[数学]河南省郑州市中牟县2023-2024学年高二下学期期中考试试题(解析版)

这是一份[数学]河南省郑州市中牟县2023-2024学年高二下学期期中考试试题(解析版)，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】C
【解析】∵f′（x0）=2，
则
=
=
=2f′（x0）=4．
故选C ．
2. 已知，则x的值是（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 3或9
【答案】A
【解析】由，
得或，
解得或，
当时，，不符合组合数的定义，所以舍去.
故选：A.
3. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】依题意，令得
所以，所以，故选D.
4. 年月第届亚运会在美丽的西子湖畔杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会招募了一批大学生志愿者现安排某大学含甲、乙的六名志愿者到游泳馆、射击馆和田径馆参加迎宾工作，每个场馆安排两人，每人只能在一个场馆工作，则甲乙两人被安排在不同场馆的方法有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】C
【解析】将个志愿者分成三组，每组两个人，然后安排到三个地方工作，
共有种，
甲，乙两人被安排在同一个场馆工作，其它随机安排，共有种，
则甲，乙两人被安排在不同场馆的方法有：种．
故选：C．
5. 已知是定义在上的可导函数，的图象如下图所示，则的单调减区间是

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为当时，，所以当时，，
所以的单调减区间是，
选B.
点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.
6. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】D
【解析】①当有2人选择现金时，有种情况；
②当有2人选择支付宝或微信付款时，有2种情况，乙和丙或丁选同一种；另一种，丙丁同时选支付宝或微信，共有种情况；
③当有2人选择银联卡时，有种情况，
综上故有种．
故选：D．
7. 红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ）
A 种B. 种C. 种D. 种
【答案】D
【解析】根据题意，由于任务A必须排在前三位，分种情况讨论：
排在第一位，
任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，
将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，
则此时有种安排方案；
排在第二位，
任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，
将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，
则此时有种安排方案；
排在第三位，
任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，
将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，
则此时有种安排方案；
则符合题意要求的安排方案有种；
故选：D．
8. 若函数与的图象有且仅有一个交点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数与的图象有且仅有一个交点，
即只有一个零点，即只有一个零点.
令，则，.
当时，，所以上单调递增；
当时，，所以在上单调递减，并且.
所以，，.
函数的大致图象如图
因为，所以.
原不等式，即.
令，
显然时，该函数为增函数，且，
所以，的解集为.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. 在的展开式中，下列叙述中正确的是（ ）
A. 二项式系数之和为128B. 各项系数之和为1
C. 常数项为15D. 的系数为-48
【答案】AB
【解析】在的展开式中，二项式系数的和为，所以A正确；
令，可得展开式的各项系数的和为，所以B正确；
又由二项式展开式的通项为，
因为，所以，所以展开式没有常数项，所以C错误；
令，可得，所以站开始的的系数为，所以D错误.
故选：AB.
10. 下列说法正确的为（ ）
A. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法；
B. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法；
C. 6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；
D. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．
【答案】ACD
【解析】对于A，6本不同的书中，先取本给甲，再从剩余的本中取本给乙，
最后本给丙，共有种不同的分法，故A正确；
对于B，6本不同的书中，先取本作为一组，再从剩余的本中取作为一组，
最后本作为一组，共有种，再将分给甲、乙、丙三人，
共有种，故B不正确；
对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法种；
对于D， 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分种情况讨论：
①一人本，其他两人各本，共有；
②一人1本，一人2本，一人3本，共有种，
③每人2本，共有，
故共有种.故选：ACD
11. 是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】令，
∵当时，，
∴当时，，
∴在上单调递增；
又为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，
∴为上的奇函数；
∴在上单调递增.
由，可得，故A正确；
由，可得，故B错误；
由，可得，故C正确；
由，可得，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知，则 ______．
【答案】
【解析】，
当时，；
当时，；
当时，；
，得，
；
，得，
．
故答案为：．
13. 已知函数的定义域为R，的导函数，若函数无极值，则a=___________；若x=2是的极小值点，则a的取值范围是___________.
【答案】① ②
【解析】当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.
当时，，在上递增，无极值.
当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.
故答案为：；
14. 传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为，且以每秒等速率缩短，而长度以每秒等速率增长.已知神针的底面半径只能从缩到，且知在这段变形过程中，当底面半径为时其体积最大，假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则体积的最小值为______，此时金箍棒的底面半径为______．
【答案】① ②
【解析】设原来定海神针长为，秒时神针体积为，
则，，
则，
当底面半径为时其体积最大，
，解得，
此时，解得，
，，
，
当时，，当时，，
在上递增，在上递减，
，，
当时，有最小值，
此时金箍棒的底面半径为．
故答案为：；．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 已知函数，曲线在点处的切线平行于直线.
（1）求的值；
（2）求函数的极值.
解：（1）由可得，
因为曲线在点处的切线平行于直线，即，
所以，解得；
（2）由（1）知，，
令，
解得或，
令，
解得，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是，
由极值的定义知极大值为，
极小值为.
16. 为了迎接到校访问的同学，需要分上午、下午和晚上三个组各安排5名本校学生作为志愿者负责接待，并要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复.某班共有40名学生，其中22名女生和18名男生，现准备从中选择志愿者．
（1）共有多少种选法？
（2）如果下午组中有一名男生请假，需要从班上的非志愿者中选一名男生替代，那么至少有多少种选法？
解：（1）可以分三步完成：先选下午的志愿者，有种选法；
再选上午的志愿者，有种选法；
最后选晚上的志愿者，因为可以与上午的重复，所以有种选法，
因此，共有种选法．
（2）当志愿者全部是男生时，非志愿者中的男生人数最少，剩有名，
则从班上的非志愿者中选一名男生替代，至少有种选法．
17. 已知函数，
（1）当时，求的最值；
（2）讨论的单调性．
解：（1）当时定义域为，
则，所以当时，当时，
所以上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，即，无最大值.
（2）定义域为，且，
当时恒成立，所以在上单调递减，
当时，令解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上可得：当时在上单调递减；
当时在上单调递减，在上单调递增.
18. 设为实数，函数，.
（1）若函数与轴有三个不同交点，求实数取值范围；
（2）对于，，都有，试求实数的取值范围.
解：（1），
由，解得或；由解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
若函数与轴有三个不同交点，则，解得，
所以若函数与轴有三个不同交点，实数的取值范围为；
（2）对于，，都有，则，
由（1）知函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
又，，
故当时，，
因为，且，
则，
故函数在上单调递减，故，
由题意可得，故.
所以实数的取值范围为.
19. 在的展开式中，把叫做三项式的次系数列．
（1）求的值；
（2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开，可得左右两边的系数对应相等，如，利用上述思想方法，求的值．
解：（1）
令得：①，
令得：②，
①+②得：，
所以.
（2）因为
所以，
右边展开式中含项的系数为
，
而展开式中左边含项的系数为0，
所以.