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2024遂宁射洪中学高一下学期期末模拟数学试题含答案
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这是一份2024遂宁射洪中学高一下学期期末模拟数学试题含答案，文件包含数学试题docx、数学答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共8页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的。
1．D 2．D 3．B 4．B 5．B 6．A 7．B 8．D
【详解】六面体每个面都是等边三角形且每个面的面积，
由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，所以四面体的高为，
所以四面体的体积为，所以六面体的体积为，
根据图形的对称性可知，若内部丸子的体积最大，则丸子与六个面都相切，
连接丸子的球心与六面体的五个顶点，将六面体分为六个三棱锥，设此时丸子的半径为，
所以，所以，所以丸子的体积为，
故选：D.
二、多选题
9．ABC 10.ACD 11．BCD
【详解】选项A，如图，设点是棱中点，由均为所在棱的中点，
根据中位线易得,进而可得与点共面，所以平面，错误；
选项B，如图，因为面在正方体前侧面上，所以点到面的距离等于的长，
正方形中 ，则三棱锥的体积为,
选项C，由选项A知过三点的平面截正方体所得截面为正六边形,边长，所以面积为，
选项D，由 知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图，
由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为，
故选：BCD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
12．7 13．1800 14．
【详解】因为正方形的边长为4，取的中点，连接，
当在点或点时，，当当在弧中点时，，
所以的取值范围为，
由于，，，
所以，
因为，所以，故，
所以，即的取值范围为.故答案为：.
四、解答题
15．（13分）已知向量，向量与向量的夹角为.
(1)求的值.(2)若，求实数的值.
【详解】（1）由题意得：，.
.
（2），且
，即，解得:.
16．（15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．(2)若，，求的周长．
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，
消去得到：，
解得，又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，故的周长为
17．（15分）2024年中国全名健身走（跑）大赛（四川射洪站）城市联动接力赛在射洪市举行，志愿者的服务工作是城市联动接力赛成功举办的重要保障，射洪市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
(1)求a,b的值
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
【详解】（1）由题意可知：，解得，
（2）可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均数为，
因为，
设第25百分位数为，则，则，
解得，故第25百分位数为63．
（3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，
且两组频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差
．
故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是．
18．（17分）已知函数．(1)求函数的单调递减区间；(2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，方程有且仅有一个解，求m的取值范围．
【详解】（1），
令，则，
所以函数的单调递减区间为：．
（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数的图象，再将图象向左平移个单位，
得到的图象，
因为，所以，所以．
19．（17分）如图，在四面体中，，平面，，点为上一点，且，连接，.
(1)；(2)求点D到平面的距离；(3)求二面角的余弦值的大小
【详解】（1）证明：因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
（2）解：因为平面，平面，所以，
因为，所以，，
因为点为上一点，且，
所以，点到平面的距离为，
因为，，所以，，
由（1）知平面，因为平面，所以，
所以，
在中，由余弦定理得
，
在中，由余弦定理得,
所以，
所以,
设点D到平面的距离为，
因为，所以，
所以，解得；
（3）解：取的中点，连接，过作于，过作于，连接，
因为在平面中，，，所以‖，
由（1）知，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
所以二面角的余弦值大小为.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的。
1．D 2．D 3．B 4．B 5．B 6．A 7．B 8．D
【详解】六面体每个面都是等边三角形且每个面的面积，
由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，所以四面体的高为，
所以四面体的体积为，所以六面体的体积为，
根据图形的对称性可知，若内部丸子的体积最大，则丸子与六个面都相切，
连接丸子的球心与六面体的五个顶点，将六面体分为六个三棱锥，设此时丸子的半径为，
所以，所以，所以丸子的体积为，
故选：D.
二、多选题
9．ABC 10.ACD 11．BCD
【详解】选项A，如图，设点是棱中点，由均为所在棱的中点，
根据中位线易得,进而可得与点共面，所以平面，错误；
选项B，如图，因为面在正方体前侧面上，所以点到面的距离等于的长，
正方形中 ，则三棱锥的体积为,
选项C，由选项A知过三点的平面截正方体所得截面为正六边形,边长，所以面积为，
选项D，由 知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图，
由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为，
故选：BCD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
12．7 13．1800 14．
【详解】因为正方形的边长为4，取的中点，连接，
当在点或点时，，当当在弧中点时，，
所以的取值范围为，
由于，，，
所以，
因为，所以，故，
所以，即的取值范围为.故答案为：.
四、解答题
15．（13分）已知向量，向量与向量的夹角为.
(1)求的值.(2)若，求实数的值.
【详解】（1）由题意得：，.
.
（2），且
，即，解得:.
16．（15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．(2)若，，求的周长．
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，
消去得到：，
解得，又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，故的周长为
17．（15分）2024年中国全名健身走（跑）大赛（四川射洪站）城市联动接力赛在射洪市举行，志愿者的服务工作是城市联动接力赛成功举办的重要保障，射洪市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
(1)求a,b的值
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
【详解】（1）由题意可知：，解得，
（2）可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均数为，
因为，
设第25百分位数为，则，则，
解得，故第25百分位数为63．
（3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，
且两组频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差
．
故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是．
18．（17分）已知函数．(1)求函数的单调递减区间；(2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，方程有且仅有一个解，求m的取值范围．
【详解】（1），
令，则，
所以函数的单调递减区间为：．
（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数的图象，再将图象向左平移个单位，
得到的图象，
因为，所以，所以．
19．（17分）如图，在四面体中，，平面，，点为上一点，且，连接，.
(1)；(2)求点D到平面的距离；(3)求二面角的余弦值的大小
【详解】（1）证明：因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
（2）解：因为平面，平面，所以，
因为，所以，，
因为点为上一点，且，
所以，点到平面的距离为，
因为，，所以，，
由（1）知平面，因为平面，所以，
所以，
在中，由余弦定理得
，
在中，由余弦定理得,
所以，
所以,
设点D到平面的距离为，
因为，所以，
所以，解得；
（3）解：取的中点，连接，过作于，过作于，连接，
因为在平面中，，，所以‖，
由（1）知，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
所以二面角的余弦值大小为.
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