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江苏省宿迁市2023-2024学年高一下期末考试数学试题（含答案）
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这是一份江苏省宿迁市2023-2024学年高一下期末考试数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算sin40∘cs160∘−cs40∘sin20∘的值为
A. 32B. − 32C. 12D. −12
2.已知复数z满足1z=−1+2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数z对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.从两个班级各随机抽取5名学生测量身高(单位：cm)，甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180，160，150，150，165.据此估计甲、乙两班学生的平均身高x甲，x乙及方差S 甲2，S 乙2的关系为
A. x甲>x乙，S 甲2>S 乙2B. x甲>x乙，S 甲2C. x甲S 乙2D. x甲4.已知向量a=1,1，向量b=−3,0，则向量b在向量a上的投影向量为
A. (32,32)B. (3 22,3 22)C. (−32,−32)D. (−3 22,−3 22)
5.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为
A. 23B. 13C. 12D. 16
6.已知点A(2,3),B(4,−1),C(−2,1)，下列说法正确的是
A. CA⋅CB=28B. ∠ACB=3π4
C. 点C到直线AB的距离为2 5D. |2AB+AC|= 10
7.已知l,m,n表示三条不同的直线，α,β表示不同的平面，则
A. 若α⊥β,l⊥β，则l//α
B. 若m//n,m⊥α,l⊥n，则l⊥α
C. 若m⊥α,n⊂α,l//m，则l⊥n
D. 若m//α,n//α,m⊂β,n⊂β，则α//β
8.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1的上､下底面边长分别为2和4，若该正四棱台的侧面积为12 3，则侧棱AA1与底面ABCD所成的角为
A. π12B. π4C. π3D. 5π12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件B，“抽出的卡片号大于7”记为事件C.下列说法正确的是
A. 事件A与事件C是互斥事件B. 事件A与事件B是互斥事件
C. 事件A与事件B相互独立D. 事件B与事件C是对立事件
10.已知z1,z2∈C,且复平面内z1对应的点为Z，则下面说法正确的有
A. z1z2=|z1||z2|
B. 若z1z2=0，则z1,z2中至少有1个是0
C. 满足|z1−1+2i|≤2的点Z形成的图形的面积为2π
D. 若|z1|=1，则z 12+1z 12+3的最小值为1
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，若P为棱BB1的中点，Q点在侧面ABB1A1(包括边界)上运动，且DQ//平面PCD1，下面结论正确的是
A. Q点的运动轨迹为一条线段
B. 直线DQ与AD所成角可以为π4
C. 三棱锥P−CD1Q的体积是定值
D. 若正方体的棱长为1，则平面PCD1与正方体的截面的面积为98
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，用X，Y，Z这3类不同的元件连接成系统N，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，当元件X正常工作且Y，Z中至少有一个正常工作时，系统N正常工作．已知元件X，Y，Z正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.9，则系统N正常工作的概率是_____．
13.粽，即粽籺，俗称粽子，据考证，粽早在春秋之前就已出现，最初是用来祭祀祖先和神灵；到了晋代，粽子成为端午节的节庆食物．端午食粽的风俗，传播甚远．包粽子是端午节的一种传统风俗，同学们在劳动课上学习包粽子，将包的四角蛋黄粽近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为6 cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为_____cm3．
14.记△ABC的三个内角A,B,C，且AB=4,AC=6，若O是△ABC的外心，AD是角A的平分线，D在线段BC上，则AO⋅AD=_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且AF=12AB，BD=13BC，CE=14CA，AB=3,AC=2,∠BAC=60∘.设AB=m,AC=n．
(1)用向量m，n表示EF；
(2)求AD⋅EF．
16.(本小题15分)
如图，在三棱锥A−BCD中，AB=AC，∠BAC=90∘，G，E分别是AB，BC的中点，H是AD上一点．
(1)若平面ABC⊥平面ACD，求证：AB⊥CD；
(2)若点F在CD上，且满足DF:FC=DH:HA=2:3，求证：直线EF，GH，BD相交于一点．
17.(本小题15分)
已知向量m=(sinx,sin(π−x)),n=(2 3sinx,2csx)，设f(x)=m⋅n− 3．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若fx0−π6=1425,x0∈3π4,π，求sin2x0的值．
18.(本小题17分)
某企业准备购进新型机器以提高生产效益．根据调查得知，使用该新型机器生产产品的质量是用质量指标值m来衡量的，按质量指标值m划分产品等级的标准如图表1．
图表1
现从该新型机器生产的产品中随机抽取200件作为样本，检测其质量指标值，得到如图表2所示的频率分布直方图．
(1)用分层抽样的方法从样本质量指标值m在区间[350,400)和[400,450]内的产品中随机抽取6件，再从这6件中任取2件作进一步研究，求这2件产品都取自区间[350,400)的概率；
(2)根据市场调查得到该新型机器生产的产品的销量数据如图表3:
图表3
(产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值)
已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件：
①质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)不低于300．
②单件产品平均利润不低于4元．
已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2000件，根据图表1、图表2、图表3信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件．
19.(本小题17分)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边为a,b,c，若c=2，(b+2)sinC−sinB=(a−b)sinA．
(1)求角C的大小；
(2)若E为AB的中点，且CE= 3，求△ABC的面积S；
(3)如图，过A点在△ABC所在平面内作AD⊥AB，且满足∠ADC=2π3.求线段AD+DC的最大值．
答案
1.B
2.B
3.D
4.C
5.A
6.C
7.C
8.B
9.AC
10.ABD
11.ACD
13. 6π
14.12
15.解：(1)因为CE=14CA，所以EA=34CA，
又因为AF=12AB，
所以EF=EA+AF=−34AC+12AB，
因为AB=m，AC=n，
所以EF=12m−34n;
(2)因为BD=13BC，所以AD=23AB+13AC=23m+13n，
由(1)得EF=12m−34n，
所以AD⋅EF=(23m+13n)⋅(12m−34n)
=13m2−12m⋅n+16n⋅m−14n2
=13m2−13m⋅n−14n2，
因为AB=3，CA=2，∠BAC=60∘，
所以|m|=3，|n|=2，向量m与向量n的夹角为60∘，
AD⋅EF=13|m|2−13|m||n|cs60∘−14|n|2
=13×9−13×3×2×12−14×4=1．
16.证明：(1)因为∠BAC=90∘，
所以AB⊥AC，
又因为平面ABC⊥平面ACD，AB⊂平面ABC，平面ABC∩平面ACD=AC，
所以AB⊥平面ACD，
又因为CD⊂平面ACD，
所以AB⊥CD．
(2)连接GE，HF，因为G，E分别是AB，BC的中点，
所以GE//AC，GE=12AC，
因为DF:FC=DH:HA=2:3，
所以HF//AC，HF=25AC，
所以GE//HF，
所以GE，HF确定一个平面，即G，E，F，H四点共面，
因为GE//HF，GE=54HF，
所以四边形GEFH是梯形，GH、EF的延长线必相交于一点，
设GH∩EF=O，所以O∈GH，
因为GH⊂平面ABD，所以O∈平面ABD，
同理可证O∈平面BCD，
所以O是平面ABD与平面BCD的公共点，
又因为平面ABD∩平面BCD=BD，
所以O∈BD，
所以直线EF，GH，BD相交于一点．
17.解：(1)f(x)=m⋅n− 3
=2 3sin2x+2sinx⋅csx− 3
= 3(1−cs2x)+sin2x− 3
=sin2x− 3cs2x=2sin(2x−π3)，
故最小正周期为T=2π2=π;
(2)f(x0−π6)=2sin[2(x0−π6)−π3]
=2sin(2x0−2π3)=1425，
则sin(2x0−2π3)=725，
因为3π4≤x0≤π，所以5π6≤2x0−2π3≤4π3，
所以cs(2x0−2π3)=− 1−sin2(2x0−2π3)=−2425，
故sin2x0=sin[2x0−2π3)+2π3]
=sin(2x0−2π3) cs 2π3+cs (2x0−2π3)sin2π3
=725×(−12)−2425× 32=−7+24 350．
18.解：(1)设“所取2件产品都取自区间[350,400)”为事件A，
因为区间[350,400)和[400,450]上的频数之比为2:1，
所以应从区间[400,450)上抽取2件，记为a1，a2，
从区间[350,400]上抽取4件，记为b1，b2，b3，b4，
则从中任取两件的情况有(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,b4)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,b4)，
(b1,b2)，(b1,b3)，(b1,b4)，(b2,b3)，(b2,b4)，(b3,b4)共15种，即样本空间中样本点的总数为15，
事件A所含的基本事件共有(b1,b2)，(b1,b3)，(b1,b4)，(b2,b3)，(b2,b4)(b3,b4)6种;
所以所求事件概率为P(A)=615=25．
(2) ①先分析该产品质量标准值的平均数，
由题意得x=175×0.05+225×0.15+275×0.2+325×0.3+375×0.2+425×0.1=312.5
故满足认购条件 ①，
②再分析该产品的单价平均利润值：
由频率分布直方图可知，新型机器生产的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为0.3，0.4，0.3，
故2000件产品中，一、二、三等品的件数估计值为：600，800，600件，
设一、二、三等品利润分别为W1，W2，W3，
W1=600×(10×78+0×18)=5250元，
W2=800×(5×35−2.5×25)=1600元，
W3=600×(0×25−5×35)=−1800元，
则2000件产品的总利润为：W=W1+W2+W3=5250+1600−1800=5050元，
故2000件产品的单件品平均利润估计值为5050÷2000=2.525<4，
故不满足认购条件 ②，
综上，该新型机器没有达到该企业的认购条件．
19.解：(1)因为(b+2)(sinC−sinB)=(a−b)sinA，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC可得(b+2)(c−b)=(a−b)a，
即a2+b2=bc+ab+2c−2b，
因为c=2，所以a2+b2=ab+4，
csC=a2+b2−c22ab=a2+b2−42ab=ab2ab=12，
因为C∈(0,π2)，所以C=π3;
(2)由(1)得b2+a2−ab=4 ①，
因为E为AB的中点，所以CE=12(CA+CB)，
则|CE|2=14(|CA|2+|CB|2+2|CA||CB|cs60∘)，
化简得b2+a2+ab=12 ②，
由 ① ②解得ab=4，所以S=12absinC=12×4× 32= 3;
(3)设∠DAC=θ，
当DC与△ABC外接圆相切时，可得θ=π12，则θ∈[π12,π3)，
则∠DCA=π3−θ，∠ABC=θ+π6，
在△ABC中，由正弦定理得ABsinπ3=ACsin(θ+π6)，
所以AC=ABsin(θ+π6)sinπ3=2sin(θ+π6) 32=4 33sin(θ+π6)，
在△ACD中，由正弦定理得ADsin(π3−θ)=ACsin2π3，
所以AD=ACsin(π3−θ)sin2π3=4 33sin(θ+π6)sin(π3−θ) 32=83sin(θ+π6)sin(π3−θ)，
因为DCsinθ=ACsin2π3，
所以DC=ACsinθsin2π3=4 3sin (θ+π6)sin θ 32=83sin(θ+π6)sinθ，
所以AD+DC=83sin(θ+π6)sin(π3−θ)+83sin(θ+π6)sinθ
=83sin(θ+π6)cs(θ+π6)+83( 32sinθ+12csθ)sinθ
=43sin2(θ+π6)+83( 32sin2θ+12sinθcsθ)
=43sin(2θ+π3)+83( 32×1−cs2θ2+12×12sin2θ)
=43(12sin2θ+ 32cs2θ)+23sin2θ−2 33cs2θ+2 33
=43sin2θ+2 33cs2θ−2 33cs2θ+2 33=43sin2θ+2 33，
又π12≤θ<π3，所以π6≤2θ<2π3，
所以当2θ=π2，即θ=π4时，AD+DC有最大值，最大值为4+2 33．
质量指标值m
300≤m<350
250≤m<300
或350≤m<400
150≤m<250
或400≤m≤450
等级
一等品
二等品
三等品
产品等级
一等品
二等品
三等品
销售率
78
35
25
单件产品原售价
20元
15元
10元
未按原价售出的产品统一按原售价的50%全部售出
1.计算sin40∘cs160∘−cs40∘sin20∘的值为
A. 32B. − 32C. 12D. −12
2.已知复数z满足1z=−1+2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数z对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.从两个班级各随机抽取5名学生测量身高(单位：cm)，甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180，160，150，150，165.据此估计甲、乙两班学生的平均身高x甲，x乙及方差S 甲2，S 乙2的关系为
A. x甲>x乙，S 甲2>S 乙2B. x甲>x乙，S 甲2
A. (32,32)B. (3 22,3 22)C. (−32,−32)D. (−3 22,−3 22)
5.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为
A. 23B. 13C. 12D. 16
6.已知点A(2,3),B(4,−1),C(−2,1)，下列说法正确的是
A. CA⋅CB=28B. ∠ACB=3π4
C. 点C到直线AB的距离为2 5D. |2AB+AC|= 10
7.已知l,m,n表示三条不同的直线，α,β表示不同的平面，则
A. 若α⊥β,l⊥β，则l//α
B. 若m//n,m⊥α,l⊥n，则l⊥α
C. 若m⊥α,n⊂α,l//m，则l⊥n
D. 若m//α,n//α,m⊂β,n⊂β，则α//β
8.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1的上､下底面边长分别为2和4，若该正四棱台的侧面积为12 3，则侧棱AA1与底面ABCD所成的角为
A. π12B. π4C. π3D. 5π12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件B，“抽出的卡片号大于7”记为事件C.下列说法正确的是
A. 事件A与事件C是互斥事件B. 事件A与事件B是互斥事件
C. 事件A与事件B相互独立D. 事件B与事件C是对立事件
10.已知z1,z2∈C,且复平面内z1对应的点为Z，则下面说法正确的有
A. z1z2=|z1||z2|
B. 若z1z2=0，则z1,z2中至少有1个是0
C. 满足|z1−1+2i|≤2的点Z形成的图形的面积为2π
D. 若|z1|=1，则z 12+1z 12+3的最小值为1
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，若P为棱BB1的中点，Q点在侧面ABB1A1(包括边界)上运动，且DQ//平面PCD1，下面结论正确的是
A. Q点的运动轨迹为一条线段
B. 直线DQ与AD所成角可以为π4
C. 三棱锥P−CD1Q的体积是定值
D. 若正方体的棱长为1，则平面PCD1与正方体的截面的面积为98
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，用X，Y，Z这3类不同的元件连接成系统N，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，当元件X正常工作且Y，Z中至少有一个正常工作时，系统N正常工作．已知元件X，Y，Z正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.9，则系统N正常工作的概率是_____．
13.粽，即粽籺，俗称粽子，据考证，粽早在春秋之前就已出现，最初是用来祭祀祖先和神灵；到了晋代，粽子成为端午节的节庆食物．端午食粽的风俗，传播甚远．包粽子是端午节的一种传统风俗，同学们在劳动课上学习包粽子，将包的四角蛋黄粽近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为6 cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为_____cm3．
14.记△ABC的三个内角A,B,C，且AB=4,AC=6，若O是△ABC的外心，AD是角A的平分线，D在线段BC上，则AO⋅AD=_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且AF=12AB，BD=13BC，CE=14CA，AB=3,AC=2,∠BAC=60∘.设AB=m,AC=n．
(1)用向量m，n表示EF；
(2)求AD⋅EF．
16.(本小题15分)
如图，在三棱锥A−BCD中，AB=AC，∠BAC=90∘，G，E分别是AB，BC的中点，H是AD上一点．
(1)若平面ABC⊥平面ACD，求证：AB⊥CD；
(2)若点F在CD上，且满足DF:FC=DH:HA=2:3，求证：直线EF，GH，BD相交于一点．
17.(本小题15分)
已知向量m=(sinx,sin(π−x)),n=(2 3sinx,2csx)，设f(x)=m⋅n− 3．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若fx0−π6=1425,x0∈3π4,π，求sin2x0的值．
18.(本小题17分)
某企业准备购进新型机器以提高生产效益．根据调查得知，使用该新型机器生产产品的质量是用质量指标值m来衡量的，按质量指标值m划分产品等级的标准如图表1．
图表1
现从该新型机器生产的产品中随机抽取200件作为样本，检测其质量指标值，得到如图表2所示的频率分布直方图．
(1)用分层抽样的方法从样本质量指标值m在区间[350,400)和[400,450]内的产品中随机抽取6件，再从这6件中任取2件作进一步研究，求这2件产品都取自区间[350,400)的概率；
(2)根据市场调查得到该新型机器生产的产品的销量数据如图表3:
图表3
(产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值)
已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件：
①质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)不低于300．
②单件产品平均利润不低于4元．
已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2000件，根据图表1、图表2、图表3信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件．
19.(本小题17分)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边为a,b,c，若c=2，(b+2)sinC−sinB=(a−b)sinA．
(1)求角C的大小；
(2)若E为AB的中点，且CE= 3，求△ABC的面积S；
(3)如图，过A点在△ABC所在平面内作AD⊥AB，且满足∠ADC=2π3.求线段AD+DC的最大值．
答案
1.B
2.B
3.D
4.C
5.A
6.C
7.C
8.B
9.AC
10.ABD
11.ACD
13. 6π
14.12
15.解：(1)因为CE=14CA，所以EA=34CA，
又因为AF=12AB，
所以EF=EA+AF=−34AC+12AB，
因为AB=m，AC=n，
所以EF=12m−34n;
(2)因为BD=13BC，所以AD=23AB+13AC=23m+13n，
由(1)得EF=12m−34n，
所以AD⋅EF=(23m+13n)⋅(12m−34n)
=13m2−12m⋅n+16n⋅m−14n2
=13m2−13m⋅n−14n2，
因为AB=3，CA=2，∠BAC=60∘，
所以|m|=3，|n|=2，向量m与向量n的夹角为60∘，
AD⋅EF=13|m|2−13|m||n|cs60∘−14|n|2
=13×9−13×3×2×12−14×4=1．
16.证明：(1)因为∠BAC=90∘，
所以AB⊥AC，
又因为平面ABC⊥平面ACD，AB⊂平面ABC，平面ABC∩平面ACD=AC，
所以AB⊥平面ACD，
又因为CD⊂平面ACD，
所以AB⊥CD．
(2)连接GE，HF，因为G，E分别是AB，BC的中点，
所以GE//AC，GE=12AC，
因为DF:FC=DH:HA=2:3，
所以HF//AC，HF=25AC，
所以GE//HF，
所以GE，HF确定一个平面，即G，E，F，H四点共面，
因为GE//HF，GE=54HF，
所以四边形GEFH是梯形，GH、EF的延长线必相交于一点，
设GH∩EF=O，所以O∈GH，
因为GH⊂平面ABD，所以O∈平面ABD，
同理可证O∈平面BCD，
所以O是平面ABD与平面BCD的公共点，
又因为平面ABD∩平面BCD=BD，
所以O∈BD，
所以直线EF，GH，BD相交于一点．
17.解：(1)f(x)=m⋅n− 3
=2 3sin2x+2sinx⋅csx− 3
= 3(1−cs2x)+sin2x− 3
=sin2x− 3cs2x=2sin(2x−π3)，
故最小正周期为T=2π2=π;
(2)f(x0−π6)=2sin[2(x0−π6)−π3]
=2sin(2x0−2π3)=1425，
则sin(2x0−2π3)=725，
因为3π4≤x0≤π，所以5π6≤2x0−2π3≤4π3，
所以cs(2x0−2π3)=− 1−sin2(2x0−2π3)=−2425，
故sin2x0=sin[2x0−2π3)+2π3]
=sin(2x0−2π3) cs 2π3+cs (2x0−2π3)sin2π3
=725×(−12)−2425× 32=−7+24 350．
18.解：(1)设“所取2件产品都取自区间[350,400)”为事件A，
因为区间[350,400)和[400,450]上的频数之比为2:1，
所以应从区间[400,450)上抽取2件，记为a1，a2，
从区间[350,400]上抽取4件，记为b1，b2，b3，b4，
则从中任取两件的情况有(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,b4)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,b4)，
(b1,b2)，(b1,b3)，(b1,b4)，(b2,b3)，(b2,b4)，(b3,b4)共15种，即样本空间中样本点的总数为15，
事件A所含的基本事件共有(b1,b2)，(b1,b3)，(b1,b4)，(b2,b3)，(b2,b4)(b3,b4)6种;
所以所求事件概率为P(A)=615=25．
(2) ①先分析该产品质量标准值的平均数，
由题意得x=175×0.05+225×0.15+275×0.2+325×0.3+375×0.2+425×0.1=312.5
故满足认购条件 ①，
②再分析该产品的单价平均利润值：
由频率分布直方图可知，新型机器生产的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为0.3，0.4，0.3，
故2000件产品中，一、二、三等品的件数估计值为：600，800，600件，
设一、二、三等品利润分别为W1，W2，W3，
W1=600×(10×78+0×18)=5250元，
W2=800×(5×35−2.5×25)=1600元，
W3=600×(0×25−5×35)=−1800元，
则2000件产品的总利润为：W=W1+W2+W3=5250+1600−1800=5050元，
故2000件产品的单件品平均利润估计值为5050÷2000=2.525<4，
故不满足认购条件 ②，
综上，该新型机器没有达到该企业的认购条件．
19.解：(1)因为(b+2)(sinC−sinB)=(a−b)sinA，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC可得(b+2)(c−b)=(a−b)a，
即a2+b2=bc+ab+2c−2b，
因为c=2，所以a2+b2=ab+4，
csC=a2+b2−c22ab=a2+b2−42ab=ab2ab=12，
因为C∈(0,π2)，所以C=π3;
(2)由(1)得b2+a2−ab=4 ①，
因为E为AB的中点，所以CE=12(CA+CB)，
则|CE|2=14(|CA|2+|CB|2+2|CA||CB|cs60∘)，
化简得b2+a2+ab=12 ②，
由 ① ②解得ab=4，所以S=12absinC=12×4× 32= 3;
(3)设∠DAC=θ，
当DC与△ABC外接圆相切时，可得θ=π12，则θ∈[π12,π3)，
则∠DCA=π3−θ，∠ABC=θ+π6，
在△ABC中，由正弦定理得ABsinπ3=ACsin(θ+π6)，
所以AC=ABsin(θ+π6)sinπ3=2sin(θ+π6) 32=4 33sin(θ+π6)，
在△ACD中，由正弦定理得ADsin(π3−θ)=ACsin2π3，
所以AD=ACsin(π3−θ)sin2π3=4 33sin(θ+π6)sin(π3−θ) 32=83sin(θ+π6)sin(π3−θ)，
因为DCsinθ=ACsin2π3，
所以DC=ACsinθsin2π3=4 3sin (θ+π6)sin θ 32=83sin(θ+π6)sinθ，
所以AD+DC=83sin(θ+π6)sin(π3−θ)+83sin(θ+π6)sinθ
=83sin(θ+π6)cs(θ+π6)+83( 32sinθ+12csθ)sinθ
=43sin2(θ+π6)+83( 32sin2θ+12sinθcsθ)
=43sin(2θ+π3)+83( 32×1−cs2θ2+12×12sin2θ)
=43(12sin2θ+ 32cs2θ)+23sin2θ−2 33cs2θ+2 33
=43sin2θ+2 33cs2θ−2 33cs2θ+2 33=43sin2θ+2 33，
又π12≤θ<π3，所以π6≤2θ<2π3，
所以当2θ=π2，即θ=π4时，AD+DC有最大值，最大值为4+2 33．
质量指标值m
300≤m<350
250≤m<300
或350≤m<400
150≤m<250
或400≤m≤450
等级
一等品
二等品
三等品
产品等级
一等品
二等品
三等品
销售率
78
35
25
单件产品原售价
20元
15元
10元
未按原价售出的产品统一按原售价的50%全部售出
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