重庆市名校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份重庆市名校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析），共23页。

【命题学校：丰都中学 命题人：唐模斌、付陈璐 审题人：孙小栋】
（本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称.
2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内.
3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚.
4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.
5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，若向量与向量平行，则的值为（ ）
A. B. 0C. D.
3. 用斜二测画法作一个边长为6的正方形，则其直观图的面积为（ ）
A. 36B. C. D.
4. 若，，且，则向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则csB=（ ）
A. B. C. D.
6. 中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，若，则的值为（ ）.
A. B. 3C. 2D.
8. 已知中，，，点为中点，点为边上一动点，则的最小值为（ ）
A. 27B. 0C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若直线面，直线面，则直线，直线b无公共点
B. 若直线面，则直线l与面内直线平行或异面
C. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形几何体是棱柱
D. 有两个面平行，其余各面都是梯形几何体是棱台
10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是（ ）
A. ，，，有两解
B. 若，则为等腰三角形
C. 若锐角三角形，则
D. 若，则为钝角三角形
11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A. 若，则M为的重心
B. 若M为的内心，则
C. 若，，M为的外心，则
D. 若M为的垂心，，则
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是_____________．
13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．若，，则△ABC的面积为_____________．
14. 在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求
（1）截去的三棱锥的表面积；
（2）剩余的几何体的体积.
16. 已知向量，．
（1）求的坐标以及与之间的夹角；
（2）当时，求的取值范围．
17. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．

（1）求的值；
（2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
18. 定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，若．
（1）求角A的大小；
（2）分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，求平面区域D的“直径”的取值范围．
19. 如图，在中，为钝角，，，．过点作的垂线，交于点，为延长线上一点，连接，若．
（1）求边的长；
（2）证明：；
（3）设，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．重庆市名校联盟2023-2024学年度第二期期中联考
数学试题（高2026届）
【命题学校：丰都中学 命题人：唐模斌、付陈璐 审题人：孙小栋】
（本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称.
2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内.
3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚.
4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.
5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数乘法运算化简即可.
【详解】.
故选：C
2. 已知向量，若向量与向量平行，则值为（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得,由与向量平行,可得,进而求解即可.
【详解】∵向量,
∴,，又向量与向量平行,
∴,，解得.
故选：A.
3. 用斜二测画法作一个边长为6的正方形，则其直观图的面积为（ ）
A. 36B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用斜二测画法所得直观图与原图形面积关系求得答案.
【详解】在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的，而边长为6的正方形面积为，
所以所求的直观图的面积为.
故选：C
4. 若，，且，则向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量垂直则数量积为零，求得，再根据夹角公式求得结果.
【详解】根据题意，由于向量，，且，
，，
故，又向量夹角范围为，
故可知向量的夹角为.
故选：B．
【点睛】本题考查向量垂直的转化，以及由数量积求向量的夹角，属综合基础题.
5. 在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则csB=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.
【详解】在中，，，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
6. 中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正四棱台性质求出侧棱长，继而求得高，根据棱台的体积公式，即可求得答案.
【详解】因为是正四棱台，，，
侧面以及对角面为等腰梯形，故，，
，所以，
所以该四棱台的体积为，
故选：B.
7. 如图，在中，，若，则的值为（ ）.
A. B. 3C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】把作为基底，利用向量的加减法和平面向量基本定理结合已知把用表示出来，即可得答案
【详解】解：因为，
所以
,
因为，所以，
所以，
故选：B
8. 已知中，，，点为的中点，点为边上一动点，则的最小值为（ ）
A. 27B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图形特点，建立直角坐标系，由题设数量关系得出A，B，C的坐标，再设出点M的坐标，将所求问题转化为函数的最小值即可.
【详解】解：以 所在直线为 轴，线段 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示 ，

由题意可知， ， ， ，
设 ，其中 ，则 ， ，
故 ，
所以当 时， 有最小值 .
故选：D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若直线面，直线面，则直线，直线b无公共点
B. 若直线面，则直线l与面内的直线平行或异面
C. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
D. 有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出图形可判断A；与平面没有公共点，可判断B；作出图形可判断C；由棱台的侧棱交于一点的几何特征，可判断D.
【详解】对于A：如图，，，与可能相交，故A错误；

对于B：直线，所以与平面没有公共点，所以与平面内的直线平行或异面，故B正确；
对于C：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱，
如图所示，符合题意，但几何体不是棱柱，故C错误；

一个平行于棱锥的底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，
所以棱台各侧棱的延长线交于一点，其余各面都是梯形的几何体侧棱可能不交于一点，故D错误.
故选：ACD.
10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是（ ）
A. ，，，有两解
B. 若，则为等腰三角形
C. 若为锐角三角形，则
D. 若，则为钝角三角形
【答案】CD
【解析】
【分析】根据大边对大角，结合角A即可判断A；利用正弦定理边化角，在由二倍角公式化简可得或，可判断B；由为锐角三角形可得，然后由正弦函数的单调性和诱导公式可判断C；由正弦定理可得三边比值，然后由余弦定理求解即可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，
又，所以，不满足内角和定理，
所以满足条件的三角形不存在，A错误；
对于B，因，所以，
所以，即，
因为且，所以或，
即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，若为锐角三角形，则，
所以，所以，即，C正确；
对于D，若，则，
设，则，
因为，所以，即为钝角，D正确.
故选：CD
11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A. 若，则M为的重心
B. 若M为的内心，则
C. 若，，M为的外心，则
D. 若M为的垂心，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，，进而求出余弦值；
【详解】对A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故，，三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线，
所以为的重心，A正确；

对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
对C选项，若，，为的外心，则，
设的外接圆半径为，故，，
，
故，，，
所以，C错误；

对D选项，若为的垂心，，
则，
如图，，，，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
，则，D正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由复数的几何意义得出向量与的坐标，再由向量的运算得出的坐标，进而得出其复数.
【详解】∵复数与分别表示向量与，
∴，，
又，
∴向量表示的复数是.
故答案为：.
13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．若，，则△ABC的面积为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得，由平方关系求出，然后由三角形面积公式可得.
【详解】由正弦定理角化边得，即，
所以，
因为，所以，
因为，，所以.
故答案：.
14. 在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理可求得，可判断和均为直角三角形，取中点，根据直角三角形的性质，即可判断为三棱锥外接球的球心，其半径为，从而求得三棱锥外接球的表面积.
【详解】由，，，
中，由余弦定理可得,
所以，则，
在中，由余弦定理可得，
所以，则，
取中点，则在和中，，则三棱锥外接球的球心为，其半径为，
所以三棱锥外接球的表面积为，
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求
（1）截去的三棱锥的表面积；
（2）剩余的几何体的体积.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）三棱锥中是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，计算四个三角形面积之和即可求解.
（2）正方体的体积减去三棱锥的体积即得剩余的几何体的体积.
【详解】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，
所以截去的三棱锥的表面积

（2）正方体的体积为，
三棱锥的体积为，
所以剩余的几何体的体积为.
16. 已知向量，．
（1）求的坐标以及与之间的夹角；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）本题首先可根据向量的坐标运算求出，然后根据即可得出结果；
（2）本题可通过对进行平方即可得出结果.
【详解】（1）因为，，所以，
设与之间的夹角为，
则，
因为，所以与之间的夹角为.
（2），
因为，所以，
故的取值范围是.
17. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．

（1）求的值；
（2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
【答案】（1）
（2）预算资金够用
【解析】
【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解；
（2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可.
【小问1详解】
解：由，
得，
则，
在中，由正弦定理得，即，
所以．
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去）．
在中，，
所以，
又，
解得．
在中，，
所以．
由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用．
18. 定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，若．
（1）求角A的大小；
（2）分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，求平面区域D的“直径”的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式求出.
（2）利用向量线性运算，结合向量的三角不等式求出区域D的“直径”关系式，再利用三角恒等变换结合正弦函数性质求出范围即得.
【小问1详解】
在锐角中，由，得，
由正弦定理得，，即，
又，
从而，而，则，又，
所以．
【小问2详解】
如图，F，G是AC，BC的中点，E，F，G，H四点共线，
设P，Q分别为、上任意一点，，
，
即PQ的长小于等于周长的一半，当PQ与HE重合时取等，
同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于周长的一半，因此区域D的“直径”为的周长l的一半，
由正弦定理得：，，，
则，
由为锐角三角形，得，即，
则，，于是，
所以平面区域D的“直径”的取值范围是.
19. 如图，在中，为钝角，，，．过点作的垂线，交于点，为延长线上一点，连接，若．
（1）求边的长；
（2）证明：；
（3）设，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在，
【解析】
【分析】（1）在中，由余弦定理可得，求解即可；
（2）由正弦定理得,两式相除结合，可得；
（3）由正弦定理得，结合（2）可得，由，可求值.
【小问1详解】
由题意，为锐角，．
在中，设角的对边分别为，
由余弦定理可得，
即，
解得或．
因为为钝角，取．即的长为4．
【小问2详解】
由题意，
根据勾股定理：，
所以，，，
从而．
在和中，
由正弦定理得,
两式相除得，
因为，
所以
又，
所以，即
【小问3详解】
在和中，
由正弦定理得，
两式相除得，
由（2）可知，
所以，
若，
则
故存在实数，
使得．