第09讲 十字相乘和分组分解法因式分解（核心考点讲与练）-【暑假衔接】六升七数学讲与练（沪教版）

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第09讲 十字相乘和分组分解法因式分解（核心考点讲与练）
【知识梳理】
一、十字相乘
十字相乘法：如果二次三项式中的常数项能分解成两个因式、的积，而且一次项系数又恰好是，那么就可以进行如下的分解因式，
即：要将二次三项式分解因式，就需要找到两个数、，使它们的积等于常数项，和等于一次项系数, 满足这两个条件便可以进行如下分解因式，
即：．由于把中的分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．
二、分组分解
如何将多项式因式分解？
分析：很显然，多项式中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？
由于,
而：．这样就有：
将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．
说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．
【核心考点精讲】
一．因式分解-十字相乘法等（共7小题）
1．（2020秋•奉贤区期末）因式分解：（y2﹣y）2﹣14（y2﹣y）+24．
【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出答案
【解答】解：原式＝（y2﹣y﹣2）（y2﹣y﹣12）
＝（y﹣2）（y+1）（y﹣4）（y+3）．
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
2．（2020秋•浦东新区期末）因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．
【分析】原式利用十字相乘法分解后，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x2+2x﹣8）（x2+2x+1）＝（x﹣2）（x+4）（x+1）2．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
3．（2020秋•黄浦区期末）分解因式：（x+3）（x﹣4）+6．
【分析】先去括号，然后利用十字相乘法进行因式分解．
【解答】解：（x+3）（x﹣4）+6
＝x2﹣x﹣12+6
＝x2﹣x﹣6
＝（x﹣3）（x+2）．
【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
4．（2020秋•上海期末）分解因式：x4﹣10x2+9．
【分析】原式利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x2﹣1）（x2﹣9）
＝（x+1）（x﹣1）（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
5．（2021秋•普陀区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．
【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．
【解答】解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+4）
＝（x+5）（x﹣1）（x+2）2．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
6．（2021秋•杨浦区期中）分解因式：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8．
【分析】先变形，局部逆用完全平方公式，再使用十字相乘法．
【解答】解：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8
＝（a2﹣a）2+2（a2﹣a）+1﹣9
＝（a2﹣a+1）2﹣9
＝（a2﹣a+1+3）（a2﹣a+1﹣3）
＝（a2﹣a+4）（a2﹣a﹣2）
＝（a2﹣a+4）（a﹣2）（a+1）．
【点评】本题主要考查运用公式法、十字相乘法进行因式分解，熟练掌握公式法、十字相乘法是解决本题的关键．
7．（2020秋•松江区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣2（x2+4x）﹣15．
【分析】把（x2+4x）看成一个整体，利用十字相乘法因式分解，注意分解要彻底．
【解答】解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+3）
＝（x+5）（x﹣1）（x+3）（x+1）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法是解决本题的关键．解决本题亦可利用换元法．
二．因式分解-分组分解法（共5小题）
8．（2020秋•虹口区期末）因式分解：x2+4x﹣a2+4．
【分析】先利用完全平方公式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x2+4x﹣a2+4
＝x2+4x+4﹣a2
＝（x+2）2﹣a2
＝（x+2+a）（x+2﹣a）．
【点评】本题考查了因式分解—分组分解法，一定要注意因式分解要进行到不能再分解为止．
9．（2020秋•奉贤区期末）因式分解：9﹣x2+2xy﹣y2．
【分析】利用分组分解法进行因式分解即可．
【解答】解：9﹣x2+2xy﹣y2
＝9﹣（x2﹣2xy+y2）
＝9﹣（x﹣y）2
＝（3+x﹣y）（3﹣x+y）．
【点评】本题考查分组分解法、公式法分解因式，掌握分组的原则和分组的技巧是解决问题的关键．
10．（2020秋•松江区期末）因式分解：x3+3x2y﹣4x﹣12y．
【分析】分为两组：（x3+3x2y）和（﹣4x﹣12y），然后运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解．
【解答】解：x3+3x2y﹣4x﹣12y
＝（x3+3x2y）﹣（4x+12y）
＝x2（x+3y）﹣4（x+3y）
＝（x+3y）（x2﹣4）
＝（x+3y）（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．
11．（2020秋•普陀区期末）分解因式：a2+2ab﹣16+b2．
【分析】将a2+2ab+b2分为一组，用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝（a2+2ab+b2）﹣16
＝（a+b）2﹣42
＝（a+b+4）（a+b﹣4）．
【点评】本题考查了分组分解法，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
12．（2021秋•奉贤区期中）因式分解：x2+4y2+4xy﹣1．
【分析】首先分成两组，先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式．
【解答】解：原式＝（x2+4y2+4xy）﹣1
＝（x+2y）2﹣1
＝（x+2y+1）（x+2y﹣1）．
【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解﹣分组分解法的方法，先分组，再分解因式，完全平方公式和平方差公式的熟练应用是解题关键．
三．因式分解的应用（共2小题）
13．（2021秋•金山区期中）已知a+b＝﹣3，ab＝2，求a3b+ab3的值．
【分析】把a3b+ab3分解为ab[（a+b）2﹣2ab]，然后把a+b＝﹣3，ab＝2代入计算即可得出答案．
【解答】解：∵a+b＝﹣3，ab＝2，
∴a3b+ab3
＝ab（a2+b2）
＝ab[（a+b）2﹣2ab]
＝2×[（﹣3）2﹣2×2]
＝2×（9﹣4）
＝10．
【点评】本题考查了分解因式的应用，会把a3b+ab3分解为ab[（a+b）2﹣2ab]是解决问题的关键．
14．（2019秋•徐汇区校级月考）已知：a+b＝﹣5，2a﹣b＝﹣1．求ab（a+b2）﹣b2（ab﹣a）+2a（a﹣b2）．
【分析】根据a+b＝﹣5，2a﹣b＝﹣1，求出a，b的值，再把要求的式子进行化简，最后代入进行计算即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣5，2a﹣b＝﹣1，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
∴ab（a+b2）﹣b2（ab﹣a）+2a（a﹣b2）
＝a2b+ab3﹣ab3+ab2+2a2﹣2ab2
＝a2b﹣ab2+2a2
＝（﹣2）2×（﹣3）﹣（﹣2）（﹣3）2+2×（﹣2）2
＝﹣12+18+8
＝14．
【点评】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是整式的混合运算，关键是把要求的式子化到最简．
【过关检测】
1.（松江2018期中10）因式分解：＝ ；
【答案】.
【解析】用十字相乘法，原式＝.
2.（浦东四署2020期末9）分解因式：= .
【答案】；
【解析】解：运用十字相乘法，.
3.（延安中学2019期中9）因式分解：= .
【答案】；
【解析】解：将原式看成是关于x的二次三项式，运用十字相乘法，.
4.（2019西南模中10月考13）因式分解： .
【答案】；
【解析】解:运用分组分解法，原式==.
5.（张江2019期中5）分解因式______________
【答案】
【解析】解：5x2﹣28x+36=(5x﹣18)(x﹣2)．故答案为：(5x﹣18)(x﹣2)．
6.（闵行区2020期末11）因式分解：___________.
【答案】；
【解析】解：运用十字相乘法，原式=.
7.（西南模2019期中8）因式分解：15x2+13xy﹣44y2＝ ．
【答案】（3x﹣4y）（5x+11y）；
【解析】解：利用十字相乘法，如图，将二次项系数、常数项分别分解，交叉乘加验中项，得出答案，15x2+13xy﹣44y2＝（3x﹣4y）（5x+11y）．故答案为：（3x﹣4y）（5x+11y）．
8.（浦东南片2020期末11）分解因式：__________．
【答案】；
【解析】解：==，故答案为：．
9.（西延安2019期中13）已知多项式可分解为两个整系数的一次因式的积，则 .
【答案】；
【解析】解： 或， 所以.
10.（西南模2019期中23-2）因式分解:a5+5a3﹣6a
【答案】a（a2+6）（a+1）（a﹣1）；
【解析】解：（2）a5+5a3﹣6a＝a（a4+5a2﹣6）＝a（a2+6）（a2﹣1）＝a（a2+6）（a+1）（a﹣1）；先提取a，然后利用十字相乘法分解即可；
11.（闵行2018期末22）22．分解因式：．
【答案】 .
【解析】利用整体思想，然后利用十字相乘法。
原式
12.（普陀2017期末21）分解因式：.
【答案】.
【解析】原式＝＝；
13.（宝山2017期末24）分解因式：；
【答案】.
【解析】原式＝；
14.（松江2018期中24）因式分解：；
【答案】.
【解析】原式＝.
15.（奉贤2017期末22）分解因式：.
【答案】.
【解析】先分组，然后利用完全平方公式与平方差公式. 原式＝
.
16.（静安2017期末21）分解因式：.
【答案】.
【解析】原式＝
17.（崇明2018期中26）分解因式：.
【答案】
【解析】原式＝.
18.（浦东四署2020期末20）分解因式：.
【答案】.
【解析】解：原式=.
19.（西延安2019期中21-3）因式分解：（3）
【答案】
【解析】解：.
20.（2019浦东四署12月考21）分解因式：.
【答案】；
【解析】解：原式=.
21.（2019西延中10月考21）因式分解：
（1）； （2）.
【答案】（1）；（2）；
【解析】解：（1）原式==；
（2）原式===.
22.（川中南2019期中24）因式分解：.
【答案】；
【解析】解：原式==.
23.（川中南2020期末23）因式分解：
【答案】（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．
【解析】解：原式=（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）=（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．
24.（西延安2019期中21-2）因式分解：（2）
【答案】
【解析】解：原式.
*25.（张江2019期中28）因式分解：
【答案】；
【解析】解：x3﹣3x2+4=x3+x2﹣4x2+4=x2(x+1)﹣4(x2﹣1)=x2(x+1)﹣4(x+1)(x﹣1)=(x+1)(x2﹣4x+4)=(x+1)(x﹣2)2．
*26.（张江2019期中29）因式分解：
【答案】；
【解析】解：24x3﹣26x2+9x﹣1=(24x3﹣6x2)﹣20x2+9x﹣1=6x2(4x﹣1)﹣(20x2﹣9x+1)=6x2(4x﹣1)﹣(4x﹣1)(5x﹣1)=(4x﹣1)(6x2﹣5x+1)=(4x﹣1)(2x﹣1)(3x﹣1)．
27.（延安中学2019期中30）已知x+y=8,xy= -1,求的值.
【答案】528;
【解析】解：因为==，故原式==528.