江西省宜春市上高二中2024届高三下学期5月月考数学试卷(含答案)

这是一份江西省宜春市上高二中2024届高三下学期5月月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知向量,满足,则( )
A.B.C.D.
2．抛物线的焦点是直线与坐标轴交点,则抛物线准线方程是( )
A.B.C.D.
3．某统计数据共有11个样本,它们依次成公差的等差数列,若第60%位数为25,则它们的平均数为( )
A.25B.19C.21D.23
4．古城赣州最早有五大城门,分别为镇南门,百盛门,涌金门,建春门和西津门,赣州某学校历史兴趣小组决定利用两个周日的时间对五大城门的地理位置及历史意义进行调研.若约定:每个城门只调研一次,且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门,则恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为( )
A.B.C.D.
5．若,,且,则的最小值是( )
A.43B.49C.39D.36
6．数列的前n项和为,满足,则数列的前n项积的最大值为( )
A.B.C.D.
7．焦点为F的抛物线的对称轴与准线交于点A,点B在抛物线上且在第一象限,在中,,则( )
A.B.C.D.
8．已知函数与函数的图像上恰有两对关于x轴对称的点,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．甲盒中有3个红球和2个白球,乙盒中有2个红球和3个白球.先从甲盒中随机取出一球放入乙盒,用事件E表示“从甲盒中取出的是红球”;用事件F表示“从甲盒中取出的是白球”,再从乙盒中随机取出一球,用事件G表示“从乙盒中取出的是红球”,则下列结论中正确的是( )
A.事件F与G是互斥事件B.事件E与事件G不相互独立
C.D.
10．如图,点A,B,C是函数的图象与直线相邻的三个交点,且,,则( )
A.
B.
C.函数在上单调递减
D.若将函数的图象沿x轴平移个单位,得到一个偶函数的图像,则的最小值为
11．已知定义域为的函数满足,且,则( )
A.
B.是偶函数
C.
D.
三、填空题
12．若复数,则__________.
13．已知的展开式中常数项为80，则______.
14．已知函数,若曲线与曲线存在公切线,则实数m的最大值为__________.
四、解答题
15．中国职业篮球联赛(CBA联赛)分为常规赛和季后赛.由于新冠疫情关系,今年联赛采用赛会制:所有球队集中在同一个地方比赛,分两个阶段进行,每个阶段采用循环赛,分主场比赛和客场比赛,积分排名前8的球队进入季后赛.季后赛的总决赛采用五场三胜制(“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利,胜者成为本赛季的总冠军).下表是A队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表.
（1）根据表中信息,是否有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关?
（2）已知A队与B队在季后赛的总决赛中相遇,假设每场比赛结果相互独立,A队除第五场比赛获胜的概率为外,其他场次比赛获胜的概率等于A队常规赛60场比赛获胜的频率.记X为A队在总决赛中获胜的场数.求X的分布列和期望.
附:.
16．已知为公差不为0的等差数列的前n项和,且．
（1）求的值;
（2）若,求证：．
17．如图,在四棱锥中,平面PAB,,E为棱PB的中点,平面DCE与棱PA相交于点F,且,再从下列两个条件中选择一个作为已知.
条件①:;条件②:.
（1）求证:;
（2）求点到平面的距离;
（3）已知点在棱上,直线与平面所成角的正弦值为,求的值.
18．已知抛物线的焦点为F,为C上一点,且.
（1）求C的方程;
（2）过点且斜率存在的直线l与C交于不同的两点A,B,且点B关于x轴的对称点为D,直线与x轴交于点Q.
（i）求点Q的坐标;
（ii）求与的面积之和的最小值.
19．英国数学家泰勒发现了如下公式：
其中n!，e为自然对数的底数，以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）设，若是的极小值点，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由,得,又,解得,
于是.
故选:A.
2．答案：D
解析：抛物线开口向上或者向下,焦点在y轴上,直线与y轴交点为,故,,即抛物线的方程为,故准线方程为,故选D.
3．答案：D
解析：由题意可知共有11个样本,且从小到大依次排列,
因为,所以,
所以,
所以这11个样本的平均数为,
故选:D
4．答案：A
解析：由题意,每个城门只调研一次,且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门,
共有种不同的调研方法,
其中恰好在同一个周日调研百盛门和建春门,可得分为:
①其中一个周日只调研百盛门和建春门,另一个周日调研其他三门,有种方法;
②其中一个周日调研百盛门,建春门和其中另一个门,另一个周日调研剩余的两门,
有种方法,共有种不同的调研方法,
所以恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为.
故选:A.
5．答案：B
解析：因为,所以,已知,
由,得,
则
,
当且仅当,则由,解得,
即当且仅当时,等号成立.
所以的最小值为49.
故选:B.
6．答案：B
解析：依题意,,,则,当时,,
两式相减得,即,因此数列是以512为首项,为公比的等比数列,
于是,显然数列单调递减,当时,,当,,
所以当或时,数列的前n项积最大,最大值为.
故选:B
7．答案：C
解析：过点B作准线的垂线,垂足为H,作x轴的垂线,垂足为E,
则由抛物线的定义可得,由,
在中,由正弦定理可知:,即,
则,,
,,
所以
故选:C.
8．答案：C
解析：因为函数与的图像上恰有两对关于x轴对称的点,
所以,
即有两解,
所以有两解,
令,
则,
所以当时,0,此时函数在上单调递增;
当时,,函数上单调递减,
所以处取得极大值,,
且时,的值域为,
时,的值域为,
因此有两解时,实数a的取值范围为,
故选:C.
9．答案：BCD
解析：对于A,事件F与G不是互斥事件,A错误;
对于C,,故C正确;
对于D,,故D正确;
对于B,因为,,则,所以事件E与事件G不相互独立,故B正确.
故选:BCD.
10．答案：ACD
解析：令得,或,,
由图可知:,,,
所以,,
所以,所以,故A选项正确,
所以,由且处在减区间,得,
所以,,
所以,,
所以,
,故B错误.
当时,,
因为在为减函数,故在上单调递减,故C正确;
将函数的图象沿x轴平移个单位得,(时向右平移,时向左平移),
为偶函数得,,
所以,,则的最小值为,故D正确.
故选:ACD.
11．答案：BC
解析：,
令,则,故选项A错误;
令,则,
又,所以,令,则,
所以函数关于对称,
令,则,
令,则,所以,
又函数的定义域R,所以函数为偶函数,故选项B正确;
令,则,
又,,所以,故选项C正确;
因为,所以,所以函数的一个周期为8,
令,则,所以,
所以,所以,
,
所以
,
所以,故选项D错误.故选：BC.
12．答案：
解析：,
,
故答案为:
13．答案：
解析：由展开式的通项公式为，令，无整数解，令，解得，，令，解得，，∴展开式中的常数项为，解得.故答案为.
14．答案：或0.5
解析：,,
假设两曲线在同一点处相切,
则,可得,即,
因为函数单调递增,且时,
所以,则,此时两曲线在处相切,
根据曲线的变化趋势,若,则两曲线相交于两点,不存在公切线,如图,
所以m的最大值为.
故答案为:.
15．答案：（1）没有
（2）分布列见解析,
解析：（1）由题意可得列联表如下:
故,
则没有有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关;
（2）由题意可知X可能取值为0,1,2,3,A队在前4场中获胜的概率为,
则,,
,
,
所以X的分布列为:
故.
16．答案：（1）2
（2）证明见解析
（1）解法一：设的公差为,
由①,得②,
则②-①得,
即,又,则;
解法二：设的公差为,
因为,
所以对恒成立,
即对恒成立,
所以,
又,则;
（2）由得,即,
所以,
又即,则,
因此
则
．
17．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：选择条件①:
（1）因为,平面DCEF,平面DCEF,
所以平面DCEF.
又因为平面PAB,平面平面,
所以.
选择条件②:解法同上
（2）选择条件①:
因为平面PAB,PA,平面PAB,
所以,.
又因为,,
所以.
因此,即AB,AD,AP两两垂直.
如图,以A为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系,
所以,,,.
由（1）,得,且E为棱PB的中点,
所以点F为棱PA的中点.,,
故,,.
设平面DCEF的一个法向量为,
则,
取,则,即.
所以点P到平面DCEF的距离.
选择条件②:
因为平面PAB,PA,平面PAB
所以,,
又因为,BC与AD相交,BC,平面ABCD,
所以平面ABCD,平面ABCD,
所以,
即AB,AD,AP两两垂直.
以A为原点建立空间直角坐标系及以下步骤同上;
（3）选择条件①:
设,,
则.
所以.
设直线BM与平面DCEF所成角为,
所以;
化简得,解得,
即.
选择条件②:解法同上
18．答案：（1）
（2）（i）;
（ii）
解析：（1）由题意可得,解得,
所以C的方程为：;
（2）（i）由已知可得直线l的斜率不为0,且过点,
故可设的直线l的方程为,
代入抛物线的方程,
可得,
方程的判别式,
设,,
不妨设,则,,
所以直线AD的方程为：,即
即,令,可得,
所以,所以
所以;
（ii）如图所示,可得,
,
所以与的面积之和
当且仅当时,即时,等号成立,
所以与的面积之和的最小值为.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1）证明：设，则，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，即.
（2）证明：，①
于是，②
由①②得，，
，
所以
即
（3），
则,
①当时，，
所以在R上单调递增，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此是的极小值点.
②当时，当时，，
在上单调递增，
，
又是R上的偶函数，
所以当时，.
因此，在上单调递减.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此，是的极大值点，不是的极小值点.
综上，实数a的取值范围是.
阶段
比赛场数
主场场数
获胜场数
主场获胜场数
第一阶段
30
15
20
10
第二阶段
30
15
25
15
0.100
0.050
0.025
k
2.706
3.841
5.024
A队胜
A队负
合计
主场
25
5
30
客场
20
10
30
合计
45
15
60
X
0
1
2
3
P