
∵∠CEF＝∠AEB＝45°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG⊥EF，∠CGF＝90°，∠FCG＝45°，
∵∠FCG＝∠CGD＋∠CDG＝45°，
∴∠CGD＜45°，
∴∠DGF＝∠CGD＋∠CGF＜45°＋90°＝135°，②不正确；
③∵△CEF为等腰直角三角形，点G为EF的中点，
∴CG＝EG．
∵∠BEG＝180°−∠CEF＝135°，∠DCG＝180°−∠FCG＝135°，
∴∠BEG＝∠DCG，
在△BEG和△DCG中，
，
∴（SAS），
∴∠EBG＝∠CDG，
∵∠ABG＝∠ABC＋∠EBG，∠ADG＝∠ADC−∠CDG，
∴∠ABG＋∠ADG＝∠ABC＋∠ADC＝180°，③正确；
④过点G作GM⊥DF于点M，如图所示．
∵，
∴设AB＝2a（a＞0），则AD＝3a．
∵∠DAF＝45°，∠ADF＝90°，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴DF＝AD＝3a．
∵△CGF为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
．
∴，④正确．
综上可知：正确的结论有①③④．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形面积，角平分线的定义等等，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定条件是解题的关键．
11．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．请用这句话提到的数学思想方法解决下面的问题，已知函数，且关于，的二元一次方程有两组解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：求出 恒过，作出函数的图象，通过数形结合，观察图象和函数式进行作答．
【详解】解：可化简为，
无论取何值，恒过，
该函数图象随值不同绕旋转，
作出函数的图象如下：
当与y＝－x－1平行时，可得a＝－1，
此时，
当过点（0，1）时，可得，
解得：a＝，
此时，
如图可得：当时，的图像与函数的图象有两个交点，即关于，的二元一次方程有两组解．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与方程组的解的问题，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合思想，画出图象并分析是解题的关键．
12．定义表示不大于x的最大整数，如：、，．则方程所有解的和为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：令，代入原方程可得，解方程并由题意可得，即可建立不等式并求解可知，结合题意n为整数，可推导n=1或2，当n=1或n=2时，分别计算x的值即可获得本题．
【详解】解：令，代入原方程可得，
解得，
由题意可得，
∴，解得，
∵n为整数，
∴n=1或2，
当n=1时，，
当n=2时，，
则方程所有解的和为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对新定义的理解、解一元一次方程以及不等式的应用，正确根据新定义得出x的取值是解题关键．
13．如图，过点作轴的垂线，交直线：于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，…，依次这样作图，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到规律，再利用规律求解．
【详解】解：，
，
点的横坐标为1，
，、、、在直线的图象上，
纵坐标为2，
，
，，
点的纵坐标为，
于是得到的纵坐标为
的纵坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是找出的坐标的变化规律．
14．直线y＝x+n与直线y＝mx+3n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，当n的值发生变化时，点A到直线y＝x﹣3的距离总是一个定值，则m的值是（ ）
A．3B．2C．D．
答案：C
分析：先求得交点A的坐标，即可求出点A的轨迹，进而判断出直线与直线y＝x﹣3平行，即可求出m的值．
【详解】解：∵直线y＝x+n与直线y＝mx+3n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，
解析式联立解得，x＝ ，y＝ ，
∴A（，），
∴yA＝xA，
当m为一个的确定的值时，yA是xA的正比例函数，
即：点A在直线y＝x上，
∵点A到直线y＝x﹣3的距离总是一个定值，
∴直线y＝x与直线y＝x﹣3平行，
∴＝，
∴m＝．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定，得出点A的轨迹，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
15．小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的陌数关系，下列结论错误的是（ ）
A．小王骑车的速度为10km/h
B．小李骑车的速度为20km/h
C．a的值为15
D．走完全程，小李所用的时间是小王的
答案：D
分析：根据题意和函数图象中的数据进行计算即可．
【详解】从AB可以看出：两人从相距30千米的两地相遇用了一个小时时间，则千米/时，
小王用了3个小时走完了30千米的全程，
∴千米/时，故A选项正确；
∴千米/时，故B选项正确；
C点的意义是小李骑车从乙地到甲地用了小时，此时小王和小李的距离是
∴，故C选项正确；
走完全程，小李所用的时间（小时）．
走完全程，小王所用的时间是：小时．
∴走完全程，小李所用的时间是小王的，故D选项错误;
故选：D．
【点睛】本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，看懂图像所表达的意思和数形结合的思想解答．
16．如图，已知在中，，点是延长线上的一点，，点是上一点，，连接，、分别是、的中点，则的值为（ ）
A．6B．8C．D．
答案：D
分析：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，证明NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出，，NF＝BE，MF＝AD，证出NF⊥MF，根据勾股定理计算，即可得出答案．
【详解】解：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示：
∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点，
∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，
∴，，NF＝BE＝3，MF＝AD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵，
∴MF⊥BC，
∵，
∴NF⊥MF，
在Rt△MNF中，由勾股定理得：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
17．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
答案：A
【详解】解：构造等腰三角形，
①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；
②作AB的中垂线．
如图，一共有5个C点，
注意，与B重合及与AB共线的点要排除．
故选A.
18．我们把、、三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则的值为（ ）
A．或或1B．或C．或或1D．2或
答案：A
分析：画出函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象，要使直线y=kx+与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点，只需直线经过（3，4）或经过（1，0）或平行于y=x+1．
【详解】解：由题意，函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象如图所示：
直线y=2x-2与直线y= x+1交于点（3，4），
直线y=2x-2、y=-x+1与x轴交于点（1，0），
直线y= x+1与y轴交于点（0，1），
∵y=kx+与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点，
当直线y=kx+经过点（3，4）时，则4=3k+，
解得k=，
当直线y=kx+经过点（1，0）时，k=-，
当k=1时，平行于y=x+1，与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象也有且仅有两个交点；
∴直线直线y=kx+与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点，则k的取值为或-或1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质以及中位数的概念，数形结合思想的应用是解题的关键．
19．著名数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用这句话提到的思想方法，判断若函数的图象与直线（k是常数）有两个交点，则符合条件的k值可能是（ ）
A．B．C．3D．7
答案：B
分析：由可知，图象关于直线x＝对称，画出图象，观察图形即可．
【详解】解：图象如图所示，
∵直线y＝kx−k＋4＝k（x−1）＋4，
∴直线y＝kx−k＋4（k是常数）过定点（1，4），
∴若函数y＝|−2x＋3|的图象与直线y＝kx−k＋4（k是常数）有两个交点，则−2＜k＜2．
故选：B．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象与系数的关系，能够准确地画出图象是解决本题的关键，注意数形结合．
20．甲、乙两车沿同一条路从A地出发前往B地，如图所示，，分别表示甲、乙两车离开A地的距高s（km）与时间t（h）之间的关系．对于以下说法：①甲车的平均速度是40km/h；②乙车比甲车早出发0.8h；③两车相遇时，甲车出发了0.5h；④两车相距10km时，乙车出发或小时．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：B
分析：根据题意和函数图象中的数据，可以判断①②；求出乙车前3小时的速度，根据相遇问题列方程求解，进而判断③；根据两车相距10km分情况列方程求解，进而判断④．
【详解】解：由图象可得，甲车的平均速度是：80÷（3−1）＝40（km/h），故①正确；
乙车比甲车早出发1h，故②说法错误；
乙车前3小时的速度是（km/h），
设两车相遇时，甲车出发了x小时，
则：(x＋1)＝40x，
解得：x＝，
即两车相遇时，甲车出发了0.5h，故③说法正确；
甲车出发前，两车相距10km，
则10÷小时，
甲车行驶过程中，设两车相距10km时，乙车出发x小时，
则x−10＝40(x−1)或x＝40(x−1)−10，
解得：x＝或，
甲车到达B地后，两车相距10km，
乙车最后1小时的速度是（80－40）÷（4－3）＝40（km/h），
（80－10－40）÷40＋3＝，
∴两车相距10km时，乙车出发或或或小时，故④说法错误；
所以正确的结论个数是2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息的能力，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，四边形、、、…都是正方形．如果点，那么点的纵坐标是（ ）
A．无法确定B．C．D．
答案：B
分析：根据点A1（1，1）可以确定直线y=x+b的关系式，再根据正方形的性质以及一次函数图像上点的坐标特征可求出点A2、A3、A4、A5的纵坐标，根据所呈现的规律得出点A2022的纵坐标．
【详解】解：∵点A1（1，1），点A1在直线y=x+b的图像上，
∴1=+b，
即：b=，
∴一次函数的关系式为y=x+，
设B1B2=A2B2=a，
∴点A2（1+a，a），
∵点A2（1+a，a）在一次函数y=x+的图像上，
∴（1+a）+=a，
解得a=2，
∴点A2的纵坐标为2=21，
设B2B3=A3B3=c，
∴点A3（3+c，c），
∵点A3（3+c，c）在一次函数y=x+的图像上，
∴（3+c）+=c，
解得c=4，
∴点A3的纵坐标为4=22，
同理：点A4的纵坐标为8=23，
点A5的纵坐标为16=24，
点A6的纵坐标为32=25，
……
∴点An的纵坐标为2n-1，
∴点A2022的纵坐标为22021，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征以及正方形的性质，点坐标规律探究，掌握一次函数图像上点的坐标特征是解决问题的前提，分别求出点A1，A2，A3，…的纵坐标，根据所呈现的规律得出答案是正确解答的关键．
22．在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数关系的图像．下列结论中：①乙先出发的时间为0.5h；②甲的速度是80km/h；③乙出发1h后两车相遇；④甲到B地比乙到A地晚，正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
答案：D
分析：根据已知图像分别分析甲、乙两车的速度，进而得出答案．
【详解】①由图像横坐标可得，乙先出发的时间为0.5小时，①正确；
②∵乙先出发，0.5小时，两车相距70km，乙走的路程为30km，
∴乙车的速度为：60km/h，
故乙行驶所用时间为：小时，
由最后时间1.75小时，，可得乙先 达A地，
故甲车整个过程所用时间为：1.75-0.5=1.25（小时），
故甲车的速度为：100÷1.25=80km/h，②正确；
③由以上所求可得，甲出发0.5小时后，行驶距离为：40km，此时乙出发1小时，乙车行驶的距离为：60km，40+60=100，故两车相遇，③正确；
④由以上所求可得，乙到A地比甲到B地早：（小时），④正确；
正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用函数的图像解决实际问题，解决本题是正确理解函数图像横纵坐标表示的意义．
23．如图，中，，于点，，为斜边的中点，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：首先根据直角三角形的性质得到EC=EA，根据∠ACD=3∠BCD可求出∠BCD、∠ACD、∠A的度数，再根据三角形的外角的性质、可证得∠DEC=∠DCE =45°，CD=DE，设CD=DE=a，则，据此即可解答．
【详解】解：∵∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，
∴EC=EA，
∵∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD，
∴∠BCD+3∠BCD=90°，
∴∠BCD=22.5°，∠ACD=67.5°，
∴∠A=22.5°，
∴∠ACE=∠A =22.5°，
∴∠DEC=∠A +∠ACE =45°，
∴∠DEC=∠DCE =45°，
∴CD=DE，
设CD=DE=a，则，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角的性质，勾股定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
24．我们把两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．下列四个结论：①若三角形是等边三角形，则它必是奇异三角形；②若一个奇异三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为；③若一个奇异三角形是直角三角形，则它三条边长之比为；④已知，，在AC下方存在点E，使得为奇异三角形，若是直角三角形，且，则或．其中结论正确的序号为（ ）
A．①③B．②④C．①③④D．①②③④
答案：A
分析：设等边三角形的边长为a，得到a2+a2=2a2，判断①正确；分两种情况：前两边为3与4或第三边为4，故判断②错误；设直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，则①，根据该直角三角形是奇异三角形，得到②求出a代入①判断；③，将①代入③得，求出b验证，由此判断③正确；为奇异三角形且是直角三角形，但没有斜边的条件，无法确定每条边的长度，且与△ABC无关联，故无法判断④正确，由此得到④错误．
【详解】解：设等边三角形的边长为a，则a2+a2=2a2，则等边三角形是奇异三角形，故①正确；
若3和4为前两边，，则第三边长为，
若4是第三边，，故该奇异三角形的第三边为或4，故②错误；
设直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，则①，
又∵该直角三角形是奇异三角形，
∴②，
将①代入②得，即（不合题意，舍去），
∴③，
将①代入③得，即，
将代入①得，即，
则a:b:c=，故③正确；
∵为奇异三角形且是直角三角形，但没有斜边的条件，无法确定每条边的长度，且与△ABC无关联，故无法判断④正确，故④错误；
故选：A．
【点睛】此题考查了新定义，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握各知识点并正确理解新定义是解题的关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
25．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC与BD交于点O，点F为DC延长线上的一点，AF与OB，BC分别交于点E，H，且∠BAF＝45°，连接OH和CE，则下列结论中一定成立的是______．
①AD＝DE；②；③；④△ABH≌△FBE．
答案：①②③
分析：利用菱形的性质求出∠DAE=75°，得到∠AED=180°-∠ADE-∠DAE=75°，即可判断①；过E作EG⊥AB于G，求得∠AEG=45°=∠GAE，得到AE=EG，再根据BE=2EG，由菱形的轴对称得AE=CE，即可判断②正确；利用同底等高三角形的面积相等得到S△ACF=S△BCF，判断③正确；先证出BE=BH，当△ABH≌△FBE时，推出△OBC≌△FBC，得到OB=BF，进而证得△OBH≌△FBH，求出∠BOH=∠BAE，再证明△ABE≌△OBH，得到AB=OB，但AB≠OB，故△ABH与△FBE不全等，判断④错误．
【详解】解：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC与BD交于点O，
∴∠BAC=∠DAC=60°，∠ADC=60°，
∴∠ADE=∠CAE=30°，
∵∠BAF＝45°，
∴∠CAF=15°，
∴∠DAE=75°，
∴∠AED=180°-∠ADE-∠DAE=75°，
∴AD=DE，故①正确；
过E作EG⊥AB于G，
∵∠GAE=45°，∠AGE=90°，
∴∠AEG=45°=∠GAE，
∴AG=EG，
∴2EG2=AE2，即AE=EG；
∵∠ABE=30°，
∴BE=2EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴由轴对称得AE=CE，
∴，故②正确；
∵AB∥CD，
∴S△ACF=S△BCF，
∴S△ACF-S△CFH=S△BCF-S△CFH，即，故③正确
∵∠BEH=∠BHE=75°，
∴BE=BH，
当△ABH≌△FBE时，∠ABH=∠FBE=60°，
∴∠OBC=∠FBC=30°，∠CFB=90°=∠BOC，
∴△OBC≌△FBC，
∴OB=BF，
∴△OBH≌△FBH，
∴∠BOH=∠BFH=180°-120°-15°=45°，
∴∠BOH=∠BAE，
∵∠ABE=∠OBH=30°，BE=BH，
∴△ABE≌△OBH，
∴AB=OB，
但AB≠OB，
故△ABH与△FBE不全等，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记菱形的性质是解题的关键．
26．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为对角线BD上任意一点（不与B，D重合），连接AE，过点E作，交线段BC于点F，以AE，EF为邻边作矩形AEFG，连接BG．给出下列四个结论：
①；②；
③设四边形AGBE的周长为m，则；
④当时，的面积为3．
其中正确的结论有____________．（填写所有正确结论的序号）
答案：①③④
分析：①连接EC，证明△AEB≌△CEB（SAS），进而证明∠EFC=∠BCE根据等角对等边即可判断； ②连接CE，过点E作EH⊥BC于点H，利用正方形的性质及线段的和差关系可得CF=2FH，若CD-BF=BE，则BH=CF=2FH，可得BF=FH=CH，即F、H是BC的三等分点，当点E在BD上运动时由此可判断；③由正方形的判定与性质可得∠DAE=∠BAG，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可判断；④连接AF，过点A作AT⊥BD于点T，根据正方形的性质及勾股定理可得AT、ET的长，再利用三角形的面积公式答案．
【详解】如图，连接EC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°
∵AE⊥EF
∴∠AEF=90°
∴四边形ABFE中，∠BAE+∠BFE=360°－∠ABC－∠AEF =180°
又∵∠EFC=180°－∠BFE，
∴∠BAE=∠EFC
在△AEB与△CEB中
∴△AEB≌△CEB（SAS）
∴∠BAE=∠BCE，EC=EA
∴∠EFC=∠BCE
∴EF=EC，
∴EF=EA，故①正确；
②如图，连接CE，过点E作EH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，点E在BD上，
∴AE=CE，CD=BC，∠CBD=45°，
∵EH⊥BC，
∴BH=EH=BE，
CD-BF=BC-BF=CF，
∵AE=EF，
∴CE=EF，
∵EH⊥BC，
∴CF=2FH，
若CD-BF=BE，则BH=CF=2FH，
∴BF=FH=CH，即F、H是BC的三等分点，
而当点E在BD上运动时，点F会在线段BC上运动，
∴②不正确；
③由①得，AE=EF，
∵四边形AEFG是矩形，
∴四边形AEFG是正方形，
∴AG=AE，∠GAE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠GAE=90°，
BD=AD=×4=4，
∴∠BAD-∠BAE=∠GAE-∠BAE，
∴∠DAE=∠BAG，
在△DAE和△BAG中，
，
∴DE=BG，
∴m=AG+AE+BG+BE
=AE+AE+DE+BE
=2AE+BD
=2AE+4，
∴m随AE的增大而增大，
当AE⊥BD时，AE最小，m的值最小，
此时AE=AD=×4＝2，
m的最小值为2AE+4=2×2+4=8，
当点E与点B或点D重合时，AE最大，m的值最大，
此时AE=4，m的最大值为2AE+4=2×4+4=8+4，
∵点E不与B、D重合，
∴8≤m＜8+4，
∴③正确；
④如图，连接AF，过点A作AT⊥BD于点T，
∵BF=1，AB=4，
∴AF=，
由③知四边形AEFG是正方形，
∴AE=AF=×＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AT=DT=AD=×4＝2，
∴ET=，
∴DE=DT-ET=2-=，
∴S△ADE＝DE•AT＝××2=3，
∴S△AGB=S△ADE=3．
故④正确，
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
27．已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；
④四边形OECF的面积是1．
所有正确结论的序号是_________________________
答案：①③④
分析：①易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论①正确；
②由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；
③利用勾股定理求得≤EF＜2，即可求得选项③正确；
④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．
【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1，
∴△OEF面积的最小值是×1×1＝，
故②错误；
③∵BE＝CF，
∴CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝2，
假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋，
则EF＝，
由①得△OEF是等腰直角三角形，
∴OE＝．
∵OB＝，OE的最小值是1，
∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋．
故③正确；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE＋S△OCF＝S△COE＋S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1，
故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
28．如图，在口ABCD中，CD=2AD，F为DC的中点，BE⊥AD于点E，连接EF，BF，下列结论：
①∠ABC＝2∠ABF；
②EF＝BF；
③S△ABE：S△EFB＝2：3；
④∠CFE＝3∠DEF．
其中正确结论的序号是 _____．
答案：①②④
分析：延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH，由等腰三角形的性质及平行线的性质可得出①正确；证明△DFE≌△CFG（ASA），由全等三角形的性质得出FE=FG，证出∠AEB=∠EBG=90°，可判断②；证出S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，由平行四边形的性质可判断③；证明四边形BCFH是菱形，由菱形的性质可得出∠BFC=∠BFH，可得出结论④．
【详解】解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD//AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE2≌△CFG（ASA），
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵S△DFE=S△CFG，
∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，
若S△ABE:S△EFB=2：3，
则S四边形DEBC=3S△ABE，
过点E作EM/∥AB交BC于点M，则四边形AEBM和四边形DEMC都是平行四边形，
∴E为AD的中点，这与条件不相符，故③错误，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，
∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
29．如图①是第七届国际数学教育大会（ICME－7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．如果图②中的，那么的长是______．
答案：4
分析：因为OA1=2，根据勾股定理可得OA2=，OA3=，找到规律OAn=2规律，即可计算OA8的长．
【详解】解：∵OA1=2，
∴由勾股定理可得OA2=，
OA3=，
…
∴OAn=2，
∴OA8=2=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到规律OAn=2是解题的关键．
30．已知，在□ABCD中，，点F为AD的中点，过点C作，垂足为点E，以下结论中，正确的是______．
①CF是的角平分线；②连接BF，则；③若，则；④连接EF，则．
答案：①③④
分析：①由平行四边形的性质证出∠DFC=∠FCB，则可得判断①正确；
②连接BF，延长BF交CD的延长线于点G，利用ASA证明△ABF≌△DGF，由等腰三角形的性质得出BF=FG，AB=DG，证出BC=CG，由等腰三角形的性质得出∠BFC=90°，则可判断②；
③由直角三角形的性质及平行四边形的面积可得出③正确；
④分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF(ASA)，得对应线段之间关系进而得出④正确．
【详解】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∴，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴CF是的角平分线，故①正确，符合题意；
②连接BF，延长BF交CD的延长线于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴∠A=∠FDG，
又∵AF=DF，∠AFB=∠DFG，
∴，
∴BF=FG，AB=DG，
∵AB=CD，
∴CD=DG，
∴CG=2CD，
∵BC=AD=2CD，
∴BC=CG，
∴CF⊥BG，
∴，故②不符合题意；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D=60°，
∵CE⊥AB，
∴BE=CD=AB，
∴，
∴，故③正确，符合题意；
④如图：延长EF交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠A=∠MDF，
∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF(ASA)，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴,故④正确，符合题意，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
31．如图，已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC长的最大值是 ．
答案：##
【详解】解：取AB中点D，连OD，DC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD．
∵△ABC为等边三角形，D为中点，
∴BD=1，BC=2，根据勾股定理得：CD=，
又△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD=AB=1，
∴OD+CD=1+，即OC的最大值为1+．
故答案为：
32．如图，在正方形ABCD中，点E是直线BC上一点，，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．下列说法正确的是______．（填序号）
①若点E是BC的中点，则；
②若点E是BC边上的任意一点（中点除外），则；
③若点E是BC延长线上任意一点，则；
④若点E是BC反向延长线上任意一点，则．
答案：①②③④
分析：①作BM=BE，证明△AME≌△ECF（ASA），由全等三角形的性质可得出结论；
②在AB上截取BN=BE，证明△ANE≌△ECF（ASA），由全等三角形的性质可得出结论；
③在BA延长线上取点P，使得AP=EC，证明△APE≌△ECF（ASA），由全等三角形的性质可得出结论；
④在AB延长线上截取BH=BE，连接EH．△EAH≌△FEC（ASA），AE=EF．由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】解：∵正方形ABCD，
∴
①如图1，在AB上一点M，使得BM＝BE，
∵∠B＝90°，
∴∠AME＝135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCB＝90°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AME＝∠ECF＝135°，
∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，
∴∠CEF＝∠MAE，
∵点E是BC的中点，BM＝BE，BA＝BC，
∴AM＝EC，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．故①符合题意；
②如图2，在AB上截取BN＝BE，
∵BA＝BC，
∴NA＝CE，
由（1）知，同理可证△ANE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．故②符合题意；
③如图3，在BA延长线上取点P，使得AP＝EC，
∵BA＝BC，
∴BP＝BE，
∴∠P＝∠ECF＝45°，
由（1）知，同理可证△APE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．故③符合题意；
④在AB延长线上截取BH＝BE，连接EH．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°．
又∵BH＝BE，
∴AH＝CE．
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，BH＝BE，CM为正方形外角平分线．
∴∠AHE＝∠ECF＝45°．
∵∠ABE＝90°，∠AEF＝90°．
∴∠AEB+∠EAH＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠EAH＝∠FEC．
在△EAH和△FEC中，
，
∴△EAH≌△FEC（ASA），
∴AE＝EF．故④符合题意；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
33．如图，四边形是菱形，，是边上的动点，交边于点．当线段最短时，．此时点到直线的距离是______．
答案：2
分析：利用菱形的性质得到∠ABC=60°，BD平分∠ADC和∠ABC，，则∠DBC=30°，根据垂线段最短可判断当AM⊥BC时，AM最短，则根据含30度的直角三角形三边的关系计算出AM=3，则AN=2，然后根据角平分线的性质得到点N到CD直线的距离等于NA的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=120°，
BD平分∠ADC和∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∴∠DBC=30°，
当AM⊥BC时，AM最短， 则
∵NM=1，
∴
∴
∴AN=AM-NM=3-1=2，
∵，AM⊥BC，
∴AM⊥AD，
∵BD平分∠ADC，
∴点N到CD的距离等于N点到AD的距离， 而NA=2，
∴此时点N到CD直线的距离是2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了菱形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，角平分线的性质定理的应用，熟知“菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组内角．”是解本题的关键．
34．如图，在7×7的正方形网格中，A，B两点是格点，如果点C也是格点，且△ABC是等腰三角形，这样的C点有______个．
答案：6
分析：当△ABC是等腰三角形时，有两种情况：①以AB为腰，且B为顶点的点有：C1、C2、C3，②以AB为腰，且A为顶点的点有：C4、C5、C6，③当AB为底边时，没有满足条件的点C，所以一共有6个．
【详解】解：∵AB==5，如图所示：
符合条件的点C一共有6个；
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，注意计算AB的边长是关键，找到与AB等长的线段即可；注意分类讨论的思想．
35．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是______．
答案：
分析：根据中位线定理先判断出点P的轨迹是线段，再根据矩形的性质及已知条件判断是直角三角形，从而得出点D到线段上各点的连线中，最小，最大．
【详解】解：如图所示：
当点F与点C重合时，点P在点处，，当点F与点E重合时，点P在点处，，
∴且，
当点F在EC上除点C、E的位置时，有BP＝FP，
由中位线定理可知：且，
∴点P的运动轨迹是线段，
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，
∴△ABE，△BEC、为等腰直角三角形，
∴∠ECB＝45°，∠DP1C＝45°，
∵，
∴∠P2P1B＝∠ECB＝45°，
∴，
∴DP的长最小，最大，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质、中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．
36．如图，在平面直角坐标系中直线与轴、轴分别交于点、，为上一点，且，点是线段上一点，连接并延长交于点，若时，则的长是______．
答案：
分析：过点作，交的延长线与点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，根据待定系数法确定直线BC的解析式，设，利用全等三角形的判定和性质得出，，得出点的坐标为，代入函数解析式确定点的坐标为，在确定直线AE的解析式，求解即可
【详解】解：过点作，交的延长线与点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，
直线与轴、轴分别交于点B、A，
当x=0时，y=6；
当y=0时，x=8；
，，
，，
为上一点，且，
，
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将点B、C分别代入得：
，
解得：，
直线的表达式为，
设，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
则，，
则点的坐标为，
将点的坐标代入得，
解得，
故点的坐标为，
设直线AE的解析式为y=mx+n，由点、的坐标得，
，
解得：，
直线的表达式为，
令，
解得，
故，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，熟练掌握运用这些性质定理是解题关键．
37．把、、三个数中最大那个数记为，如，，，在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像有且只有2个交点，则的取值范围是______．
答案：或
分析：根据题意得出，当时，，，，当时，，，，当时，，，，再利用数形结合进行求解．
【详解】解：当时，，，，
当时，，，，
当时，，，，
如图：
当直线经过点时，，
当直线与直线平行时，，
时，有两个交点；
当直线经过点时，，
当直线与直线平行时，，
时，有两个交点；
综上所述：或时，满足题意，
故答案为：或．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，解题的关键是能够根据定义，画出分段函数的图象，利用数形结合求解即可．
38．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（k是常数，且）上两点和，则下列结论：
①若，则；
②直线AB向右平移1个单位的解析式为；
③若直线AB不经过第三象限，则；
④若原点O到直线AB的距离最大时，则直线AB的解析式为．
其中正确的是______（填写正确结论的序号）．
答案：①②④
分析：利用一次函数的性质判断①；利用一次函数的平移规律即可判断②；根据函数过点，求得AB过原点时的k值，由题意判断③；求得过点的正比例函数解析式，由题意有AB与该直线垂直，由此即可判断．
【详解】①，，则函数图像是递减的，则，故①正确．
②直线AB向右平移1个单位的解析式为，故②正确．
③直线，
则此直线经过点，
当该直线经过原点时，，
，
若直线AB不经过第三象限，则，故③错误．
④当原点与点的连线垂直于直线AB时，此时直线AB为所求，
过点的正比例函数解析式为，
，
的解析式为：，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数图像上的点的坐标特点，能利用一次函数的性质时关键．
39．如图，在矩形ABCD中点E为AD上一点，将△CDE沿CE翻折至△CFE，EF交AB于G点，且GA＝GF，若CD＝10，BC＝6，则AE的值是_____．
答案：##
分析：根据折叠的性质得到∠F＝∠B＝∠A＝90°，DE＝EF，根据全等三角形的性质得到FH＝AE，EG＝GH，得到AH＝DE＝EF，设AE＝x，则AH＝DE＝EF＝6﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵将△CDE沿CE翻折至△CFE，
∴∠F＝∠B＝∠A＝90°，DE＝EF，
在△AGE与△FGH中，
，
∴△AGE≌△FGH（ASA），
∴FH＝AE，EG＝GH，
∴AH＝DE＝EF，
设AE＝x，则AH＝DE＝EF＝6﹣x，
∴DH＝10﹣（6﹣x）＝x+4，CH＝10﹣x，
∵CB2+BH2＝CH2，
∴62+（4+x）2＝（10﹣x）2，
∴x＝，
∴AE＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）矩形的性质，全等三角形的判断和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
40．如图（1），点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）的变化关系图象如图（2），则a的值是______．
答案：
分析：过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，根据图象可得菱形的边长为a，DB＝5，求出DE＝3，再利用勾股定理列方程可求a的值．
【详解】解：过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
∵菱形ABCD中，ADBC，
∴当点F在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD＝a，即菱形的边长是a，
∴a·DE＝a，
∴DE＝3，
当点F在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB＝5，
∴BE＝，
在Rt△DCE中，DC＝a，CE＝4−a，DE＝3，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，从函数图象获取信息，根据图象分析得出菱形的边长为a，DB＝5是解题关键．
41．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点F为CD上一点，E是AD的中点，且DF＝2．在BC上找点G，使EG＝AF，则BG的长是___________
答案：1或5
分析：过E作EH⊥BC于H，取，根据平行线分线段成比例定理得：BH=CH=3，证明Rt△ADF≌Rt△EHG，得GH=DF=2，可得BG的长，再运用等腰三角形的性质可得BG及 的长．
【详解】解：如图：过E作EH⊥BC于H，取 ,则AB∥EH∥CD，
∵E是AD的中点，
∴BH=CH=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=EH，∠D=∠EHG=90°，
∵EG=AF，
∴Rt△ADF≌Rt△EHG(HL)，
∴GH=DF=2，
∴BG=BH−GH=3−2=1；
∵
∴
∴
故答案为：1或5．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质，正方形的性质是解题的关键．
42．甲、乙两车从A地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶，乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是；②；③点的坐标是；④，其中正确的有________（填序号）．
答案：①②④
分析：根据题意，两车距离为因变量，由图象可知两车起始距离为80km，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量即可．
【详解】解：①由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后乙车追上甲，说明乙每小时比甲快40km，因此乙的速度为：80+40=120（km/h），故①正确；
②由图象可知，第2-6小时，乙由相遇点到达B地，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160（km），则m=160，故②正确；
③当乙在B休息1h时，甲继续前进80km，距离缩短为80km，则H点坐标为（7，80），故③错误；
④乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4（小时），则n=6+1+0.4=7.4，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．
43．把a，b，c三个数中最大那个数记为，如：、、．在平面直角坐标系xOy中，若直线与函数的图像有且只有2个交点，则k的取值范围是______．
答案：或
分析：根据题意得到当x>2，；当x<-1，；当，；再结合数形结合思想即可解答．
【详解】在中，
令：，
令：，
由函数得增减性以及增减程度，得：
当x>2，，
当x<-1，，
当，，
画出y关于x的图像：
由，知
该直线经过点，
当直线经过时，，
当直线与直线平行时，，
时，符合题意；
当直线经过时，，
当直线与直线平行时，，
时，符合题意．
综上：或时，符合题意．
故答案为：或．
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，能根据定义画出图像，利用数形结合是关键．
44．如图，矩形中，，，为上一点，以为边构造等边（A、、按逆时针方向排列），连接、，则的最小值为______．
答案：
分析：先证△ABO是等边三角形，由“SAS”可证△ABP≌△AOQ，可得∠ABP=∠AOQ=90°，可证OQ是AC的垂直平分线，当点A，点Q，点D三点共线时，CQ+DQ的最小值为AD长，即可求解．
【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点O，连接BO，OQ，
∵矩形ABCD中，AB=3，AD=BC＝，
∴，
∵点O是AC的中点，∠ABC=90°，
∴AO=BO=CO=3，
∴AB=AO=BO=3，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∵△APQ是等边三角形，
∴AP=AQ，∠PAQ=∠BAO=60°，
∴∠BAP=∠QAC，
在△ABP和△AOQ中，
∴△ABP≌△AOQ（SAS），
∴∠ABP=∠AOQ=90°，
∴OQ是AC的垂直平分线，
∴AQ=CQ，
∵CQ+DQ=AQ+QD，
∴当点A，点Q，点D三点共线时，CQ+DQ的最小值为AD长，
∴CQ+DQ的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
45．已知一次函数的图象与轴正半轴交于点A，且，则下列结论：
①函数图象经过一、二、四象限；
②函数图象一定经过定点；
③不等式的解集为；
④直线与直线交于点，与轴交于点，则的面积为2．
其中正确的结论是______．（请填写序号）
答案：①②③．
分析：根据一次函数的图象与性质可判断①，根据一次函数图象上点的坐标特征可判断②，由k+b=2，可得（k-2）+b=0， 可得函数y=（k-2）x+b过点（1，0）， 再利用一次函数与x轴的交点坐标可判断③，分别求解B，P的坐标，再利用三角形的面积公式计算可判断④，从而可得到正确的选项．
【详解】解：①∵k＜0，k+b=2，
∴b＞0，
∴函数y=kx+b（k＜0）的图象经过一、二、四象限，故①符合题意；
②∵k+b=2，
∴函数y=kx+b（k＜0）的图象一定经过定点（1，2），故②符合题意；
③∵k+b=2， ∴（k-2）+b=0，
∴函数y=（k-2）x+b过点（1，0），
∴k-2＜0，
∴不等式（k-2）x+b＞0的解集为x＜1，故③符合题意；
④∵一次函数y=kx+b（k＜0）的图象与y轴正半轴交于点A，
∴A（0，b），
∵直线y=-bx-k与直线y=kx+b交于点P，，
∴ 解得：
∴
∵直线y=-bx-k与y轴交于点B，
∴B（0，-k），
∴
∴△PAB的面积为： AB•|xP|=×2×1=1，故④不符合题意；
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查对一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，熟知一次函数的性质是解此题的关键．
46．如图，在中，，，，D是斜边AB上一点．连接CD，将沿直线CD折叠，点A落在E处，当点E在的内部（不含边界）时，AD长度的取值范围是________．
答案：＜AD＜
分析：先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后分别求出点E落在AB上和点E落在BC上时AD的长，即可解答．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
当点E落在AB上，如图：
由折叠得：∠ADC＝∠CDE＝90°，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴，
∴AD＝，
当点E落在BC上，如图：
过点D作DH⊥AC，垂足为H，
∴∠DHA＝∠DHC＝90°，
由折叠得：∠ACD＝∠ECD＝∠ACB＝45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴DH＝CH，
∵∠DHA＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADH∽△ABC，
∴，
∴设DH＝4a，则AH＝3a，
∴CH＝DH＝4a，
∴AD＝，
∵AC＝6，
∴CH＋AH＝6，
∴4a＋3a＝6，
∴a＝，
∴AD＝5a＝，
∴当点E在△ABC的内部（不含边界）时，AD长度的取值范围是：＜AD＜，
故答案为：＜AD＜．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，相似三角形的判定和性质等，分别求出点E落在AB上和点E落在BC上时AD的长是解题的关键．
47．已知一次函数的图象为直线l，下列结论：①直线l过定点；②若直线l上有两点和，且，则；③若直线l平行于直线，则直线l与y轴交于点；④若，则关于x的不等式的解集是．其中正确的是________．
答案：①②④
分析：把x＝−2代入求出y即可判断①；根据可知y随x的增大而减小，则可得2t−1＜0，进而判断②；由直线l平行于直线可列式求出t，再求出一次函数的解析式进而判断③；对不等式变形，根据进行计算，然后可判断④．
【详解】解：∵当x＝−2时，y＝（2t−1）×（−2）＋4t＋1＝3，
∴一次函数y＝（2t−1）x＋4t＋1的图象过定点（−2，3），①正确；
∵直线l上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），且（x1−x2）（y1−y2）＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴2t−1＜0，
∴，②正确；
∵直线l平行于直线y＝−x＋b，
∴2t−1＝−1，
∴t＝0，
∴y＝−x＋1，
当x＝0时，y＝1，
∴直线与y轴交于（0，1），③错误；
∵不等式的解集是，
∴，
∵，
∴＞0，
∴x＜−2，④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式，掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．
48．如图，正方形ABCD的边长为8，M为BC边上的中点，线段EF在边AD上滑动，，且∠EGF＝90°，则MG＋MF的最小值是______．
答案：
分析：作F点关于BC的对称点F'，连接MF'，过点F'作FK⊥BC，过点G作KG⊥FK，两垂线交于点K，当G、M、F'三点共线时，MG+MF的值最小，求出GF'的长即为所求．
【详解】解：作F点关于BC的对称点F'，连接MF'，过点F'作FK⊥BC，过点G作KG⊥FK，两垂线交于点K，
由对称性可知，MF=MF'，
∴MG+MF=MG+MF'≥GF'，
当G、M、F'三点共线时，MG+MF的值最小，
∵AB=8，
∴FF'=16，
∵GE=GF=，且∠EGF=90°，
∴EF=2，
∴GK=KF=1，
在Rt△GKF'中，F'K=17，GK=1，
∴，
∴MG+MF的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，正方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
49．如图，在平行四边形中，点在边上，将沿着翻折得到，已知，，，设，当点落在内部（含边上）时，的取值范围________．
答案：##
分析：过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为I，证明四边形是矩形，，，是直角三角形，证明，设，利用勾股定理求出，故，，分情况讨论：（1）当在CE上时，证明，在中，利用勾股定理得：，求出；（2）当在CD上时，过点作，垂足为J，证明四边形是矩形，得到，，表示出，，，在中，利用勾股定理，求出，即可求出x的取值范围．
【详解】解：过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为I，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴四边形是矩形，，，是直角三角形，
∴，
在和中，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，利用勾股定理得：，
在中，利用勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴，整理得：，解得：，
∴，故，
∴，故，
（1）当在CE上时，如图，
∵沿DE对折得到
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，利用勾股定理得：，
∴，整理得：，解得：，（舍去），
∴，
（2）当在CD上时，过点作，垂足为J，如图，
∵，，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，故，
∴，
∵，
∴，
∵沿DE对折得到，
∴，
∵，
∴，
在中，利用勾股定理得：，即，
整理得：，
∴，
∴点落在内部（含边上）时，的取值范围：，
故答案为：
【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质．勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质．勾股定理，分情况讨论：（1）当在CE上；（2）当在CD上．
50．中华民族有一种折纸玩具叫“东南西北”，此玩具制作方法为：用一张正方形纸片按图1步骤折叠得到图2所示折纸，然后在外侧四面标上东、南、西、北，内侧写上有趣的游戏任务．现将图1中的折纸④放大后用图3表示，此时正方形边长为10，把它沿直线l对折，将点重合后记为点A，点重合后记为点B，得到图4、连接，取中点M，如图5所示，若，则点O与点M之间的距离为_________，点C与点D之间的距离为_________．
答案：
分析：根据M为AB的中点，AD=BD，得出DM⊥AB，根据勾股定理得出DM的长，根据折叠得出DM⊥OD，根据勾股定理即可算出OM的长；
根据折叠可知，点C、D、O、M在同一平面内，且OC=OD=5，，连接OM交CD于点P，根据垂直平分线的判定定理，得出OM垂直平分CD，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可求出结果．
【详解】解：将图4简化成平面图形，如图所示：
∵M为AB的中点，
∴，
∵AD=BD，
∴DM⊥AB，
∵，
∴在Rt△AMD中，，
根据折叠可知，DM⊥OD，如图所示：
∵，，
，
即点O与点M之间的距离为；
图5中根据折叠可知，点C、D、O、M在同一平面内，且OC=OD=5，，连接OM交CD于点P，如图所示：
∵OC=OD，MC=MD，
∴OM垂直平分CD，
∴CP=DP，
∵，
∴设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴，
即点C与点D之间的距离为，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了折叠，勾股定理的应用，垂直平分线的判定，根据题意画出平面图形，熟练应用勾股定理，是解决问题的关键．
1．如图所示，点B，C分别在y＝2x和y＝kx－2a上，A，D为x轴上两点，点B的纵坐标为a，若四边形ABCD为矩形，且，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系xOy中，直线过定点P，过点A（6，m）作直线轴交直线于点B，连接OB，若BP平分，则k的值是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，点E是菱形ABCD对角线BD上任一点，点F是CD上任一点，连接CE，EF，当，时，的最小值是（ ）
A．B．10C．D．5
4．如图，AB，BC，CD，DE是四根长度均为5cm的小木棒，点A、C、E共线．若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．7cmB．6cmC．8cmD．8cm
5．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点和点分别是线段，的中点，点为线段上的一动点，则值最小时点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．某组数据方差计算公式为：，由公式提供的信息，下列说法错误（ ）
A．样本的容量是3B．样本的中位数是3
C．样本的众数是3D．样本的平均数是3
7．已知非负数、、满足，设，则的最大值和最小值的和为（ ）
A．B．C．D．
8．下列命题：①若是整数，则正整数的最小值是12；②“”与“”均一定成立；③“如果，，（是正整数）是一组勾股数，那么正整数，，也是一组勾股数”的逆命题是真命题；④四条边相等的四边形是菱形，四个角相等的四边形是正方形，不正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，在四边形ACBD中，AD=BD，∠ADB=120°，点C为动点，∠ACB=90°，E是BD的中点，连接CE，当CE的长度最大时，此时∠CAB的大小是（ ）．
A．30°B．45°C．60°D．75°
10．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE＝CD；
②∠DGF＝135°；
③∠ABG＋∠ADG＝180°；
④若，则．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
11．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．请用这句话提到的数学思想方法解决下面的问题，已知函数，且关于，的二元一次方程有两组解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．定义表示不大于x的最大整数，如：、，．则方程所有解的和为（ ）
A．B．C．D．
13．如图，过点作轴的垂线，交直线：于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，…，依次这样作图，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
14．直线y＝x+n与直线y＝mx+3n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，当n的值发生变化时，点A到直线y＝x﹣3的距离总是一个定值，则m的值是（ ）
A．3B．2C．D．
15．小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的陌数关系，下列结论错误的是（ ）
A．小王骑车的速度为10km/h
B．小李骑车的速度为20km/h
C．a的值为15
D．走完全程，小李所用的时间是小王的
16．如图，已知在中，，点是延长线上的一点，，点是上一点，，连接，、分别是、的中点，则的值为（ ）
A．6B．8C．D．
17．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
18．我们把、、三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则的值为（ ）
A．或或1B．或C．或或1D．2或
19．著名数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用这句话提到的思想方法，判断若函数的图象与直线（k是常数）有两个交点，则符合条件的k值可能是（ ）
A．B．C．3D．7
20．甲、乙两车沿同一条路从A地出发前往B地，如图所示，，分别表示甲、乙两车离开A地的距高s（km）与时间t（h）之间的关系．对于以下说法：①甲车的平均速度是40km/h；②乙车比甲车早出发0.8h；③两车相遇时，甲车出发了0.5h；④两车相距10km时，乙车出发或小时．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
21．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，四边形、、、…都是正方形．如果点，那么点的纵坐标是（ ）
A．无法确定B．C．D．
22．在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数关系的图像．下列结论中：①乙先出发的时间为0.5h；②甲的速度是80km/h；③乙出发1h后两车相遇；④甲到B地比乙到A地晚，正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
23．如图，中，，于点，，为斜边的中点，则（ ）
A．B．C．D．
24．我们把两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．下列四个结论：①若三角形是等边三角形，则它必是奇异三角形；②若一个奇异三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为；③若一个奇异三角形是直角三角形，则它三条边长之比为；④已知，，在AC下方存在点E，使得为奇异三角形，若是直角三角形，且，则或．其中结论正确的序号为（ ）
A．①③B．②④C．①③④D．①②③④
第II卷（非选择题）
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二、填空题
25．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC与BD交于点O，点F为DC延长线上的一点，AF与OB，BC分别交于点E，H，且∠BAF＝45°，连接OH和CE，则下列结论中一定成立的是______．
①AD＝DE；②；③；④△ABH≌△FBE．
26．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为对角线BD上任意一点（不与B，D重合），连接AE，过点E作，交线段BC于点F，以AE，EF为邻边作矩形AEFG，连接BG．给出下列四个结论：
①；②；
③设四边形AGBE的周长为m，则；
④当时，的面积为3．
其中正确的结论有____________．（填写所有正确结论的序号）
27．已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；
④四边形OECF的面积是1．
所有正确结论的序号是_________________________
28．如图，在口ABCD中，CD=2AD，F为DC的中点，BE⊥AD于点E，连接EF，BF，下列结论：
①∠ABC＝2∠ABF；
②EF＝BF；
③S△ABE：S△EFB＝2：3；
④∠CFE＝3∠DEF．
其中正确结论的序号是 _____．
29．如图①是第七届国际数学教育大会（ICME－7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．如果图②中的，那么的长是______．
30．已知，在□ABCD中，，点F为AD的中点，过点C作，垂足为点E，以下结论中，正确的是______．
①CF是的角平分线；②连接BF，则；③若，则；④连接EF，则．
31．如图，已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC长的最大值是 ．
32．如图，在正方形ABCD中，点E是直线BC上一点，，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．下列说法正确的是______．（填序号）
①若点E是BC的中点，则；
②若点E是BC边上的任意一点（中点除外），则；
③若点E是BC延长线上任意一点，则；
④若点E是BC反向延长线上任意一点，则．
33．如图，四边形是菱形，，是边上的动点，交边于点．当线段最短时，．此时点到直线的距离是______．
34．如图，在7×7的正方形网格中，A，B两点是格点，如果点C也是格点，且△ABC是等腰三角形，这样的C点有______个．
35．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是______．
36．如图，在平面直角坐标系中直线与轴、轴分别交于点、，为上一点，且，点是线段上一点，连接并延长交于点，若时，则的长是______．
37．把、、三个数中最大那个数记为，如，，，在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像有且只有2个交点，则的取值范围是______．
38．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（k是常数，且）上两点和，则下列结论：
①若，则；
②直线AB向右平移1个单位的解析式为；
③若直线AB不经过第三象限，则；
④若原点O到直线AB的距离最大时，则直线AB的解析式为．
其中正确的是______（填写正确结论的序号）．
39．如图，在矩形ABCD中点E为AD上一点，将△CDE沿CE翻折至△CFE，EF交AB于G点，且GA＝GF，若CD＝10，BC＝6，则AE的值是_____．
40．如图（1），点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）的变化关系图象如图（2），则a的值是______．
41．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点F为CD上一点，E是AD的中点，且DF＝2．在BC上找点G，使EG＝AF，则BG的长是___________
42．甲、乙两车从A地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶，乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是；②；③点的坐标是；④，其中正确的有________（填序号）．
43．把a，b，c三个数中最大那个数记为，如：、、．在平面直角坐标系xOy中，若直线与函数的图像有且只有2个交点，则k的取值范围是______．
44．如图，矩形中，，，为上一点，以为边构造等边（A、、按逆时针方向排列），连接、，则的最小值为______．
45．已知一次函数的图象与轴正半轴交于点A，且，则下列结论：
①函数图象经过一、二、四象限；
②函数图象一定经过定点；
③不等式的解集为；
④直线与直线交于点，与轴交于点，则的面积为2．
其中正确的结论是______．（请填写序号）
46．如图，在中，，，，D是斜边AB上一点．连接CD，将沿直线CD折叠，点A落在E处，当点E在的内部（不含边界）时，AD长度的取值范围是________．
47．已知一次函数的图象为直线l，下列结论：①直线l过定点；②若直线l上有两点和，且，则；③若直线l平行于直线，则直线l与y轴交于点；④若，则关于x的不等式的解集是．其中正确的是________．
48．如图，正方形ABCD的边长为8，M为BC边上的中点，线段EF在边AD上滑动，，且∠EGF＝90°，则MG＋MF的最小值是______．
49．如图，在平行四边形中，点在边上，将沿着翻折得到，已知，，，设，当点落在内部（含边上）时，的取值范围________．
50．中华民族有一种折纸玩具叫“东南西北”，此玩具制作方法为：用一张正方形纸片按图1步骤折叠得到图2所示折纸，然后在外侧四面标上东、南、西、北，内侧写上有趣的游戏任务．现将图1中的折纸④放大后用图3表示，此时正方形边长为10，把它沿直线l对折，将点重合后记为点A，点重合后记为点B，得到图4、连接，取中点M，如图5所示，若，则点O与点M之间的距离为_________，点C与点D之间的距离为_________．
八下期末难点特训（一）选填压轴50道
1．如图所示，点B，C分别在y＝2x和y＝kx－2a上，A，D为x轴上两点，点B的纵坐标为a，若四边形ABCD为矩形，且，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据点B在y＝2x上，点B的纵坐标为a，得到点B的横坐标为x=，求出AD得到OD的长，进而得到点C的坐标，即可代入解析式求出k．
【详解】解：∵点B在y＝2x上，点B的纵坐标为a，
∴2x=a，AB=a，
解得x=，
∵，
∴AD=2a，
∴OD=OA+AD=+2a=
∴C（，a），
∴k－2a=a，
解得k=，
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特点，正确利用解析式求出点的坐标是解题的关键．
2．在平面直角坐标系xOy中，直线过定点P，过点A（6，m）作直线轴交直线于点B，连接OB，若BP平分，则k的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据题意证明∠OBH=∠OHB，则OB=OH，即可根据勾股定理得到关于k的方程，解方程即可．
【详解】解：∵过点A（6，m）作直线AB∥y轴交直线y=kx-3k+4于点B，
∴点B（6，3k+4），
设直线y=kx-3k+4与y轴交于点H，令x=0，则y=-3k+4，即点H（0，-3k+4），如图，
∵BP平分∠OBA，
∴∠ABH=∠OBH，
∵AB∥y，
∴∠ABH=∠OHB，
∴∠OBH=∠OHB，
则OB=OH，
即36+（3k+4）2=（4-3k）2，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理的应用等，表示出B、H的坐标是解题的关键．
3．如图，点E是菱形ABCD对角线BD上任一点，点F是CD上任一点，连接CE，EF，当，时，的最小值是（ ）
A．B．10C．D．5
答案：C
分析：过A作AF⊥CD交BD于E，则此时，CE+EF的值最小，CE+EF的最小值=AF，根据已知条件得到△ADF是等腰直角三角形，于是得到结论．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点A与点C关于BD对称，
过A作AF⊥CD交BD于E，则此时，CE+EF的值最小，
∴CE+EF的最小值为AF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ADC=∠ABC=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∵AD=BC=10，
∴AF=AD=，
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
4．如图，AB，BC，CD，DE是四根长度均为5cm的小木棒，点A、C、E共线．若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．7cmB．6cmC．8cmD．8cm
答案：C
分析：过点作于点，过点作于点，先根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，利用勾股定理可得，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
（等腰三角形的三线合一），
，
，
又，
（等腰三角形的三线合一），
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一、勾股定理，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
5．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点和点分别是线段，的中点，点为线段上的一动点，则值最小时点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，结合点C、D分别为线段OB、AB的中点，可得出点C，D的坐标，取点C关于x轴对称的点E，连接DE交x轴于点P，此时PC+PD值取最小值，由点C的坐标可得出点E的坐标，由点D，E的坐标，利用待定系数法可求出直线DE的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P的坐标．
【详解】解：当x＝0时，y0+2＝2，
∴点B的坐标为（0，2）；
当y＝0时，x+2＝0，
解得：x＝4，
∴点A的坐标为（4，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C的坐标为（0，1），点D的坐标为（2，1）．
取点C关于x轴对称的点E，连接DE交x轴于点P，此时PC+PD值取最小值，如图所示．
∵点C的坐标为（0，1），
∴点E的坐标为（0，﹣1）．
设直线DE的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将D（2，1），E（0，﹣1）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣1．
当y＝0时，x﹣1＝0，
解得：x＝1，
∴点P的坐标为（1，0）．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称﹣最短路线问题，利用两点之间线段最短，找出点P的位置．
6．某组数据方差计算公式为：，由公式提供的信息，下列说法错误（ ）
A．样本的容量是3B．样本的中位数是3
C．样本的众数是3D．样本的平均数是3
答案：A
分析：根据方差公式，其中n是这个样本的容量， 是样本的平均数，利用此公式直接求解．
【详解】解：根据方差公式，
则由中，
可得到原数据为：2，2，3，3，3，4，4．
∴样本容量为：7，故A错；
样本中位数为：3，故B对；
样本众数为：3，故C对；
样本平均数为：；故D对．
故选：A．
【点睛】本题考查了方差，样本容量，平均数，熟记方差的公式中各个字母所代表的含义是解题的关键．
7．已知非负数、、满足，设，则的最大值和最小值的和为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：先设，用表示出、、的值，再由，，为非负数即可求出的取值范围，把所求代数式用的形式表示出来，根据的取值范围即可求解．
【详解】解：设，
则，，，
；；，
；；；
解得；；；
，
，把，，，代入得：
，
，
解得，．
的最大值是；最小值是19，
最大值和最小值的和为：．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，解题的关键是通过设参数的方法求出的取值范围．
8．下列命题：①若是整数，则正整数的最小值是12；②“”与“”均一定成立；③“如果，，（是正整数）是一组勾股数，那么正整数，，也是一组勾股数”的逆命题是真命题；④四条边相等的四边形是菱形，四个角相等的四边形是正方形，不正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：C
分析：根据二次根式的性质、勾股定理和勾股数、菱形和正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：①若是整数，而
则正整数n的最小值是3，故原说法不正确；
②当a≥0时，“ ”与“”一定成立，故原说法不正确；
③“如果na，nb，nc（n是正整数）是一组勾股数，那么正整数a，b，c也是一组勾股数”的逆命题是“如果正整数a，b，c是一组勾股数，那么正整数na，nb，nc（n是正整数）也是一组勾股数”，
所以逆命题是真命题，故原说法正确；
④四条边相等的四边形是菱形，四个角相等的四边形是矩形，故原说法不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，同时考查了勾股定理，二次根式的性质，菱形与正方形的判定．
9．如图，在四边形ACBD中，AD=BD，∠ADB=120°，点C为动点，∠ACB=90°，E是BD的中点，连接CE，当CE的长度最大时，此时∠CAB的大小是（ ）．
A．30°B．45°C．60°D．75°
答案：D
分析：取AB的中点O，则OC+OE≤CE，当C、O、E三点共线时，CE的长度取得最大值，推出OE是△ABD的中位线，OC是Rt△ABC斜边的中线，利用平行线的性质以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：取AB的中点O，连接OC、OE，如图甲所示，
∴OC+OE≤CE，
∴当C、O、E三点共线时，CE的长度取得最大值，如图乙所示，
∵O是AB的中点，E是BD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AD，
在四边形ACBD中，AD=BD，∠ADB=120°，
∴∠ABD=∠BAD=30°，
∴∠ABD=∠COA=30°，
∵∠ACB=90°，O是AB的中点，
∴OC=OA=OB，
∴∠CAB=∠OCA=(180°-∠COA) =(180°-30°)=75°
故选：D．
图甲 图乙
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线定理，判定当C、O、E三点共线时，CE的长度取得最大值是解题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE＝CD；
②∠DGF＝135°；
③∠ABG＋∠ADG＝180°；
④若，则．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
答案：C
分析：只需要证明∠AEB＝45°＝∠BAE，即可判断①；先证明△CEF为等腰直角三角形，再由点G为EF的中点，得到CG⊥EF，∠CGF＝90°，∠FCG＝45°，由三角形外角的性质得到∠FCG＝∠CGD＋∠CDG＝45°，则∠CGD＜45°，即可判断②；证明，∠EBG＝∠CDG，再由∠ABG＝∠ABC＋∠EBG，∠ADG＝∠ADC−∠CDG，即可判断③；过点G作GM⊥DF于点M，如图所示，设AB＝2a（a＞0），则AD＝3a．证明△ADF为等腰直角三角形，得到DF＝AD＝3a．根据△CGF为等腰直角三角形，得到，则，然后求出，即可判断④．
【详解】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝90°−∠BAE＝45°＝∠BAE，
∴BE＝AB＝CD，①正确；
②∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠BAE＝45°，
∵∠CEF＝∠AEB＝45°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG⊥EF，∠CGF＝90°，∠FCG＝45°，
∵∠FCG＝∠CGD＋∠CDG＝45°，
∴∠CGD＜45°，
∴∠DGF＝∠CGD＋∠CGF＜45°＋90°＝135°，②不正确；
③∵△CEF为等腰直角三角形，点G为EF的中点，
∴CG＝EG．
∵∠BEG＝180°−∠CEF＝135°，∠DCG＝180°−∠FCG＝135°，
∴∠BEG＝∠DCG，
在△BEG和△DCG中，
，
∴（SAS），
∴∠EBG＝∠CDG，
∵∠ABG＝∠ABC＋∠EBG，∠ADG＝∠ADC−∠CDG，
∴∠ABG＋∠ADG＝∠ABC＋∠ADC＝180°，③正确；
④过点G作GM⊥DF于点M，如图所示．
∵，
∴设AB＝2a（a＞0），则AD＝3a．
∵∠DAF＝45°，∠ADF＝90°，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴DF＝AD＝3a．
∵△CGF为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
．
∴，④正确．
综上可知：正确的结论有①③④．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形面积，角平分线的定义等等，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定条件是解题的关键．
11．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．请用这句话提到的数学思想方法解决下面的问题，已知函数，且关于，的二元一次方程有两组解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：求出 恒过，作出函数的图象，通过数形结合，观察图象和函数式进行作答．
【详解】解：可化简为，
无论取何值，恒过，
该函数图象随值不同绕旋转，
作出函数的图象如下：
当与y＝－x－1平行时，可得a＝－1，
此时，
当过点（0，1）时，可得，
解得：a＝，
此时，
如图可得：当时，的图像与函数的图象有两个交点，即关于，的二元一次方程有两组解．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与方程组的解的问题，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合思想，画出图象并分析是解题的关键．
12．定义表示不大于x的最大整数，如：、，．则方程所有解的和为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：令，代入原方程可得，解方程并由题意可得，即可建立不等式并求解可知，结合题意n为整数，可推导n=1或2，当n=1或n=2时，分别计算x的值即可获得本题．
【详解】解：令，代入原方程可得，
解得，
由题意可得，
∴，解得，
∵n为整数，
∴n=1或2，
当n=1时，，
当n=2时，，
则方程所有解的和为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对新定义的理解、解一元一次方程以及不等式的应用，正确根据新定义得出x的取值是解题关键．
13．如图，过点作轴的垂线，交直线：于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，…，依次这样作图，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到规律，再利用规律求解．
【详解】解：，
，
点的横坐标为1，
，、、、在直线的图象上，
纵坐标为2，
，
，，
点的纵坐标为，
于是得到的纵坐标为
的纵坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是找出的坐标的变化规律．
14．直线y＝x+n与直线y＝mx+3n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，当n的值发生变化时，点A到直线y＝x﹣3的距离总是一个定值，则m的值是（ ）
A．3B．2C．D．
答案：C
分析：先求得交点A的坐标，即可求出点A的轨迹，进而判断出直线与直线y＝x﹣3平行，即可求出m的值．
【详解】解：∵直线y＝x+n与直线y＝mx+3n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，
解析式联立解得，x＝ ，y＝ ，
∴A（，），
∴yA＝xA，
当m为一个的确定的值时，yA是xA的正比例函数，
即：点A在直线y＝x上，
∵点A到直线y＝x﹣3的距离总是一个定值，
∴直线y＝x与直线y＝x﹣3平行，
∴＝，
∴m＝．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定，得出点A的轨迹，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
15．小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的陌数关系，下列结论错误的是（ ）
A．小王骑车的速度为10km/h
B．小李骑车的速度为20km/h
C．a的值为15
D．走完全程，小李所用的时间是小王的
答案：D
分析：根据题意和函数图象中的数据进行计算即可．
【详解】从AB可以看出：两人从相距30千米的两地相遇用了一个小时时间，则千米/时，
小王用了3个小时走完了30千米的全程，
∴千米/时，故A选项正确；
∴千米/时，故B选项正确；
C点的意义是小李骑车从乙地到甲地用了小时，此时小王和小李的距离是
∴，故C选项正确；
走完全程，小李所用的时间（小时）．
走完全程，小王所用的时间是：小时．
∴走完全程，小李所用的时间是小王的，故D选项错误;
故选：D．
【点睛】本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，看懂图像所表达的意思和数形结合的思想解答．
16．如图，已知在中，，点是延长线上的一点，，点是上一点，，连接，、分别是、的中点，则的值为（ ）
A．6B．8C．D．
答案：D
分析：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，证明NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出，，NF＝BE，MF＝AD，证出NF⊥MF，根据勾股定理计算，即可得出答案．
【详解】解：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示：
∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点，
∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，
∴，，NF＝BE＝3，MF＝AD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵，
∴MF⊥BC，
∵，
∴NF⊥MF，
在Rt△MNF中，由勾股定理得：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
17．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
答案：A
【详解】解：构造等腰三角形，
①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；
②作AB的中垂线．
如图，一共有5个C点，
注意，与B重合及与AB共线的点要排除．
故选A.
18．我们把、、三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则的值为（ ）
A．或或1B．或C．或或1D．2或
答案：A
分析：画出函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象，要使直线y=kx+与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点，只需直线经过（3，4）或经过（1，0）或平行于y=x+1．
【详解】解：由题意，函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象如图所示：
直线y=2x-2与直线y= x+1交于点（3，4），
直线y=2x-2、y=-x+1与x轴交于点（1，0），
直线y= x+1与y轴交于点（0，1），
∵y=kx+与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点，
当直线y=kx+经过点（3，4）时，则4=3k+，
解得k=，
当直线y=kx+经过点（1，0）时，k=-，
当k=1时，平行于y=x+1，与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象也有且仅有两个交点；
∴直线直线y=kx+与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点，则k的取值为或-或1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质以及中位数的概念，数形结合思想的应用是解题的关键．
19．著名数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用这句话提到的思想方法，判断若函数的图象与直线（k是常数）有两个交点，则符合条件的k值可能是（ ）
A．B．C．3D．7
答案：B
分析：由可知，图象关于直线x＝对称，画出图象，观察图形即可．
【详解】解：图象如图所示，
∵直线y＝kx−k＋4＝k（x−1）＋4，
∴直线y＝kx−k＋4（k是常数）过定点（1，4），
∴若函数y＝|−2x＋3|的图象与直线y＝kx−k＋4（k是常数）有两个交点，则−2＜k＜2．
故选：B．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象与系数的关系，能够准确地画出图象是解决本题的关键，注意数形结合．
20．甲、乙两车沿同一条路从A地出发前往B地，如图所示，，分别表示甲、乙两车离开A地的距高s（km）与时间t（h）之间的关系．对于以下说法：①甲车的平均速度是40km/h；②乙车比甲车早出发0.8h；③两车相遇时，甲车出发了0.5h；④两车相距10km时，乙车出发或小时．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：B
分析：根据题意和函数图象中的数据，可以判断①②；求出乙车前3小时的速度，根据相遇问题列方程求解，进而判断③；根据两车相距10km分情况列方程求解，进而判断④．
【详解】解：由图象可得，甲车的平均速度是：80÷（3−1）＝40（km/h），故①正确；
乙车比甲车早出发1h，故②说法错误；
乙车前3小时的速度是（km/h），
设两车相遇时，甲车出发了x小时，
则：(x＋1)＝40x，
解得：x＝，
即两车相遇时，甲车出发了0.5h，故③说法正确；
甲车出发前，两车相距10km，
则10÷小时，
甲车行驶过程中，设两车相距10km时，乙车出发x小时，
则x−10＝40(x−1)或x＝40(x−1)−10，
解得：x＝或，
甲车到达B地后，两车相距10km，
乙车最后1小时的速度是（80－40）÷（4－3）＝40（km/h），
（80－10－40）÷40＋3＝，
∴两车相距10km时，乙车出发或或或小时，故④说法错误；
所以正确的结论个数是2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息的能力，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，四边形、、、…都是正方形．如果点，那么点的纵坐标是（ ）
A．无法确定B．C．D．
答案：B
分析：根据点A1（1，1）可以确定直线y=x+b的关系式，再根据正方形的性质以及一次函数图像上点的坐标特征可求出点A2、A3、A4、A5的纵坐标，根据所呈现的规律得出点A2022的纵坐标．
【详解】解：∵点A1（1，1），点A1在直线y=x+b的图像上，
∴1=+b，
即：b=，
∴一次函数的关系式为y=x+，
设B1B2=A2B2=a，
∴点A2（1+a，a），
∵点A2（1+a，a）在一次函数y=x+的图像上，
∴（1+a）+=a，
解得a=2，
∴点A2的纵坐标为2=21，
设B2B3=A3B3=c，
∴点A3（3+c，c），
∵点A3（3+c，c）在一次函数y=x+的图像上，
∴（3+c）+=c，
解得c=4，
∴点A3的纵坐标为4=22，
同理：点A4的纵坐标为8=23，
点A5的纵坐标为16=24，
点A6的纵坐标为32=25，
……
∴点An的纵坐标为2n-1，
∴点A2022的纵坐标为22021，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征以及正方形的性质，点坐标规律探究，掌握一次函数图像上点的坐标特征是解决问题的前提，分别求出点A1，A2，A3，…的纵坐标，根据所呈现的规律得出答案是正确解答的关键．
22．在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数关系的图像．下列结论中：①乙先出发的时间为0.5h；②甲的速度是80km/h；③乙出发1h后两车相遇；④甲到B地比乙到A地晚，正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
答案：D
分析：根据已知图像分别分析甲、乙两车的速度，进而得出答案．
【详解】①由图像横坐标可得，乙先出发的时间为0.5小时，①正确；
②∵乙先出发，0.5小时，两车相距70km，乙走的路程为30km，
∴乙车的速度为：60km/h，
故乙行驶所用时间为：小时，
由最后时间1.75小时，，可得乙先 达A地，
故甲车整个过程所用时间为：1.75-0.5=1.25（小时），
故甲车的速度为：100÷1.25=80km/h，②正确；
③由以上所求可得，甲出发0.5小时后，行驶距离为：40km，此时乙出发1小时，乙车行驶的距离为：60km，40+60=100，故两车相遇，③正确；
④由以上所求可得，乙到A地比甲到B地早：（小时），④正确；
正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用函数的图像解决实际问题，解决本题是正确理解函数图像横纵坐标表示的意义．
23．如图，中，，于点，，为斜边的中点，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：首先根据直角三角形的性质得到EC=EA，根据∠ACD=3∠BCD可求出∠BCD、∠ACD、∠A的度数，再根据三角形的外角的性质、可证得∠DEC=∠DCE =45°，CD=DE，设CD=DE=a，则，据此即可解答．
【详解】解：∵∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，
∴EC=EA，
∵∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD，
∴∠BCD+3∠BCD=90°，
∴∠BCD=22.5°，∠ACD=67.5°，
∴∠A=22.5°，
∴∠ACE=∠A =22.5°，
∴∠DEC=∠A +∠ACE =45°，
∴∠DEC=∠DCE =45°，
∴CD=DE，
设CD=DE=a，则，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角的性质，勾股定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
24．我们把两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．下列四个结论：①若三角形是等边三角形，则它必是奇异三角形；②若一个奇异三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为；③若一个奇异三角形是直角三角形，则它三条边长之比为；④已知，，在AC下方存在点E，使得为奇异三角形，若是直角三角形，且，则或．其中结论正确的序号为（ ）
A．①③B．②④C．①③④D．①②③④
答案：A
分析：设等边三角形的边长为a，得到a2+a2=2a2，判断①正确；分两种情况：前两边为3与4或第三边为4，故判断②错误；设直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，则①，根据该直角三角形是奇异三角形，得到②求出a代入①判断；③，将①代入③得，求出b验证，由此判断③正确；为奇异三角形且是直角三角形，但没有斜边的条件，无法确定每条边的长度，且与△ABC无关联，故无法判断④正确，由此得到④错误．
【详解】解：设等边三角形的边长为a，则a2+a2=2a2，则等边三角形是奇异三角形，故①正确；
若3和4为前两边，，则第三边长为，
若4是第三边，，故该奇异三角形的第三边为或4，故②错误；
设直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，则①，
又∵该直角三角形是奇异三角形，
∴②，
将①代入②得，即（不合题意，舍去），
∴③，
将①代入③得，即，
将代入①得，即，
则a:b:c=，故③正确；
∵为奇异三角形且是直角三角形，但没有斜边的条件，无法确定每条边的长度，且与△ABC无关联，故无法判断④正确，故④错误；
故选：A．
【点睛】此题考查了新定义，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握各知识点并正确理解新定义是解题的关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
25．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC与BD交于点O，点F为DC延长线上的一点，AF与OB，BC分别交于点E，H，且∠BAF＝45°，连接OH和CE，则下列结论中一定成立的是______．
①AD＝DE；②；③；④△ABH≌△FBE．
答案：①②③
分析：利用菱形的性质求出∠DAE=75°，得到∠AED=180°-∠ADE-∠DAE=75°，即可判断①；过E作EG⊥AB于G，求得∠AEG=45°=∠GAE，得到AE=EG，再根据BE=2EG，由菱形的轴对称得AE=CE，即可判断②正确；利用同底等高三角形的面积相等得到S△ACF=S△BCF，判断③正确；先证出BE=BH，当△ABH≌△FBE时，推出△OBC≌△FBC，得到OB=BF，进而证得△OBH≌△FBH，求出∠BOH=∠BAE，再证明△ABE≌△OBH，得到AB=OB，但AB≠OB，故△ABH与△FBE不全等，判断④错误．
【详解】解：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC与BD交于点O，
∴∠BAC=∠DAC=60°，∠ADC=60°，
∴∠ADE=∠CAE=30°，
∵∠BAF＝45°，
∴∠CAF=15°，
∴∠DAE=75°，
∴∠AED=180°-∠ADE-∠DAE=75°，
∴AD=DE，故①正确；
过E作EG⊥AB于G，
∵∠GAE=45°，∠AGE=90°，
∴∠AEG=45°=∠GAE，
∴AG=EG，
∴2EG2=AE2，即AE=EG；
∵∠ABE=30°，
∴BE=2EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴由轴对称得AE=CE，
∴，故②正确；
∵AB∥CD，
∴S△ACF=S△BCF，
∴S△ACF-S△CFH=S△BCF-S△CFH，即，故③正确
∵∠BEH=∠BHE=75°，
∴BE=BH，
当△ABH≌△FBE时，∠ABH=∠FBE=60°，
∴∠OBC=∠FBC=30°，∠CFB=90°=∠BOC，
∴△OBC≌△FBC，
∴OB=BF，
∴△OBH≌△FBH，
∴∠BOH=∠BFH=180°-120°-15°=45°，
∴∠BOH=∠BAE，
∵∠ABE=∠OBH=30°，BE=BH，
∴△ABE≌△OBH，
∴AB=OB，
但AB≠OB，
故△ABH与△FBE不全等，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记菱形的性质是解题的关键．
26．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为对角线BD上任意一点（不与B，D重合），连接AE，过点E作，交线段BC于点F，以AE，EF为邻边作矩形AEFG，连接BG．给出下列四个结论：
①；②；
③设四边形AGBE的周长为m，则；
④当时，的面积为3．
其中正确的结论有____________．（填写所有正确结论的序号）
答案：①③④
分析：①连接EC，证明△AEB≌△CEB（SAS），进而证明∠EFC=∠BCE根据等角对等边即可判断； ②连接CE，过点E作EH⊥BC于点H，利用正方形的性质及线段的和差关系可得CF=2FH，若CD-BF=BE，则BH=CF=2FH，可得BF=FH=CH，即F、H是BC的三等分点，当点E在BD上运动时由此可判断；③由正方形的判定与性质可得∠DAE=∠BAG，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可判断；④连接AF，过点A作AT⊥BD于点T，根据正方形的性质及勾股定理可得AT、ET的长，再利用三角形的面积公式答案．
【详解】如图，连接EC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°
∵AE⊥EF
∴∠AEF=90°
∴四边形ABFE中，∠BAE+∠BFE=360°－∠ABC－∠AEF =180°
又∵∠EFC=180°－∠BFE，
∴∠BAE=∠EFC
在△AEB与△CEB中
∴△AEB≌△CEB（SAS）
∴∠BAE=∠BCE，EC=EA
∴∠EFC=∠BCE
∴EF=EC，
∴EF=EA，故①正确；
②如图，连接CE，过点E作EH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，点E在BD上，
∴AE=CE，CD=BC，∠CBD=45°，
∵EH⊥BC，
∴BH=EH=BE，
CD-BF=BC-BF=CF，
∵AE=EF，
∴CE=EF，
∵EH⊥BC，
∴CF=2FH，
若CD-BF=BE，则BH=CF=2FH，
∴BF=FH=CH，即F、H是BC的三等分点，
而当点E在BD上运动时，点F会在线段BC上运动，
∴②不正确；
③由①得，AE=EF，
∵四边形AEFG是矩形，
∴四边形AEFG是正方形，
∴AG=AE，∠GAE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠GAE=90°，
BD=AD=×4=4，
∴∠BAD-∠BAE=∠GAE-∠BAE，
∴∠DAE=∠BAG，
在△DAE和△BAG中，
，
∴DE=BG，
∴m=AG+AE+BG+BE
=AE+AE+DE+BE
=2AE+BD
=2AE+4，
∴m随AE的增大而增大，
当AE⊥BD时，AE最小，m的值最小，
此时AE=AD=×4＝2，
m的最小值为2AE+4=2×2+4=8，
当点E与点B或点D重合时，AE最大，m的值最大，
此时AE=4，m的最大值为2AE+4=2×4+4=8+4，
∵点E不与B、D重合，
∴8≤m＜8+4，
∴③正确；
④如图，连接AF，过点A作AT⊥BD于点T，
∵BF=1，AB=4，
∴AF=，
由③知四边形AEFG是正方形，
∴AE=AF=×＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AT=DT=AD=×4＝2，
∴ET=，
∴DE=DT-ET=2-=，
∴S△ADE＝DE•AT＝××2=3，
∴S△AGB=S△ADE=3．
故④正确，
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
27．已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；
④四边形OECF的面积是1．
所有正确结论的序号是_________________________
答案：①③④
分析：①易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论①正确；
②由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；
③利用勾股定理求得≤EF＜2，即可求得选项③正确；
④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．
【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1，
∴△OEF面积的最小值是×1×1＝，
故②错误；
③∵BE＝CF，
∴CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝2，
假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋，
则EF＝，
由①得△OEF是等腰直角三角形，
∴OE＝．
∵OB＝，OE的最小值是1，
∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋．
故③正确；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE＋S△OCF＝S△COE＋S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1，
故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
28．如图，在口ABCD中，CD=2AD，F为DC的中点，BE⊥AD于点E，连接EF，BF，下列结论：
①∠ABC＝2∠ABF；
②EF＝BF；
③S△ABE：S△EFB＝2：3；
④∠CFE＝3∠DEF．
其中正确结论的序号是 _____．
答案：①②④
分析：延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH，由等腰三角形的性质及平行线的性质可得出①正确；证明△DFE≌△CFG（ASA），由全等三角形的性质得出FE=FG，证出∠AEB=∠EBG=90°，可判断②；证出S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，由平行四边形的性质可判断③；证明四边形BCFH是菱形，由菱形的性质可得出∠BFC=∠BFH，可得出结论④．
【详解】解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD//AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE2≌△CFG（ASA），
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵S△DFE=S△CFG，
∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，
若S△ABE:S△EFB=2：3，
则S四边形DEBC=3S△ABE，
过点E作EM/∥AB交BC于点M，则四边形AEBM和四边形DEMC都是平行四边形，
∴E为AD的中点，这与条件不相符，故③错误，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，
∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
29．如图①是第七届国际数学教育大会（ICME－7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．如果图②中的，那么的长是______．
答案：4
分析：因为OA1=2，根据勾股定理可得OA2=，OA3=，找到规律OAn=2规律，即可计算OA8的长．
【详解】解：∵OA1=2，
∴由勾股定理可得OA2=，
OA3=，
…
∴OAn=2，
∴OA8=2=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到规律OAn=2是解题的关键．
30．已知，在□ABCD中，，点F为AD的中点，过点C作，垂足为点E，以下结论中，正确的是______．
①CF是的角平分线；②连接BF，则；③若，则；④连接EF，则．
答案：①③④
分析：①由平行四边形的性质证出∠DFC=∠FCB，则可得判断①正确；
②连接BF，延长BF交CD的延长线于点G，利用ASA证明△ABF≌△DGF，由等腰三角形的性质得出BF=FG，AB=DG，证出BC=CG，由等腰三角形的性质得出∠BFC=90°，则可判断②；
③由直角三角形的性质及平行四边形的面积可得出③正确；
④分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF(ASA)，得对应线段之间关系进而得出④正确．
【详解】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∴，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴CF是的角平分线，故①正确，符合题意；
②连接BF，延长BF交CD的延长线于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴∠A=∠FDG，
又∵AF=DF，∠AFB=∠DFG，
∴，
∴BF=FG，AB=DG，
∵AB=CD，
∴CD=DG，
∴CG=2CD，
∵BC=AD=2CD，
∴BC=CG，
∴CF⊥BG，
∴，故②不符合题意；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D=60°，
∵CE⊥AB，
∴BE=CD=AB，
∴，
∴，故③正确，符合题意；
④如图：延长EF交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠A=∠MDF，
∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF(ASA)，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴,故④正确，符合题意，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
31．如图，已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC长的最大值是 ．
答案：##
【详解】解：取AB中点D，连OD，DC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD．
∵△ABC为等边三角形，D为中点，
∴BD=1，BC=2，根据勾股定理得：CD=，
又△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD=AB=1，
∴OD+CD=1+，即OC的最大值为1+．
故答案为：
32．如图，在正方形ABCD中，点E是直线BC上一点，，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．下列说法正确的是______．（填序号）
①若点E是BC的中点，则；
②若点E是BC边上的任意一点（中点除外），则；
③若点E是BC延长线上任意一点，则；
④若点E是BC反向延长线上任意一点，则．
答案：①②③④
分析：①作BM=BE，证明△AME≌△ECF（ASA），由全等三角形的性质可得出结论；
②在AB上截取BN=BE，证明△ANE≌△ECF（ASA），由全等三角形的性质可得出结论；
③在BA延长线上取点P，使得AP=EC，证明△APE≌△ECF（ASA），由全等三角形的性质可得出结论；
④在AB延长线上截取BH=BE，连接EH．△EAH≌△FEC（ASA），AE=EF．由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】解：∵正方形ABCD，
∴
①如图1，在AB上一点M，使得BM＝BE，
∵∠B＝90°，
∴∠AME＝135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCB＝90°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AME＝∠ECF＝135°，
∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，
∴∠CEF＝∠MAE，
∵点E是BC的中点，BM＝BE，BA＝BC，
∴AM＝EC，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．故①符合题意；
②如图2，在AB上截取BN＝BE，
∵BA＝BC，
∴NA＝CE，
由（1）知，同理可证△ANE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．故②符合题意；
③如图3，在BA延长线上取点P，使得AP＝EC，
∵BA＝BC，
∴BP＝BE，
∴∠P＝∠ECF＝45°，
由（1）知，同理可证△APE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．故③符合题意；
④在AB延长线上截取BH＝BE，连接EH．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°．
又∵BH＝BE，
∴AH＝CE．
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，BH＝BE，CM为正方形外角平分线．
∴∠AHE＝∠ECF＝45°．
∵∠ABE＝90°，∠AEF＝90°．
∴∠AEB+∠EAH＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠EAH＝∠FEC．
在△EAH和△FEC中，
，
∴△EAH≌△FEC（ASA），
∴AE＝EF．故④符合题意；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
33．如图，四边形是菱形，，是边上的动点，交边于点．当线段最短时，．此时点到直线的距离是______．
答案：2
分析：利用菱形的性质得到∠ABC=60°，BD平分∠ADC和∠ABC，，则∠DBC=30°，根据垂线段最短可判断当AM⊥BC时，AM最短，则根据含30度的直角三角形三边的关系计算出AM=3，则AN=2，然后根据角平分线的性质得到点N到CD直线的距离等于NA的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=120°，
BD平分∠ADC和∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∴∠DBC=30°，
当AM⊥BC时，AM最短， 则
∵NM=1，
∴
∴
∴AN=AM-NM=3-1=2，
∵，AM⊥BC，
∴AM⊥AD，
∵BD平分∠ADC，
∴点N到CD的距离等于N点到AD的距离， 而NA=2，
∴此时点N到CD直线的距离是2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了菱形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，角平分线的性质定理的应用，熟知“菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组内角．”是解本题的关键．
34．如图，在7×7的正方形网格中，A，B两点是格点，如果点C也是格点，且△ABC是等腰三角形，这样的C点有______个．
答案：6
分析：当△ABC是等腰三角形时，有两种情况：①以AB为腰，且B为顶点的点有：C1、C2、C3，②以AB为腰，且A为顶点的点有：C4、C5、C6，③当AB为底边时，没有满足条件的点C，所以一共有6个．
【详解】解：∵AB==5，如图所示：
符合条件的点C一共有6个；
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，注意计算AB的边长是关键，找到与AB等长的线段即可；注意分类讨论的思想．
35．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是______．
答案：
分析：根据中位线定理先判断出点P的轨迹是线段，再根据矩形的性质及已知条件判断是直角三角形，从而得出点D到线段上各点的连线中，最小，最大．
【详解】解：如图所示：
当点F与点C重合时，点P在点处，，当点F与点E重合时，点P在点处，，
∴且，
当点F在EC上除点C、E的位置时，有BP＝FP，
由中位线定理可知：且，
∴点P的运动轨迹是线段，
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，
∴△ABE，△BEC、为等腰直角三角形，
∴∠ECB＝45°，∠DP1C＝45°，
∵，
∴∠P2P1B＝∠ECB＝45°，
∴，
∴DP的长最小，最大，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质、中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．
36．如图，在平面直角坐标系中直线与轴、轴分别交于点、，为上一点，且，点是线段上一点，连接并延长交于点，若时，则的长是______．
答案：
分析：过点作，交的延长线与点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，根据待定系数法确定直线BC的解析式，设，利用全等三角形的判定和性质得出，，得出点的坐标为，代入函数解析式确定点的坐标为，在确定直线AE的解析式，求解即可
【详解】解：过点作，交的延长线与点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，
直线与轴、轴分别交于点B、A，
当x=0时，y=6；
当y=0时，x=8；
，，
，，
为上一点，且，
，
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将点B、C分别代入得：
，
解得：，
直线的表达式为，
设，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
则，，
则点的坐标为，
将点的坐标代入得，
解得，
故点的坐标为，
设直线AE的解析式为y=mx+n，由点、的坐标得，
，
解得：，
直线的表达式为，
令，
解得，
故，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，熟练掌握运用这些性质定理是解题关键．
37．把、、三个数中最大那个数记为，如，，，在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像有且只有2个交点，则的取值范围是______．
答案：或
分析：根据题意得出，当时，，，，当时，，，，当时，，，，再利用数形结合进行求解．
【详解】解：当时，，，，
当时，，，，
当时，，，，
如图：
当直线经过点时，，
当直线与直线平行时，，
时，有两个交点；
当直线经过点时，，
当直线与直线平行时，，
时，有两个交点；
综上所述：或时，满足题意，
故答案为：或．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，解题的关键是能够根据定义，画出分段函数的图象，利用数形结合求解即可．
38．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（k是常数，且）上两点和，则下列结论：
①若，则；
②直线AB向右平移1个单位的解析式为；
③若直线AB不经过第三象限，则；
④若原点O到直线AB的距离最大时，则直线AB的解析式为．
其中正确的是______（填写正确结论的序号）．
答案：①②④
分析：利用一次函数的性质判断①；利用一次函数的平移规律即可判断②；根据函数过点，求得AB过原点时的k值，由题意判断③；求得过点的正比例函数解析式，由题意有AB与该直线垂直，由此即可判断．
【详解】①，，则函数图像是递减的，则，故①正确．
②直线AB向右平移1个单位的解析式为，故②正确．
③直线，
则此直线经过点，
当该直线经过原点时，，
，
若直线AB不经过第三象限，则，故③错误．
④当原点与点的连线垂直于直线AB时，此时直线AB为所求，
过点的正比例函数解析式为，
，
的解析式为：，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数图像上的点的坐标特点，能利用一次函数的性质时关键．
39．如图，在矩形ABCD中点E为AD上一点，将△CDE沿CE翻折至△CFE，EF交AB于G点，且GA＝GF，若CD＝10，BC＝6，则AE的值是_____．
答案：##
分析：根据折叠的性质得到∠F＝∠B＝∠A＝90°，DE＝EF，根据全等三角形的性质得到FH＝AE，EG＝GH，得到AH＝DE＝EF，设AE＝x，则AH＝DE＝EF＝6﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵将△CDE沿CE翻折至△CFE，
∴∠F＝∠B＝∠A＝90°，DE＝EF，
在△AGE与△FGH中，
，
∴△AGE≌△FGH（ASA），
∴FH＝AE，EG＝GH，
∴AH＝DE＝EF，
设AE＝x，则AH＝DE＝EF＝6﹣x，
∴DH＝10﹣（6﹣x）＝x+4，CH＝10﹣x，
∵CB2+BH2＝CH2，
∴62+（4+x）2＝（10﹣x）2，
∴x＝，
∴AE＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）矩形的性质，全等三角形的判断和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
40．如图（1），点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）的变化关系图象如图（2），则a的值是______．
答案：
分析：过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，根据图象可得菱形的边长为a，DB＝5，求出DE＝3，再利用勾股定理列方程可求a的值．
【详解】解：过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
∵菱形ABCD中，ADBC，
∴当点F在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD＝a，即菱形的边长是a，
∴a·DE＝a，
∴DE＝3，
当点F在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB＝5，
∴BE＝，
在Rt△DCE中，DC＝a，CE＝4−a，DE＝3，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，从函数图象获取信息，根据图象分析得出菱形的边长为a，DB＝5是解题关键．
41．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点F为CD上一点，E是AD的中点，且DF＝2．在BC上找点G，使EG＝AF，则BG的长是___________
答案：1或5
分析：过E作EH⊥BC于H，取，根据平行线分线段成比例定理得：BH=CH=3，证明Rt△ADF≌Rt△EHG，得GH=DF=2，可得BG的长，再运用等腰三角形的性质可得BG及 的长．
【详解】解：如图：过E作EH⊥BC于H，取 ,则AB∥EH∥CD，
∵E是AD的中点，
∴BH=CH=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=EH，∠D=∠EHG=90°，
∵EG=AF，
∴Rt△ADF≌Rt△EHG(HL)，
∴GH=DF=2，
∴BG=BH−GH=3−2=1；
∵
∴
∴
故答案为：1或5．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质，正方形的性质是解题的关键．
42．甲、乙两车从A地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶，乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是；②；③点的坐标是；④，其中正确的有________（填序号）．
答案：①②④
分析：根据题意，两车距离为因变量，由图象可知两车起始距离为80km，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量即可．
【详解】解：①由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后乙车追上甲，说明乙每小时比甲快40km，因此乙的速度为：80+40=120（km/h），故①正确；
②由图象可知，第2-6小时，乙由相遇点到达B地，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160（km），则m=160，故②正确；
③当乙在B休息1h时，甲继续前进80km，距离缩短为80km，则H点坐标为（7，80），故③错误；
④乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4（小时），则n=6+1+0.4=7.4，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．
43．把a，b，c三个数中最大那个数记为，如：、、．在平面直角坐标系xOy中，若直线与函数的图像有且只有2个交点，则k的取值范围是______．
答案：或
分析：根据题意得到当x>2，；当x<-1，；当，；再结合数形结合思想即可解答．
【详解】在中，
令：，
令：，
由函数得增减性以及增减程度，得：
当x>2，，
当x<-1，，
当，，
画出y关于x的图像：
由，知
该直线经过点，
当直线经过时，，
当直线与直线平行时，，
时，符合题意；
当直线经过时，，
当直线与直线平行时，，
时，符合题意．
综上：或时，符合题意．
故答案为：或．
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，能根据定义画出图像，利用数形结合是关键．
44．如图，矩形中，，，为上一点，以为边构造等边（A、、按逆时针方向排列），连接、，则的最小值为______．
答案：
分析：先证△ABO是等边三角形，由“SAS”可证△ABP≌△AOQ，可得∠ABP=∠AOQ=90°，可证OQ是AC的垂直平分线，当点A，点Q，点D三点共线时，CQ+DQ的最小值为AD长，即可求解．
【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点O，连接BO，OQ，
∵矩形ABCD中，AB=3，AD=BC＝，
∴，
∵点O是AC的中点，∠ABC=90°，
∴AO=BO=CO=3，
∴AB=AO=BO=3，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∵△APQ是等边三角形，
∴AP=AQ，∠PAQ=∠BAO=60°，
∴∠BAP=∠QAC，
在△ABP和△AOQ中，
∴△ABP≌△AOQ（SAS），
∴∠ABP=∠AOQ=90°，
∴OQ是AC的垂直平分线，
∴AQ=CQ，
∵CQ+DQ=AQ+QD，
∴当点A，点Q，点D三点共线时，CQ+DQ的最小值为AD长，
∴CQ+DQ的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
45．已知一次函数的图象与轴正半轴交于点A，且，则下列结论：
①函数图象经过一、二、四象限；
②函数图象一定经过定点；
③不等式的解集为；
④直线与直线交于点，与轴交于点，则的面积为2．
其中正确的结论是______．（请填写序号）
答案：①②③．
分析：根据一次函数的图象与性质可判断①，根据一次函数图象上点的坐标特征可判断②，由k+b=2，可得（k-2）+b=0， 可得函数y=（k-2）x+b过点（1，0）， 再利用一次函数与x轴的交点坐标可判断③，分别求解B，P的坐标，再利用三角形的面积公式计算可判断④，从而可得到正确的选项．
【详解】解：①∵k＜0，k+b=2，
∴b＞0，
∴函数y=kx+b（k＜0）的图象经过一、二、四象限，故①符合题意；
②∵k+b=2，
∴函数y=kx+b（k＜0）的图象一定经过定点（1，2），故②符合题意；
③∵k+b=2， ∴（k-2）+b=0，
∴函数y=（k-2）x+b过点（1，0），
∴k-2＜0，
∴不等式（k-2）x+b＞0的解集为x＜1，故③符合题意；
④∵一次函数y=kx+b（k＜0）的图象与y轴正半轴交于点A，
∴A（0，b），
∵直线y=-bx-k与直线y=kx+b交于点P，，
∴ 解得：
∴
∵直线y=-bx-k与y轴交于点B，
∴B（0，-k），
∴
∴△PAB的面积为： AB•|xP|=×2×1=1，故④不符合题意；
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查对一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，熟知一次函数的性质是解此题的关键．
46．如图，在中，，，，D是斜边AB上一点．连接CD，将沿直线CD折叠，点A落在E处，当点E在的内部（不含边界）时，AD长度的取值范围是________．
答案：＜AD＜
分析：先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后分别求出点E落在AB上和点E落在BC上时AD的长，即可解答．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
当点E落在AB上，如图：
由折叠得：∠ADC＝∠CDE＝90°，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴，
∴AD＝，
当点E落在BC上，如图：
过点D作DH⊥AC，垂足为H，
∴∠DHA＝∠DHC＝90°，
由折叠得：∠ACD＝∠ECD＝∠ACB＝45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴DH＝CH，
∵∠DHA＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADH∽△ABC，
∴，
∴设DH＝4a，则AH＝3a，
∴CH＝DH＝4a，
∴AD＝，
∵AC＝6，
∴CH＋AH＝6，
∴4a＋3a＝6，
∴a＝，
∴AD＝5a＝，
∴当点E在△ABC的内部（不含边界）时，AD长度的取值范围是：＜AD＜，
故答案为：＜AD＜．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，相似三角形的判定和性质等，分别求出点E落在AB上和点E落在BC上时AD的长是解题的关键．
47．已知一次函数的图象为直线l，下列结论：①直线l过定点；②若直线l上有两点和，且，则；③若直线l平行于直线，则直线l与y轴交于点；④若，则关于x的不等式的解集是．其中正确的是________．
答案：①②④
分析：把x＝−2代入求出y即可判断①；根据可知y随x的增大而减小，则可得2t−1＜0，进而判断②；由直线l平行于直线可列式求出t，再求出一次函数的解析式进而判断③；对不等式变形，根据进行计算，然后可判断④．
【详解】解：∵当x＝−2时，y＝（2t−1）×（−2）＋4t＋1＝3，
∴一次函数y＝（2t−1）x＋4t＋1的图象过定点（−2，3），①正确；
∵直线l上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），且（x1−x2）（y1−y2）＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴2t−1＜0，
∴，②正确；
∵直线l平行于直线y＝−x＋b，
∴2t−1＝−1，
∴t＝0，
∴y＝−x＋1，
当x＝0时，y＝1，
∴直线与y轴交于（0，1），③错误；
∵不等式的解集是，
∴，
∵，
∴＞0，
∴x＜−2，④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式，掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．
48．如图，正方形ABCD的边长为8，M为BC边上的中点，线段EF在边AD上滑动，，且∠EGF＝90°，则MG＋MF的最小值是______．
答案：
分析：作F点关于BC的对称点F'，连接MF'，过点F'作FK⊥BC，过点G作KG⊥FK，两垂线交于点K，当G、M、F'三点共线时，MG+MF的值最小，求出GF'的长即为所求．
【详解】解：作F点关于BC的对称点F'，连接MF'，过点F'作FK⊥BC，过点G作KG⊥FK，两垂线交于点K，
由对称性可知，MF=MF'，
∴MG+MF=MG+MF'≥GF'，
当G、M、F'三点共线时，MG+MF的值最小，
∵AB=8，
∴FF'=16，
∵GE=GF=，且∠EGF=90°，
∴EF=2，
∴GK=KF=1，
在Rt△GKF'中，F'K=17，GK=1，
∴，
∴MG+MF的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，正方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
49．如图，在平行四边形中，点在边上，将沿着翻折得到，已知，，，设，当点落在内部（含边上）时，的取值范围________．
答案：##
分析：过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为I，证明四边形是矩形，，，是直角三角形，证明，设，利用勾股定理求出，故，，分情况讨论：（1）当在CE上时，证明，在中，利用勾股定理得：，求出；（2）当在CD上时，过点作，垂足为J，证明四边形是矩形，得到，，表示出，，，在中，利用勾股定理，求出，即可求出x的取值范围．
【详解】解：过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为I，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴四边形是矩形，，，是直角三角形，
∴，
在和中，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，利用勾股定理得：，
在中，利用勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴，整理得：，解得：，
∴，故，
∴，故，
（1）当在CE上时，如图，
∵沿DE对折得到
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，利用勾股定理得：，
∴，整理得：，解得：，（舍去），
∴，
（2）当在CD上时，过点作，垂足为J，如图，
∵，，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，故，
∴，
∵，
∴，
∵沿DE对折得到，
∴，
∵，
∴，
在中，利用勾股定理得：，即，
整理得：，
∴，
∴点落在内部（含边上）时，的取值范围：，
故答案为：
【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质．勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质．勾股定理，分情况讨论：（1）当在CE上；（2）当在CD上．
50．中华民族有一种折纸玩具叫“东南西北”，此玩具制作方法为：用一张正方形纸片按图1步骤折叠得到图2所示折纸，然后在外侧四面标上东、南、西、北，内侧写上有趣的游戏任务．现将图1中的折纸④放大后用图3表示，此时正方形边长为10，把它沿直线l对折，将点重合后记为点A，点重合后记为点B，得到图4、连接，取中点M，如图5所示，若，则点O与点M之间的距离为_________，点C与点D之间的距离为_________．
答案：
分析：根据M为AB的中点，AD=BD，得出DM⊥AB，根据勾股定理得出DM的长，根据折叠得出DM⊥OD，根据勾股定理即可算出OM的长；
根据折叠可知，点C、D、O、M在同一平面内，且OC=OD=5，，连接OM交CD于点P，根据垂直平分线的判定定理，得出OM垂直平分CD，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可求出结果．
【详解】解：将图4简化成平面图形，如图所示：
∵M为AB的中点，
∴，
∵AD=BD，
∴DM⊥AB，
∵，
∴在Rt△AMD中，，
根据折叠可知，DM⊥OD，如图所示：
∵，，
，
即点O与点M之间的距离为；
图5中根据折叠可知，点C、D、O、M在同一平面内，且OC=OD=5，，连接OM交CD于点P，如图所示：
∵OC=OD，MC=MD，
∴OM垂直平分CD，
∴CP=DP，
∵，
∴设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴，
即点C与点D之间的距离为，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了折叠，勾股定理的应用，垂直平分线的判定，根据题意画出平面图形，熟练应用勾股定理，是解决问题的关键．
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