四川省泸州市2023届高三数学（文）下学期三模试题（Word版附解析）

泸州市高2020级第三次教学质量诊断性考试

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．   B．   C．   D．

2．已知向量，满足，，则（    ）

A．-4   B．-2   C．0   D．4

3．工业生产者出厂价格指数（PPI）反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度，对企业的生产发展和国家宏观调控有着重要的影响．下图是我国2022年各月PPI涨跌幅折线图．（注：下图中，月度同比是与上年同月作为基期相比较的增长率；月度环比是与上月作为基期相比较的增长率）

下列说法中，最贴切的一项为（    ）

A．2021年PPI逐月减小

B．2022年PPI逐月减小

C．2022年各月PPI同比涨跌幅的方差小于环比涨跌幅的方差

D．2022年上半年各月PPI同比涨跌幅的方差小于下半年各月PPI同比涨跌幅的方差

4．一个旋转体的正视图如图所示，上面部分是一个直径为2的半圆，下面部分是一个下底边长为4，上底边长和高均为2的等腰梯形，则该旋转体的表面积为（    ）

A．    B．

C．    D．

5．已知a，b为实数，则“a>1，b>1”是“”的（    ）

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件     D．既不充分又不必要条件

6．已知数列满足，，则此数列的通项公式为（    ）

A．   B．

C．    D．

7．执行右图所示的程序框图，若输入N的值为8，则输出S的值为（    ）

A．   B．   C．0   D．

8．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数（    ）

A．在区间上单调递减   B．在区间上单调递减

C．在区间 上单调递增   D．在区间上单调递增

9．已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（    ）

A．8   B．4   C．3   D．2

10．记为等差数列的前n项和，已知，，则的最小值为（    ）

A．－25   B．－35   C．－45   D．－55

11．已知函数有两个零点，，函数有两个零点，，给出下列三个结论：；；．其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①②   B．②③   C．①③   D．①②③

12．设O为坐标原点，，是双曲线的左、右焦点．过作圆的一条切线，切点为T，线段交H于点M，若：，的面积为1，则H的方程为（    ）

A．   B．   C．   D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：

（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．

（2）本部分共10个小题，共90分．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）．

13．计算：．

14．已知x，y满足约束条件则的最小值为______．

15．已知函数及其导函数定义域均为R，且，f（1）=2，，则关于x的不等式的解集为______．

16．在正三棱柱中，，空间中的点P满足，其中．下列命题中，真命题有______（填所有真命题的序号）．

①当m=0时，；②当时，平面平面；③当m=1时，直线AP与直线BC所成角的余弦值为；④对，三棱锥的体积是定值．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

某地区为深入贯彻二十大精神，全面推进乡村振兴，进一步优化农产品结构，准备引进一条农产品加工生产线．现对某条生产线进行考察，在该条生产线中随机抽取了200件产品，并对每件产品进行评分，得分均在［75，100］内，制成如图所示的频率分布直方图，其中得分不低于90产品为“优质品”．

（1）求在该生产线所抽取200件产品的评分的均值（同一区间用区间中点值作代表）；

（2）在这200件产品的“优质品”中，采用分层抽样的方法共抽取了6件．若在这6件产品中随机抽取2件进行质量分析，求“抽取的两件产品中至少有一件产品的得分在［95，100］”的概率．

18．（本小题满分12分）

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．

（1）求c的值；

（2）求的值；

（3）求的值．

19．（本小题满分12分）

如图，正方形ABCD的边长为4，平面ABCD，平面ABCD，，M为棱PD上一点．

（1）是否存在点M，使得直线平面BPQ？若存在，请指出点M的位置并说明理由；若不存在，请说明理由；

（2）当时，求多面体PABQM的体积．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆的右焦点为，并且经过点．

（1）求C的方程；

（2）过F的直线交C于P，Q，交直线于点N，记OP，OQ，ON的斜率分别为，，，探索三个数，，是否成等差数列，并证明你的结论．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若单调递增，求a的取值范围；

（2）若x≥0，，求a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）写出C的极坐标方程；

（2）设射线和射线与C分别交于A，B两点，求面积的最大值．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（1）画出的图象，并写出的解集；

（2）令的最小值为T，正数a，b满足，证明：．

文科数学参考解答及评分参考

一、选择题

1．答案：D

命题意图：本小题设置课程知识背景，设计二次不等式的集合交集运算，主要考查二次不等式的解法，不等式的交集运算，区间等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化思想．

解析：由集合，，所以．

2．答案：A

命题意图：本小题设置课程知识背景，设计向量数量积与模的问题，主要考查数量积的运算，模的运算等基础知识；考查运算求解能力．

解析：．

3．答案：D

命题意图：本小题以工业生产者出厂价格指数（PPI）为命题情景，以同比、环比涨跌幅折线图为载体考查统计图的理解和相关统计量的含义等问题，考查概率统计思想和应用意识．

解析：根据统计图表和同比增长、环比增长的含义，A，B不正确；根据折线图，2022年各月PPI同比涨跌幅的方差应大于环比涨跌幅的方差，C错误；2022年上半年各月PPI同比涨跌幅的方差小于下半年各月PPI环比涨跌幅的方差，D正确．

4．答案：B

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计基础性问题，考查球的表面积公式和圆台的侧面积公式，考查空间想象能力，考查直观想象和数学运算素养．

解析：由题知，该旋转体的下面部分是下底面半径为2，上底面半径为1，高为2的圆台，上面部分是半径为1的半球，故该旋转体的表面积为，故选B．

5．答案：A

命题意图：本小题设置课程知识背景，设计简单逻辑问题，主要考查命题成立的条件，充分条件、必要条件和充要条件等基础知识；考查逻辑推理能力，分类讨论思想．

解析：根据对数运算性质知，当，时，成立；但，有，或者，．故“，”是“”的充分不必要条件．

6．答案：C

命题意图：本小题以课程知识为背景，设计递推数列问题，主要考查递推数列求数列通项公式，等比数列等基础知识；考查运算求解能力，应用意识．

解析：由，有，所以，又，所以是以3为首项，2为公比的等比数列，所以，即，．

7．答案：C

命题意图：本小题以算法初步为命题情景，以程序框图为载体考查算法初步、三角函数求值等知识，考查推理论证等数学能力．

解析：由题可知．

8．答案：B

命题意图：本小题设置课程知识背景，设计三角函数图象变换问题，主要考查正弦函数图象的平移变换，诱导公式，余弦函数图象性质等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识．

解析：函数的图象向左平移个单位长度得到

，由，，解得，，当时，知函数在区间上单调递减．

9．答案：C

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计综合性问题，考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系．考查推理论证与数学运算素养．

解析：设准线l与x轴的交点为K，由抛物线定义知，而，故为正三角形，从而直线，代入得，解得，，从而，从而面积比值为3．

10．答案：A

命题意图：本小题设置课程知识背景，设计递增等差数列求最值问题，主要考查等差数列的通项公式，公差，前n项和公式，最值问题等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识．

解析：设的公差为d，由已知得，由得，所以，所以当时，取得最小值，最小值为－25．

11．答案：D

命题意图：本小题以函数零点为知识性探索情景，主要考查函数性质、指数式与对数式的互化等基础知识，考查化归与转化、函数与方程、数形结合思想等数学思想，考查推理论证、运算求解等数学能力；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养．

解析：在同一坐标系作出与的图象，由于与各有两个零点，则．设函数与图象交点坐标分别为，；与图象交点坐标分别为，．由于与，与，互为反函数，则点A，C关于直线对称，B，D关于直线对称，则，，且，故结论①，②，③均正确．

12．答案：D

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计综合性问题，考查双曲线的标准方程，双曲线的几何性质等基础知识，考查化归与转化的数学思想，考查推理论证等数学素养．

解析：过作，垂足为K，则，因为，所以，，而，，故，，由双曲线的定义，即，而，故，解得，从而选D．

二、填空题

13．答案：1－i．

命题意图：本小题设置课程知识情景，设计复数的除法运算问题，主要考查复数的除法运算及其相关概念等基础知识；考查运算求解能力．

解析．

14．答案：．

命题意图：本小题设置课程知识背景，设计线性规划问题，主要考查约束条件表示的可行域中，目标函数的最值问题等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识．

解析：约束条件表示的可行域为以，，三点为顶点的三角形及其内部，设，则直线过点时，取得最小值．

15．答案：．

命题意图：本小题以抽象型函数问题为知识性探索情景，主要考查函数与导数等基础知识，考查化归与转化、函数与方程等数学思想，考查推理论证、运算求解等数学能力；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养．

解析：由题得．设，则，则函数为增函数，且，则不等式即为，所以．

16．答案：②③④．

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计综合性、探究性问题，以三棱柱为载体，考查共线向量基本定理，两点间的距离，线面平行与垂直的判定等基础知识，考查线面平行的运用，考查空间想象能力．

解析：对于①，点P在的延长线上，记为，，，，故，①错误；对于②，当时，点P为的中点，记为，此时平面，②正确；对于③，当时，点P为的中点，记为，取的中点为M，则为所求，易计算得③正确；对于④，，则，，由于，故平面，P到平面的距离为定值，从而三棱锥的体积为定值，④正确．综上，答案为②③④．

三、解答题

17．（12分）

命题意图：本小题以产品加工生产线考察为生活实践情景，设置概率统计应用问题，考查统计、概率等基础知识；考查运算求解、数据处理能力、应用能力及数学建模、数学运算素养．

解析：（1）在生产线抽取200件产品中，评分在，，，，的频率分别为0.05，0.05，0.15，0.5，0.25．

则评分均值为．所以，该生产线抽取200件产品的评分的均值为91.75分．

（2）记这6件产品得分在有2件，记为，；得分在有4件，记为，，，．

从这6件产品中随机抽取2件的所有基本事件有：（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），共15个．

其中，至少有一件产品的得分在的基本事件有9个．

故抽取的两件产品中至少有一件产品的得分在的概率为，即．

18．（12分）

命题意图：本小题设置课程知识背景，设计三角形边角问题，主要考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式、两角差的正弦公式等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．

解析：（1）在中，由正弦定理及，，

可得．

（2）由及正弦定理得，

再由余弦定理有．

（3）由（2）可得，

所以

．

19．（12分）

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计综合性、探究性问题，考查线面平行、线面垂直等基础知识，考查线面平行的运用，考查化归与转化的能力，考查直观想象素养．

解析：（1）当M为PD的中点时满足条件．证明如下：

设O为AC，BD的交点．

因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD的中点．

故在中，OM为的中位线，即．

又因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，即四点A，C，P，Q共面．

又因为，所以四边形ACQP为平行四边形，所以

而AC与OM相交，PQ与BP相交，

所以平面平面BPQ．

又因为平面ACM，所以直线平面BPQ

（2）因为，，，

所以，，．

于是

．

又因为，

所以多面体PABQM的体积为．

20．（12分）

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计综合性、探究性问题．考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查数学运算、推理论证等核心素养．

解析：（1）因为C经过点，所以．

又，

联立解得，，

于是C的方程为；

（2）设，，，直线PQ的方程为，其中．

由得，

故，．

从而

．

因为，所以，

从而．

所以，，，成等差数列．

21．（12分）

命题意图：本小题是以初等函数为载体设置的探索性情景，考查函数极值、函数零点、不等式证明、导数的应用等基础知识；考查化归与转化、函数与方程、数形结合等数学思想；考查推理论证能力、运算求解能力和创新能力；考查逻辑推理、数学运算等数学素养．

解析：（1）由，得，

由于单调递增，则即恒成立，

令，则，

可知时，，则单调递增；时，，，则单调递减，故时，取得极大值即最大值，故．

所以，单调递增，a的取值范围是．

（2）令，原不等式即为，

可得，，，

令，则，

又设，则，则，，可知单调递增，

若，有，，则；

若，有，则，所以，，，则即单调递增，

ⅰ）当即时，，则单调递增，所以，恒成立，则符合题意．

ⅱ）当即时，

，，

存在，使得，

当时，，则单调递减，所以，与题意不符，

综上所述，a的取值范围是

22．（10分）

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计综合性问题，考查圆的参数方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化、直线与圆的位置关系等基础知识，考查数学运算、推理论证等核心素养．

解析：（1）由已知，

所以，即，

故C的普通方程为．

又因为，，

所以C的极坐标方程为，

即

（2）由题意知，

，

于是

．

因为，则，

所以当，即当时，的面积最大，且最大值是．

23．（10分）

命题意图：本小题主要考查含绝对值不等式的解法，考查不等式的证明方法等基础知识，考查分类与整合思想，考查运算求解、推理论证等数学能力．

解析：（1）由题，得图象如图所示．

由图可知，的解集为．

（2）由（1）知，函数的最小值为T=4．则．

只需证明即可．

由已知，，，则，所以．

于是，

因为

．

由于，则，即，

所以，当且仅当时，等号成立．